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- 2021-05-10 发布
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2012 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的)
1.﹣2 的倒数是( )
A.2 B.﹣2 C. D
.
2.如图,已知 a∥b,∠1=65°,则∠2 的度数为( )
A.65° B.125° C.115° D
.
25°
3.在一个不透明的口袋中,装有 3 个红球,2 个白球,除颜色不同外,其余都相同,则随机从口袋中摸出
一个球为红色的概率是( )
A. B. C. D
.
4.下列各因式分解正确的是( )
A.﹣x2+(﹣2)2=(x﹣2)
(x+2)
B.x2+2x﹣1=(x﹣1)2 C.4x2﹣4x+1=(2x﹣1)2D
.
x2﹣4x=x(x+2)
(x﹣2)
5.已知:x1,x2 是一元二次方程 x2+2ax+b=0 的两根,且 x1+x2=3,x1x2=1,则 a、b 的值分别是( )
A.a=﹣3,b=1 B.a=3,b=1 C. ,b=﹣1 D
.
,b=1
6.如图,在一长方形内有对角线长分别为 2 和 3 的菱形,边长为 1 的正六边形和半径为 1 的圆,则一点
随机落在这三个图形内的概率较大的是( )
A.落在菱形内 B.落在圆内 C.落在正六边形内 D
.
一样大
7.下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 x﹣2y=2 的解是( )
A. B. C. D
.
8.已知:在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AC⊥BD,AD=3,BC=7,则梯形的面积是( )
A.25 B.50 C. D
.
9.已知:M,N 两点关于 y 轴对称,且点 M 在双曲线 上,点 N 在直线 y=x+3 上,设点 M 的坐标为
(a,b),则二次函数 y=﹣abx2+(a+b)x( )
A
.
有最大值,最大值为 B.有最大值,最大值为
C.有最小值,最小值为 D
.
有最小值,最小值为
10.下列命题中,真命题的个数有( )
①一个图形无论经过平移还是旋转,变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行
②函数 图象上的点 P(x,y)一定在第二象限
③正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面
④使得|x|﹣y=3 和 y+x2=0 同时成立的 x 的取值为 .
A.3 个 B.1 个 C.4 个 D
.
2 个
二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分,本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上,
不需要解答过程)
11.函数 y= 中,自变量 x 的取值范围是 _________ .
12.太阳的半径约为 696 000 千米,用科学记数法表示为 _________ 千米.
13.如图,在△ABC 中,∠B=47°,三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点 E,则∠AEC=
_________ .
14.实数 a,b 在数轴上的位置如图所示,则 的化简结果为 _________ .
15.一组数据﹣1,0,2,3,x,其中这组数据的极差是 5,那么这组数据的平均数是 _________ .
16.如图是某几何体的三视图及相关数据(单位:cm),则该几何体的侧面积为 _________
cm.
三、解答题(本大题包括 9 个小题,共 72 分,解答应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明)
17.(1)计算: .
(2)先化简,再求值: ,其中 .
18.(1)解不等式:5(x﹣2)+8<6(x﹣1)+7;
(2)若(1)中的不等式的最小整数解是方程 2x﹣ax=3 的解,求 a 的值.
19.如图,一次函数 y=kx+b 与反比例函数 的图象交于 A(m,6),B(n,3)两点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出 时 x 的取值范围.
20.如图,四边形 ABCD 是正方形,点 G 是 BC 边上任意一点,DE⊥AG 于 E,BF∥DE,交 AG 于 F.
(1)求证:AF﹣BF=EF;
(2)将△ABF 绕点 A 逆时针旋转,使得 AB 与 AD 重合,记此时点 F 的对应点为点 F′,若正方形边长为
3,求点 F′与旋转前的图中点 E 之间的距离.
21.如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况(单位:千米/时)
(1)找出该样本数据的众数和中位数;
(2)计算这些车的平均速度;(结果精确到 0.1)
(3)若某车以 50.5 千米/时的速度经过该路口,能否说该车的速度要比一半以上车的速度快?并说明判断
理由.
22.如图,线段 AB,DC 分别表示甲、乙两建筑物的高.某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高,
用自制测角仪在 B 外测得 D 点的仰角为 α,在 A 处测得 D 点的仰角为 β.已知甲、乙两建筑物之间的距
离 BC 为 m.请你通过计算用含 α、β、m 的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度.
