中考专题复习——相似三角形 20页

中考专题复习——相似三角形 一.选择题 ‎1. （2008年山东省潍坊市）如图,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,设BP=x,则PD+PE=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎2。(2008年乐山市)如图（2），小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在 离网‎6米的位置上，则球拍击球的高度h为（ ）‎ A、 B、 ‎1 ‎ C、 D、‎ ‎6米 ‎0.8米 ‎4米 h米 ‎ ‎ ‎3．（2008湖南常德市）如图3，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎（1）DE=1，（2）AB边上的高为，（3）△CDE∽△CAB，（4）△CDE的面积与△CAB面积之比为1：4.其中正确的有 （ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A B C D E 图3‎ ‎4.(2008山东济宁)如图，丁轩同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到点时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前再步行‎20m到达点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，已知丁轩同学的身高是‎1.5m，两个路灯的高度都是‎9m，则两路灯之间的距离是（ ）D A．‎24m B．‎25m C．‎28m D．‎‎30m ‎5.（2008 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）B A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎6.(2008 重庆)若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2︰3，则S△ABC︰S△DEF为（ ） ‎ A、2∶3 B、4∶‎9 C、∶ D、3∶2‎ ‎7.(2008 湖南 长沙)在同一时刻，身高‎1.6米的小强在阳光下的影长为‎0.8米，一棵大树的影长为‎4.8米，则树的高度为（ ） C A、‎4.8米 B、‎6.4米 C、‎9.6米 D、‎‎10米 ‎8．（2008江苏南京）小刚身高‎1.7m，测得他站立在阳关下的影子长为‎0.85m。紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为‎1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶 （ ） A ‎ A.‎0.5‎m B.‎‎0.55m C.‎0.6m D.‎‎2.2m ‎9．（2008湖北黄石）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（ ）B A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ A B C ‎10．（2008浙江金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=‎1.2米，BP=‎1.8米，PD=‎12米， 那么该古城墙的高度是（ ）B A、‎6米 B、‎8米 C、‎18米 D、‎‎24米 ‎11、（2008湖北襄樊）如图1,已知AD与VC相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,‎ ‎∠D=30°,则∠AOC的大小为（ ）B A.60° B.70° C.80° D.120°‎ ‎12.（2008湘潭市） 如图，已知D、E分别是的AB、 AC边上的点，且 那么等于（ ） B ‎ ‎ A．1 : 9 B．1 : ‎3 ‎ C．1 : 8 D．1 : 2‎ B A C D E ‎13.(2008 台湾)如图G是rABC的重心，直线L过A点与BC平行。若直线CG分别与AB、A L交于D、E两点，直线BG与AC交于F点，则rAED的面积：四边形ADGF的面积=？( ) D ‎ (A) 1：2 (B) 2：1 (C) 2：3 (D) 3：2‎ A B G C D E F L ‎14.(2008 台湾) 图为rABC与rDEC重迭的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点， 且AB // DE。若rABC与rDEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=？( ) B A B C D E F ‎ ‎ ‎ (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 。‎ ‎15.（2008贵州贵阳)6．如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的面积比是（ ） B． C． D．‎ 第4题 ‎ ‎ A ‎ ‎ B ‎ ‎ C ‎ ‎ D ‎ ‎ E ‎ ‎ A ‎16.（2008湖南株洲）如图，在中，、分别是、边的中点，若，则等于（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A．5 B．4 ‎ ‎ C．3 D．2‎ 二、填空题 ‎1.（2008年江苏省南通市）已知∠A＝40°，则∠A的余角等于＝________度. ‎ A B C E D ‎2.（08浙江温州）如图，点在射线上，点在射线上，且，．若，‎ 的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ． ‎ O A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A B B1‎ B2‎ B3‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎3.（2008福建省泉州市）两个相似三角形对应边的比为6，则它们周长的比为________。‎ A E C D B 图4‎ ‎4.（2008年浙江省衢州市）如图，点D、E分别在△ABC的边上AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AB=8，则AE的长为_________‎ ‎5.(2008年辽宁省十二市)如图4，分别是的边上的点，，，则 ． ‎ ‎6.(2008年天津市)如图，已知△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，则图中相似三角形共有 对．‎ A G E H F J I B C ‎7.