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  • 2021-05-10 发布

中考数学专题复习讲座相似三角形学生版

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相似三角形 第一部分 讲解部分 ‎(一)课标要求 ‎1.理解相似三角形的概念,总结相似三角形的对应角相等、对应边成比例等性质,掌握它们的基本运用。‎ ‎2.经历三角形相似与全等的类比过程,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想。掌握判定两个三角形相似的基本方法;掌握两个相似三角形的周长比、面积比以及对应的角平分线比、对应的中线比、对应的高的比的性质;知道三角形的重心。会用相似三角形的判定与性质解决简单的几何问题和实际问题。‎ ‎(二)知识要点 ‎1.相似三角形的定义:对应角相等,对应边的比相等的两个三角形。对应边的比叫做相似比。‎ ‎ 三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。‎ ‎2.相似三角形的判定:①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS”)③两组对应边的比相等,且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS”)④两角对应相等(AA)‎ ‎ 直角三角形中斜边、直角边对应比相等(类似于直角三角形全等判定“HL”)。‎ 相似三角形的基本图形:‎ ‎ ‎ ‎ 判断三角形相似,若已知一角对应相等,可先考虑另一角对应相等,注意公共角或对顶角或同角(等角)的余角(或补角)相等,若找不到第二对角相等,就考虑夹这个角的两对应边的比相等;若无法得到角相等,就考虑三组对应边的比相等。‎ a b c A B C D E F m n ‎3.相似三角形的性质:①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比④对应的面积之比等于相似比的平方。‎ ‎4.相似三角形的应用:求物体的长或宽或高;求有关面积等。‎ ‎(三)考点精讲 考点一:平行线分线段成比例 例1、(2011广东肇庆)如图,已知直线a∥b∥c,直线m、n 与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F,AC = 4,CE = 6,BD = 3,则BF =( )‎ A. 7 B. ‎7.5 ‎C. 8 D. 8.5‎ 例2(2012•福州) 如图,已知△ABC,AB=AC=1,∠A=36°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,则AD的长是 ,cosA的值是 .(结果保留根号)‎ 练习:‎ ‎1.(2011湖南怀化,6,3)如图所示:△ABC中,DE∥BC,AD=5,BD=10,AE=3,则CE的值为( )‎ A.9 B.‎6 ‎ C.3 D.4‎ ‎2.(2011山东泰安,15 ,3分)如图,点F是□ABCD的边CD上一点,直线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.(2012•孝感)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,若AC=2,则AD的长是(  )‎ A. B. C. D.‎ 考点二:相似三角形的判定 例3、(2011湖北荆州)如图,P为线段AB上一点,AD与BC交于E,∠CPD=∠A=∠B,BC交PD于F,AD交PC于G,则图中相似三角形有( )‎ A.1对  B.2对   C.3对    D.4对 ‎ 例4、(2010江苏泰州)一个铝质三角形框架三条边长分别为‎24cm、‎30cm、‎36cm,要做一个与它相似的铝质三角形框架,现有长为‎27cm、‎45cm的两根铝材,要求以其中的一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边.截法有( )‎ A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 例5(2012•徐州)如图,在正方形ABCD中,E是CD的中点,点F在BC上,且FC= BC.图中相似三角形共有(  )‎ A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 例6(2012•资阳)(1)如图(1),正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上,直接写出HD:GC:EB的结果(不必写计算过程); (2)将图(1)中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度,如图(2),求HD:GC:EB; (3)把图(2)中的正方形都换成矩形,如图(3),且已知DA:AB=HA:AE=m:n,此时HD:GC:EB的值与(2)小题的结果相比有变化吗?如果有变化,直接写出变化后的结果(不必写计算过程). ‎ 练习:‎ ‎1.(2011江苏无锡,7,3分)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O,且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形.若OA∶OC = OB∶OD,则下列结论中一定正确的是 ( )‎ A.①和②相似 B.①和③相似 C.①和④相似 D.②和④相似 A B C D O ‎①‎ ‎②⊙o⊙‎ ‎③⊙o⊙‎ ‎④⊙o⊙‎ ‎(第7题)‎ ‎2.