23.如图,某化工厂与 A,B 两地有公路和铁路相连,这家工厂从 A 地购买一批每吨 1 000 元的原料运回
工厂,制成每吨 8 000 元的产品运到 B 地.已知公路运价为 1.5 元/(吨•千米),铁路运价为 1.2 元/(吨•
千米),这两次运输共支出公路运费 15 000 元,铁路运费 97 200 元,请计算这批产品的销售款比原料费和
运输费的和多多少元?
(1)根据题意,甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下:
甲:
乙:
根据甲,乙两名同学所列方程组,请你分别指出未知数 x,y 表示的意义,然后在等式右边的方框内补全
甲、乙两名同学所列方程组.
甲:x 表示 _________ ,y 表示 _________
乙:x 表示 _________ ,y 表示 _________
(2)甲同学根据他所列方程组解得 x=300,请你帮他解出 y 的值,并解决该实际问题.
24.如图,已知 AB 为⊙O 的直径,PA 与⊙O 相切于点 A,线段 OP 与弦 AC 垂直并相交于点 D,OP 与
弧 AC 相交于点 E,连接 BC.
(1)求证:∠PAC=∠B,且 PA•BC=AB•CD;
(2)若 PA=10,sinP= ,求 PE 的长.
25.如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a<0)与双曲线 相交于点 A,B,且抛物线经过坐标原点,点 A 的坐
标为(﹣2,2),点 B 在第四象限内,过点 B 作直线 BC∥x 轴,点 C 为直线 BC 与抛物线的另一交点,已
知直线 BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴的距离的 4 倍,记抛物线顶点为 E.
(1)求双曲线和抛物线的解析式;
(2)计算△ABC 与△ABE 的面积;
(3)在抛物线上是否存在点 D,使△ABD 的面积等于△ABE 的面积的 8 倍?若存在,请求出点 D 的坐标;
若不存在,请说明理由.
2012 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的)
1.(3 分)﹣2 的倒数是( )
A.2 B.﹣2 C. D
.
考点: 倒数。1444826
分析:[来
源:Z|xx|k.Com]
根据倒数的定义,若两个数的乘积是 1,我们就称这两个数互为倒数.
解答: 解:∵﹣2×( )=1,∴﹣2 的倒数是﹣ .
故选 D.
点评: 主要考查倒数的概念及性质.倒数的定义:若两个数的乘积是 1,我们就称这两个数互为倒数,属
于基础题.
2.(3 分)如图,已知 a∥b,∠1=65°,则∠2 的度数为( )
A.65° B.125° C.115° D
.
25°
考点: 平行线的性质。1444826
分析: 先根据平行线的性质求出∠3 的度数,再由平角的定义即 可得出结论.
解答: 解:∵a∥b,∠1=65°,
∴∠3=∠1=65°,
∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣65°=115°.
故选 C.
点评: 本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:两直线平行,内错角相等.
3.(3 分)在一个不透明的口袋中,装有 3 个红球,2 个白球,除颜色不同外,其余都相同,则随机从口
袋中摸出一个球为红色的概率是( )
A. B. C. D
.
考点: 概率公式。1444826
分析: 让红球的个数除以球的总数即为所求的概率.
解答: 解:袋子中球的总数为 2+3=5,红球有 3 个,则摸出红球的概率为 ,
故选 A.
点评: 本题主要考查概率公式的知识点,解答本题的关键是熟练掌握概率公式:概率=所求情况数与总情
况数之比.
4.(3 分)下列各因式分解正确的是( )
A.﹣x2+(﹣2)2=(x﹣2)
(x+2)
B.x2+2x﹣1=(x﹣1)2 C.4x2﹣4x+1=(2x﹣1)2D
.
x2﹣4x=x(x+2)
(x﹣2)
考点: 因式分解-运用公式法;因式分解-提公因式法。1444826
分析: 根据完全平方公式与平方差公式分解因式,提公因式法分解因式,对各选项分析判断后利用排除法
求解.
解答: 解:A、﹣x2+(﹣2)2=﹣x2+4=(2﹣x)(2+x),故本选项错误;
B、x2+2x﹣1 不符合完全平方公式,不能利用公式分解,故本选项错误;
C、4x2﹣4x+1=(2x﹣1)2,故本选项正确 ;
D、x2﹣4x=x(x﹣4),故本选项错误.
故选 C.
点评: 本题考查了公式法分解因式,提公因式法分解因式,熟记平方差公式与完全平方公式的结构式解题
的关键.
5.(3 分)已知:x1,x2 是一元二次方程 x2+2ax+b=0 的两根,且 x1+x2=3,x1x2=1,则 a、b 的值分别是
( )
A.a=﹣3,b=1 B.a=3,b=1 C. ,b=﹣1 D
.