(2008新疆乌鲁木齐市)我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是‎1.6m，他在阳光下的影长是‎1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为‎3.6m，则这棵树的高度约为 m．‎ ‎8.（2008江苏盐城）如图，两点分别在的边上，与不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，．‎ 第1题图 ‎9．（2008泰州市）在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为‎5cm，则AB两地间的实际距离为 m．‎ ‎10.（2008年杭州市）.在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D,BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和 ；并写出它的面积比 . ‎ 三、简答题 ‎1．第1题图 （2008年陕西省）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．‎ ‎（1）所需的测量工具是： ；‎ ‎（2）请在下图中画出测量示意图；‎ ‎（3）设树高的长度为，请用所测数据（用小写字母表示）求出．‎ ‎2．（2008年江苏省南通市）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E.‎ ‎（1）求证：AB·AF＝CB·CD ‎（2）已知AB＝‎15cm，BC＝‎9cm，P是射线DE上的动点.设DP＝xcm（x＞0），四边形BCDP的面积为ycm2.‎ ‎①求y关于x的函数关系式；‎ ‎②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值. ‎ ‎3.(2008 湖南 怀化)如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．‎ 求证：（1）；‎ ‎（2）‎ A B C D E F G 图 (1)‎ ‎4.(2008 湖南 益阳)△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上.‎ ‎ Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF；‎ Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.‎ 小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分.‎ Ⅱa. 小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了. ‎ 设△ABC的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .‎ A B C D E F G 图 (2)‎ Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是：‎ ‎ ①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；‎ ‎②连结BF’并延长交AC于F；‎ ‎③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求.‎ A B C D E F G 图 (3)‎ G′‎ F′‎ E′‎ D′‎ 你认为小明的作法正确吗？说明理由.‎ ‎5.(2008 湖北 恩施) 如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.‎ ‎（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.‎ ‎（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.‎ ‎ （3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE.‎ ‎ （4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.‎ ‎ ‎G F E D C B A G y x O F E D C B A ‎6. （08浙江温州）如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动．设，．‎ ‎（1）求点到的距离的长；‎ ‎（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；‎ ‎（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．‎ A B C D E R P H Q ‎7.（08山东省日照市）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x． ‎ ‎（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； ‎ ‎（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？ ‎ ‎（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？‎ A B C M N P 图 1‎ O ‎8．（2008湖北咸宁）如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出△OAB的一个位似图形，使两个图形以O为位似中心，且所画图形与△OAB的位似比为2︰1．(答案如右图)‎ A ‎(第8题图)‎ B O A B C D E P O R ‎9．(2008安徽)如图，四边形和四边形都是平行四边形，点为的中点，分别交于点．‎ ‎（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；‎ ‎（2）求．‎ ‎10. （2008年杭州市）如图：在等腰△‎ ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F.‎ (1) 证明：∠CAE=∠CBF;‎ (2) 证明：AE=BF;‎ F C A B P E H (3) 以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG,如果存在点P,能使得S△ABC=S△ABG,求∠C的取之范围。‎ ‎11.（2008佛山）如图，在直角△ABC内，以A为一个顶点作正方形ADEF，使得点E落在BC边上.‎ ‎(1) 用尺规作图，作出D、E、F中的任意一点 (保留作图痕迹，不写作法和证明. 