中考数学24题几何证明 9页

  • 229.00 KB
  • 2021-05-10 发布

中考数学24题几何证明

  • 9页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎ 重庆中考数学第24题专题训练 ‎【典题1】如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E为AB延长线上一点,连接ED,与BC交于点H.过E作CD的垂线,垂足为CD上的一点F,并与BC交于点G.已知G为CH的中点,且∠BEH=∠HEG.‎ ‎(1)若HE=HG,求证:△EBH≌△GFC;‎ ‎(2)若CD=4,BH=1,求AD的长.‎ ‎(1)证明:∵HE=HG,‎ ‎∴∠HEG=∠HGE,‎ ‎∵∠HGE=∠FGC,∠BEH=∠HEG,‎ ‎∴∠BEH=∠FGC,‎ ‎∵G是HC的中点,‎ ‎∴HG=GC,‎ ‎∴HE=GC,‎ ‎∵∠HBE=∠CFG=90°.‎ ‎∴△EBH≌△GFC; (2)解:过点H作HI⊥EG于I,‎ ‎∵G为CH的中点,‎ ‎∴HG=GC,‎ ‎∵EF⊥DC,‎ HI⊥EF,‎ ‎∴∠HIG=∠GFC=90°,‎ ‎∠FGC=∠HGI,‎ ‎∴△GIH≌△GFC,‎ ‎∵△EBH≌△EIH(AAS),‎ ‎∴FC=HI=BH=1,‎ ‎∴AD=4-1=3.‎ ‎【典题2】已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°.分别以AB、AC为边,向形外作等边△ABD和等边△ACE.‎ ‎(1)如图1,连接线段BE、CD.求证:BE=CD;‎ ‎(2)如图2,连接DE交AB于点F.求证:F为DE中点.‎ 证明:(1)∵△ABD和△ACE是等边三角形,‎ ‎∴AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°,‎ ‎∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,即∠DAC=∠BAE,‎ 在△DAC和△BAE中,‎ ‎ AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ,‎ ‎∴△DAC≌△BAE(SAS),‎ ‎∴DC=BE; ‎ ‎(2)如图,作DG∥AE,交AB于点G,‎ 由∠EAC=60°,∠CAB=30°得:∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°,‎ ‎∴∠DGF=∠FAE=90°,‎ 又∵∠ACB=90°,∠CAB=30°,‎ ‎∴∠ABC=60°,‎ 又∵△ABD为等边三角形,∠DBG=60°,DB=AB,‎ ‎∴∠DBG=∠ABC=60°,‎ 在△DGB和△ACB中,‎ ‎ ∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ,‎ ‎∴△DGB≌△ACB(AAS),‎ ‎∴DG=AC,‎ 又∵△AEC为等边三角形,∴AE=AC,‎ ‎∴DG=AE,‎ 在△DGF和△EAF中,‎ ‎ ∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ,‎ ‎∴△DGF≌△EAF(AAS),‎ ‎∴DF=EF,即F为DE中点.‎ ‎【典题3】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,E为CD的中点,EF∥AB交BC于点F ‎(1)求证:BF=AD+CF;‎ ‎(2)当AD=1,BC=7,且BE平分∠ABC时,求EF的长.