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  • 2021-05-10 发布

中考专题复习——相似三角形

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中考专题复习——相似三角形 一.选择题 ‎1. (2008年山东省潍坊市)如图,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,设BP=x,则PD+PE=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎2。(2008年乐山市)如图(2),小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落点恰好在 离网‎6米的位置上,则球拍击球的高度h为( )‎ A、 B、 ‎1 ‎ C、 D、‎ ‎6米 ‎0.8米 ‎4米 h米 ‎ ‎ ‎3.(2008湖南常德市)如图3,已知等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线,则下面四个结论:                ‎ ‎(1)DE=1,(2)AB边上的高为,(3)△CDE∽△CAB,(4)△CDE的面积与△CAB面积之比为1:4.其中正确的有 ( )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A B C D E 图3‎ ‎4.(2008山东济宁)如图,丁轩同学在晚上由路灯走向路灯,当他走到点时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯的底部,当他向前再步行‎20m到达点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部,已知丁轩同学的身高是‎1.5m,两个路灯的高度都是‎9m,则两路灯之间的距离是( )D A.‎24m B.‎25m C.‎28m D.‎‎30m ‎5.(2008 江西南昌)下列四个三角形,与左图中的三角形相似的是( )B A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎6.(2008 重庆)若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为2︰3,则S△ABC︰S△DEF为( ) ‎ A、2∶3 B、4∶‎9 C、∶ D、3∶2‎ ‎7.(2008 湖南 长沙)在同一时刻,身高‎1.6米的小强在阳光下的影长为‎0.8米,一棵大树的影长为‎4.8米,则树的高度为( ) C A、‎4.8米 B、‎6.4米 C、‎9.6米 D、‎‎10米 ‎8.(2008江苏南京)小刚身高‎1.7m,测得他站立在阳关下的影子长为‎0.85m。紧接着他把手臂竖直举起,测得影子长为‎1.1m,那么小刚举起手臂超出头顶 ( ) A ‎ A.‎0.5‎m B.‎‎0.55m C.‎0.6m D.‎‎2.2m ‎9.(2008湖北黄石)如图,每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中相似的是( )B A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ A B C ‎10.(2008浙江金华)如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=‎1.2米,BP=‎1.8米,PD=‎12米, 那么该古城墙的高度是( )B A、‎6米 B、‎8米 C、‎18米 D、‎‎24米 ‎11、(2008湖北襄樊)如图1,已知AD与VC相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,‎ ‎∠D=30°,则∠AOC的大小为( )B A.60° B.70° C.80° D.120°‎ ‎12.(2008湘潭市) 如图,已知D、E分别是的AB、 AC边上的点,且 那么等于( ) B ‎ ‎ A.1 : 9 B.1 : ‎3 ‎ C.1 : 8 D.1 : 2‎ B A C D E ‎13.(2008 台湾)如图G是rABC的重心,直线L过A点与BC平行。若直线CG分别与AB、A L交于D、E两点,直线BG与AC交于F点,则rAED的面积:四边形ADGF的面积=?( ) D ‎ (A) 1:2 (B) 2:1 (C) 2:3 (D) 3:2‎ A B G C D E F L ‎14.(2008 台湾) 图为rABC与rDEC重迭的情形,其中E在BC上,AC交DE于F点, 且AB // DE。若rABC与rDEC的面积相等,且EF=9,AB=12,则DF=?( ) B A B C D E F ‎ ‎ ‎ (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 。‎ ‎15.(2008贵州贵阳)6.如果两个相似三角形的相似比是,那么它们的面积比是( ) B. C. D.‎ 第4题 ‎ ‎ A ‎ ‎ B ‎ ‎ C ‎ ‎ D ‎ ‎ E ‎ ‎ A ‎16.(2008湖南株洲)如图,在中,、分别是、边的中点,若,则等于( )‎ ‎ ‎ ‎ A.5 B.4 ‎ ‎ C.3 D.2‎ 二、填空题 ‎1.(2008年江苏省南通市)已知∠A=40°,则∠A的余角等于=________度. ‎ A B C E D ‎2.(08浙江温州)如图,点在射线上,点在射线上,且,.若,‎ 的面积分别为1,4,则图中三个阴影三角形面积之和为 . ‎ O A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A B B1‎ B2‎ B3‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎3.(2008福建省泉州市)两个相似三角形对应边的比为6,则它们周长的比为________。‎ A E C D B 图4‎ ‎4.(2008年浙江省衢州市)如图,点D、E分别在△ABC的边上AB、AC上,且,若DE=3,BC=6,AB=8,则AE的长为_________‎ ‎5.(2008年辽宁省十二市)如图4,分别是的边上的点,,,则 . ‎ ‎6.(2008年天津市)如图,已知△ABC中,EF∥GH∥IJ∥BC,则图中相似三角形共有 对.‎ A G E H F J I B C ‎7.(2008新疆乌鲁木齐市)我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度,阳阳的身高是‎1.6m,他在阳光下的影长是‎1.2m,在同一时刻测得某棵树的影长为‎3.6m,则这棵树的高度约为 m.