中考数学培优分类解析反比例函数 47页

中考数学培优分类解析（反比例函数） 27.1 反比例函数的图象与性质 （2011 江苏省无锡市，4，3′）若双曲线 与直线 一个交点的横坐 标为－1，则 k 的值为（ ） A．－1. B. 1 C.－2 D.2 【解析】双曲线与直线的交点坐标适合两者的解析式，利用 可以求出交 点坐标为（－1，－1），进而求出 k=1 【答案】B 【点评】本题主要考查学生对坐标与解析式之间的关系的理解，适合解析式的点 在图象上，图象上的点适合解析式。 （2012 浙江省温州市，16，5 分）如图，已知动点 A 在函数 的图象上， 轴于点 B， 轴于点 C，延长 CA 至点 D，使 AD=AB，延长 BA 至点 E，使 AE=AC。 直线 DE 分别交 轴于点 P，Q。当 时，图中阴影部分的面积等于_______ 【解析】本题是一道难度较大的反比例函数综合题，可构造相似三角形，利用相似计算求解。 【答案】 (2012 四川省南充市，6，3 分)矩形的长为 x，宽为 y，面积为 9，则 y 与 x 之间的函数关系 用图象表示大致为（ ） 解析：由矩形的面积知 xy =9，可知它的长 x 与宽 y 之间的函数关系式为 y=9 x （x＞0），是 反比例函数图象，且其图象在第一象限． 故选 C． 点评：由矩形的面积公式，得出它的长 y 与宽 x 之间的函数关系式，然后根据函数的图象性 ky x = 2 1y x= + 2 1y x= + 4 ( 0)y xx = > AB x⊥ AC y⊥ x 4 9QE DP =： ： 13 3 质确定图象的形状及所处象限．注意实际问题中的函数问题需要注意自变量 x 的取值范围。 （2012 山东省荷泽市，6，3）反比例函数 图象上的两上点为（x 1,y1）,(x2,y2)，且 x1y2 B.y1y2，故先 D. 【答案】D 【点评】首先确定反比例函数所在的象限，注意反比例函数图象在每个象限的变化规律，当 比较两函数值的大小时，一定要分为在两个象限或在同一个象限两种情况. （2012 广州市，10， 3 分）如图 3，正比例函数 y1=kx 和反比例函数 y2= 的图像交于 A （-1,2）、（1,-2）两点，若 y1 ＜y2，则 x 的取值范围是（ ） A.x＜-1 或 x＞1 B. x＜-1 或 0＜x＜1 C. -1＜x＜0 或 0＜x＜1 D. -1＜x＜0 或 x＞1 【解析】根据图像观察一次函数的图像在反比例函数图像的下方自变量的取值范围。 【答案】从图像观察可知一次函数图像在下面的取值范围可知答案为 D。 【点评】本题考查同学们用函数的图像解不等式。 （2012 福州，10，4 分，）如图，过点 C（1,2）分别作 x 轴、y 轴的平行线，交直线 y=-x+6 于 A、B 两点，若反比例函数 （x＞0）的图像与△ABC 有公共点，则 k 的取值范围是 （ ） A．2≤k≤9 B. 2≤k≤8 C. 2≤k≤5 D. 5≤k≤8 2y x = 2y x = 2k x ky x = 解析：当点 C （1,2）在反比例函数 上时，则 k=2,由 则 ， 当 时，直线与双曲线有且一个交点，即 k=9，因此反比例函数 （x＞0） 的图像与△ABC 有公共点，则 k 的取值范围是 2≤k≤9。 答案：A 点评：本题通过对问题的特殊化，考察了学生解题思维的灵活性，通过数形结合，考查了建 立方程模型解决问题的能力。 (2012 山东省临沂市，12，3 分）如图，若点 M 是 x 轴正半轴上的任意一点，过点 M 作 PQ ∥y 轴，分别交函数 （x＞0）和 （x＞0）的图象于点 P 和 Q，连接 OP、OQ, 则下列结论正确的是（ ） A.∠POQ 不可能等于 900 B. C.这两个函数的图象一定关于 x 轴对称 D. △POQ 的面积是 【解析】当 P、Q 两点的横纵坐标的绝对值相等时,△POM 和△QOM 是等腰直角三角形,即∠ POQ=900，A 不正确；PM、QM 是线段的长，比值是正数，K1，K2 符号不同,比值为负, B 不正确；只有当|K1|=|K2|时，两个公式图象关于 x 轴对称, C 不正确；S△POQ=S△POM+S△QOM= + = ，故 D 正确. 【答案】选 D. 【点评】本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面 积等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行说理是解此题的关键． （2012 浙江省衢州，12，4 分）试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式 . 【解析】图象位于第二、四象限的反比例函数的比例系数 k＜0. 【答案】答案不唯一，如 y＝－ 【点评】主要考查了反比例函数的图象性质：反比例函数 的图象是双曲线，当 k＞0 时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当 k＜0 时，它的两个分支分别位于第二、四象 限． （2012 四川内江，3，3 分）已知反比例函数 y＝ 的图象经过点（1，－2），则 k 的值为 ky x = 6,k xx = − + 2 6 0x x k− + = 2( 6) 4 0k− − = ky x = x k1y = x k2y = 2 1 K K QM PM = ）（ |k||k|2 1 21 + 2 |K| 1 2 |K2| )|k|k(||2 1 21 + 1 x ky x = k x A． 2 B．－ C．1 　　　　　　D．－2 【解析】反比例函数 y＝ 的图象经过点（1，－2），表明在解析式 y＝ 中，当 x＝1 时，y＝－2，所以 k＝xy＝1×(－2)＝－2． 【答案】D 【点评】点在曲线上，则点的坐标满足曲线解析式，反之亦然． （2012 贵州铜仁，5，4 分）如图，正方形 ABOC 的边长为 2，反比例函数 的图象经 过点 A，则 k 的值是（ ） A．2 B．-2 C．4 D．-4 【解析】∵正方形 ABOC 的边长为 2 ∴A 的坐标（-2,2） ∴把 A 点坐标代入 y= 得：2= ∴ k=-4 【解答】D. 【点评】此题考查反比例函数系数 k 的几何意义，一般方法是求出一个点的坐标，代入 即可.简单方法是反比例函数上的点与两坐标轴围成矩形的面积就是｜k｜,图像在一、 三象限，k 取正；在二、四象限，k 取负. (2012 山东德州中考,8,3,)如图，两个反比例函数 和 的图象分别是 和 ．设 点 P 在 上，PC⊥x 轴，垂足为 C，交 于点 A，PD⊥y 轴，垂足为 D，交 于点 B，则三 角形 PAB 的面积为（ ） （A）3 （B）4 （C） （D）5 【解析】可设 P（a， ），∵P 和 A 的纵坐标相同，又 A 在 上，可得 A 点的纵坐标为 ky x= 1 2 k x k x x k 2− k x ky = 1y x = 2y x = − 1l 2l 1l 2l 2l 9 2 x y A PB D CO 1l 2l 1 a 2l 5 题图 ，∴PA= ．P 点和 B 点的纵坐标相同，同理可得 B 点横坐标为-2a，即 PB=3a，所以三 角形 PAB 的面积为 = ．故选 C． 【答案】C． 【点评】结合反比例函数的图象表示出点 P、A、B 的坐标是解题的关键，然后根据直角三 角形的面积公式求出结论． （2012 湖南湘潭，16，3 分）近视眼镜的度数 (度)与镜片焦距 ( )成反比例(即 )，已知 度近视眼镜的镜片焦距为 ,则 与 之间的函数关系式 是 . 【解析】将 =0.5， =200 代入 得 K=100，则 与 之间的函数关系式是 。 【答案】 。 【点评】此题考查函数关系式的求法。将已知数代入反比例函数关系式(即 ) 中，确定系数 K 的值。 （2012 江苏盐城，14，3 分）若反比例函数的图像经过点 P（-1,4），则它的函数关系是 . 【解析】本题考查了反比例函数的定义.掌握定义中 K 的确定方法是关键.本题考查点在函 数图像上与函数解析式的关系，常规方法是直接代入计算. 【答案】将图象上的点坐标P（-1，4）代入反比例函数解析式 y= 即可求出 k=-4，所以 y=- . 【点评】此题是对反比例函数考查.已知函数图象上的点坐标，求函数解析式，往往是将坐 标代入解析式，经过简单解方程（或方程组），这样求出待求系数.中考中，常以选择题、填 空题、简答题方式出现. （2012 连云港，13，3 分）已知反比例函数 y= 的图像经过点 A（m，1）,则 m 的值为 。 【解析】把点 A 的坐标代入反比例函数解析式，得到关于 m 的方程即可求得 m 的值。 【答案】由题意得 1= ，得到 m=2. 【点评】图像经过点或点在图像上说明点的坐标适合函数解析式。列出相应方程求未知字母 的值。 （2012 连云港，16，3 分）如图，直线 y=k1x+b 与双曲线 y= 交于Ａ、B 两点，其横坐标 2- a 3 a 1 3× ×32 a a 9 2 y x m )0( ≠= kx ky 200 m5.0 y x x y )0( ≠= kx ky y x xy 100= xy 100= )0( ≠= kx ky k x 4 x 2 x 2 m 2k x 分别为 1 和 5，则不等式 k1x ＜ +b 的解集是 。 【解析】不等式 k1x ＜ +b，即为 k1x －b＜ 。把 y=k1x+b 的图像向下平移 2b 个单位， 找出双曲线与新直线 y=k1x－b 中，直线在双曲线下侧的自变量的取值范围即可。 【答案】－5＜x＜－1 或 x＞0 【点评】易错点：容易漏掉第一象限的部分，本题取值范围有两部分。 （2012 江西，19，8 分）如图，等腰梯形 ABCD 放置在平面直角坐标系中，已知 、 、 ，反比例函数的图象经过点 C． （1）求 C 点坐标和反比例函数的解析式； （2）将等腰梯形 ABCD 向上平移 个单位后， 使点 B 恰好落在双曲线上，求 的值． 解析：（1）在平面直角坐标系中，由等腰梯形 ABCD 的性质及 、 、 三点的坐标，可求得 C 点坐标，再用待定系数法求得反比例函数的解析式，（2）等腰梯形 ABCD 向上平移 个单位后的点 B′的坐标为 B′（6，m），代入反比例函数的解析式即可． 