南充时2015年中考数学卷 15页

四川省南充市 2015 年中考数学试卷 （满分 120 分，考试时间 120 分钟） 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 每小题都有代号为 A、B、C、D 四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项 代号在答题卡对应位置填涂．填涂正确记 3 分，不涂、错涂或多涂记 0 分． 1.计算 3＋（－3）的结果是（ ） （A）6 （B）－6 （C）1 （D）0 【答案】D 考点：有理数的计算. 2.下列运算正确的是（ ） （A）3x－2x＝x （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】 试题分析：同底数幂的相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减.A、 正确；B、原式=6 ；C、原式=4 ；D、原式=3. 考点：单项式的乘除法计算. 3.如图是某工厂要设计生产的正六棱柱形密封罐的立体图形，它的主视图是（ ） 【答案】A 【解析】 试题分析：根据三视图的法则可得：正六棱柱的主视图为 3 个矩形，旁边的两个矩形的宽比 中间的矩形的宽要小. 考点：三视图. 4.学校机房今年和去年共购置了 100 台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机 数量的 3 倍，则今年购置计算机的数量是（ ） （A）25 台 （B）50 台 （C）75 台 （D）100 台 【答案】C 考点：一元一次方程的应用. 5.如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东方向 55°，距离灯塔为 2 海里的点 A 处．如果海轮沿 正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离 AB 长是（ ） （A）2 海里 （B） 海里 （C） 海里 （D） 海里 【答案】C 【解析】 试题分析：根据题意可得∠PAB=55°，则 cos∠PAB= ，即 cos55°= ，则 AB=2·cos55°. 考点：三角函数的应用. 6.若 m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ） （A）m＋2＞n＋2 （B）2m＞2n （C） （D） 【答案】D 考点：不等式的应用. 7.如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影．转动指针，指针 落在有阴影的区域内的概率为 a；如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为 b．关于 a，b 大小 的正确判断是（ ） （A）a＞b （B）a=b （C）a＜b （D）不能判断 【答案】B 【解析】 试题分析：根据正六边形的性质可得图中六个三角形的面积相等，则指针落在阴影部分的概 率为 ，即 a= ；投掷一枚硬币，正面向上的概率为 ，即 b= ，则 a=b. 考点：正六边形的性质、概率的计算. 8.如图，PA 和 PB 是⊙O 的切线，点 A 和 B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P＝40°，则 ∠ACB 的大小是（ ） （A）60° （B）65° （C）70° （D）75° 【答案】C 考点：切线的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质. 9.如图，菱形 ABCD 的周长为 8cm，高 AE 长为 cm，则对角线 AC 长和 BD 长之比为（ ） （A）1:2 （B）1:3 （C）1: （D）1: 【答案】D 【解析】 试题分析：设 AC 与 BD 的交点为 O，根据周长可得 AB=BC=2，根据 AE= 可得 BE=1， 则△ABC 为等边三角形，则 AC=2，BO= ，即 BD=2 ，即 AC:BD=1： . 考点：菱形的性质、直角三角形. 10.关于 x 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于 y 的一元二次 方程 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的 根都是负根；② ；③ ．其中正确结论的个数是（ ） （A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个 【答案】D 考点：一元二次方程根与系数的关系. 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）请将答案直接填写在对应横线上． 11.计算 的结果是＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】 试题分析：首先根据二次根式和三角函数求出各式的值，然后进行计算.原式=2 － 2× = . 考点：实数的计算. 12.不等式 的解集是＿＿＿＿＿＿． 【答案】x＞3 考点：解不等式. 13.如图，点 D 在△ABC 边 BC 的延长线上，CE 平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE 的大小是＿＿＿＿＿度． 【答案】60 考点：角平分线的性质、三角形外角的性质. 14.从分别标有数－3，－2，－1，0，1，2，3 的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数 的绝对值小于 2 的概率是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】 试题分析：绝对值小于 2 的数为：－1，0 和 1 三个，则 P(绝对值小于 2)= . 