中考圆压轴题打印 18页

学生： 科目： 数 学 教师： ‎ 课 题 ‎ 压轴题训练：圆 教学内容 知识框架 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；‎ ‎ 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；‎ ‎ 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：‎ ‎1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；‎ ‎（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；‎ ‎ 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；‎ ‎ 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；‎ ‎ 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。‎ 二、点与圆的位置关系 ‎1、点在圆内 点在圆内；‎ ‎2、点在圆上 点在圆上；‎ ‎3、点在圆外 点在圆外；‎ 三、直线与圆的位置关系 ‎1、直线与圆相离 无交点；‎ ‎2、直线与圆相切 有一个交点；‎ ‎3、直线与圆相交 有两个交点；‎ 四、圆与圆的位置关系 外离（图1） 无交点 ；‎ 外切（图2） 有一个交点 ；‎ 相交（图3） 有两个交点 ；‎ 内切（图4） 有一个交点 ；‎ 内含（图5） 无交点 ；‎ ‎ ‎ 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。‎ 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；‎ ‎ （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；‎ ‎ （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 ‎ 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：‎ ‎ ①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧 中任意2个条件推出其他3个结论。‎ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。‎ ‎ 即：在⊙中，∵∥‎ ‎ ∴弧弧 六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，‎ 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，‎ 即：①；②；‎ ‎③；④ 弧弧 七、圆周角定理 ‎1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。‎ 即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角 ‎ ∴‎ ‎2、圆周角定理的推论：‎ 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；‎ 即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角 ‎ ∴‎ 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。‎ 即：在⊙中，∵是直径 或∵‎ ‎ ∴ ∴是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。‎ 即：在△中，∵‎ ‎ ∴△是直角三角形或 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。‎ 八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。‎ ‎ 即：在⊙中，‎ ‎ ∵四边形是内接四边形 ‎ ∴ ‎ ‎ ‎ 九、切线的性质与判定定理 ‎（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；‎ ‎ 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 ‎ 即：∵且过半径外端 ‎ ∴是⊙的切线 ‎（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）‎ ‎ 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。‎ ‎ 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。‎ 以上三个定理及推论也称二推一定理：‎ 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。‎ 十、切线长定理 切线长定理：‎ ‎ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。‎ 即：∵、是的两条切线 ‎ ∴‎ ‎ 平分 十一、圆幂定理 ‎（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。‎ 即：在⊙中，∵弦、相交于点，‎ ‎ ∴‎ ‎（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。‎ 即：在⊙中，∵直径，‎ ‎ ∴‎ ‎（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。‎ 即：在⊙中，∵是切线，是割线 ‎ ∴ ‎ ‎（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。‎ 即：在⊙中，∵、是割线 ‎ ∴‎ 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。‎ 如图：垂直平分。‎ 即：∵⊙、⊙相交于、两点 ‎ ∴垂直平分 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：‎ ‎（1）公切线长：中，；‎ ‎（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。