中考数学24题几何证明 9页

‎ 重庆中考数学第24题专题训练 ‎【典题1】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．‎ ‎（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；‎ ‎（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．‎ ‎（1）证明：∵HE=HG，‎ ‎∴∠HEG=∠HGE，‎ ‎∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，‎ ‎∴∠BEH=∠FGC，‎ ‎∵G是HC的中点，‎ ‎∴HG=GC，‎ ‎∴HE=GC，‎ ‎∵∠HBE=∠CFG=90°．‎ ‎∴△EBH≌△GFC； （2）解：过点H作HI⊥EG于I，‎ ‎∵G为CH的中点，‎ ‎∴HG=GC，‎ ‎∵EF⊥DC，‎ HI⊥EF，‎ ‎∴∠HIG=∠GFC=90°，‎ ‎∠FGC=∠HGI，‎ ‎∴△GIH≌△GFC，‎ ‎∵△EBH≌△EIH（AAS），‎ ‎∴FC=HI=BH=1，‎ ‎∴AD=4-1=3．‎ ‎【典题2】已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE．‎ ‎（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；‎ ‎（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．‎ 证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，‎ ‎∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，‎ ‎∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，‎ 在△DAC和△BAE中，‎ ‎ AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，‎ ‎∴△DAC≌△BAE（SAS），‎ ‎∴DC=BE； ‎ ‎（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，‎ 由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，‎ ‎∴∠DGF=∠FAE=90°，‎ 又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，‎ ‎∴∠ABC=60°，‎ 又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，‎ ‎∴∠DBG=∠ABC=60°，‎ 在△DGB和△ACB中，‎ ‎ ∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ，‎ ‎∴△DGB≌△ACB（AAS），‎ ‎∴DG=AC，‎ 又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，‎ ‎∴DG=AE，‎ 在△DGF和△EAF中，‎ ‎ ∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ，‎ ‎∴△DGF≌△EAF（AAS），‎ ‎∴DF=EF，即F为DE中点．‎ ‎【典题3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F ‎（1）求证：BF=AD+CF；‎ ‎（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．‎ ‎（1）证明： 如图（1），延长AD交FE的延长线于N ‎∵∠NDE=∠FCE=90°‎ ‎∠DEN=∠FEC DE=EC ‎∴△NDE≌△FCE ‎∴DN=CF ‎∵AB∥FN，AN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形 ‎∴BF=AD+DN=AD+FC （2）解：∵AB∥EF，‎ ‎∴∠ABN=∠EFC，即∠1+∠2=∠3，‎ 又∵∠2+∠BEF=∠3，‎ ‎∴∠1=∠BEF，∴BF=EF，‎ ‎∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，‎ ‎∴EF=BF，‎ 又∵ BC+AD=7+1‎ ‎∴ BF+CF+AD=8‎ 而由（1）知CF+AD=BF ‎∴ BF+BF=8‎ ‎∴2BF=8，‎ ‎∴BF=4，∴BF=EF=4‎ A B D E C F ‎【典题4】在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F，使DC=CF,连接BE、BF和EF.‎ ‎⑴求证：△ABE≌△CFB;‎ ‎⑵如果AD=6,tan∠EBC的值.