,b=1
考点: 根与系数的关系。1444826
专题: 计算题。
分析: 先根据根与系数的关系可得 x1+x2=﹣2a,x1x2=b,而 x1+x2=3,x1x2=1,那么﹣2a=3,b=1,解即
可.
解答: 解:∵x1,x2 是一元二次方程 x2+2ax+b=0 的两根,
∴x1+x2=﹣2a,x1x2=b,
∵x1+x2=3,x1x2=1,
∴﹣2a=3,b=1,
即 a=﹣ ,b=1,
故选 D.
点评:[来
源:学_科_网 Z_X_X_K]
本题考查了根与系数的关系,解题的关键是掌握根与系数的等量关系的公式.
6.(3 分)如图,在一长方形内有对角线长分别为 2 和 3 的菱形,边长为 1 的正六边形和半径为 1 的圆,
则一点随机落在这三个图形内的概率较大的是( )
A.落在菱形内 B.落在圆内 C.落在正六边形内 D
.
一样大
考点: 几何概率。1444826
分析: 分别求得三个图形的面积,则面积最大的就是所求的图形.
解答: 解:菱形的面积是: ×2×3=3;
正六边形的面积是:6× = ;
圆的面积是:π.
∵π> >3,
∴圆的面积最大.
∴一点随机落在这三个图形内的概率较大的是:圆.
故选 B.
点评: 本题考查了几何概率,正确求得三个图形的面积是关键.
7.(3 分)下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 x﹣2y=2 的解是( )
A. B. C. D
.
考点: 一次函数与二元一次方程(组)。1444826
分析: 根据两点确定一条直线,当 x=0,求出 y 的值,再利用 y=0,求出 x 的值,即可得出一次函数图象
与坐标轴交点,即可得出图象.
解答: 解:∵x﹣2y=2,
∴y= x﹣1,
∴当 x=0,y=﹣1,当 y=0,x=2,
∴一次函数 y= x﹣1,与 y 轴交于点(0,﹣1),与 x 轴交于点(2,0),
即可得出 C 符合要求,
故选:C.
点评: 此题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系,将方程转化为函数关系进而得出与坐标轴交点坐
标是解题关键.
8.(3 分)已知:在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AC⊥BD,AD=3,BC=7,则梯形的面积是( )
A.25 B.50 C. D
.
考点: 等腰梯形的性质。1444826
分析: 过点 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E,作 DF⊥BC 于 F,证平行四边形 ADEC,推出
AC=DE=BD,∠BDE=90°,根据等腰三角形性质推出 BF=DF=EF= BE,求出 DF,根据梯形的面积
公式求出即可.
解答: 解:过点 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E,
∵AD∥BC(已知),
即 AD∥CE,
∴四边形 ACED 是平行四边形,
∴AD=CE=3,AC=DE,
在等腰梯形 ABCD 中,AC=DB,
∴DB=DE(等量代换),
∵AC⊥BD,AC∥DE,
∴DB⊥DE,
∴△BDE 是等腰直角三角形,
作 DF⊥BC 于 F,
则 DF= BE=5,
S 梯形 ABCD= (AD+BC)•DF= (3+7)×5=25,
故选 A.
点评: 本题主要考查对等腰三角形性质,平行四边形的性质和判定,等腰梯形的性质,等腰直角三角形等
知识点的理解和掌握,能求出高 DF 的长是解此题的关键.
9.(3 分)已知:M,N 两点关于 y 轴对称,且点 M 在双曲线 上,点 N 在直线 y=x+3 上,设点 M 的
坐标为(a,b),则二次函数 y=﹣abx2+(a+b)x( )
A
.
有最大值,最大值为 B.有最大值,最大值为
C.有最小值,最小值为 D
.
有最小值,最小值为
考点: 二次函数的最值;一次函数图象上点的坐标特征;反比例函数图象上点的坐标特征;关于 x 轴、y
轴对称的点的坐标。1444826
分析: 先用待定系数法求出二次函数的解析式,再根据二次函数图象上点的坐标特征求出其最值即可.
解答: 解:∵M,N 两点关于 y 轴对称,点 M 的坐标为(a,b),
∴N 点的坐标为(﹣a,b),
又∵点 M 在反比例函数 的图象上,点 N 在一次函数 y=x+3 的图象上,
∴ ,
整理得 ,
故二次函数 y=﹣abx2+(a+b)x 为 y=﹣ x2+3x,
∴二次项系数为﹣ <0,故函数有最大值,最大值为 y= = ,
故选:B.