‎ ‎(1)证明: 如图(1),延长AD交FE的延长线于N ‎∵∠NDE=∠FCE=90°‎ ‎∠DEN=∠FEC DE=EC ‎∴△NDE≌△FCE ‎∴DN=CF ‎∵AB∥FN,AN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形 ‎∴BF=AD+DN=AD+FC (2)解:∵AB∥EF,‎ ‎∴∠ABN=∠EFC,即∠1+∠2=∠3,‎ 又∵∠2+∠BEF=∠3,‎ ‎∴∠1=∠BEF,∴BF=EF,‎ ‎∵∠1=∠2,∴∠BEF=∠2,‎ ‎∴EF=BF,‎ 又∵ BC+AD=7+1‎ ‎∴ BF+CF+AD=8‎ 而由(1)知CF+AD=BF ‎∴ BF+BF=8‎ ‎∴2BF=8,‎ ‎∴BF=4,∴BF=EF=4‎ A B D E C F ‎【典题4】在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F,使DC=CF,连接BE、BF和EF.‎ ‎⑴求证:△ABE≌△CFB;‎ ‎⑵如果AD=6,tan∠EBC的值.‎ 解:(1)证明:连结CE,‎ 在△BAE与△FCB中,‎ ‎∵ BA=FC,∠A=∠BCF,, AE=BC,‎ ‎∴△BAE≌△FCB; (2)延长BC交EF于点G,作AH⊥BG于H,作AM⊥BG,‎ ‎∵△BAE≌△FCB,‎ ‎∴∠AEB=∠FBG,BE=BF,‎ ‎∴△BEF为等腰三角形,‎ 又∵AE∥BC,‎ ‎∴∠AEB=∠EBG,‎ ‎∴∠EBG=∠FBG,‎ ‎∴BG⊥EF,‎ ‎∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°,‎ ‎∴四边形AMGE为矩形,‎ ‎∴AM=EG,‎ 在Rt△ABM中,‎ AM=AB•sin60°=6× = ,‎ ‎∴EG=AM=,‎ BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15,‎ ‎∴tan∠EBC=‎ ‎【典题5】已知:AC是矩形ABCD的对角线,延长CB至E,使CE=CA,F是AE的中点,连接DF、CF分别交AB于G、H点(1)求证:FG=FH;(2)若∠E=60°,且AE=8时,求梯形AECD的面积. ‎ ‎(1)证明:连接BF ‎∵ABCD为矩形 ‎∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC ‎∴△ABE为直角三角形 ‎∵F是AE的中点 ‎∴AF=BF=BE ‎∴∠FAB=∠FBA ‎∴∠DAF=∠CBF ‎∵ AD=BC, ∠DAF=∠CBF ,AF=BF ,‎ ‎ ∴△DAF≌△CBF ‎∴∠ADF=∠BCF ‎∴∠FDC=∠FCD ‎∴∠FGH=∠FHG ‎∴FG=FH;‎ ‎(2)解:∵AC=CE∠E=60°‎ ‎∴△ACE为等边三角形 ‎∴CE=AE=8‎ ‎∵AB⊥BC ‎∴BC=BE==4‎ ‎∴根据勾股定理AB=‎ ‎∴梯形AECD的面积=×(AD+CE)×CD=×(4+8)×=‎ ‎【典题6】如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,且CD=2AD,tan∠ABC=2,过点D作DE∥‎ AB,交∠BCD的平分线于点E,连接BE.‎ ‎(1)求证:BC=CD;‎ ‎(2)将△BCE绕点C,顺时针旋转90°得到△DCG,连接EG.求证:CD垂直平分EG;‎ ‎(3)延长BE交CD于点P.求证:P是CD的中点.‎ 证明:(1)延长DE交BC于F,‎ ‎∵AD∥BC,AB∥DF,‎ ‎∴AD=BF,∠ABC=∠DFC.‎ 在Rt△DCF中,‎ ‎∵tan∠DFC=tan∠ABC=2,‎ ‎∴ =2,‎ 即CD=2CF,‎ ‎∵CD=2AD=2BF,‎ ‎∴BF=CF,‎ ‎∴BC=BF+CF=CD+ CD=CD.‎ 即BC=CD. (2)∵CE平分∠BCD,‎ ‎∴∠BCE=∠DCE,‎ 由(1)知BC=CD,‎ ‎∵CE=CE,‎ ‎∴△BCE≌△DCE,‎ ‎∴BE=DE,‎ 由图形旋转的性质知CE=CG,BE=DG,‎ ‎∴DE=DG,‎ ‎∴C,D都在EG的垂直平分线上,‎ ‎∴CD垂直平分EG.