另外两点不需要用尺规作图确定，作草图即可)；‎ ‎(2) 若AB = 6，AC = 2，求正方形ADEF的边长.‎ A B C ‎12.（2008广东）如图5，在△ABC中，BC>AC， 点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.‎ ‎（1）求证：EF∥BC.‎ ‎（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.‎ ‎13.（2008山西太原）如图，在中，。‎ ‎（1）在图中作出的内角平分线AD。（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）‎ ‎（2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由。‎ ‎14.（2008湖北武汉）如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC。‎ 求证：△ABC∽△FDE．‎ 证明：略 F E D C B A ‎15．（2008湖南常德市）如图7，在梯形ABCD中，若AB//DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．‎ ‎ （1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少（注意：全等看成相似的特例）？‎ ‎ （2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．‎ A B C D ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ 图7‎ Ｏ ‎16. （2008年山东省临沂市）如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，。‎ ‎⑴求证：△ABF∽△CEB;‎ ‎⑵若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积。‎ ‎17.（2008年山东省潍坊市）如图，AC是圆O的直径，AC=10厘米，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，过A作AD⊥BP，交BP于D点，连结AB、BC.‎ （1） 求证△ABC∽△ADB; ‎ （2） 若切线AP的长为12厘米，求弦AB的长.‎ A P D B C O 相似三角形答案 一.选择题 ‎2.C 3.D 4.D 5.B 6.B 7.C 8.A 9. B 10.B 11.B 12.B 13.D 14.B 15.B 16.C 二.填空题 ‎1. 50；‎2. 10.5‎；3. 6；4. 4；5. ；6. 6；7. 4.8；8. ∠ADE=∠ACB（或∠AED=∠ABC或）9. 100；10.‎ 三.解答题 ‎1. C D E F B A 解：（1）皮尺、标杆．‎ ‎（2）测量示意图如右图所示．‎ ‎（3）如图，测得标杆，树和标杆的影长分别为，．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎2. （1）证明：∵AD＝CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC ‎∴AF＝CF，∠DFA＝DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF.‎ ‎∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B 在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B ‎∴△DCF∽△ABC ‎∴，即.∴AB·AF＝CB·CD ‎（2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，‎ ‎∴AC＝＝＝12，∴CF＝AF＝6‎ ‎∴×6＝3x＋27（x＞0）‎ ‎②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小.‎ 显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB.‎ 由（1），∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，地△DAF∽△ABC.‎ EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝.‎ ‎∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.‎ Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.‎ ‎∴DE＝DF＋FE＝8＋＝.‎ ‎∴当x＝时，△PBC的周长最小，此时y＝‎ ‎3. 证明：（1）四边形和四边形都是正方形 ‎ ‎（2）由（1）得 ‎ ‎ ‎ ‎∴AMN∽CDN ‎4. Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形，‎ ‎∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°‎ ‎ ∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°‎ ‎ ∴△BDG≌△CEF(AAS) ‎ ‎ Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，‎ 求得 A B C D E F G 解图 (2)‎ H ‎　　　　　　　　　　 由△AGF∽△ABC得：‎ 解之得：(或) ‎ ‎　　　　　　　‎ 解法二：设正方形的边长为x，则 ‎　　　　　　　　　在Rt△BDG中，tan∠B=，‎ ‎∴‎ 解之得：(或) ‎ 解法三：设正方形的边长为x，‎ 则 ‎ 由勾股定理得：‎ ‎ 解之得：‎ Ⅱb.解： 正确 ‎ 由已知可知，四边形GDEF为矩形 A B C D E F G 解图 (3)‎ G’‎ F’‎ E’‎ D’‎ ‎ ∵FE∥F’E’ ， ‎ ‎∴，‎ 同理，‎ ‎∴‎ ‎ 又∵F’E’=F’G’， ‎ ‎∴FE=FG 因此，矩形GDEF为正方形 ‎5. 解:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA ‎ ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°‎ ‎ ∴∠BAE=∠CDA ‎ 又∠B=∠C=45°‎ ‎ ∴∆ABE∽∆DCA ‎ (2)∵∆ABE∽∆DCA ‎ ∴‎ ‎ 由依题意可知CA=BA=‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴m=‎ ‎ 自变量n的取值范围为1