点评: 本题考查的是二次函数的最值.求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,
第二种是配方法,第三种是公式法.本题是利用公式法求得的最值.
10.(3 分)下列命题中,真命题的个数有( )
①一个图形无论经过平移还是旋转,变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行
②函数 图象上的点 P(x,y)一定在第二象限
③正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面
④使得|x|﹣y=3 和 y+x2=0 同时成立的 x 的取值为 .
A.3 个 B.1 个 C.4 个 D
.
2 个
考点: 命题与定理;非负数的性质:绝对值;二次根式有意义的条件;解一元二次方程-公式法;二次函
数图象上点的坐标特征;平移的性质;旋转的性质;平行投影。1444826
分析: ①根据平移的性质以及旋转的性质得出答案即可;②根据二次根式的性质以及点的坐标性质,得
出答案;③根据正投影的定义得出答案;
④根据使得|x|﹣y=3 和 y+x2=0 同时成立,即 y=|x|﹣3,y=﹣x2,故|x|﹣3=﹣x2,进而利用绝对值得
性质,解方程即可得出答案.
解答: 解:①平移后对应线段平行;对应线段相等;对应角相等;图形的形状和大小没有发生变化.
旋转后对应线段不平行;对应线段相等;对应角相等;图形的形状和大小没有发生变化,故此选项
错误;
②根据二次根式的意义得出 x<0,y>0,故函数 图象上的点 P(x,y)一定在第二
象限,故此选项正确;
③根据正投影的定义得出,正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面,故此选项正确;
④使得|x|﹣y=3 和 y+x2=0 同时成立,即 y=|x|﹣3,y=﹣x2,故|x|﹣3=﹣x2,
x2﹣|x|﹣3=0,
当 x>0,则 x2﹣x﹣3=0,
解得:x1= ,x2= (不合题意舍去),
当 x<0,则 x2+x﹣3=0,
解得:x1= (不合题意舍去),x2= ,
故使得|x|﹣y=3 和 y+x2=0 同时成立的 x 的取值为: , ,故此选项错误,
故正确的有 2 个,
故选:D.
点评: 此题主要考查了平移的性质以及旋转的性质和二次根式的性质、正投影、解一元二次方程等知识,
熟练根据绝对值性质整理出一元二次方程是解题关键.
二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分,本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上,
不需要解答过程)
11.(3 分)函数 y= 中,自变量 x 的取值范围是 x≠2 .
考点: 函数自变量的取值范围;分式有意义的条件。1444826
专题: 计算题。
分析: 求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,分式有意义的条件是:分母不为
0.
解答: 解:x﹣2≠0,解得 x≠2.
点评: 本题考查的知识点为:分式有意义,分母不为 0.
12.(3 分)太阳的半径约为 696 000 千米,用科学记数法表示为 6.96×105 千米.
考点: 科学记数法—表示较大的数。1444826
分析:[来
源:Z&xx&k.Com]
科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变
成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10 时,n 是
正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数.
解答: 解:将 696 000 千米用科学记数法表示为 6.96×105 千米.
点评: 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整
数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
13.(3 分)如图,在△ABC 中,∠B=47°,三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点 E,则∠AEC=
66.5° .
考点: 三角形内角和定理;三角形的外角性质。1444826
分析: 根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得 ∠DAC+ ACF=
(∠B+∠B+∠BAC+∠BCA)= ;最后在△AEC 中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC 的度
数.
解答: 解:∵三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点 E,
∴∠EAC= ∠DAC,∠ECA= ∠ACF;
又∵∠B=47°(已知),∠B+∠BAC+∠BCA=180°(三角形内角和定理),
∴ ∠DAC+ ACF= (∠B+∠ACB)+ (∠B+∠BAC)= (∠B+∠B+∠BAC+∠BCA)= (外角
定理),
∴∠AEC=180°﹣( ∠DAC+ ACF)=66.5°;
故答案是:66.5°.
点评: 本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质.解题时注意挖掘出隐含在题干中已知条件“三角
形内角和是 180°”.
14.(3 分)实数 a,b 在数轴上的位置如图所示,则 的化简结果为 ﹣b .
考点: 二次根式的性质与化简;实数与数轴。1444826
专题: 计算题。
分析: 由数轴得出 b<0<a,|b|>|a|,原式化简为|a+b|+a,去掉绝对值符号得出﹣a﹣b+a,合并同类项即
可.