(2011新疆乌鲁木齐,10,4分)如图,等边三角形的边长为3,点为边上一点,且,点为边上一点若,则的长为 A. B. C. D.1‎ ‎3. (2012•攀枝花)如图,△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE,∠ACB=∠AED,BC、DE交于点O.则下列四个结论中,①∠1=∠2;②BC=DE;③△ABD∽△ACE;④A、O、C、E四点在同一个圆上,一定成立的有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎4. (2012•义乌市)在锐角△ABC中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1. (1)如图1,当点C1在线段CA的延长线上时,求∠CC‎1A1的度数; (2)如图2,连接AA1,CC1.若△ABA1的面积为4,求△CBC1的面积; (3)如图3,点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1,求线段EP1长度的最大值与最小值. ‎ A B D C 考点三:相似三角形的性质 例7、(2010山东烟台)如图,△ABC中,点D在线段BC上,且△ABC∽△DBA,则下列结论一定正确的是( )‎ A.AB2=BC·BD B.AB2=AC·BD C.AB·AD=BD·BC D.AB·AD=AD·CD ‎ ‎(例5)‎ 例8、(2011浙江嘉兴)如图,边长为4的等边△ABC中,DE为中位线,则四边形BCED的面积为(  )‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ 例9(2012•重庆)已知△ABC∽△DEF,△ABC的周长为3,△DEF的周长为1,则ABC与△DEF的面积之比为 9:1‎ ‎.‎ 练习 ‎1.(2011青海西宁,10,3分)如图6,在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADB+∠EDC=120°,BD=3,CE=2,则△ABC的边长为 A.9 B.‎12 C.16 D.18‎ A B C D E G F O ‎2.(2011四川雅安,9,3分)如图,D、E、F分别为△ABC三边的中点,则下列说法中不正确的为( )‎ A.△ADE∽△ABC B. C. D.DF=EF ‎3.(2011四川内江,加试2,6分)如图,在△ABC中,点D、E分别是边AB、AC的中点,DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F,BE与DF交于点O.若△ADE的面积为S,则四边形BOGC的面积= .‎ ‎4.(2011辽宁丹东,16,3分)已知:如图,DE是△ABC的中位线,点P是DE的中点,CP的延长线交AB于点Q,那么______________.‎ 考点四 位似 例10(2012•玉林)如图,正方形ABCD的两边BC,AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上,正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形,已知AC=3,若点A′的坐标为(1,2),则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是(  )‎ A. B. C. D. ‎ 对应训练 ‎(2012•咸宁)如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1:,点A的坐标为(1,0),则E点的坐标为(  )‎ A.(,0) B.( C. D. ‎ 考点五:相似三角形的应用 例6、(2010安徽芜湖)如图,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=‎2m,CD=‎6m,点P到CD的距离是‎2.7m,则_______m.‎ 例7、(2011青海)如图,△ABC是一块锐角三角形的材料,边BC=‎120mm,高AD=‎80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是   mm.‎ ‎ ‎ 练习:‎ ‎1.(2011湖北黄石,13,3分)有甲乙两张纸条,甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍,如图(4).将这两张纸条交叉重叠地放在一起,重合部分为四边形ABCD,则AB与BC的数量关系为 。‎ ‎(五)真题演练 ‎2、( 2011重庆江津)已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB、CD交于O点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是( )‎ ‎35°‎ ‎75°‎ ‎75°‎ ‎70°‎ ‎(1)‎ A B C D O ‎4‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎(2)‎ A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似 ‎3、(2011黑龙江鸡西)如图,A、B、C、D是⊙O上的四个点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=3,ED=4,则AB的长为 ( ) ‎ A .3 B ‎.2 ‎C. D .3‎ ‎(第3题)‎ ‎(第5题)‎ ‎5、(2011山东滨州)如图,直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A、B两点,弦AC∥PM, 连接OM、BC.