‎ ‎(3)连接BD,‎ 由(2)知BE=DE,‎ ‎∴∠1=∠2.‎ ‎∵AB∥DE,‎ ‎∴∠3=∠2.∴∠1=∠3.‎ ‎∵AD∥BC,∴∠4=∠DBC.‎ 由(1)知BC=CD,‎ ‎∴∠DBC=∠BDC,∴∠4=∠BDP.‎ 又∵BD=BD,∴△BAD≌△BPD(ASA)‎ ‎∴DP=AD.‎ ‎∵AD=CD,∴DP=CD.‎ ‎∴P是CD的中点.‎ ‎【典题7】如图,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AB∥CD,AB=AD,∠‎ ABC=60度.以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF,点E是直角梯形ABCD内一点,且∠EAD=∠EDA=15°,连接EB、EF.‎ ‎(1)求证:EB=EF;‎ ‎(2)延长FE交BC于点G,点G恰好是BC的中点,若AB=6,求BC的长.‎ ‎(1)证明:∵△ADF为等边三角形,‎ ‎∴AF=AD,∠FAD=60°‎ ‎∵∠DAB=90°,∠EAD=15°,AD=AB ‎∴∠FAE=∠BAE=75°,AB=AF,‎ ‎∵AE为公共边 ‎∴△FAE≌△BAE ‎∴EF=EB (2)过C作CQ⊥AB于Q,‎ ‎∵CQ=AB=AD=6,‎ ‎∵∠ABC=60°,‎ ‎∴BC=6÷ =.‎ ‎【典题8】已知,矩形ABCD中,延长BC至E,使BE=BD,F为DE的中点,连结AF、CF.求证:‎ ‎(1)∠ADF=∠BCF;‎ ‎(2) AF⊥CF.‎ 证明:(1)在矩形ABCD中,‎ ‎∵∠ADC=∠BCD=90°,‎ ‎∴∠DCE=90°,‎ 在Rt△DCE中,‎ ‎∵F为DE中点,‎ ‎∴DF=CF,‎ ‎∴∠FDC=∠DCF,‎ ‎∴∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF,‎ 即∠ADF=∠BCF; (2)连接BF,‎ ‎∵BE=BD,F为DE的中点,‎ ‎∴BF⊥DE,‎ ‎∴∠BFD=90°,即∠BFA+∠AFD=90°,‎ 在△AFD和△BFC中 AD=BC ∠ADF=∠BCF CF=DF ,‎ ‎∴△ADF≌△BCF,‎ ‎∴∠AFD=∠BFC,‎ ‎∵∠AFD+∠BFA=90°,‎ ‎∴∠BFC+∠BFA=90°,‎ 即∠AFC=90°,‎ ‎∴AF⊥FC.‎ ‎【典题9】如图,在直角梯形ABCD中,AD⊥DC,AB∥DC,AB=BC,AD与BC延长线交于点F,G是DC延长线上一点,AG⊥BC于E.‎ ‎(1)求证:CF=CG;‎ ‎(2)连接DE,若BE=4CE,CD=2,求DE的长. 解答:(1)证明:连接AC,‎ ‎∵DC∥AB,AB=BC,‎ ‎∴∠1=∠CAB,∠CAB=∠2,‎ ‎∴∠1=∠2;‎ ‎∵∠ADC=∠AEC=90°,AC=AC,‎ ‎∴△ADC≌△AEC,‎ ‎∴CD=CE;‎ ‎∵∠FDC=∠GEC=90°,∠3=∠4,‎ ‎∴△FDC≌△GEC,‎ ‎∴CF=CG.‎ ‎(2)解:由(1)知,CE=CD=2,‎ ‎∴BE=4CE=8,‎ ‎∴AB=BC=CE+BE=10,‎ ‎∴在Rt△ABE中,AE= AB2-BE2 =6,‎ ‎∴在Rt△ACE中,AC= AE2+CE2 =‎ 由(1)知,△ADC≌△AEC,‎ ‎∴CD=CE,AD=AE,‎ ‎∴C、A分别是DE垂直平分线上的点,‎ ‎∴DE⊥AC,DE=2EH;(8分)‎ 在Rt△AEC中,S△AEC= AE•CE= AC•EH,‎ ‎∴EH= = =‎ ‎∴DE=2EH=2×=‎ ‎【典题10】如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、AB上两点,且BE=BF,过点B作AE的垂线交AC于点G,过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M.