解答: 解:∵由数轴可知:b<0<a,|b|>|a|,
∴ +a,
=|a+b|+a,
=﹣a﹣b+a,
=﹣b,
故答案为:﹣b.
点评: 本题考查了二次根式的性质与化简和实数与数轴的应用,解此题的关键是根据数轴得出 b<0<a 和
|b|>|a|,题目比较典型,是一道比较好的题目.
15.(3 分)一组数据﹣1,0,2,3,x,其中这组数据的极差是 5,那么这组数据的平均数是 1.6 或
0.4 .
考点: 算术平均数;极差。1444826
分析: 根据极差的定义求解.分两种情况:x 为最大值或最小值.再根据平均数的公式求解即可.
解答: 解:一组数据﹣1,0,2,3,x 的极差是 5,
当 x 为最大值时,x﹣(﹣1)=5,x=4,平均数是:(﹣1+0+2+3+4)÷5=1.6;
当 x 是最小值时,3﹣x=5,解得:x=﹣2,平均数是:(﹣1+0+2+3﹣2)÷5=0.4.
故答案为:1.6 或 0.4.
点评: 考查了极差的定义和算术平均数,正确理解极差的定义,能够注意到应该分两种情况讨论是解决本
题的关键.
16.(3 分)如图是某几何体的三视图及相关数据(单位:cm),则该几何体的侧面积为 2π
cm.
考点: 圆锥的计算;由三 视图判断几何体。1444826
分析: 根据三视图易得此几何体为圆锥,再根据圆锥侧面积公式=(底面周长×母线长)÷2 可计算出结
果.
解答: 解:由题意得底面直径为 2,母线长为 2,
∴几何体的侧面积为 ×2×2π=2π,
故答案为:2π.
点评: 此题主要考查了由三视图判断几何体,以及圆锥的侧面积公式的应用,关键是找到等量关系里相应
的量.
三、解答题(本大题包括 9 个小题,共 72 分,解答应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明)
17.(10 分)(1)计算: .
(2)先化简,再求值: ,其中 .
考点: 分式的化简求值;实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值。1444826
分析: (1)根据特殊角的三角函数值,绝对值,负整数指数幂进行计算;
(2)先通分,将除法转化为乘法,约分,再代值计算.
解答: 解:(1)原式= +( ﹣1)+ =2 ﹣ ;
(2)原式=( x+1)÷ = ,
当 x=﹣ 时,原式=﹣ ×(﹣ +1)÷(﹣ ×3+1)=﹣ .
点评: 本题考查了分式的化简求值,实数的运算,负整数指数幂,特殊角的三角函数值.关键是熟练掌握
每一个运算法则.
18.(6 分)(1)解不等式:5(x﹣2)+8<6(x﹣1)+7;
(2)若(1)中的不等式的最小整数解是方程 2x﹣ax=3 的解,求 a 的值.
考点: 解一元 一次不等式;一元一次方程的解;一元一次不等式的整数解。1444826
分析: (1)根据不等式的基本性质先去括号,然后通过移项、合并同类项即可求得原不等式的解集;
(2)根据(1)中的 x 的取值范围来确定 x 的最小整数解;然后将 x 的值代入已知方程列出关于系
数 a 的一元一次方程 2×(﹣2)﹣a×(﹣2)=3,通过解该方程即可求得 a 的值.
解答: 解:(1)5(x﹣2)+8<6(x﹣1)+7
5x﹣10+8<6x﹣6+7
5x﹣2<6x+1
﹣x<3
x>﹣3
(2)由(1)得,最小整数解为 x=﹣2,
∴2×(﹣2)﹣a×(﹣2)=3
∴a= .
点评: 本题考查了解一元一次不等式、一元一次方程的解以及一元一次不等式的整数解.解不等式要依据
不等式的基本性质:
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变;
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变;
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.
19.(6 分)如图,一次函数 y=kx+b 与反比例函数 的图象交于 A(m,6),B(n,3)两
点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出 时 x 的取值范围.
考点: 反比例函数与一次函数的交点问题。1444826
分析: (1)先把(m,6)、B(n,3)代入反比例函数,可求 m、n 的值,即可得 A、B 的坐标,然后把 AB
两点坐标代入一次函数,可得关于 k、b 的二元一次方程组,解可得 k、b 的值,进而可得一次函数
的解析式;
(2)根据图象可知当 1<x<2 时,一次函数 y 的值大于反比例函数 y 的值.