‎ 求证:(1)△ABC∽△POM; (2)2OA2=OP·BC.‎ ‎【聚焦山东中考】‎ ‎1.(2012•潍坊)已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD=(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎2.(2012•东营)如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,边OA在x轴上,OC在y 轴上,如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 ,那么点B′的坐标是(  )‎ A.(-2,3) B.(2,-3) C.(3,-2)或(-2,3) D.(-2,3)或(2,-3)‎ ‎3. (2012•日照)在菱形ABCD中,E是BC边上的点,连接AE交BD于点F,若EC=2BE,则 的值是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.(2012•德州)为了测量被池塘隔开的A,B两点之间的距离,根据实际情况,作出如图图形,其中AB⊥BE,EF⊥BE,AF交BE于D,C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据:①BC,∠ACB; ②CD,∠ACB,∠ADB;③EF,DE,BD;④DE,DC,BC.能根据所测数据,求出A,B间距离的有(  )‎ A.1组 B.2组 C.3组 D.4组F ‎5.(2012•威海)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为(4,0),(8,2),(6,4).已知△A1B‎1C1的两个顶点的坐标为(1,3),(2,5),若△ABC与△A1B‎1C1位似,则△A1B‎1C1的第三个顶点的坐标为 (3,4)或(0,4)‎ ‎.‎ ‎6.(2012•菏泽)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,P1,P2,P3,P4,P5是△DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题: (1)试证明三角形△ABC为直角三角形; (2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由; (3)画一个三角形,使它的三个顶点为P1,P2,P3,P4,P5中的3个格点并且与△ABC相似(要求:用尺规作图,保留痕迹,不写作法与证明).‎ 聚焦全国 ‎1.(2012•天门)如图,△ABC为等边三角形,点E在BA的延长线上,点D在BC边上,且ED=EC.若△ABC的边长为4,AE=2,则BD的长为(  )‎ A.2 B.‎3 C. D.‎ ‎2.(2012•宁德)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上,EF∥AC∥HG,EH∥BD∥FG,则四边形EFGH的周长是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.(2012•柳州)小张用手机拍摄得到甲图,经放大后得到乙图,甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是(  ) ‎ A.FG B.FH C.EH D.EF ‎4.(2012•铜仁地区)如图,六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL,相似比为2:1,则下列结论正确的是(  )‎ A.∠E=2∠K B.BC=2HI C.六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 D.S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL ‎5. (2012•荆州)下列4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6. (2012•海南)如图,点D在△ABC的边AC上,要判定△ADB与△ABC相似,添加一个条件,不正确的是(  )‎ A.∠ABD=∠C B.∠ADB=∠ABC C. D.‎ ‎7.(2012•遵义)如图,在△ABC中,EF∥BC, ,S四边形BCFE=8,则S△ABC=(  )‎ A.9 B.‎10 ‎C.12 D.13‎ ‎8. (2012•宜宾)如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD,CD= AB,点E、F分别为AB、AD的中点,则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.(2012•钦州)图中两个四边形是位似图形,它们的位似中心是(  )‎ A.点M B.点N C.点O D.点P ‎10.(2012•毕节地区)如图,在平面直角坐标系中,以原点O为位中心,将△ABO扩大到原来的2倍,得到△A′B′O.若点A的坐标是(1,2),则点A′的坐标是(  )‎ A.(2,4) B.(-1,-2) C.(-2,-4) D.(-2,-1)‎ 二、填空题 ‎11.(2012•宿迁)如图,已知P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB,若S1表示PA为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,则S1 =‎ S2.(填“>”“=”或“<”)‎ ‎12.