‎ ‎(1)求证:∠BFC=∠BEA;‎ ‎(2)求证:AM=BG+GM.‎ 证明:(1)在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°,‎ 在△ABE和△CBF中,‎ ‎ AB=BC ∠ABC=∠ABC BE=BF ,‎ ‎∴△ABE≌△CBF(SAS),‎ ‎∴∠BFC=∠BEA; (2)连接DG,在△ABG和△ADG中,‎ ‎ AB=AD ∠DAC=∠BAC=45° AG=AG ,‎ ‎∴△ABG≌△ADG(SAS),‎ ‎∴BG=DG,∠2=∠3,‎ ‎∵BG⊥AE,‎ ‎∴∠BAE+∠2=90°,‎ ‎∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°,‎ ‎∴∠2=∠3=∠4,‎ ‎∵GM⊥CF,‎ ‎∴∠BCF+∠1=90°,‎ 又∠BCF+∠BFC=90°,‎ ‎∴∠1=∠BFC=∠2,‎ ‎∴∠1=∠3,‎ 在△ADG中,∠DGC=∠3+45°,‎ ‎∴∠DGC也是△CGH的外角,‎ ‎∴D、G、M三点共线,‎ ‎∵∠3=∠4(已证),‎ ‎∴AM=DM,‎ ‎∵DM=DG+GM=BG+GM,‎ ‎∴AM=BG+GM.‎ ‎【典题11】直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,AB=BC,M为BC边上一点. (1)若∠DMC=45°,求证:AD=AM.(2)若∠DAM=45°,AB=7,CD=4,求BM的值.‎ ‎(1)证明:作AF⊥CD交延长线于点F.‎ ‎∵∠DMC=45°,∠C=90°‎ ‎∴CM=CD,‎ 又∵∠B=∠C=∠AFD=90°,AB=BC,‎ ‎∴四边形ABCF为正方形,‎ ‎∴BC=CF,‎ ‎∴BM=DF,‎ 在Rt△ABM和Rt△AFD中,AB=AF,∠B=∠AFD=90°,BM=DF,‎ ‎∴△ABM≌△AFD,‎ ‎∴AD=AM. (2)解:把Rt△ABM绕点A顺时针旋转90°,使AB与AE重合,得Rt△AFN.‎ ‎∵∠DAM=45°,‎ ‎∴∠BAM+∠DAF=45°,‎ 由旋转知∠BAM=∠NAF,∴∠DAF+∠NAF=45°,‎ 即∠DAM=∠DAN,‎ 由旋转知AM=AN,‎ ‎∴△ADM≌△ADN,‎ ‎∴DM=DN,‎ 设BM=x,‎ ‎∵AB=BC=CF=7,‎ ‎∴CM=7-x 又∵CD=4,‎ ‎∴DF=3,BM=FN=x,‎ ‎∴MD=DN=3+x,‎ 在Rt△CDM中,(7-x)2+42=(3+x)2,‎ 解得:x=‎ ‎∴BM的值为.‎ 答:BM的值为.‎ ‎【典题12】如图,AC是正方形ABCD的对角线,点O是AC的中点,点Q是AB上一点,连接CQ,DP⊥CQ于点E,交BC于点P,连接OP,OQ;‎ 求证:‎ ‎(1)△BCQ≌△CDP;‎ ‎(2)OP=OQ.‎ 证明:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠B=∠PCD=90°,BC=CD,‎ ‎∴∠2+∠3=90°,‎ 又∵DP⊥CQ,‎ ‎∴∠2+∠1=90°,‎ ‎∴∠1=∠3,‎ 在△BCQ和△CDP中,‎ ‎ ∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 .‎ ‎∴△BCQ≌△CDP. (2)连接OB.‎ 由(1):△BCQ≌△CDP可知:BQ=PC,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠ABC=90°,AB=BC,‎ 而点O是AC中点,‎ ‎∴BO=AC=CO,∠4=∠ABC=45°=∠PCO,‎ 在△BCQ和△CDP中, BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO ‎∴△BOQ≌△COP,‎ ‎∴OQ=OP.‎