解答: 解:(1)∵点 A(m,6)、B(n,3)在函数 y= 图象上,
∴m=1,n=2,
∴A 点坐标是(1,6),B 点坐标是(2,3),
把(1,6)、(2,3)代入一次函数 y=kx+b 中,得
,
解得 ,
∴一次函数的解析式为 y=﹣3x+9;
(2)由图象知:1<x<2.
点评: 本题考查了一次函数与反比例函数交点的问题,解题的关键是先求出 m、n 的值,并注意待定系数
法的使用.
20.(7 分)如图,四边形 ABCD 是正方形,点 G 是 BC 边上任意一点,DE⊥AG 于 E,BF∥DE,交 AG 于
F.
(1)求证:AF﹣BF=EF;
(2)将△ABF 绕点 A 逆时针旋转,使得 AB 与 AD 重合,记此时点 F 的对应点为点 F′,若正方形边长为
3,求点 F′与旋转前的图中点 E 之间的距离.
考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;矩形的判定与性质;旋转的性质。1444826
专题: 几何综合题。
分析: (1)由四边形 ABCD 为正方形,可得出∠BAD 为 90°,AB=AD,进而得到∠BAG 与∠EAD 互余,
又 DE 垂直于 AG,得到∠EAD 与∠ADE 互余,根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF,利用 AAS
可得出三角形 ABF 与三角形 ADE 全等,利用全等三角的对应边相等可得出 BF=AE,由
AF﹣AE=EF,等量代换可得证;
(2)将△ABF 绕点 A 逆时针旋转,使得 AB 与 AD 重合,记此时点 F 的对应点为点 F′,连接 EF′,
如图所示,由旋转的性质可得出∠FAF′为直角,AF=AF′,由第一问的全等可得出 AF=DE,等量代
换可得出 DE=AF′=AF,再利用同旁内角互补两直线平行得到 AF′与 DE 平行,根据一组对边平行且
相等的四边形为平行四边形可得出 AEDF′为平行四边形,再由一个角为直角的平行四边形为矩形可
得出 AEDF′为矩形,根据矩形的对角线相等可得出 EF′=AD,由 AD 的长即可求出 EF′的长.
解答: (1)证明:如图,∵正方形 ABCD,
∴AB=AD,∠BAD=∠BAG+∠EAD=90°,
∵DE⊥AG,
∴∠AED=90°,
∴∠EAD+∠ADE=90°,
∴∠ADE=∠BAF,
又∵BF∥DE,
∴∠AEB=∠AED=90°,
在△AED 和△BFA 中,
∵ ,
∴△AED≌△BDA(AAS),
∴BF=AE,
∵AF﹣AE=EF,
∴AF﹣BF=EF;
(2)解:如图,
根据题意知:∠FAF′=90°,DE=AF′=AF,
∴∠F′AE=∠AED=90°,即∠F′AE+∠AED=180°,
∴AF′∥ED,
∴四边形 AEDF′为平行四边形,又∠AED=90°,
∴四边形 AEDF′是矩形,
∴EF′=AD=3.
点评: 此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,以及旋转的性质,熟练
掌握判定与性质是解本题的关键.
21.(9 分)如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况(单位:千米/时)
(1)找出该样本数据的众数和中位数;
(2)计算这些车的平均速度;(结果精确到 0.1)
(3)若某车以 50.5 千米/时的速度经过该路口,能否说该车的速度要比一半以上车的速度快?并说明判断
理由.
考点: 条形统计图;加权平均数;中位数;众数。1444826
专题: 图表型。
分析: (1)根据众数的定义,找出车辆数最多的即为众数,先求出车辆数的总数,再根据中 位数的定义
解答;
(2)根据加权平均数的计算方法列式计算即可得解;
(3)与中位数相比较,大于中位数则是比一半以上车的 速度快,否则不是.
解答: 解:(1)该样本数据中车速是 52 的有 8 辆,最多,
所以,该样本数据的众数为 52,
样本容量为:2+5+8+6+4+2=27,
按照车速从小到大的顺序排列,第 13 辆车的车速是 52,
所以,中位数为 52;
(2) ≈52.4 千米/ 时;
(3)不能,
因为由(1)知样本的中位数为 52,所以可以估计该路段的车辆大约有一半的车速要快于 52 千米/
时,
该车的速度是 50.5 千米/时,小于 52 千米/时,所以不能说该车的速度要比一半以上车的速度快.
点评: 本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关
键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据,也考查了平均数、中位数、众数的认识.