‎ 十四、圆内正多边形的计算 ‎（1）正三角形 ‎ ‎ 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；‎ ‎（2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，：‎ ‎（3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，.‎ 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 ‎1、扇形：（1）弧长公式：；‎ ‎（2）扇形面积公式： ‎ ‎：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 ‎2、圆柱： ‎ ‎（1）圆柱侧面展开图 ‎ =‎ ‎（2）圆柱的体积：‎ ‎（2）圆锥侧面展开图 ‎（1）=‎ ‎（2）圆锥的体积：‎ ‎【例题精讲】‎ ‎ ‎ ‎1如图12所示，四边形ABCD是以O为圆心，AB为直径的半圆的内接四边形，‎ 对角线AC、BD相交于点E。‎ ‎（1）求证：△DEC～△AEB；‎ ‎（2）当∠AED＝60°时，求△DEC与△AEB的面积比。‎ ‎2 如图13，已知等边三角形ABC,以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、‎ 点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F。‎ ‎（1）判断EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若等边△ABC的边长为8，求FH的长。‎ ‎（结果保留根号）‎ ‎3 已知：如图，在中，，点在上，以为圆心，长 D C O A B E 为半径的圆与分别交于点，且．‎ ‎（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）若，，求的长．‎ ‎4 四川省成都 如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧上的一个动点（不与点A、点B重合）.连结AC、BC，分别与⊙M相交于点D、点E，连结DE.若AB=2‎ ‎.‎ ‎(1)求∠C的度数；‎ ‎（2）求DE的长；‎ ‎（3）如果记tan∠ABC=y，=x（00），求sin∠CAB. ‎ A B C E D O M ‎3 已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，‎ CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE，DE=.‎ ‎(1) 求证：；‎ ‎(2) 求EM的长；‎ ‎（3）求sin∠EOB的值.‎ ‎4 如图，已知⊙O的直径AB＝2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点 ‎（与点A、点B不重合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线 m相交于点D．‎ ‎（1）求证：△APC∽△COD．‎ ‎（2）设AP＝x，OD＝y，试用含x的代数式表示y．‎ ‎（3）试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形．‎ C B O A D ‎5 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、‎ 与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．‎ ‎（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）若，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）‎ ‎6 在Rt△ABC中，BC=9， CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D， DE⊥DB交AB于点E．‎ ‎（1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证:AC是⊙O的切线;‎ ‎（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，求的值．‎ ‎7 如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）． ‎ A B N M ‎（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米） ‎ 与时间t（秒）之间的函数表达式； ‎ ‎（2）问点A出发后多少秒两圆相切？ ‎ ‎ ‎ P B C D T N M A K ‎(第27题图)‎ ‎8 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BM平分∠ABC交AC于M，‎ 以A为圆心，AM为半径作⊙A交BM于N，AN的延长线交BC于D，‎ 直线AB交⊙A于P、K两点，作MT⊥BC于T．‎ ‎(1)求证：AK＝MT；‎ ‎(2)求证：AD⊥BC；‎ C B A O F D E ‎(3)当AK＝BD时，求证：．‎ ‎9 如图，为的直径，于点，交于点，于点．‎ ‎（1）请写出三条与有关的正确结论；‎ ‎（2）当，时，求圆中阴影部分的面积．‎ ‎10 如图，已知的直径垂直于弦于点，过点作交的延长线 A D F E O C B G ‎（第10题图）‎ 于点，连接并延长交于点，且．‎ ‎（1）试问：是的切线吗？说明理由；‎ ‎（2）请证明：是的中点；‎ ‎（3）若，求的长．‎ ‎11 如图11，⊙P与⊙O相交于A、B两点，⊙P经过圆心O，点C是⊙P的优弧上任意一点（不与点A、B重合），连结AB、AC、BC、OC。‎ ‎（1）指出图中与∠ACO相等的一个角；‎ ‎（2）当点C在⊙P上什么位置时，直线CA与⊙O相切？请说明理由；‎ ‎（3）当∠ACB=60°时，两圆半径有怎样的大小关系？请说明你的理由。‎ ‎12 如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连结AD、BD．‎ ‎（1）求证：∠ADB=∠E；（3分）‎ ‎（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由．（3分）‎ ‎（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．（4分）‎ ‎（第12题图）‎ ‎ 　　　　 ‎ ‎1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60‎ ‎（1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标.