答案：解：（1）过点 C 作 CE⊥AB 于点 E， ∵四边形 ABCD 是等腰梯形， ∴AD=BC，DO=CE， ∴△AOD≌△BCE，∴AO=BE=2， ∵BO=6，∴DC=OE=4， ∴C（4，3）； 2k x 2k x 2k x ( 2,0)A − (6,0)B (0,3)D m m ( 2,0)A − (6,0)B (0,3)D m 设反比例函数的解析式 ， 根据题意得： ， 解得 ； ∴反比例函数的解析式 ； (2) 将等腰梯形 ABCD 向上平移 个单位后得到梯形 A′B′C′D′， ∴点 B′（6，m） ∵点 B′（6，m）恰好落在双曲线 上， ∴当 时， ,即 ． 点评：本题主要考查了平面直角坐标中点的坐标的求法、反比例函数及平移知识， 设点 P(m，n)，有：在平面直角坐标系中，图形向右（左）平移 m 个单位，则图形上各 点的纵坐标不变，横坐标加上（或减去）m 个单位（m＞0）；图形向上（下）平移 n 个单位， 则图形上各点的横坐标不变，纵坐标加上（或减去）n 个单位（n＞0）． （2012 湖北襄阳，22，7 分）如图 9，直线 y＝k1x＋b 与双曲线 y＝ 相交于 A（1，2），B （m，－1）两点． （1）求直线和双曲线的解析式； （2）若 A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且 x1＜x2＜0＜ x3，请直接写出 y1，y2，y3 的大小关系式； （3）观察图象，请直接写出不等式 k1x＋b＞ 的解集． 【解析】（1）先将 A（1，2）代入 y＝ 求得 k2，再将 B（m，－1）代入求得 m 值， 接着运用待定系数法求得直线解析式．（2）（3）两问可借助图象直接观察求解． 【答案】解：（1）∵双曲线 y＝ 经过点 A（1，2），∴k2＝2． ∴双曲线的解析式为：y＝ ． ∵点 B(m，－1)在双曲线 y＝ 上，∴m＝－2，则 B（－2，－1）． 由点 A（1，2），B（－2，－1）在直线 y＝k1x＋b 上，得 解得 ( 0)ky kx = ≠ 3 4 k= 12k = 12y x = m 12y x = 6x = 12 26m = = 2m = 2k x 2k x 图 9 2k x 2k x 2 x 2 x 1 1 2, 2 1. k b k b + = − + = − 1 1, 1. k b =  = ∴直线的解析式为：y＝x＋1． （2）y2＜y1＜y3． （3）x＞1 或－2＜x＜0． 【点评】一般情况下，一次函数与反比例函数的交点已知时，要先确定反比例函数解析 式，因为反比例函数解析式中只有一个待定系数，而一次函数有两个待定系数．象第（2） 题这样的问题，往往从图象上直接观察容易得解，不要通过死记反比例函数的增减性解 答．而象第（3）题这样的问题，需注意理解位于上方的函数图像的函数值较大.整题充分体 现了数形结合的数学思想． （2012 浙江省衢州，16，4 分）如图，已知函数 y＝2x 和函数 y＝ 的图象交于 A、B 两点， 过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E，若△AOE 的面积为 4，P 是坐标平面上的点，且以点 B、O、 E、P 为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的 P 点坐标是 . 【解析】根据反比例函数中比例系数 k 的几何意义，得出等量关系 |k|=4，求出 k 的值为 8，然后结合函数 y＝2x 和函数 y＝ 可求出点 A(2，4)，再根据平行四边形的性质可求 得 P 点坐标． 【答案】P1(0，－4)，P2(－4，－4)，P3(4，4)(对一个得 2 分，对二个得 3 分，对三个得 4 分.) 【点评】反比例函数 y= 中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线，所得 矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正 确理解 k 的几何意义． （2012 浙江丽水 8 分，21 题）（本题 8 分）如图，等边△OAB 和等边△AFE 的 一边都在 x 轴上，双曲线 y= （k>0）经过边 OB 的中点 C 和 AE 的中点 D，已知等边△ OAB 的边长为 4. （1）求该双曲线所表示的函数解析式； （2）求等边△AEF 的边长. k x 1 2 8 x k x x k 【解析】：（1）过点 C 作 CG⊥OA 于点 G，根据等边三角形结合直角三角形中 30° 角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出点 C 的坐标，进而利用待定系数求出反比例函 数解析式；（2）过点 D 作 DH⊥AF 于点 H，设 AH=a，用 a 的代数式表示点 D 的坐标，代 入反比例函数关系中，得到关于 a 的一元二次方程，解之即可求出 a 的值，进而可求出等边△ AEF 的边长. 解：（1）过点 C 作 CG⊥OA 于点 G， ∵点 C 是等边△OAB 的边 OB 的中点， ∴OC=2，∠AOB=60°. ∴OC=2，CG= ， ∴点 C 的坐标是（1， ），由 = ，得 k= . ∴该双曲线所表示的函数解析式为 y= . （2）过点 D 作 DH⊥AF 于点 H，设 AH=a，则 DH= a. ∴点 D 的坐标为（4+a， a）. ∵点 D 是双曲线 y= 上的点，由 xy= ， 得 a（4+a）= ，即 a2+4a-1=0. 解得 a1= -2，a2=- -2（舍去）， ∴AD=2AH=2 -4， ∴等边△AEF 的边长是（4 -8）. 【点评】：本题将等边三角形放置于直角坐标系中，与反比例函数有机结合，即考查了 等边三角形的性质、反比例函数解析式的确定、直角三角形的性质，又考查了一元二次方程， 是一道较好的中考题.难度中等. （湖南株洲市 3,8）如图，直线 与反比例函数 的图象分别交于 B、 C 两点，A 为 y 轴上的任意一点，则 的面积为 A．3 B． C． D．不能确定 ( 0)x t t= > 2 1,y yx x −= = ∆ABC 3 2 t 3 2 3 3 3 1 k 3 x 3 3 3 x 3 3 3 3 5 5 5 5 【解析】因为直线 与反比例函数 的图象分别交于 B（t, ）、C(t, ),所以 BC= ，所以 。 【答案】C 【点评】在平面直角坐标系中，求一个三角形的面积，就是借助坐标轴或平行于坐标轴直线 上的某一条线段作为三角形的底边的长，第三个点横坐标或纵坐标为三角形的高. （2011 山东省潍坊市，题号 14，分值 3）14、点 P 在反比例函数 的图像上， 点 Q（2,4）与点 P 关于 y 轴对称，则反比例函数的解析式为 考点：反比例函数的关系式的计算和关于 y 轴对称的点的坐标特点。 解答：因为 点 Q（2,4）与点 P 关于 y 轴对称， 所以点 P 坐标为 . 因为点 P 在反比例函数 的图像上，所以 所以 所以 点评：计算反比例函数 的函数解析式，仅需要一个点的坐标。本题的关键是 根据已知条件“点 Q（2,4）与点 P 关于 y 轴对称”计算出点 P 的坐标，从而求解。 ( 2012 年浙江省宁波市,21,6)如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于 A(-4,-2)和 B(a,4) (1)求反比例函数的解析式和点 B 的坐标； （2）根据图象回答，当在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 【解析】(1)设反比例函数的解析式是 y= k x,点 A(-4,-2)在此反比例函数图象上，-2= k -4，∴ k=8, 反比例函数的解析式为 y= 8 x，又点 B（a,4）在此反比例函数图 象上，∴4= 8 a,a=2, 点 B 的坐标(2,4).(2)观察图象知 x＞2 或-4＜x＜ 0 时，一次函数的值大于反比例函数的值。 【答案】（1）B(2,4) (2)x＞2 或-4＜x＜0 【点评】 （2012 浙江省衢州，12，4 分）试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式 . ( 0)x t t= > 2 1,y yx x −= = 2 t 1 t − 3 t 1 3 3 2 2ABCS t t = × × =  )0( ≠= kx ky ( )42，− )0( ≠= kx ky 24 −= k 8−=k xy 8−= )0( ≠= kx ky 【解析】图象位于第二、四象限的反比例函数的比例系数 k＜0. 【答案】答案不唯一，如 y＝－ 【点评】主要考查了反比例函数的图象性质：反比例函数 的图象是双曲线，当 k＞0 时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当 k＜0 时，它的两个分支分别位于第二、四象 限． （2012 湖南益阳，13，4 分）反比例函数 的图象与一次函数 的图象的一个交 点是(1， )，则反比例函数的解析式是 ． 【解析】由交点是(1， )代入 可得， ，所以 【答案】 【点评】此题考查考生交点即是两条线上的点，把点的坐标代入已知函数，等式成立，从而 求出 值的解题思路 (2012 湖北随州，10，4 分) 如图，直线 与反比例函数 的图象在第一象限内交于 A、 B 两点，交 x 轴的正半轴于 C 点，若 AB:BC=(m-1):1（m>1），则△OAB 的面积（用 m 表示） 为（ ） A． B． C． D． 解析：过点 A、B 分别作 AM⊥x 轴于点 M，AN⊥x 轴于点 N.则⊿CBN∽⊿CAM， ∴ .设 BN=h，则 AM=mh.由点 A、B 在反比例函数 的图 象上，∴ ， .∴S⊿OAB= S 四边形 OABN- S⊿OAM= S 四边形 OABN- S⊿OBN= S 梯形 AMNB= . 