22.(6 分)如图,线段 AB,DC 分别表示甲、乙两建筑物的高.某初三课外兴趣活动小组为了测量两建
筑物的高,用自制测角仪在 B 外测得 D 点的仰角为 α,在 A 处测得 D 点的仰角为 β.已知甲、乙两建筑
物之间的距离 BC 为 m.请你通过计算用含 α、β、m 的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度.
考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题。1444826
分析: 首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及到两个直角三角形△ADM、△DBC,应借助
AE=BC,求出 DC,DM,从而求出 AB 即可.
解答: 解:过点 A 作 AM⊥CD,垂足为 M,
在 Rt△BCD 中,tanα= ,
∴CD=BC•tanα=mtanα,
在 Rt△AMD 中,tanβ= ,
∴DM=AM•tanβ=mtanβ,
∴AB=CD﹣DM=m(tanα﹣tanβ).
故甲建筑物的高度为 mtanα,乙建筑物的高度为 m(tanα﹣tanβ).
点评: 此题主要考查了解直角三角形的应用,借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解
直角三角形是解题关键.
23.(8 分)如图,某化工厂与 A,B 两地有公路和铁路相连,这家工厂从 A 地购买一批每吨 1 000 元的原
料运回工厂,制成每吨 8 000 元的产品运到 B 地.已知公路运价为 1.5 元/(吨•千米),铁路运价为 1.2 元/
(吨•千米),这两次运输共支出公路运费 15 000 元,铁路运费 97 200 元,请计算这批产品的销售款比原
料费和运输费的和多多少元?
(1)根据题意,甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下:
甲:
乙:
根据甲,乙两名同学所列方程组,请你分别指出未知数 x,y 表示的意义,然后在等式右边的方框内补全
甲、乙两名同学所列方程组.
甲:x 表示 产品的重量 ,y 表示 原料的重量
乙:x 表示 产品销售额 ,y 表示 原料费
(2)甲同学根据他所列方程组解得 x=300,请你帮他解出 y 的值,并解决该实际问题.
考点: 二元一次方程组的应用。1444826
分析: (1)仔细分析题意根据题目中的两个方程表示出 x,y 的值并补全方程组即可;
(2)将 x 的值代入方程组即可得到结论.
解答: 解:(1)甲:x 表示产品的重量,y 表示原料的重量,
乙:x 表示产品销售额,y 表示原料费,
甲方程组右边方框内的数分别为:15000,97200,乙同甲;
(2)将 x=300 代入原方程组解得 y=400
∴产品销售额为 300×8000=2400000 元
原料费为 400×1000=400000 元
又∵运费为 15000+97200=112200 元
∴这批产品的销售额比原料费和运费的和多 2400000﹣(400000+112200)=1887800 元
点评: 本题考查了二元一次方程组的应用,解题的关键是从题目中找到等量关系并写出表示出 x、y 所表
示的实际意义.
24.(8 分)如图,已知 AB 为⊙O 的直径,PA 与⊙O 相切于点 A,线段 OP 与弦 AC 垂直并相交于点 D,
OP 与弧 AC 相交于点 E,连接 BC.
(1)求证:∠PAC=∠B,且 PA•BC=AB•CD;
(2)若 PA=10,sinP= ,求 PE 的长.
考点: 切线的性质;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质;解直角三角形。1444826
专题: 几何综合题。
分析: (1)由 PA 为圆 O 的切线,利用切线的性质得到 AP 垂直于 AB,可得出∠PAO 为直角,得到∠PAD
与∠DAO 互余,再由 AB 为圆 O 的直径,根据直径所对的圆周角为直角,可得出∠ACB 为直角,得
到∠DAO 与∠B 互余,根据同角的余角相等可得出∠PAC=∠B,再由一对直角相等,利用两对对应角
相等的两三角形相似可得出三角形 APD 与三角形 ABC 相似,由相似得比例,再由 OD 垂直于 AC,
利用垂径定理得到 AD=CD,等量代换可得证;
(2)在直角三角形 APD 中,由 PA 及 sinP 的值求出 AD 的长,再利用勾股定理求出 PD 的长,进
而确定出 AC 的长,由第一问两三角形相似得到的比例式,将各自的值代入求出 AB 的上,求出半
径 AO 的长,在直角三角形 APO 中,由 AP 及 AO 的长,利用勾股定理求出 OP 的长,用 OP﹣OE
即可求出 PE 的长.