考点：概率的计算. 15.已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解互为相反数，则 k 的值是＿＿＿＿． 【答案】－1 考点：二元一次方程. 16.如图，正方形 ABCD 边长为 1，以 AB 为直径作半圆，点 P 是 CD 中点，BP 与半圆交于 点 Q，连结 DQ．给出如下结论：①DQ＝1；② ；③S△PDQ＝ ；④cos∠ADQ= ．其 中正确结论是＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 试题分析：根据切线的性质可得 DQ=AD=1，过点 Q 作 QE⊥BC，则△BQE∽△BPC，则 ，则 ，过点 Q 作 QF⊥AD，则 DF= ，则 cos∠ADQ= = .则 ①②④正确. 考点：圆的基本性质. 三、解答题（本大题共 9 个小题，共 72 分） 17.（6 分） 计算： ． 【答案】－2a－6 考点：分式的化简. 18.（6 分）某学校为了了解学生上学交通情况，选取九年级全体学生进行调查。根据调查结 果，画出扇形统计图（如图），图中“公交车”对应的扇形圆心角为 60°，“自行车”对应的扇 形圆心角为 120°。已知九年级乘公交车上学的人数为 50 人． （1）九年级学生中，骑自行车和乘公交车上学哪个更多？多多少人？ （2）如果全校有学生 2 000 人，学校准备的 400 个自行车停车位是否足够？ 【答案】骑自行车的人数多，多 50 人；不够. (50÷ )× =100(人) 100－50=50(人) 九年级骑自行车比乘公交车上学人数多 50 人. (2)、2000× ≈667(人) 即学校准备的 400 个自行车停车位可能不够. 考点：扇形统计图. 19.（8 分）如图，△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE． 求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF＝2CD． 【答案】略. 【解析】 试题分析：根据 AD⊥BC，CE⊥AB，得出∠AEF=∠CEB=90°，即 ∠AFE+∠EAF=∠CFD+∠ECB=90°，结合∠AEF=∠CFD 得出∠EAF=∠ECB，从而得到 △AEF≌△CEB；根据全等得到 AF=BC，根据△ABC 为等腰三角形则可得 BC=2CD，从而 得出 AF=2CD. 试题解析：(1)、∵AD⊥BC，CE⊥AB ∴∠AEF=∠CEB=90° 即 ∠AFE+∠EAF=∠CFD+∠ECB=90° 又∵∠AEF=∠CFD ∴∠EAF=∠ECB 在△AEF 和△CEB 中，∠AEF=∠CEB，AE=CE，∠EAF=∠ECB ∴△AEF≌△CEB (2)、由△AEF≌△CEB 得：AF=BC 在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC ∴CD=BD， BC=2CD ∴AF=2CD. 考点：三角形全等、等腰三角形的性质. 20.（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 ，p 为实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）p 为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由） 【答案】略；P=0、2、－2. 【解析】 考点：一元二次方程根的判别式. 21.（8 分）反比例函数 与一次函数 交于点 A（1，2k－1）． （1）求反比例函数的解析式； （2）若一次函数与 x 轴交于点 B，且△AOB 的面积为 3，求一次函数的解析式． 【答案】y= ；y=－ 或 y= . 【解析】 试题分析：首先根据反函数经过点 A 列出一元一次方程求出 k 的值；根据点 A 的坐标和三 角形的面积得出点 B 的坐标，然后利用待定系数法分别求出一次函数解析式. ①、当一次函数过 A(1,1)和 B(6,0)时，得： 解得： ∴一次函数的解析式为 y=－ ②、当一次函数过 A(1,1)和 B(－6,0)时，得： 解得： ∴一次函数的解析式为 y= 综上所述，符合条件的一次函数解析式为 y=－ 或 y= . 考点：一次函数与反比例函数. 22.（8 分）如图，矩形纸片 ABCD，将△AMP 和△BPQ 分别沿 PM 和 PQ 折叠（AP＞AM）， 点 A 和点 B 都与点 E 重合；再将△CQD 沿 DQ 折叠，点 C 落在线段 EQ 上点 F 处． （1）判断△AMP，△BPQ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？（不需说明理由） （2）如果 AM＝1，sin∠DMF＝ ，求 AB 的长． 【答案】△AMP∽△BPQ∽△CQD；AB=6. 试题解析：(1)、有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD (2)、设 AP=x，有折叠关系可得：BP=AP=EP=x AB=DC=2x AM=1 由△AMP∽△BPQ 得： 即 由△AMP∽△CQD 得： 即 CQ=2 AD=BC=BQ+CQ= +2 MD=AD－AM= +2－1= +1 又∵在 Rt△FDM 中，sin∠DMF= DF=DC=2x ∴ 解得：x=3 或 x= (不 合题意，舍去) ∴AB=2x=6. 考点：相似三角形的应用、三角函数、折叠图形的性质. 23.（8 分） 某工厂在生产过程中每消耗 1 万度电可以产生产值 5.5 万元．