答案：B 1 x ky x = ky = x 2 1y = x+ k k 2 1y = x+ 2 1 1= 3k = +× 3y = x xy 3= k l 2y x = 2 1 2 m m − 2 1m m − 23( 1)m m − 23( 1) 2 m m − BN BC BC AM AC AB BC m 1= = =+ 2y x = ON h 2= OM mh 2= 22 2 1-= ( + ) - =mAM + BN BN h mh h mh m 1 1 2 2 （ ） （ ） 点评：本题是反比例函数与几何图形面积的综合应用.需运用反比例函数的比例系数的几何 意义，几何图形间的位置关系，将三角形的面积转化为梯形的面积来解决.难度较大. (2012 山东省聊城，17，3 分）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点 O,且正方形 的一组对边与 x 轴平行. 点 P(3a,a)是反比例函数 的图象与正方形的一个交 点.若图中阴影部分的面积为 9，则这个反比例函数的解析式为 .. 解析：如图，根据正方形是以点 O 为中心对称图形， 将第三象限部分绕点 O 顺时针旋转 180º,恰好与第 一象限重合.所以正方形的面积为 9×4=36，所以正 方形边长为 6. 正方形又是轴对称图形，P(3a,a)是 反比例函数 的图象的点，所以正方形 边长为 3a×2=6a，于是 a=1.所以 k=3×1=3.反比 例函数解析式为 . 答案： 点评:本题借助正方形、反比例函数均为中心对称图象特点，化零为整的思想，把复杂问题 巧妙地解决，是一道较新颖创新题. （2012 贵州贵阳，22，10 分）已知一次函数 y= x+2 的图象分别与坐标轴相交于 A,B 两点 （如图所示），与反比例函数 y= （k>0）的图象相交于 C 点. （1）写出 A,B 两点的坐标；（4 分） （2）作 CD⊥x 轴，垂足为 D，如果 OB 是△ACD 的中位线，求反比例函数 y= （k>0） 的关系式. )0( >= Kx ky )0( >= Kx ky xy 3= xy 3= 3 2 x k x k 解析： （1）令 y=0,得 x+2，解得 x=-3，所以 A 点坐标为（-3，0）； 令 x=0,得 y=2， 所以 B 点坐标为（0，2）；（2）抓住“OB 是△ACD 的中位线”的条件，运用三角形的中位 线的性质求出 OD,CD 的长，进而求出 C 点坐标，求出反比例函数 y= （k>0）的关系式. 解：（1）A（-3，0）；B（0，2）； （2）由（1）得，OA=3,OB=2. ∵OB 是△ACD 的中位线，∴OD=OA=3,CD=2OB=6. ∴C 点坐标为（2,6）. ∴k=xy=2×6=12,即反比例函数是 y= . 点评：反比例函数是初中阶段的三个重要函数之一，它与一次函数的联合是中考的常见 题型，这类问题常常考查待定系数法、数形结合思想，解题时应该先由点的坐标求出相关线 段的长，再充分运用几何的相关知识进行推理运算，得到其他线段的长，并由此求出关键点 的坐标，进而得函数关系式. （2012 浙江省湖州市，19，6 分）如图，已知反比例函数 （k≠0）的图象过点 A （-2,8）。 （1）求这个反比例函数的解析式； （2）若（2，y1）,(4,y2)是这个反比例函数图象上的两个点，请比较 y1,y2 的大小，并说明 理由。 【解析】（1）由函数图象的，函数经过点（-2,8），应用待定系数法，设反比例函数解析式 ， 将点 A（-2,8）代入解析式 ，可直接求； DO C B A y x 第 22 题 图 3 2 x k x 12 x k=y x k=y x k=y （2）根据反比例函数的性质：k＜0 时，y 随 x 的增大而增大，k＞0 时，y 随 x 的增大而减 小，来做出判断。 【答案】（1）将点 A（-2,8）代入 ，求得 k=-16，即 ； （2）∵k=-16＜0, 且 2＜4，即 y 随 x 的增大而增大，∴y1＜y2. 【点评】本题考查的是反比例函数解析式的确定方法及比例系数 k 的几何意义， 反比例系数 k 的几何意义：①k＜0 时，y 随 x 的增大而增大，②k＞0 时，y 随 x 的增大而 减小。是基础题。 （2012 四川省资阳市，19，8 分）已知：一次函数 的图象与某反比例函数的图 象的一个公共点的横坐标为 1． （1）(3 分)求该反比例函数的解析式； （2）(3 分)将一次函数 的图象向上平移 4 个单位，求平移后的图象与反比例函 数图象的交点坐标； （3）(2 分)请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式： ①函数的图象能由一次函数 的图象绕点 旋转一定角度得到；[中国教育*︿出版网~%&] ②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点． 【解析】（1）把 代入 ，得 设反比例函数的解析式为 ，把 ， 代入得， %p.com] ∴该反比例函数的解析式为 （2）平移后的图象对应的解析式为 ww&.zz~*st#ep.com@] 解方程组 ，得 或 ∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为( ,3)和(－1, －1) （3） (结论开放，常数项为－2，一次项系数小于－1 的一次函数均可) 【答案】（1） （2） ( ,3)和(－1, －1) （3） (结论开放，常数项为－2，一次项系数小于－1 的一次函数均可) 【点评】本题综合考查了利用待定系数法确定反比例函数解析式的求法、直线平移旋转的性 质、两函数图象交点坐标的求法（联立方程组求解即为图象交点坐标）等，是反比例函数与 一次函数借助平移、旋转的动态形式来求交点坐标.难度中等. （2012 四川成都，18，8 分）如图，一次函数 ( 为常数)的图象与反比例函数 ( 为常数，且 ≠0)的图象交于 A，B 两点，且点 A 的坐标为( ，4)． （1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式； （2）求点 B 的坐标． 23 −= xy 23 −= xy 23 −= xy )2,0( − 1x = 3 2y x= − 1y = ky x = 1x = 1y = 1k = 1y x = 3 2y x= + 1 3 2 2y x= − − 1y x = 1 3 2 2y x= − − x k=y x 16-y = 2y x b= − + b ky x = k k 1− { 1 1 x y =− =−{ 1 3 2 y x y x = = + 1 3 3 x y = ={ 解析：本题首先用待定系数法求出两个函数的解析式，然后采用解方程组的方法求函数的另 一个交点的坐标。 答案：（1）∵点 A( ，4)在函数 的图像上， ∴ ∴ ∴ 同理可得 （2）解 ，得 ， 可见，点 B 的坐标为（2，-2） 点评：已知某一个点在某个函数图象上，可得到结论：“点的坐标满足函数解析式”，这是 待定系数法的基础。求两个函数图象的交点坐标的方法是：解由这两个函数解析式组 成的方程组。 （2012 山东泰安，25，8 分）如图，一次函数 的图象与坐标轴分别交于 A，B 两 点，与反比例函数 的图象在第二象限的交点为 C，CD⊥x 轴，垂足为 D，若 OB=2， OD=4，△AOB 的面积为 1， （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出当 x<0 时， 的解集。 1− 2y x b= − + ( )4 2 1 b= − × − + 2b = 2 2y x= − + 4y x = − 2 2 4 y x y x = − + = − 1 1 1 4 x y = −  = 1 1 2 2 x y =  = − y kx b= + my x = 0mkx b x + − > 【解析】（1）根据点 A 和点 B 的坐标求出一次函数的解析式．再求出 C 的坐标是（﹣4， 1），利用待定系数法求解即可求反比例函数的解析式；（2）根据一次函数 y=kx+b 的图象 与反比例函数 y= 的图象在第二象限的交点为 C，即可求出当 x＜0 时，kx+b﹣ ＞0 的解 集． 【答案】（1）∵OB=2，△AOB 面积为 1，∴B（-2，0），OA=1，∴A（0，-1），∴ ，∴ .∵OD=4,OD⊥x 轴，∴C（-4，y）.将 x=-4 代入 得 y=1, ∴C(-4,1), ∴ ,∴m=-4, ∴ (2)x<-4 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用到的知识点是待定系数法求 反比例函数与一次函数的解析式，体现了数形结合的思想，关键是根据反比例函数与一次函 数的交点求出不等式的解集． （2012 浙江丽水 8 分，21 题）（本题 8 分）如图，等边△OAB 和等边△AFE 的一边都在 x 轴上，双曲线 y= （k>0）经过边 OB 的中点 C 和 AE 的中点 D，已知等边△ OAB 的边长为 4. （1）求该双曲线所表示的函数解析式； （2）求等边△AEF 的边长. 【解析】：（1）过点 C 作 CG⊥OA 于点 G，根据等边三角形结合直角三角形中 30° 角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出点 C 的坐标，进而利用待定系数求出反比例函 数解析式；（2）过点 D 作 DH⊥AF 于点 H，设 AH=a，用 a 的代数式表示点 D 的坐标，代 入反比例函数关系中，得到关于 a 的一元二次方程，解之即可求出 a 的值，进而可求出等边△ AEF 的边长. 解：（1）过点 C 作 CG⊥OA 于点 G， ∵点 C 是等边△OAB 的边 OB 的中点， 11 , 22 0 1 b k k b b = − = − ∴ − + =  = − 1 12y x= − − 1 12y x= − − 1 4 m= − 4y x = − x k ∴OC=2，∠AOB=60°. ∴OC=2，CG= ， ∴点 C 的坐标是（1， ），由 = ，得 k= . ∴该双曲线所表示的函数解析式为 y= . （2）过点 D 作 DH⊥AF 于点 H，设 AH=a，则 DH= a. ∴点 D 的坐标为（4+a， a）. ∵点 D 是双曲线 y= 上的点，由 xy= ， 得 a（4+a）= ，即 a2+4a-1=0. 