‎ ‎8.(2008江苏盐城)如图,两点分别在的边上,与不平行,当满足 条件(写出一个即可)时,.‎ 第1题图 ‎9.(2008泰州市)在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为‎5cm,则AB两地间的实际距离为 m.‎ ‎10.(2008年杭州市).在Rt△ABC中,∠C为直角,CD⊥AB于点D,BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和 ;并写出它的面积比 . ‎ 三、简答题 ‎1.第1题图 (2008年陕西省)阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.‎ ‎(1)所需的测量工具是: ;‎ ‎(2)请在下图中画出测量示意图;‎ ‎(3)设树高的长度为,请用所测数据(用小写字母表示)求出.‎ ‎2.(2008年江苏省南通市)如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于点E.‎ ‎(1)求证:AB·AF=CB·CD ‎(2)已知AB=‎15cm,BC=‎9cm,P是射线DE上的动点.设DP=xcm(x>0),四边形BCDP的面积为ycm2.‎ ‎①求y关于x的函数关系式;‎ ‎②当x为何值时,△PBC的周长最小,并求出此时y的值. ‎ ‎3.(2008 湖南 怀化)如图10,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.‎ 求证:(1);‎ ‎(2)‎ A B C D E F G 图 (1)‎ ‎4.(2008 湖南 益阳)△ABC是一块等边三角形的废铁片,利用其剪裁一个正方形DEFG,使正方形的一条边DE落在BC上,顶点F、G分别落在AC、AB上.‎ ‎ Ⅰ.证明:△BDG≌△CEF;‎ Ⅱ. 探究:怎样在铁片上准确地画出正方形.‎ 小聪和小明各给出了一种想法,请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解,只以Ⅱa的解答记分.‎ Ⅱa. 小聪想:要画出正方形DEFG,只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长,从而确定D点和E点,再画正方形DEFG就容易了. ‎ 设△ABC的边长为2 ,请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示,不要求分母有理化) .‎ A B C D E F G 图 (2)‎ Ⅱb. 小明想:不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是:‎ ‎ ①在AB边上任取一点G’,如图作正方形G’D’E’F’;‎ ‎②连结BF’并延长交AC于F;‎ ‎③作FE∥F’E’交BC于E,FG∥F′G′交AB于G,GD∥G’D’交BC于D,则四边形DEFG即为所求.‎ A B C D E F G 图 (3)‎ G′‎ F′‎ E′‎ D′‎ 你认为小明的作法正确吗?说明理由.‎ ‎5.(2008 湖北 恩施) 如图11,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为2,若∆ABC固定不动,∆AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m,CD=n.‎ ‎(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明.‎ ‎(2)求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围.‎ ‎ (3)以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D,使BD=CE,求出D点的坐标,并通过计算验证BD+CE=DE.‎ ‎ (4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BD+CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.‎ ‎ ‎G F E D C B A G y x O F E D C B A ‎6. (08浙江温州)如图,在中,,,,分别是边的中点,点从点出发沿方向运动,过点作于,过点作交于,当点与点重合时,点停止运动.设,.‎ ‎(1)求点到的距离的长;‎ ‎(2)求关于的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);‎ ‎(3)是否存在点,使为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的的值;若不存在,请说明理由.‎ A B C D E R P H Q ‎7.(08山东省日照市)在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x. ‎ ‎(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S; ‎ ‎(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切? ‎ ‎(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?‎ A B C M N P 图 1‎ O ‎8.(2008湖北咸宁)如图,在8×8的网格中,每个小正方形的顶点叫做格点,△OAB的顶点都在格点上,请在网格中画出△OAB的一个位似图形,使两个图形以O为位似中心,且所画图形与△OAB的位似比为2︰1.(答案如右图)‎ A ‎(第8题图)‎ B O A B C D E P O R ‎9.(2008安徽)如图,四边形和四边形都是平行四边形,点为的中点,分别交于点.‎ ‎(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外);‎ ‎(2)求.‎ ‎10. (2008年杭州市)如图:在等腰△‎ ABC中,CH是底边上的高线,点P是线段CH上不与端点重合的任意一点,连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F.