‎ 解：（1）证明：连结CE，‎ 在△BAE与△FCB中，‎ ‎∵ BA=FC，∠A=∠BCF，， AE=BC，‎ ‎∴△BAE≌△FCB； （2）延长BC交EF于点G，作AH⊥BG于H，作AM⊥BG，‎ ‎∵△BAE≌△FCB，‎ ‎∴∠AEB=∠FBG，BE=BF，‎ ‎∴△BEF为等腰三角形，‎ 又∵AE∥BC，‎ ‎∴∠AEB=∠EBG，‎ ‎∴∠EBG=∠FBG，‎ ‎∴BG⊥EF，‎ ‎∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°，‎ ‎∴四边形AMGE为矩形，‎ ‎∴AM=EG，‎ 在Rt△ABM中，‎ AM=AB•sin60°=6× = ，‎ ‎∴EG=AM=，‎ BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，‎ ‎∴tan∠EBC=‎ ‎【典题5】已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD的面积． ‎ ‎（1）证明：连接BF ‎∵ABCD为矩形 ‎∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC ‎∴△ABE为直角三角形 ‎∵F是AE的中点 ‎∴AF=BF=BE ‎∴∠FAB=∠FBA ‎∴∠DAF=∠CBF ‎∵ AD=BC, ∠DAF=∠CBF ,AF=BF ,‎ ‎ ∴△DAF≌△CBF ‎∴∠ADF=∠BCF ‎∴∠FDC=∠FCD ‎∴∠FGH=∠FHG ‎∴FG=FH；‎ ‎（2）解：∵AC=CE∠E=60°‎ ‎∴△ACE为等边三角形 ‎∴CE=AE=8‎ ‎∵AB⊥BC ‎∴BC=BE==4‎ ‎∴根据勾股定理AB=‎ ‎∴梯形AECD的面积=×(AD+CE)×CD=×(4+8)×=‎ ‎【典题6】如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，过点D作DE∥‎ AB，交∠BCD的平分线于点E，连接BE．‎ ‎（1）求证：BC=CD；‎ ‎（2）将△BCE绕点C，顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG．求证：CD垂直平分EG；‎ ‎（3）延长BE交CD于点P．求证：P是CD的中点．‎ 证明：（1）延长DE交BC于F，‎ ‎∵AD∥BC，AB∥DF，‎ ‎∴AD=BF，∠ABC=∠DFC．‎ 在Rt△DCF中，‎ ‎∵tan∠DFC=tan∠ABC=2，‎ ‎∴ =2，‎ 即CD=2CF，‎ ‎∵CD=2AD=2BF，‎ ‎∴BF=CF，‎ ‎∴BC=BF+CF=CD+ CD=CD．‎ 即BC=CD． （2）∵CE平分∠BCD，‎ ‎∴∠BCE=∠DCE，‎ 由（1）知BC=CD，‎ ‎∵CE=CE，‎ ‎∴△BCE≌△DCE，‎ ‎∴BE=DE，‎ 由图形旋转的性质知CE=CG，BE=DG，‎ ‎∴DE=DG，‎ ‎∴C，D都在EG的垂直平分线上，‎ ‎∴CD垂直平分EG．‎ ‎（3）连接BD，‎ 由（2）知BE=DE，‎ ‎∴∠1=∠2．‎ ‎∵AB∥DE，‎ ‎∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．‎ ‎∵AD∥BC，∴∠4=∠DBC．‎ 由（1）知BC=CD，‎ ‎∴∠DBC=∠BDC，∴∠4=∠BDP．‎ 又∵BD=BD，∴△BAD≌△BPD(ASA)‎ ‎∴DP=AD．‎ ‎∵AD=CD，∴DP=CD．‎ ‎∴P是CD的中点．‎ ‎【典题7】如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠‎ ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．‎ ‎（1）求证：EB=EF；‎ ‎（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．‎ ‎（1）证明：∵△ADF为等边三角形，‎ ‎∴AF=AD，∠FAD=60°‎ ‎∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB ‎∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，‎ ‎∵AE为公共边 ‎∴△FAE≌△BAE ‎∴EF=EB （2）过C作CQ⊥AB于Q，‎ ‎∵CQ=AB=AD=6，‎ ‎∵∠ABC=60°，‎ ‎∴BC=6÷ =．‎ ‎【典题8】已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连结AF、CF.求证：‎ ‎(1)∠ADF=∠BCF；‎ ‎(2) AF⊥CF.‎ 证明：（1）在矩形ABCD中，‎ ‎∵∠ADC=∠BCD=90°，‎ ‎∴∠DCE=90°，‎ 在Rt△DCE中，‎ ‎∵F为DE中点，‎ ‎∴DF=CF，‎ ‎∴∠FDC=∠DCF，‎ ‎∴∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF，‎ 即∠ADF=∠BCF； （2）连接BF，‎ ‎∵BE=BD，F为DE的中点，‎ ‎∴BF⊥DE，‎ ‎∴∠BFD=90°，即∠BFA+∠AFD=90°，‎ 在△AFD和△BFC中 AD=BC ∠ADF=∠BCF CF=DF ，‎ ‎∴△ADF≌△BCF，‎ ‎∴∠AFD=∠BFC，‎ ‎∵∠AFD+∠BFA=90°，‎ ‎∴∠BFC+∠BFA=90°，‎ 即∠AFC=90°，‎ ‎∴AF⊥FC．‎ ‎【典题9】如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．‎ ‎（1）求证：CF=CG；‎ ‎（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长． 