解得 a1= -2，a2=- -2（舍去）， ∴AD=2AH=2 -4， ∴等边△AEF 的边长是（4 -8）. 【点评】：本题将等边三角形放置于直角坐标系中，与反比例函数有机结合，即考查了 等边三角形的性质、反比例函数解析式的确定、直角三角形的性质，又考查了一元二次方程， 是一道较好的中考题.难度中等. （2012 年四川省德阳市，第 21 题、．）．已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 A、B 两点，.已知当 时， ；当 时， . ⑴求一次函数的解析式； 3 3 3 1 k 3 x 3 3 3 x 3 3 3 3 5 5 5 5 mxy +=1 xy 6 2 = 1>x 21 yy > 10 << x 21 yy < x y C B A O ⑵已知一次函数在第一象限上有一点 C 到 轴的距离为 3，求△ABC 的面积. 【解析】（1）．根据题意及图像可以确定点 A 坐标(1,0)．代人一次函数解析式即可求出 m． （2）．过点 B 作直线 BD 平行于 x 轴，交 AC 的延长线于 D.把求△ABC 的面积转化为求△ ABD 和△CBD 的面积差． 【答案】 (1)根据题意，由图像可知点 A 的坐标为（1，6），代人 中 ， 得 ， m=5, ∴ 一 次 函 数 的 解 析 式 为 ： （2）过点 B 作直线 BD 平行于 x 轴，交 AC 的 延长线于 D. ∵点 C 到 y 轴的距离为 3，∴C 点的横坐标为 3. 又 C 在双 曲线上，∴y= ,即 C（3，2） ∵直线 y=x+5 和双曲线 交于点 A, B. ∴ 解方程组 得 ，∴B（-6，-1） 设 AC 的解析式为 ，把点 A（1，6），点 C（3，2）代人得， 解得， ,∴y=2x+8. 当 y=-1 时-1=-2x+8,x=4.5,即点 D（4.5，-1） ∴． = =21. 【点评】，本题考查了反比例函数的综合运用．关键是通过反比例函数的性质确定点 A 的坐 标，从而求出一次函数的解析式，而求和图像相关的三角形的面积往往要把它分解成边在 x 轴或 y 轴上的三角形的面积和或差，或是有平行于 x、y 轴边的三角形的面积和或差来解 决． 27.2 反比例函数的应用 （2012 安徽，21，12 分）甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“慢 200 减 100”的 促销方式，即购买商品的总金额满 200 元但不足 400 元，少付 100 元；满 400 元但不足 600 元，少付 200 元；……，乙商场按顾客购买商品的总金额打 6 折促销。 （1）若顾客在甲商场购买了 510 元的商品，付款时应付多少钱？ 解： （2）若顾客在甲商场购买商品的总金额为 x（400≤x＜600）元，优惠后得到商家的优惠率 y 1y x m= + 1 5y x= + 6 23 = 6 x 5 6 y x y x = + = 1 2 1 2 6 1 1 6 x x y y = − =   = − =  1 1y k x b= + 1 1 1 1 6 2 3 k b k b = +  = + 1 12, 8k b= − = ABC ABD BCDS S S= −△ △ △ 1 21 1 217- 32 2 2 2 × × × × 为 p（p= ），写出 p 与 x 之间的函数关系式，并说明 p 随 x 的变化情 况； 解： （3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是 x（200≤x＜400） 元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由。 21.解析：这是关于打折销售问题，按照甲、乙商场的优惠方案计算.（1）400≤x＜600，少 付 200 元；（2）同问题（1），少付 200 元， ；利用反比例函数性质可知 p 随 x 的变化情况；（3）分别计算出购 x（200≤x＜400）甲、乙商场的优惠额，进行比较即可. 解：（1）510－200=310（元） （2） ；∴p 随 x 的增大而减小； （3）购 x 元（200≤x＜400）在甲商场的优惠额是 100 元，乙商场的优惠额是 x－0.6x=0.4x 当 0.4x＜100，即 200≤x＜250 时，选甲商场优惠； 当 0.4x=100，即 x=250 时，选甲乙商场一样优惠； 当 0.4x＞100，即 250＜x＜4000 时，选乙商场优惠； 点评：关于打折销售问题，根据优惠措施，列出有关代数式.值得注意这样的优惠一般都是 有范围的，在一定的范围内适合如第（3）问. （2012浙江省嘉兴市，21，10分）如图,一次函数 ＝kx+b的图象与反比例函数 = 的图 象相交于点A(2,3)和点B,与x轴相交于点C(8,0)。 (1)求这两个函数的解析式; (2)当 x 取何值时, > . 【解析】(1)用待定系数法可分别求得一次函数的解析式和反比例函数的解析式; (2)解由 、 联列的方程组,可求得x的取值范围. 【答案】(1)把 A(2,3)代入 = ,得 m＝6. x y 第21题 C B A O 购买商品的总金额 优惠金额 xp 200= xp 200= 1y 2y m x 1y 2y 1y 2y 2y m x 把 A(2,3) 、C(8,0)代入 ＝kx+b,得 ,解得 ∴这两个函数的解析式为; ＝ x+4, = . (2)由题意得 ,解得 ∴当 x＜0 或 2＜x＜6 时, > 【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数 （2012 四川攀枝花，22，8 分）据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校 根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”。已知药物在燃 烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量 （毫克）与燃烧时间 （分钟）之间的关 系如图 8 所示（即图中线段 OA 和双曲线在 A 点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解 答下列问题： （1）写出从药物释放开始， 与 之间的函数关系式级自变量的 取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于 2 毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒 开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？ 【解析】反比例函数 【答案】解：（1）设反比例函数解析式为 y= ， 将（25，6）代入解析式得，k=25×6=150， 则函数解析式为 y= （x≥15）， 将 y=10 代入解析式得，10= x=15， 故 A（15，10）， 1y 3 2 0 8 k b k b = +  = + 1 2 4 k b  = −  = 1y 1 2 − 2y 6 x 1 42 6 y x y x  = − +  = 1 1 6, 1; x x =  = 2 2 2 3 x x =  = 1y 2y y x y x k x 150 x 150 x 设正比例函数解析式为 y=nx， 将 A（15，10）代入上式即可求出 n 的值， n= 则正比例函数解析式为 y= x（0≤x≤15）． （2） =2， 解之得 x=75（分钟）， 答：从药物释放开始，师生至少在 75 分钟内不能进入教室． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解 答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （2012 贵州省毕节市，6，3 分）一次函数 与反比例函数 的图像 在同一平面直角坐标系中是（ ） 解析：根据一次函数的图象性质，y=x+m 的图象必过第一、三象限，可对 B、D 进行判断； 根据反比例函数的性质当 m＜0，y=x+m 与 y 轴的交点在 x 轴下方，可对 A、D 进行判 断． 解答：解：A. 对于反比例函数图象得到 m＜0，则对于 y=x+m 与 y 轴的交点在 x 轴下方， 所以 A 选项不正确；B、对于 y=x+m，其图象必过第一、三象限，所以 B 选项不正确；C、 对于反比例函数图象得到 m＜0，则对于 y=x+m 与 y 轴的交点在 x 轴下方，并且 y=x+m 的 图象必过第一、三象限，所以 C 选项正确；D、对于 y=x+m，其图象必过第一、三象限， 所以 D 选项不正确．故选 C． 点评：本题考查了反比例函数的图象：对于反比例函数 y= （k≠0），当 k＞0，反比例函 数图象分布在第一、三象限；当 k＜0，反比例函数图象分布在第二、四象限．也考查了一 次函数的图象． （2012 黑龙江省绥化市，17，3 分）如图，A、B 是函数 的图像上关于原点对称的任 2 3 2 3 150 x )0( ≠+= mmxy x my = x k 2y x = 意两点，BC∥x 轴，AC∥y 轴，△ABC 的面积记为 S，则（ ） A．S=2 B．S=4 C．2＜S＜4 D．S＞4 【解析】解：设点 A 的坐标为（x,y）则 xy=2，由于 A、B 是关于原点对称的任意两点，得 点 B 的坐标为（-x，-y），又因为 BC∥x 轴，AC∥y 轴，所以点 C 的坐标为（x，-y）；所以 AC=2y，BC=2x，△ABC 的面积记 S= ×2x×2y=2xy=4．(也可由平行得相似，再由面积 比等于相似比的平方得出答案)故选 B． 【答案】 B． 【点评】此题主要考查反比例函数的比例系数的几何意义及关于原点对称的点的横坐标互 为相反数，纵坐标互为相反数；在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的 比例系数．