电力公司规定，该工厂每月用 电量不得超过 16 万度；月用电量不超过 4 万度时，单价都是 1 万元/万度；超过 4 万度时， 超过部分电量单价将按用电量进行调整，电价 y 与月用电量 x 的函数关系可以用如图来表 示．（效益＝产值－用电量×电价）； （1）设工厂的月效益为 z（万元），写出 z 与月用电量 x（万度）之间的函数关系式，并写 出自变量的取值范围； （2）求工厂最大月效益． 【答案】z= ；54 万元. 试题解析：(1)、根据题意，电价 y 与用电量 x 的函数关系式是分段函数. 当 0≤x≤4 时，y=1 当 4＜x≤16 时，函数是过点(4，1)和(8,1.5)的一次函数 设一次函数为 y=kx+b ∴ 解得： ∴电价 y 与用电量 x 的函数关系为：y= 月效益 z 与用电量 x 之间的函数关系式为：z= 即 z= 考点：分段函数的应用. 24.（10 分）如图，点 P 是正方形 ABCD 内一点，点 P 到点 A，B 和 D 的距离分别为 1， ， ．△ADP 沿点 A 旋转至△ABP’，连结 PP’，并延长 AP 与 BC 相交于点 Q． （1）求证：△APP’是等腰直角三角形； （2）求∠BPQ 的大小； （3）求 CQ 的长． 【答案】略；45°； 【解析】 试题分析：根据旋转得到 AP=AP′ ∠BAP′=∠DAP，从而得出∠PAP′=90°，得到等腰直角三 角形；根据 Rt△APP′得出 PP′的大小，然后结合 BP′和 BP 的长度得到 ， 从而得出△BPP′是直角三角形，然后计算∠BPQ 的大小；过点 B 作 BM⊥AQ 于 M，根据 ∠BPQ=45°得到△PMB 为等腰直角三角形，根据已知得出 BM 和 AM 的长度，根据 Rt△ABM 的勾股定理求出 AB，根据△ABM∽△AQB 得出 AQ 的长度，最后根据 Rt△ABO 的勾股定理 得出 BQ 的长度，根据 QC=BC－BQ 得出答案. 试题解析：(1)、证明：由旋转可得：AP=AP′ ∠BAP′=∠DAP ∴∠PAP′=∠PAB+∠BAP′=∠PAB+∠DAP=∠BAD=90° ∴△APP′是等腰直角三角形 (3)、过点 B 作 BM⊥AQ 于 M ∵∠BPQ=45° ∴△PMB 为等腰直角三角形 由已知，BP=2 ∴BM=PM=2 ∴AM=AP+PM=3 在 Rt△ABM 中，AB= ∵△ABM∽△AQB ∴ ∴AQ= 在 Rt△ABO 中，BQ= ∴QC=BC－BQ= － = 考点：旋转图形的性质、勾股定理、三角形相似. 25.（10 分）已知抛物线 与 x 轴交于点 A（m－2，0）和 B（2m＋1，0）（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴相交于点 C，顶点为 P，对称轴为 l：x＝1． （1）求抛物线解析式． （2）直线 y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点 M（x1，y1），N(x2，y2)（x1＜x2），当 最小时，求抛物线与直线的交点 M 和 N 的坐标． （3）首尾顺次连接点 O，B，P，C 构成多边形的周长为 L．若线段 OB 在 x 轴上移动，求 L 最小值时点 O，B 移动后的坐标及 L 的最小值． 【答案】y=－ +2x+3；当 最小时，抛物线与直线的交点为 M(－1,0)，N(1,4)；当 线段 OB 向左平移 ，即点 O 平移到 O′(－ ，0)，点 B 平移到 B′( ，0)时，周长 L 最短 为： + +3. 【解析】 试题分析：根据对称轴求出 b 的值，然后根据交点得出方程的解，然后利用一元二次方程的 韦达定理求出 m 和 c 的值，从而得到抛物线解析式；根据函数的交点得出 + 和 · 的 值，然后利用完全平方公式求出最小值，得出交点的坐标；根据线段 OB 平移过程中，OB、 PC 的长度不变，得到要使 L 最小，只需 BP+CO 最短，平移线段 OC 到 BC′得到四边形 OBC′C 是矩形，做点 P 关于 x 轴对称点 P′(1，－4)，连接 C′P′与 x 轴交于点 B′，设 C′P′解析式为 y=ax+n， 利用待定系数法求出函数解析式，然后求出当 y=0 时，x 的值，从而得出平移后点 B′的坐标， 故点 B 向左平移 ，同时点 O 向左平移 ，平移到 O′(－ ，0)即线段 OB 向左平移 时， 周长 L 最短.此时线段 BP、CO 之和最短为 P′C′= ，O′B′=OB=3 CP= (2)、由 ∴ +(k－2)x－1=0 + =－(k－2) · =－1 ∴ ∴当 k=2 时， 的最小值为 4 即 的最小值为 2 ∴ －1=0 =1， =－1，即 =4， =0 ∴当 最小时，抛物线与直线的交点为 M(－1,0)，N(1,4). (3)、O(0,0)，B(3,0)，P(1,4)，C(0,3) O、B、P、C 构成多边形的周长 L=OB+BP+PC+CO ∵线段 OB 平移过程中，OB、PC 的长度不变 ∴要使 L 最小，只需 BP+CO 最短 如图，平移线段 OC 到 BC′ 四边形 OBC′C 是矩形 ∴C′(3,3) 做点 P 关于 x 轴对称点 P′(1，－4)，连接 C′P′与 x 轴交于点 B′，设 C′P′解析式为 y=ax+n ∴ 解得： ∴y= 当 y=0 时，x= ∴B′( ，0) 有 3－ = 故点 B 向左平移 ，平移到 B′ 同时点 O 向左平移 ，平移到 O′(－ ，0) 即线段 OB 向左平移 时，周长 L 最短. 此时线段 BP、CO 之和最短为 P′C′= ，O′B′=OB=3 CP= ∴当线段 OB 向左平移 ，即点 O 平移到 O′(－ ，0)，点 B 平移到 B′( ，0)时，周长 L 最短为： + +3. 考点：图形的平移、一元二次方程的韦达定理、二次函数与方程.