解答：（1）证明：连接AC，‎ ‎∵DC∥AB，AB=BC，‎ ‎∴∠1=∠CAB，∠CAB=∠2，‎ ‎∴∠1=∠2；‎ ‎∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC，‎ ‎∴△ADC≌△AEC，‎ ‎∴CD=CE；‎ ‎∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4，‎ ‎∴△FDC≌△GEC，‎ ‎∴CF=CG．‎ ‎（2）解：由（1）知，CE=CD=2，‎ ‎∴BE=4CE=8，‎ ‎∴AB=BC=CE+BE=10，‎ ‎∴在Rt△ABE中，AE= AB2-BE2 =6，‎ ‎∴在Rt△ACE中，AC= AE2+CE2 =‎ 由（1）知，△ADC≌△AEC，‎ ‎∴CD=CE，AD=AE，‎ ‎∴C、A分别是DE垂直平分线上的点，‎ ‎∴DE⊥AC，DE=2EH；（8分）‎ 在Rt△AEC中，S△AEC= AE•CE= AC•EH，‎ ‎∴EH= = =‎ ‎∴DE=2EH=2×=‎ ‎【典题10】如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．‎ ‎（1）求证：∠BFC=∠BEA；‎ ‎（2）求证：AM=BG+GM．‎ 证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，‎ 在△ABE和△CBF中，‎ ‎ AB=BC ∠ABC=∠ABC BE=BF ，‎ ‎∴△ABE≌△CBF（SAS），‎ ‎∴∠BFC=∠BEA； （2）连接DG，在△ABG和△ADG中，‎ ‎ AB=AD ∠DAC=∠BAC=45° AG=AG ，‎ ‎∴△ABG≌△ADG（SAS），‎ ‎∴BG=DG，∠2=∠3，‎ ‎∵BG⊥AE，‎ ‎∴∠BAE+∠2=90°，‎ ‎∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，‎ ‎∴∠2=∠3=∠4，‎ ‎∵GM⊥CF，‎ ‎∴∠BCF+∠1=90°，‎ 又∠BCF+∠BFC=90°，‎ ‎∴∠1=∠BFC=∠2，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ 在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，‎ ‎∴∠DGC也是△CGH的外角，‎ ‎∴D、G、M三点共线，‎ ‎∵∠3=∠4（已证），‎ ‎∴AM=DM，‎ ‎∵DM=DG+GM=BG+GM，‎ ‎∴AM=BG+GM．‎ ‎【典题11】直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC，M为BC边上一点． （1）若∠DMC=45°，求证：AD=AM．（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值．‎ ‎（1）证明：作AF⊥CD交延长线于点F．‎ ‎∵∠DMC=45°，∠C=90°‎ ‎∴CM=CD，‎ 又∵∠B=∠C=∠AFD=90°，AB=BC，‎ ‎∴四边形ABCF为正方形，‎ ‎∴BC=CF，‎ ‎∴BM=DF，‎ 在Rt△ABM和Rt△AFD中，AB=AF，∠B=∠AFD=90°，BM=DF，‎ ‎∴△ABM≌△AFD，‎ ‎∴AD=AM． （2）解：把Rt△ABM绕点A顺时针旋转90°，使AB与AE重合，得Rt△AFN．‎ ‎∵∠DAM=45°，‎ ‎∴∠BAM+∠DAF=45°，‎ 由旋转知∠BAM=∠NAF，∴∠DAF+∠NAF=45°，‎ 即∠DAM=∠DAN，‎ 由旋转知AM=AN，‎ ‎∴△ADM≌△ADN，‎ ‎∴DM=DN，‎ 设BM=x，‎ ‎∵AB=BC=CF=7，‎ ‎∴CM=7-x 又∵CD=4，‎ ‎∴DF=3，BM=FN=x，‎ ‎∴MD=DN=3+x，‎ 在Rt△CDM中，（7-x）2+42=（3+x）2，‎ 解得：x=‎ ‎∴BM的值为．‎ 答：BM的值为．‎ ‎【典题12】如图，AC是正方形ABCD的对角线，点O是AC的中点，点Q是AB上一点，连接CQ，DP⊥CQ于点E，交BC于点P，连接OP，OQ；‎ 求证：‎ ‎（1）△BCQ≌△CDP；‎ ‎（2）OP=OQ．‎ 证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD，‎ ‎∴∠2+∠3=90°，‎ 又∵DP⊥CQ，‎ ‎∴∠2+∠1=90°，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ 在△BCQ和△CDP中，‎ ‎ ∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 ．‎ ‎∴△BCQ≌△CDP． （2）连接OB．‎ 由（1）：△BCQ≌△CDP可知：BQ=PC，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ABC=90°，AB=BC，‎ 而点O是AC中点，‎ ‎∴BO=AC=CO，∠4=∠ABC=45°=∠PCO，‎ 在△BCQ和△CDP中， BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO ‎∴△BOQ≌△COP，‎ ‎∴OQ=OP．‎