难度中等． (2012 贵州黔西南州，9，4 分)已知一次函数 y1=x－1 和反比例函数 y2= 2 x的图象在平面直角 坐标系中交于 A、B 两点，当 y1＞y2 时，x 的取值范围是( )． A．x＞2 B．－1＜x＜0 C．x＞2，－1＜x＜0 D．x＜2，x＞0 【解析】解{y = x－1 y = ，得{x1 = 2 y1 = 1，{x2 = －1 y2 = －2．所以，两个函数的交点为(2，1)，(―1，― 2)． 在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象(图略)，观察图象，y1＞y2，则对应一次函数 的图象高于反比例函数的图象，对应 x 的取值范围是：x＞2 或－1＜x＜2． 【答案】C． 【点评】本题综合考查函数与方程、不等式的关系，理解它们之间的关系，借助于函数图象 分析，可以达到直观简洁的效果． （2012 南京市，5，2）若反比例函数 y= 与一次函数 y=x+2 的图像没有交点，则 k 的值可 以是（ ） A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析：将 y= 代入 y=x+2 中，得 =x+2，由于函数 y= 与 y=x+2 的图像没有交点，则 =x+2 无解，得出 k 的值. 答案：A. 点评：判断图像的交点情况，可转化为一元二次方程根的情况，用判别式来确定，有两个交 点，则判别式大于 0，一个交点判别式等于 0，没有交点判别式小于 0. 1 2 x k x k x k x k x k （2012 山西，10，2 分）已知直线 y=ax（a≠0）与双曲线 的一个交点坐标为 （2，6），则它们的另一个交点坐标是（　　） 　 A． （﹣2，6） B． （﹣6，﹣2） C． （﹣2，﹣6） D． （6，2） 【解析】解：∵线 y=ax（a≠0）与双曲线 的图象均关于原点对称，∴它们的 另一个交点坐标与（2，6）关于原点对称，∴它们的另一个交点坐标为：（﹣2，﹣6）．故 选 C． 【答案】C 【点评】本题主要考查了正比例函数、反比例函数的图象的对称性，两者均关于原点对称， 故其两者的交点也关于原点对称，由此可确定答案为 C，考生不熟悉此对称性可能会分别求 出两函数的解析式，再联立方程组求解，而此做法将浪费考生时间．难度中等． (2012 广安中考试题第 6 题，3 分)在平面直角坐标系 xOy 中，如果有点 P（-2，1）与点 Q （2，-1），那么：①点 P 与点 Q 关于 x 轴对称；②点 P 与点 Q 关于 y 轴对称；③点 P 与点 Q 关于原点对称；④点 P 与点 Q 都在 y= 的图象上。前面的四种描述正确的是（ D ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 思路导引：一个点关于两条坐标轴、以及原点对称问题，有其规律，注意坐标变化；点在某 个函数图象上，点的坐标适合函数解析式，反之，不适合即是不在函数图象上； 解：已知点 P（-2，1）与点 Q（2，-1），由于两种坐标同时改变符号，因此③点 P 与点 Q 关于原点对称；正确，点 P 与点 Q 的坐标都适合函数解析式 y= ，都在 y= 的图 象上； 点评：一个点关于两条坐标轴与原点对称问题，注意对称变换后横坐标、与纵坐标的变换规 律，确定函数的解析式是待定系数法，另外判断点是否在函数图像上，所用的方法即是 代入法. (2012 贵州黔西南州，14，3 分)已知反比例函数的图象经过点(m，2)和(－2，3)，则 m 的 值为__________． 【解析】设反比例函数的解析式为 y= k x，把点(―2，3)代入，得 k=―6．所以，y=― 6 x，点 (m，2)代入，得 2=― 6 m，解得 m=―3． 【答案】―3． 【点评】本题考查反比例函数的解析式的确定．确定一个反比例函数的解析式，只需要知道 图象上一个点的的坐标，用代入法即可计算． （2012 四川泸州，19，3 分）已知反比例函数 的图象经过点（1，-2），则 k= . 解析：根据图象上的点满足函数解析式，即 ，所以 k= -2. 答案：-2. 点评：本题考查了已知点在反比例函数图象上，求反比例系数 k 值.点的坐标满足 k=xy. x 2− x 2− x 2− x ky = 12 k=− （2012 江苏省淮安市，6，3 分）已知反比例函数 的图象如图所示，则实数 m 的取 值范围是（ ） A．m>1 B．m>0 C．m<1 D．m<0 【解析】先根据反比例函数的图象经过第一、三象限得到关于 m 的不等式，求出 m 的取值 范围即可． ∵双曲线 的图象经过第一、三象限，∴m﹣1>0，∴m>1． 【答案】A 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数 （k≠0）中，k>0 时，其图象 在一、三象限，反之成立． （2012 山东省青岛市，8，3）点 A（x 1,y1）,B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函数 y= -3 x 的图象 上，若 x1 0 P Q P Q x y P 【解析】：本题考查反比例函数 值的几何意义，阴影部分的面积等于 减去重叠部分面积的两倍。由于 （1，3），故 ，由 对称性易知 于是重叠部分是边长为 1 的正方形， 则 【解答】：4 【点评】：熟悉反比例函数 值的几何意义用及反比例函数的图象关于 对轴 是解决问题的关键。 （2012，黔东南州，7）如图，点 A 是反比例函数 （ < 0）的图象上的一点，过点 A 作平行四边形 ABCD，使点 B、C 在 轴上，点 D 在 轴上，则平行四边形 ABCD 的面积为 （ ） A、1 B、3 C、6 D、12 解析：平行四边形 =底 高，有图可知，底为 的长，即 A 点的横坐标的绝对值，高即 为 A 点的纵坐标的绝对值，设 ，故 =6. 答案：C. 点评：本题考查了反比例函数的性质及平行四边形面积的计算方法，是一道比较灵活的题目， 要应用数形结合的思想解答. x y P Q O 图 5 k k2 P k = 3 ( , )Q 3 1 S = × − =2 3 6 4 k y x= 6y x = − x x y S × AD       − 0 0 6, xxA      −⋅= 0 0 6 xxS （2012 四川宜宾，15，3 分）如图，一次函数 y =ax+b（a≠0）与反比例函数 y = 的图象交于 A（1,4）、B（4,1）两点，若 y ＞y ，则 x 的取值范围是 【解析】 根据图形，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的 x 的取值范围即可． 解：根据图形，当 x＜0 或 1＜x＜4 时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y1＞y2． 故答案为：x＜0 或 1＜x＜4． 【答案】x＜0 或 1＜x＜4 【点评】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，要注意 y 轴左边的部分，一次函数图 象在第二象限，反比例函数图象在第三象限，这也是本题容易忽视而导致出错的地方． （2012，湖北孝感，10，3 分）若正比例函数 y=-2x 与反比例函数 图象的一个交点坐 标为（-1，2），则另一个交点坐标为（ ） A．（2，-1） B．（1，-2） C．（-2，-1） D．（-2，1） 【解析】 【答案】B 【点评】 （2012 甘肃兰州，9，4 分）在反比例函数 的图像上有两点（-1，y 1）， （ ，y2），则 y1-y2 的值是（ ） A. 负数 B.非正数 C.正数 D.不能确定 解析：∵反比例函数 中的 k＜0，∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而增大；又∵点（-1，y1）和( ，y2)均位于第二象限，-1＜ ，∴y1＜y2，∴ y1-y2＜0，即 y1-y2 的值是负数，故选 A． 答案：A 点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数 ,当 k＜0 时，该函数 图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而增大．注意：反比例函数的增减 1 2 ( )0≠kx k 1 2 ky x = ( 0)ky kx = < 4 1− x ky = 4 1− 4 1− x ky = 性只指在同一象限内． （2012 甘肃兰州，2，4 分）近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（m）成反比例，已知 400 度近视眼镜镜片的焦距为 0.25m，则 y 与 x 的函数关系式为（　　） A. B. C. D. 解析：设出反比例函数解析式为 ，把（0.25，400）代入得 k=0.25×400=100，故选 C． 答案：C 点评：反比例函数的一般形式为 （k 是常数，且 k≠0），常用待定系数法求解函数解 析式． （ 2012 · 湖 南 省 张 家 界 市 · 8 题 · 3 分 ） 当 （ ）. 【分析】可讨论 a 的取值，综合一次函数和反比例函数图象性质求解. 【解答】当 a>0 时，一次函数 y=ax+1 的图象经过一、二、三象限，反比例函数 y= 的 两条分支分别位于第一、三象限；当 a<0 时，一次函数 y=ax+1 的图象经过一、二、四象限， 反比例函数 y= 的两条分支分别位于第二、四象限.观察四个象限可知，应选 C. 【点评】解答这类问题应分别讨论未知数的系数和常数项的符号，利用分类讨论的方法 求解. （2012 湖北荆州，14，3 分）已知：多项式 x2－kx＋1 是一个完全平方式，则反比例函数 y= 的解析式为_▲__ 【解析】因为多项式 x2－kx＋1 是一个完全平方式，所以 ， 当 时，反比例函数 y= 的解析式为 y= ； 当 时，反比例函数 y= 的解析式为 y=－ 400y x = 1 4y x = 100y x = 1 400y x = ky x = ky x = 可能是在同一坐标系中的图像与函数时，函数 x ayaxya =+=≠ 10 y xo -1 B x a x a 1k x − 2±=k 2=k 1k x − 1 x 2−=k 1k x − 3 x y x o A 1 y x 1 C y x o D -1 o 【答案】y= 或 y=－ 【点评】本题考察了完全平方式，做此类问题时，防止因为思考问题不全面而漏解。 (2012 山东日照，16，4 分)如图，点 A 在双曲线 y= 上，过 A 作 AC⊥x 轴，垂足为 C，OA 的垂直平分线交 OC 于点 B，当 OA＝4 时，则△ABC 周长为 . 解析：由 OA 的垂直平分线交 OC 于点 B，得 AB=OB,故 AB+BC=OC，设 OC=x， AC=y,则 xy=6，在 Rt△ABC 中，OC2+AC2=OA2=16,即 x2+y2=16,所以(x+y) 2-2xy=(x+y) 2-12=16, x+y= =2 ．所以△ABC 周长为 AB+BC+ AC= OC+ AC= x+y=2 ． 解答：填 2 ． 点评：本题主要考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、乘法公式，解题的关键是要灵 活运用相关知识，数形结合，把求△ABC 周长的问题转化为求 AC+OC 的值的问题. （2012 年吉林省，第 4 题、2 分．）如图，在△ABC 中，∠A=80°，∠B=40°， D,E 分别是 AB,AC 上的点，且 DE∥BC,则∠AED 的度数为 (A)40°． (B)60°． (C) 80°． (D)120°． 【解析】根据两直线平行同位角相等可以求出∠ADE 的度数为 40°，在根据三角 形内角和求出∠AED 的度数． 【答案】B 【点评】本题主要考察平行线的性质和三角形内角和的有关知识． （2012 年吉林省，第 5 题、2 分．）如图，菱形 OABC 的顶点 B 在 y 轴上，顶点 C 的坐标为（- 3，2）．若反比例函数 （x>0）的图像经过点 A，则 k 的值为 (A) -6. (B) -3. (C) 3. (D) 6. 【解析】因为菱形的对角线 OB 在 y 轴上，所以点 C 和点 A 关于 y 轴对称，即点 A 的坐标为（3，2），代人反比例解析式.从而求出 k 的值． 【答案】D 1 x 3 x x 6 28 7 7 7 ky x = 【点评】求反比例函数的比例系数 k，只需确定函数图像上的一个点的坐标即可， 根据菱形的对称性，求出点 A 的坐标即可． （2012 湖南衡阳市，15，3）如图，反比例函数 y= 的图象经过点 P，则 k=　　． 解析：首先根据图象写出 P 点坐标，再利用待定系数法把 P 点坐标代入反比例函数解析式 中即可得到 k 的值． 答案：解：根据图象可得 P（3，﹣2）， 把 P（3，﹣2）代入反比例函数 y= 中得： k=xy=﹣6， 故答案为：﹣6． 点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，凡是图象经过的点都能满足解析 式． （2012 贵州省毕节市，19，5 分）如图，双曲线 上有一点 A，过点 A 作 AB⊥ 轴于点 B，△AOB 的面积为 2，则该双曲线的表达式为 . 解析：先根据反比例函数图象所在的象限判断出 k 的符号，再根据 S△AOB=2 求出 k 的值即可． 答案：解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴k＜0，∵S△AOB=2，∴|k|=4， ∴k=-4，即可得双曲线的表达式为：y= ，故答案为：y= . 点评：本题考查的是反比例系数 k 的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴 作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变． )0( ≠= kx ky x x 4− x 4− 2 k （2012 湖北武汉，15，3 分）如图，点 A 在双曲线 y＝ 的第一象限的那一支上，AB 垂直 于 x 轴与点 B，点 C 在 x 轴正半轴上，且 OC＝2AB，点 E 在线段 AC 上，且 AE＝3EC， 点 D 为 OB 的中点，若△ADE 的面积为 3，则 k 的值为________． 解析：过 C 作 CF⊥BA 交 BA 延长线于 F，连接 DC，有 AE＝3EC= AC，AB=AF,BD=OD,S△ ADE=3,有 S△ADC=4， 令 S△ADB=x,则有 S△ODC=S△AFC=2x，S 矩形 OCFB=8x,S△ADC=8x-x-2x-2x=3x=4,x= ,S△ABO=2x= ,故 k=2× = 答案： ． 点评：本题在于考察反比例函数图象与面积的联系，解题时需构建适当的矩形或三角形， 根据 k 值与面积的关系求解，解题时需抓住几个中点与面积的关系，难度较大． （2012·哈尔滨，题号 7 分值 3）如果反比例函数 y= 的图象经过点(-1，-2)，则 k 的 值是( )． (A)2 (B)-2 (C)-3 (D)3 【解析】本题考查反比例函数图象上点的坐标与常数 K 的关系．将（－1，－2）代入反比 例函数的解析式 得 k-1=2,∴k=3，选 D． 【答案】D 【点评】已知点在反比例函数图像上，所以点的坐标满足函数解析式，横坐标是自变量 x 的 值，纵坐标是函数 y 的值，分别代人函数解析式，就能求出 k 的值． （2012·湖北省恩施市，题号 10 分值 3）已知直线 y=kx（k＞0）与双曲线 y = 交与 A （x1,y1）,B(x2,y2)两点，则 x1y2+ x2y1 的值为（ ） ．-6 B．-9 C．0 D．9 【解析】根据对称性，当正比例函数和反比例函数相交时，交点关于原点对称，所以 x1= 1k x − x k 4 3 3 4 3 8 3 8 3 16 3 16 x ky 1−= x 3 -x2，y1= -y2，又因为 x1y1=-3，x2y2=-3，因此 x1y2+ x2y1= x1·（- y1）+x2·（- y2）=-6． 【答案】A 【点评】本题主要是考察反比例函数和正比例函数的交点关于原点对称的性质以及双曲线上 任意点的纵横坐标的积等于 k，根据二者交点的对称性将不同点坐标积转换为同一个点的坐 标积是解答的关键，解决此问题还可以采用特殊值法解决． （2012 甘肃兰州，17，4 分）如图，点 A 在双曲线 上，点 B 在双曲线 上， 且 AB∥x 轴，点 C 和点 D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则矩形 ABCD 的面积为 。 解析：根据双曲线的图象上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积 S 与 k 的关系 S=|k|即 可判断．过 A 点作 AE⊥y 轴，垂足为 E，∵点 A 在双曲线 上，∴四边形 AEOD 的面积 为 1，∵点 B 在双曲线 上，且 AB∥x 轴，∴四边形 BEOC 的面积为 3，∴四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为 3-1=2． 答案：2． 点评：本题主要考查了反比例函数 中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x 轴、 y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想， 做此类题一定要正确理解 k 的几何意义． （2012 甘肃兰州，20，4 分）如图，M 为双曲线 上的一点，过点 M 作 x 轴、y 轴的 垂线，分别交直线 于 D、C 两点，若直线 与 y 轴交与点 A，与 x 轴 交与点 B，则 AD·BC 的值为 。 解析：如图，作 CE⊥x 轴于 E，DF⊥y 轴于 F，由直线的解析式为 y=-x+m，易得 A（0，m）， B（m，0），得到△OAB 等腰直角三角形，则△ADF 和△CEB 都是等腰直角三角形，设 M 的坐 1y x = 3y x = 1y x = 3y x = ky x = 3y x = y x m= − + y x m= − + 第 20 题 图 标为（a，b），则 ab= ， 并且 CE=b，DF=a，则 AD= DF= a,BC= CE= b,于是得到 AD•BC= a· b=2ab= 答案： 点评：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式； 会求一次函数与坐标轴的交点坐标以及灵活运用等腰直角三角形的性质，难度较大。 （2012 山东莱芜， 14，4 分）若点Ｐ 在一次函数 的图象上，它关于 y 轴的 对称点在反比例函数 的图象上，则反比例函数的解析式为 . 【解析】因为点Ｐ 在一次函数 的图象上，所以 ，所以 ,所 以点Ｐ的坐标为 .又因为它关于 y 轴的对称点在反比例函数 的图象上，所以点 在反比例函数 的图象上，所以 ，所以 ，所以 【答案】 【点评】本题考查了已知一次函数函数关系式和函数值求自变量，考察了关于 y 轴对称的对 称点点的坐标特征。对于反比例函数已知一个点的坐标就可以计算其函数关系式. （2012 呼和浩特，19，6 分） (6 分)如图，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 （x>0）的 图象交于 A(m,6)、B(n,3)两点。 （1）求一次函数的解析式 ； （2）根据图象直接写出 kx+b– >0 时 x 的取值范围. x y B A O 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 ( )2,a 42 += xy x ky = ( )2,a 42 += xy 242 =+a 1−=a ( )2,1− x ky = ( )2,1+ x ky = 12 k= 2=k xy 2= xy 2= 6y x = 6 x 【解析】（1）将 A(m,6)、B(n,3)代入反比例函数 求出 A、B 点的完整坐标 A(1,6)、B(2,3)， 然后再利用 A、B 坐标求一次函数解析式。 （2）把不等式 kx+b– >0 变形成 kx+b> ，根据图象中 A、B 两点坐标，可直接写出不等 式的解集，即 x 的取值范围。 【答案】 解：（1）∵点 A（m,6）、B（n,3）在函数 的图象上 ∴m=1，n=2 ∴A(1,6)、B(2,3) ∴ ∴ ∴一次函数的解析式为 y= –3x+9 (2)由图象知：1 ( 0)ky kx = > 1y x = ( 0)ky kx = > 10 2 ( 0)ky kx = < 1y x y x  =  = 2 2 2 1y x = 第 25 题图 （2）根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为 ，即 AB= ，OA= ， 根据 OA= OC= AC，则 OC=AC=5，得到点 A 坐标为（5，5），把 A（5，5）代入双 曲线 即可得到 k 的值； （3）双曲线 的一条对称轴与双曲线有两个交点，根据题目中的定义易得到双 曲线 的对径． 解：（1）由 得 ， ， 即 A(1,1),B（-1，-1） 分别过点 A 和点 B 向 x 轴和 y 轴作垂线，两垂线相交于 点 M, 则△ABM 是直角三角形，在 Rt△ABM 中， ∴双曲线 的对径为 . （2）若双曲线 的对径是 ,即 AB= ， OA= 过点 A 作 AC⊥x 轴, 则△AOC 是等腰直角三角形． ∴点 A 坐标为(5,5)， 则 k=5×5=25 （3）若双曲线 与它的其中一条对称轴 y=-x 相交于 A、B 两点,则线段 AB 的长 称为双曲线 的对径. 点评：本题考查的是反比例函数综合题.点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析 式；等腰直角三角形的斜边是直角边的 倍；强化理解能力． （2012 贵州遵义，18,4 分）如图，平行四边形 ABCD 的顶点为 A、C 在双曲线 y1=﹣ 上， B、D 在双曲线 y2= 上，k1=2k2（k1＞0），AB∥y 轴，S▱ABCD=24，则 k2=　　． 10 2 10 2 5 2 2 2 ( 0)ky kx = > ( 0)ky kx = < ( 0)ky kx = < 1y x y x  =  = 1 1 1 1 x y =  = 2 2 1 1 x y = −  = − 2 2 2 22 2 2 2AB AM BM= + = + = 1y x = 2 2 ( 0)ky kx = > 10 2 10 2 5 2 ( 0)ky kx = < ( 0)ky kx = < 2 解析： 利用平行四边形的性质设 A（x，y1）、B（x、y2），根据反比例函数的图象关于原点 对称的性可知 C（﹣x，﹣y1）、D（﹣x、﹣y2）；然后由反比例函数图象上点的坐标 特征，将点 A、B 的坐标分别代入它们所在的函数图象的解析式，求得 y1=﹣2y2； 最后根据 S▱ABCD= •2x=24 可以求得 k2=y2x=﹣4． 解：在▱ABCD 中，AB∥CD，AB=CD（平行四边形的对应边平行且相等），故设 A （x，y1）、B（x、y2），则根据反比例函数的图象关于原点对称的性质知，C（﹣x， ﹣y1）、D（﹣x、﹣y2）． ∵A 在双曲线 y1=﹣ 上，B 在双曲线 y2= 上， ∴x=﹣ ，x= ， ∴﹣ = ； 又∵k1=2k2（k1＞0）， ∴y1=﹣2y2； ∵S▱ABCD=24， ∴ •2x=﹣6y2x=24， 解得，y2x=﹣4，即 k2=﹣4； 故答案是：﹣4． 答案： ﹣4 点评： 本题考查了反比例函数综合题．根据反比例函数的图象关于原点对称的性质求得点 A 与点 B 的纵坐标的数量关系是答案此题的难点． （2012 四川达州，6，3 分）一次函数 与反比例函数 ，在 同一直角坐标系中的图象如图所示，若 ﹥ ，则 x 的取值范围是 )0(1 ≠+= kbkxy )0(2 ≠= mx my 1y 2y A、-2﹤ ﹤0 或 ﹥1 B、 ﹤-2 或 0﹤ ﹤1 C、 ﹥1 D、-2﹤ ﹤1 解析：由图象观察可知，一次函数与反比例函数相交于点（-2，-2）、（1,4）两点，进一步 观察当-2﹤ ﹤0 时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值即 ﹥ ；当 ﹥1 时， 一次函数的函数值大于反比例函数的函数值即 ﹥ ，因此 A 满足条件。 答案：A 点评：本题通过一次函数与反比例函数的图象，考查了一次函数、反比例函数的图象的性质 及学生的读图能力，是道较好的数形结合题。 （2012 山东省滨州，14，4 分）下列函数：①y=2x﹣1；②y=﹣ ；③y=x2+8x﹣2；④ y= ；⑤y= ；⑥y= 中，y 是 x 的反比例函数的有 （填序号） 【解析】①y=2x﹣1 是一次函数，不是反比例函数； ②y= 是反比例函数； ③y=x2+8x﹣2 是二次函数，不是反比例函数； ④y= 不是反比例函数； ⑤y= 是反比例函数； ⑥y= 中，a≠0 时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数； 【答案】②⑤． 【点评】本题考查反比例函数的定义，只有形如 y= 的函数才是反比例函数（ａ是常数）． (2012 江苏苏州，17，3 分)如图，已知第一象限内的图象是反比例函数 y= 图象的一个分 支，第二象限内的图象是反比例函数 y=﹣ 图象的一个分支，在 x 轴的上方有一条平行于 x 轴的直线 l 与它们分别交于点 A、B，过点 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D．若四边 形 ABCD 的周长为 8 且 AB＜AC，则点 A 的坐标为　（ ，3）　． x x x x x x x 1y 2y x 1y 2y 分析： 设 A 点坐标为（a， ），利用 AB 平行于 x 轴，点 B 的纵坐标为 ，而点 B 在反比例 函数 y=﹣ 图象上，易得 B 点坐标为（﹣2a， ），则 AB=a﹣（﹣2a）=3a，AC= ， 然后根据矩形的性质得到 AB+AC=4，即 3a+ =4，则 3a2﹣4a+1=0，用因式分解法解得 a1= ，a2=1，而 AB＜ AC，则 a= ，即可写出 A 点坐标． 解答： 解：点 A 在反比例函数 y= 图象上，设 A 点坐标为（a， ）， ∵AB 平行于 x 轴， ∴点 B 的纵坐标为 ， 而点 B 在反比例函数 y=﹣ 图象上， ∴B 点的横坐标=﹣2×a=﹣2a，即 B 点坐标为（﹣2a， ）， ∴AB=a﹣（﹣2a）=3a，AC= ， ∵四边形 ABCD 的周长为 8，而四边形 ABCD 为矩形， ∴AB+AC=4，即 3a+ =4， 整理得，3a2﹣4a+1=0，（3a﹣1）（a﹣1）=0， ∴a1= ，a2=1， 而 AB＜AC， ∴a= ， ∴A 点坐标为（ ，3）． 故答案为（ ，3）． 点评： 本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析 式；利用矩形对边相等的性质建立方程以及用因式分解法解一元二次方程． (2012 贵州六盘水，10，3 分)图 3 为反比例函数 在第一象限的图象，点 A 为此图像 上的一动点。过点 A 分别作 轴，垂足分别为 B,C.则四边形 OBAC 周长的最小值为 （ ） A.4 B.3 C.2 D.1 分析：由反比例函数关系式可知 x 与 y 的乘积等于 1，再根据两个数的乘积是一个常数，则 这 2 个乘数越接近，它们的和越小，当它们相等时，其和最小而得到 x 与 y 都等于 1. 解答：因为点 A 在反比例函数图象上，所以 AC 与 AB 的乘积等于 1，当 AC+AB 最小时 AC=AB=1，所以周长为 4. 故选 A 点评：本题考查利用反比例函数的图象解决问题，正确理解反比例函数图象横纵坐标表示的 意义，还要知道两个数的乘积一定，这两个数的和的最小值的求法． （2012 广东肇庆，23，8） 已知反比例函数 图象的两个分支分别位于第一、第 三象限． （1）求 的取值范围； （2）若一次函数 的图象与该反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是 4． ①求当 时反比例函数 的值； ②当 时，求此时一次函数 的取值范围． 【解析】由反比例函数 图象的两个分支分别位于第一、第三象限． 可得 进而求得 的取值范围；把交点坐标代入两个解析式，利用待定系数法可求出两个函数解析 式．再由函数性质可求出一次函数取值范围． 【答案】解：（1）∵反比例函数 图象的两个分支 分别位于第一、第三象限 ∴ ，∴ x ky 1−= k kxy += 2 6−=x y 2 10 << x y x ky 1−= 01 >−k k x ky 1−= 01 >−k 1>k 1y x = AB y⊥ x y B A C–1–2–3–4 1 2 3 4 –1 –2 –3 –4 1 2 3 4 O （2）①设交点坐标为（ ，4），代入两个函数解析式得： 解得 ∴反比例函数的解析式是 当 时反比例函数 的值为 ②由①可知，两图象交点坐标为（ ，4） 一次函数的解析式是 ，它的图象与 轴交点坐标是（0，3） 由图象可知，当 时，一次函数的函数值 随 的增大而增大 ∴ 的取值范围是 （8 分） 【点评】本题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，难度中等． （2012 云南省，21，6 分）（本小题 6 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，一次函 数与反函数的图像相交于 两点，与 轴交于点 C。 （1）分别求反函数和一次函数的解析式（关系式）； （2）连接 OA，求 的面积。 