‎ ‎（2）若点C的坐标为（-1，0），试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明.‎ ‎（3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式.‎ B1‎ B2‎ B3‎ A1‎ A2‎ A3‎ O C3‎ C2‎ C1‎ 图4‎ S2‎ S1‎ S3‎ ‎2 如图（4），正方形的边长为1，以为圆心、为半径作扇形与相交于点，设正方形与扇形之间的阴影部分的面积为；然后以为对角线作正方形，又以为圆心，、为半径作扇形，与相交于点，设正方形与扇形之间的阴影部分面积为；按此规律继续作下去，设正方形与扇形之间的阴影部分面积为．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）写出；‎ ‎（3）试猜想（用含的代数式表示，为正整数）．‎ ‎3 (10分)如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．‎ ‎（1）求证：ID=BD；‎ ‎（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，，，当点A在优弧上运动时，求与的函数关系式，并指出自变量的取值范围． ‎ ‎4 如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧的中点，AC交BD于点E， AE＝2， EC＝1．‎ ‎(第4题图)‎ ‎（1）求证：∽；　　 ‎ ‎（2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予 证明并求出它的面积；若不是，请说明理由． ‎ ‎（3）延长AB到H，使BH ＝OB．　‎ 求证：CH是⊙O的切线． 　 ‎ ‎5 如图10，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为上的一动点．‎ ‎（1）问添加一个什么条件后，能使得？请说明理由；‎ ‎（2）若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；‎ ‎（3）如图11，在 （1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论．‎ D B A O C E ‎·‎ 图10‎ D B A O C E 图11‎ ‎6‎ ‎6 如图1，已知正方形ABCD的边长为，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．‎ ‎（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）？ ‎ ‎（2）求四边形CDPF的周长；‎ ‎·‎ P D O G E M F B A C 图2‎ ‎（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示． 是否存在点P，使BF*FG=CF*OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由． ‎ ‎·‎ M ‎·‎ A F C O P E D 图1‎ ‎7 如图，在平面直角坐标系中，是轴正半轴上一点，与轴的正半轴交于两点，在的左侧，且的长是方程的两根，是的切线，为切点，在第四象限．‎ ‎（1）求的直径．‎ ‎（2）求直线的解析式．‎ ‎（3）在轴上是否存在一点，使是等腰三角形，若存在请在图2中标出点所在位置，并画出（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求的坐标）若不存在，请说明理由．‎ 图1‎ 图2‎ ‎1 已知：如图4-7，∠ACG=90°，AC=2，点B为CG边上的一个动点，连结AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F.‎ ‎1‎ 图4-7‎ 图4-8‎ （1） 当时，判断直线FD与以 AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；‎ （2） 如图4-8，点B在CG上向点C运动，‎ 直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两 点，连结AH，当∠CAB=∠BAD=∠DAH时，‎ 求BC的长 ‎2、如图，矩形ABAD中，AB=‎3cm，BC＝‎4cm，△ABC和△ADC的内切圆在AC上的切点分别为E、F，求EF的长。‎ ‎3、已知：在三角形ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3‎ A B C D E M F ‎（1）求证：AF=DF（2）求∠AED的余弦值（3）若BD=10，求△ABC的面积。‎ A B P C N E D O2·‎ ‎·‎ O1‎ 4、 已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，‎ PB的延长线交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O1于点N （1） 过点A作AE∥CN交⊙O1于E，求证：PA=PE ‎（2）连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长。‎ ‎5 如图，已知线段AB上一点O，以OB为半径的⊙O交线段AB于C，以线段AO为直径的半圆交⊙O于点D，过点B作AB的垂线与AD相交于点E，‎ （1） 求证：AE切⊙O于D；‎ （2） 求的值；‎ （3） 如果⊙O的半径为，且，求CD、OE的长；‎ ‎6已知，⊙O与⊙O外切，⊙O的半径，设⊙O的半径为，‎ （1） 如果⊙O与⊙O的圆心距，求的值；‎ （2） 如果⊙O与⊙O的公切线中有两条互相垂直，并且≤，求的值；‎ ‎7如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点B的直线交⊙O1、⊙O2于C、D， 的中点为M，AM交⊙O1于E，交CD于F，连CE、AD、DM．‎ ‎　　(1)求证：AM·EF＝DM·CE；　(2)求证：；‎ ‎　　(3)若BC＝5，BD＝7，CF＝2DF，AM＝4MF，求MF和CE的长．‎ ‎8 如图，点P是⊙O上任意一点，⊙O的弦AB所在的直线与⊙P相切于点C，PF为⊙O 的直径，设⊙O与⊙P的半径分别为R和r．‎ ‎　　(1)求证：△PCB∽△PAF； (2)求证：PA·PB＝2Rr；‎ ‎　　(3)若点D是两圆的一个交点，连结AD交⊙P于点E，当R＝3r，PA＝6，PB＝3时，求⊙P的弦DE的长．‎