解答: (1)证明:∵PA 是⊙O 的切线,AB 是直径,
∴∠PAO=90°,∠C=90°,
∴∠PAC+∠BAC=90°,∠B+∠BAC=90°,
∴∠PAC=∠B,
又∵OP⊥AC,
∴∠ADP=∠C=90°,
∴△PAD∽△ABC,
∴AP:AB=AD:BC,
∵在⊙O 中,AD⊥OD,
∴AD=CD,
∴AP:AB=CD:BC,
∴PA•BC=AB•CD;
(2)解:∵sinP= ,且 AP=10,
∴ = ,
∴AD=6,
∴AC=2AD=12,
∵在 Rt△ADP 中,PD= =8,
又∵△PAD∽△ABC,
∴AP:AB=PD:AC,
∴AB= =15,
∴A0= ,
在 Rt△APO 中,根据勾股定理 得:OP= = ,
∴PE=OP﹣OE= ﹣ =5.
点评: 此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,圆周角定理,勾股定理,垂径定理,以及锐角
三角函数定义,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
25.(12 分)如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a<0)与双曲线 相交于点 A,B,且抛物线经过坐标原点,
点 A 的坐标为(﹣2,2),点 B 在第四象限内,过点 B 作直线 BC∥x 轴,点 C 为直线 BC 与抛物线的另一
交点,已知直线 BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴的距离的 4 倍,记抛物线顶点为 E.
(1 )求双曲线和抛物线的解析式;
(2)计算△ABC 与△ABE 的面积;
(3)在抛物线上是否存在点 D,使△ABD 的面积等于△ABE 的面积的 8 倍?若存在,请求出点 D 的坐标;
若不存在,请说明理由.
考点: 二次函数综合题。1444826
专题: 综合题。
分析: (1)将点 A 的坐标代入双曲线方程即可得出 k 的值,设 B 点坐标为(m,﹣4m)(m>0),根据
双曲线方程可得出 m 的值,然后分别得出了 A、B、O 的坐标,利用待定系数法求解二次函数解析
式即可;
(2)根据点 B 的坐标,结合抛物线方程可求出点 C 的坐标,继而可得出三角形 ABC 的面积,先
求出 AB 的解析式,然后求出点 F 的坐标,及 EF 的长,继而根据 S△ABE=S△AEF+S△BEF 可得出答
案.
(3)先确定符合题意的三角形 ABD 的面积,继而可得出当点 D 与点 C 重合时,满足条件,过点 C
作 AB 的平行线 CD,则可求出其解析式,求出其与抛物线的交点坐标即可得出点 D 的坐标.
解答: 解:(1)∵点 A(﹣2,2)在双曲线 y= 上,
∴k=﹣4,
∴双曲线的解析式为 y=﹣ ,
∵BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴距离的 4 倍,
∴设 B 点坐标为(m,﹣4m)(m>0)代入双曲线解析式得 m=1,
∴抛物线 y=ax2+bx+c(a<0)过点 A(﹣2,2)、B(1,﹣4)、O(0,0),
∴ ,
解得: ,
故抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣3x;
(2)∵抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣3x,
∴顶点 E(﹣ , ),对称轴为 x=﹣ ,
∵B (1,﹣4),
∴﹣x2﹣3x=﹣4,
解得:x1=1,x2=﹣4,
∴C(﹣4,﹣4),
∴S△ABC=5×6× =15,
由 A、B 两点坐标为(﹣2,2),(1,﹣4)可求得直线 AB 的解析式为:y=﹣2x﹣2,
设抛物线的对称轴与 AB 交于点 F,则 F 点的坐标为(﹣ ,1),
∴EF= ﹣1= ,
∴S△ABE=S△AEF+S△BEF= × ×3= ;
(3)S△ABE= ,
∴8S△ABE=15,
∴当点 D 与点 C 重合时,显然满足条件;
当点 D 与点 C 不重合时,过点 C 作 AB 的平行线 CD,其对应的一次函数解析式为 y=﹣2x﹣12,[来
源:Zxxk.Com]
令﹣2x﹣12=﹣x2﹣3x,
解得 x1=3,x2=﹣4(舍去),
当 x=3 时,y=﹣18,
故存在另一点 D(3,﹣18)满足条件.
综上可得点 D 的坐标为(3,﹣18)或(﹣4,﹣4).
点评: 此题属于二次函数的综合题目,第一问的解答关键是掌握待定系数法的运用,求解第二问需要我们
会根据函数解析式求两函数图象的交点坐标,此类综合题目,难度较大,注意逐步分析.