【解析】首先就是设函数的解析式（形式） ；一次函数与反函数的图像 相交于 两点得到： 和 解之得： ；函数分别是： （2）关键是求出 C 点的坐标，一次函数 与 轴交于点 C，所以 C 点点坐标 为： 所以 OC=1 A 点(2,1),所以 的高是 1 ， 所以： 【答案】 解：（1）a、设一次函数的解析式为 函数经过 两点 a    −= += a k ka 14 24    = = 3 2 1 k a xy 2= 6−=x y 3 1 6 2 −=−=y 2 1 32 += xy y 2 10 << x y x y 43 << y 2 , 1 -1 -2 A （ ）、B（ ， ） x AOC y kx b= + ky x = 2 , 1 -1 -2 A （ ）、B（ ， ） 1 2 2 k b k b = + − = − + 1 2 k= 1 1 k b =  = − 2k = 1y x= − 2y x = 1y x= − x (1,0) AOC 1 11 12 2AOCS = × × =  y kx b= + 2 , 1 -1 -2 A （ ）、B（ ， ） 所以： 解之得： 所以一次函数的解析式为： b、设反比例函数解析式为： 函数经过 所以： 所以反比例函数解析式为： （2）一次函数 与 轴交于点 C，所以 C 点点坐标为： 所以 OC=1 A 点(2,1),所以 的高是 1 ， 所以： 【点评】本题考查考生对用待定系数法求抛物线的解析式的掌握程度；考查直角坐标系中 点与函数图象的关系；考查三角形面积的计算公式；考查在抛物线上对具体问题的分析、 理解，得出解决问题的方法和途径。难度中等。 （2012 呼和浩特，19，6 分） (6 分)如图，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 （x>0）的 图象交于 A(m,6)、B(n,3)两点。 （1）求一次函数的解析式 ； （2）根据图象直接写出 kx+b– >0 时 x 的取值范围. 【解析】利用反比例函数求点的坐标，然后再利用坐标求一次函数解析式。 【答案】解：（1）∵点 A（m,6）、B（n,3）在函数 的图象上 ∴m=1，n=2 x y B A O 1 2 2 k b k b = + − = − + 1 1 k b =  = − 1y x= − ky x = (2 , 1)A 1 2 k= 2k = 2y x = 1y x= − x (1,0) AOC1 11 12 2AOCS = × × =  6y x = 6 x 6y x = ∴A(1,6)、B(2,3) ∴ ∴ ∴一次函数的解析式为 y= –3x+9 (2)由图象知：1= xx my a （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出 ≥ 时 的取值范围． 【解析】（1）先把 A（1，6）代入反比例函数的解析式求出 m 值，可得反比例函数的解析 式，再把 B（a，2）代入反比例函数的解析式求出 a 的值，后把点 A（1，6），B（3，2）代 入函数 y1＝kx＋b 求出 k、b 的值，进而得出一次函数的解析式；（2）根据函数图象可知， 当 x 在 A、B 点的横坐标之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再由 A、B 两 点的横坐标即可求出 x 的取值范围． 【答案】（1）∵点 A（1，6），B（ ，2）在 的图象上， ∴ ， ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 ， ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 ∵点 A（1，6），B（3，2）在函数 的图象上， ∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 解这个方程组，得 ∴一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 （2）1≤ ≤3． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 【点评】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求不 等式组的解集是解答此题的关键． （2012 陕西 15，3 分）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数 的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是（只写出符合条件的一个即 可）． 【解析】设这个反比例函数的表达式是 ． 由 消元得 ． 因为这个反比例函数与一次函数的图象没有交点，所以方程 无解． y x A B O （第 19 题） 1y 2y x a x my =2 61 =m 6=m 2= a m 32 == ma bkxy +=1    =+ =+ .23 ,6 bk bk    = −= .8 ,2 b k 821 +−= xy xy 6 2 = x =-2 +6y x = ky x ( )0k ≠ = = 2 +6 ky x y x   ， － ， 22 -6 + =0x x k 22 -6 + =0x x k 得 ，解得 ． 【答案】 （只要 中的 满足 即可） 【点评】本题主要从数形结合角度考查两个函数图形有无交点取决于两个函数式联列起来 构成的方程组有无实数根.难度中等. （2012 年广西玉林市，25，10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，梯形 AOBC 的边 OB 在 x 轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点 A 的双曲线 的一支在第一象限交梯形对角线 OC 于点 D，交边 BC 于点 E.（1）填空：双曲线的另一支在第 象限，k 的取值范围是 ； （2）若点 C 的坐标为（2，2），当点 E 在什么位置时？阴影部分面积 S 最小？ （3）若 ， ，求双曲线的解析式. 分析：（1）根据反比例函数图象与性质得到：双曲线 的一支在第一象限，则 k＞0， 得到另一支在第三象限；（2）根据梯形的性质，AC∥x 轴，BC⊥x 轴，而点 C 的坐标为（2， 2），则 A 点的纵坐标为 2，E 点的横坐标为 2，B 点坐标为（2，0），再分别把 y=2 或 x=2 代 入 可得到 A 点的坐标为（ ，2），E 点的坐标为（2， ），然后计算 配方得 ，当 k=2 时，S 阴影部分最小值为 ，则 E 点的坐标为（2，1），即 E 点为 BC 的中点；（3）设 D 点坐标为（a， ），由 ，则 OD=DC，即 D 点为 OC 的中点，于是 C 点坐标为（2a， ），得到 A 点的纵坐标为 ，把 y= 代入 得 x= ，确定 A 点坐标为（ ， ），根据三角形面积公式由 得到 × =1，然后解方程即可求出 k 的值． 解：（1）三，k＞0； （2）∵梯形 AOBC 的边 OB 在 x 轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，而点 C 的坐标标为（2， 2）， ( )2= -6 -4 2 =36-8 <0k k∆ × 9> 2k 18=y x = ky x k 9> 2k x ky = 2 1= OC OD 2=∆OACS x ky = x ky = 2 k 2 k ( ) 2 328 1 2 +−k 2 3 a k 2 1= OC OD a k2 a k2 a k2 x ky = 2 a 2 a a k2 2=∆OACS      −× 222 1 aa a k2 ∴A 点的纵坐标为 2，E 点的横坐标为 2，B 点坐标为（2，0），把 y=2 代入 得 x= ； 把 x=2 代入 得 y= ，∴A 点的坐标为（ ，2），E 点的坐标为（2， ）， ∴ = ， 当 k-2=0，即 k=2 时，S 阴影部分最小，最小值为 ； ∴E 点的坐标为（2，1），即 E 点为 BC 的中点，∴当点 E 在 BC 的中点时，阴影部分的面积 S 最小； （3）设 D 点坐标为（a， ），∵ ，∴OD=DC，即 D 点为 OC 的中点，∴C 点坐标为 （ 2a ， ），把 y= 代 入 得 x= ， 确 定 A 点 坐 标 为 （ ， ），∵ ，∴ × =1，解得 k= . 点评：本题考查了反比例函数综合题：当 k＞0 时，反比例函数 （k≠0）的图象分布 在第一、三象限；点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；运用梯形的 性质得到平行线段，从而找到点的坐标特点． (2012 广东汕头，19，7 分)如图，直线 y=2x﹣6 与反比例函数 y= 的图象交于点 A （4，2），与 x 轴交于点 B． （1）求 k 的值及点 B 的坐标； （2）在 x 轴上是否存在点 C，使得 AC=AB？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说 明理由． 分析： （1）先把（4，2）代入反比例函数解析式，易求 k，再把 y=0 代入一次函数解析式 可求 B 点坐标； （2）假设存在，然后设 C 点坐标是（a，0），然后利用两点之间的公式可得 = ，借此无理方程，易得 a=3 或 a=5，其中 a=3 和 B 点重合，舍去，故 C 点坐标可求． 解答： 解：（1）把（4，2）代入反比例函数 y= ，得 k=8， x ky = 2 k x ky = 2 k 2 k 2 k 222 1 22222 1 kkkS ××+     −×     −×=阴影 22 1 8 1 2 +−= kk ( ) 2 328 1 2 +−k 2 3 a k 2 1= OC OD a k2 a k2 x ky = 2 a 2 a a k2 2=∆OACS      −× 222 1 aa a k2 3 2 x ky = 把 y=0 代入 y=2x﹣6 中，可得 x=3， 故 k=8；B 点坐标是（3，0）； （2）假设存在，设 C 点坐标是（a，0），则 ∵AB=AC， ∴ = ， 即（4﹣a）2+4=5， 解得 a=5 或 a=3（此点与 B 重合，舍去） 故点 C 的坐标是（5，0）． 点评： 本题考查了反比函数的知识，解题的关键是理解点与函数的关系，并能灵活使用两 点之间的距离公式．