(2012•自贡)正方形ABCD的边长为‎1cm,M、N分别是BC、CD上两个动点,且始终保持AM⊥MN,当BM= cm时,四边形ABCN的面积最大,最大面积为 cm2.‎ ‎13. (2012•资阳)如图,O为矩形ABCD的中心,M为BC边上一点,N为DC边上一点,ON⊥OM,若AB=6,AD=4,设OM=x,ON=y,则y与x的函数关系式为 。‎ ‎14.(2012•镇江)如图,E是▱ABCD的边CD上一点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,且AD=4, ,则CF的长为 2‎ ‎.‎ ‎15.(2012•泰州)如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB、CD相交于点P,则tan∠APD的值是 2‎ ‎.‎ ‎16.(2012•青海)如图,利用标杆BE测量建筑物的高度,标杆BE高‎1.5m,测得AB=‎2m,BC=‎14cm,则楼高CD为 12‎ m.‎ ‎17. (2012•娄底)如图,在一场羽毛球比赛中,站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点,已知网高OA=‎1.52米,OB=‎4米,OM=‎5米,则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM= 3.42‎ 米.‎ ‎18.(2012•北京)如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=‎40cm,EF=‎20cm,测得边DF离地面的高度AC=‎1.5m,CD=‎8m,则树高AB= 5.5‎ m.‎ ‎19.(2012•阜新) 如图,△ABC与△A1B‎1C1为位似图形,点O是它们的位似中心,位似比是1:2,已知△ABC的面积为3,那么△A1B‎1C1的面积是 12‎ ‎.‎ 三、解答题 ‎20.(2012•上海)己知:如图,在菱形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD,∠BAF=∠DAE,AE与BD交于点G. (1)求证:BE=DF; (2)当 时,求证:四边形BEFG是平行四边形.‎ ‎21. (2012•云南)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是AB边上的一点,DM⊥AB,且DM=AC,过点M作ME∥BC交AB于点E. 求证:△ABC∽△MED.‎ ‎22.(2012•株洲)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,沿直线MN对折,使A、C重合,直线MN交AC于O. (1)求证:△COM∽△CBA;      (2)求线段OM的长度.‎ ‎23. (2012•株洲)如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=‎5米,AC=‎12米.M点在线段CA上,从C向A运动,速度为‎1米/秒;同时N点在线段AB上,从A向B运动,速度为‎2米/秒.运动时间为t秒. (1)当t为何值时,∠AMN=∠ANM? (2)当t为何值时,△AMN的面积最大?并求出这个最大值.‎ ‎24. (2012•江西)如图1,小红家阳台上放置了一个晒衣架.如图2是晒衣架的侧面示意图,立杆AB、CD相交于点O,B、D两点立于地面,经测量: AB=CD=‎136cm,OA=OC=‎51cm,OE=OF=‎34cm,现将晒衣架完全稳固张开,扣链EF成一条直线,且EF=‎32cm. (1)求证:AC∥BD; (2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(精确到0.1°); (3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到‎122cm,垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由. (参考数据:sin61.9°≈0.882,cos61.9°≈0.471,tan61.9°≈0.553;可使用科学记算器)‎ ‎25.(2012•陕西)如图,正三角形ABC的边长为3+ . (1)如图①,正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上,在正三角形ABC及其内部,以点A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法); (2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长; (3)如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE、EF在边AB上,点P、N分别在边CB、CA上,求这两个正方形面积和的最大值和最小值,并说明理由. ‎ ‎26.(2012•河北)如图,点E是线段BC的中点,分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形,且在BC同侧. (1)AE和ED的数量关系为 AE=ED ‎;‎ AE和ED的位置关系为 AE⊥ED ‎; (2)在图1中,以点E为位似中心,作△EGF与△EAB位似,点H是BC所在直线上的一点,连接GH,HD.分别得到图2和图3. ①在图2中,点F在BE上,△EGF与△EAB的相似比1:2,H是EC的中点.求证:GH=HD,GH⊥HD. ②在图3中,点F在的BE延长线上,△EGF与△EAB的相似比是k:1,若BC=2,请直接写CH的长为多少时,恰好使GH=HD且GH⊥HD(用含k的代数式表示). ‎ 第二部分 专题