‎ (1) 证明:∠CAE=∠CBF;‎ (2) 证明:AE=BF;‎ F C A B P E H (3) 以线段AE,BF和AB为边构成一个新的三角形ABG(点E与点F重合于点G),记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG,如果存在点P,能使得S△ABC=S△ABG,求∠C的取之范围。‎ ‎11.(2008佛山)如图,在直角△ABC内,以A为一个顶点作正方形ADEF,使得点E落在BC边上.‎ ‎(1) 用尺规作图,作出D、E、F中的任意一点 (保留作图痕迹,不写作法和证明. 另外两点不需要用尺规作图确定,作草图即可);‎ ‎(2) 若AB = 6,AC = 2,求正方形ADEF的边长.‎ A B C ‎12.(2008广东)如图5,在△ABC中,BC>AC, 点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于F,点E是AB的中点,连结EF.‎ ‎(1)求证:EF∥BC.‎ ‎(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.‎ ‎13.(2008山西太原)如图,在中,。‎ ‎(1)在图中作出的内角平分线AD。(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写证明)‎ ‎(2)在已作出的图形中,写出一对相似三角形,并说明理由。‎ ‎14.(2008湖北武汉)如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC。‎ 求证:△ABC∽△FDE.‎ 证明:略 F E D C B A ‎15.(2008湖南常德市)如图7,在梯形ABCD中,若AB//DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.‎ ‎ (1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少(注意:全等看成相似的特例)?‎ ‎ (2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.‎ A B C D ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ 图7‎ O ‎16. (2008年山东省临沂市)如图,□ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,。‎ ‎⑴求证:△ABF∽△CEB;‎ ‎⑵若△DEF的面积为2,求□ABCD的面积。‎ ‎17.(2008年山东省潍坊市)如图,AC是圆O的直径,AC=10厘米,PA,PB是圆O的切线,A,B为切点,过A作AD⊥BP,交BP于D点,连结AB、BC.‎ (1) 求证△ABC∽△ADB; ‎ (2) 若切线AP的长为12厘米,求弦AB的长.‎ A P D B C O 相似三角形答案 一.选择题 ‎2.C 3.D 4.D 5.B 6.B 7.C 8.A 9. B 10.B 11.B 12.B 13.D 14.B 15.B 16.C 二.填空题 ‎1. 50;‎2. 10.5‎;3. 6;4. 4;5. ;6. 6;7. 4.8;8. ∠ADE=∠ACB(或∠AED=∠ABC或)9. 100;10.‎ 三.解答题 ‎1. C D E F B A 解:(1)皮尺、标杆.‎ ‎(2)测量示意图如右图所示.‎ ‎(3)如图,测得标杆,树和标杆的影长分别为,.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎2. (1)证明:∵AD=CD,DE⊥AC,∴DE垂直平分AC ‎∴AF=CF,∠DFA=DFC=90°,∠DAF=∠DCF.‎ ‎∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°,∴∠DCF=∠DAF=∠B 在Rt△DCF和Rt△ABC中,∠DFC=∠ACB=90°,∠DCF=∠B ‎∴△DCF∽△ABC ‎∴,即.∴AB·AF=CB·CD ‎(2)解:①∵AB=15,BC=9,∠ACB=90°,‎ ‎∴AC===12,∴CF=AF=6‎ ‎∴×6=3x+27(x>0)‎ ‎②∵BC=9(定值),∴△PBC的周长最小,就是PB+PC最小.由(1)可知,点C关于直线DE的对称点是点A,∴PB+PC=PB+PA,故只要求PB+PA最小.‎ 显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小.此时DP=DE,PB+PA=AB.‎ 由(1),∠ADF=∠FAE,∠DFA=∠ACB=90°,地△DAF∽△ABC.‎ EF∥BC,得AE=BE=AB=,EF=.‎ ‎∴AF∶BC=AD∶AB,即6∶9=AD∶15.∴AD=10.‎ Rt△ADF中,AD=10,AF=6,∴DF=8.‎ ‎∴DE=DF+FE=8+=.‎ ‎∴当x=时,△PBC的周长最小,此时y=‎ ‎3. 证明:(1)四边形和四边形都是正方形 ‎ ‎(2)由(1)得 ‎ ‎ ‎ ‎∴AMN∽CDN ‎4. Ⅰ.证明:∵DEFG为正方形,‎ ‎∴GD=FE,∠GDB=∠FEC=90°‎ ‎ ∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°‎ ‎ ∴△BDG≌△CEF(AAS) ‎ ‎ Ⅱa.解法一:设正方形的边长为x,作△ABC的高AH,‎ 求得 A B C D E F G 解图 (2)‎ H ‎           由△AGF∽△ABC得:‎ 解之得:(或) ‎ ‎       ‎ 解法二:设正方形的边长为x,则 ‎         在Rt△BDG中,tan∠B=,‎ ‎∴‎ 解之得:(或) ‎ 解法三:设正方形的边长为x,‎ 则 ‎ 由勾股定理得:‎ ‎ 解之得:‎ Ⅱb.解: 正确 ‎ 由已知可知,四边形GDEF为矩形 A B C D E F G 解图 (3)‎ G’‎ F’‎ E’‎ D’‎ ‎ ∵FE∥F’E’ , ‎ ‎∴,‎ 同理,‎ ‎∴‎ ‎ 又∵F’E’=F’G’, ‎ ‎∴FE=FG 因此,矩形GDEF为正方形 ‎5. 解:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA ‎ ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°‎ ‎ ∴∠BAE=∠CDA ‎ 又∠B=∠C=45°‎ ‎ ∴∆ABE∽∆DCA ‎ (2)∵∆ABE∽∆DCA ‎ ∴‎ ‎ 由依题意可知CA=BA=‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴m=‎ ‎ 自变量n的取值范围为1