中考数学专项复习 26页

中考数学专项复习 一、化简求值 ‎ 例1 已知，求的值.‎ ‎ 解：原式=‎ ‎ =.‎ ‎ 当时，原式.‎ 说明 这是2008年河北省中考数学试题的第19题，考查学生基本的运算技能.‎ 例2 已知，求的值.‎ ‎ 解：原式=，‎ ‎ 当时，==1.‎ 说明 这是2007年河北省中考数学试题的第19题.‎ ‎ 例3 已知，求的值.‎ ‎ 解 原式=.‎ ‎ 当时，==.‎ ‎ 说明 这是2006年河北省中考数学试题的第16题.‎ ‎ 例4 已知x＝，求的值．‎ ‎ 解 原式=.‎ ‎ 当x＝时，=2.‎ ‎ 说明 这是2005年河北省中考数学试题的第16题.‎ ‎ 考查学生的基础知识和基本技能.代数题：化简求值；几何题：利用三角形相似或全等解决以投影为背景实际问题.‎ ‎ 二、几何应用 ‎ 例1 气象台发布的卫星云图显示，代号为W的在某海岛（设为点O）的东 偏南45°方向的点B生成，测得km. 台风中心从点B以‎40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处. 因受气旋影响，台风中心从点C开始以‎30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动. 以O为原点建立如图1所示的坐标系.‎ ‎(1) 点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；（结果保留根号）‎ O A B y/ km x/ km 北 ‎ 东 ‎ 图 ‎60°‎ ‎45°‎ C D ‎（2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭，如果某城市（设为点A）位于点O的正北方向且处于台风中心移动的路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？‎ 解：（1），‎ ‎ . ‎ ‎（2）过点C作于点D，‎ 则CD=.‎ 再Rt△ACD中，,‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ CA=200， ‎ ‎， ‎ ‎∴ 台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时.‎ 说明 这是2008年河北省中考数学试题的第22题，考查学生运用所学知识解决简单实际问题的能力. 本题以几何为背景，考查内容涉及解直角三角形、计算、推理和判断.‎ 例2 某段笔直的限速公路上。规定汽车的最高行驶速度不能超过‎60 km/h(即m/s) .交通管理部门在离该公路‎100m处设置了一个速度监测点A 在如图2所示的坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A北偏东45°方向上.‎ O A（0,-100）‎ B y/ m x/ m 北 ‎ 东 ‎ 图2‎ ‎60°‎ ‎（1）请在图13-6中画出表示北偏东45°‎ 方向的射线AC，并标出点C的位置；‎ ‎（2）点B的坐标为 , 点C的坐 标为 ；‎ ‎（3）一辆汽车从点B行驶到点C所用时 间为15s，通过计算，判断该汽车在限速公路上是否超速行驶？（约等于1.7）‎ 图3‎ O A（0,-100）‎ B y/ m x/ m ‎60°‎ ‎45°‎ C 解：（1）射线AC和点C的位置如图3 所示.‎ ‎（2）.‎ ‎（3）(m).‎ ‎ (m/s).‎ ‎ ∵, ‎ ‎∴ 这辆车在限速公路上超速行驶了.‎ 说明 这是2007年河北省中考数学试题的第20题，‎ 建筑物 胜利街 光明巷 步行街 A M B P N Q D E 图4‎ 例3 如图4所示，，.‎ 小亮沿AB方向前进，小明在点P处等候.‎ ‎ （1）小亮走到点C的位置时，小明恰好 能看见小亮，在图上标出点C；‎ ‎ （2）设m，m，m，‎ 求点C到点M的距离.‎ ‎ 解（1）点C的位置如图5‎ ‎ （2）∵，，‎ C 建筑物 胜利街 光明巷 步行街 A M B P N Q D E 图5‎ ‎∴ .‎ 又∵，‎ ‎ ∴ △CDM ∽△PDN,‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∵ m，m，m，‎ ‎∴ CM=PN ‎ 答 点C到点M的距离是16m.‎ ‎ 说明 这是2006年河北省中考数学试题的第17题.‎ 三、归纳与探索 ‎ ‎ 例1 有一个四等份转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图14-1. 若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90°，则完成一次变换. 图14-2、14-3分别表示第一次变换和第二次变换. 按上述规则完成第九次变换后，“众”字位于转盘的位置是 城 成 志 众 图1-1‎ 城 成 志 众 城 成 志 众 城 成 志 众 城 成 志 众 图1-2‎ 图1-3‎ 第一次变换 第二次变换 ‎ A. 上 B. 下 C. 左 D. 右 ‎ 答案：C.‎ 说明 这是2008年河北省中考数学试题的第10题.‎ 例2 我国古代的“河图”是由的方格构成的，每个方格 内有不同数目的点图. 每一行、每一列以及每条对角线上的三个点 图的点数之和均相等.图14-4给出了“河图”的部分点图，那么P 图1-4‎ 处所对应的点图是（ ）‎ A B C D 答案：C 说明 这是2007年河北省中考数学试题的第8题.‎ ‎ 例3 用M, N, P, Q各代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种.图14-5—图14-8是由M, N, P, Q中的两种图形组合而成的（组合用&表示）.‎ 图2-1‎ M&P 图2-2‎ N&P 图2-3‎ N&Q 图2-4‎ M&Q 那么，下列组合图形中，P&Q代表的是（ ）‎ A B C D 答案：B 说明 这是2007年河北省中考数学试题的第10题.‎ 四、统计与概率 ‎（一）统计 A B C D ‎35%‎ ‎20%‎ ‎20%‎ 图1-1‎ 例1 某种子培育基地用A、B、C、D四种型号的小麦种子共2000粒进行发芽实验，以便选出发芽率高的种子进行推广.根据实验数据绘制了两幅尚不完整的统计图，如图1-1、图1-2. 已知C型号的种子的发芽率为95%.‎ ‎（1）D型号种子的粒数是 ；‎ ‎（2）将统计图2补充完整；‎ ‎（3）通过计算说明，应选哪一个型号的种子进行推广；‎ ‎（4）若将所有已发芽的种子放到一起，从中随机取出一粒，‎ ‎ 求取到B型号发芽种子的概率.‎ ‎0‎ ‎200‎ ‎400‎ ‎600‎ ‎800‎ A B C D 型号 ‎630‎ 图1-2‎ ‎370‎ ‎470‎ 发芽数/粒 解：（1）500.‎ ‎（2）如图1-3.‎ ‎（3）A型号种子 粒数： ，‎ ‎ 发芽粒数：630，‎ ‎ 发芽率： .‎ ‎0‎ ‎200‎ ‎400‎ ‎600‎ ‎800‎ A B C D 型号 ‎630‎ 图1-3‎ ‎370‎ ‎380‎ ‎470‎ 发芽数/粒 B型号种子 粒数： ，‎ ‎ 发芽粒数：370，‎ ‎ 发芽率： .‎ C型号种子 粒数： ，‎ ‎ 发芽粒数：380，‎ ‎ 发芽率： .‎ D型号种子 粒数： ，发芽粒数：470， 发芽率： .‎ 所以应选C型号种子进行推广.‎ ‎（4）P(取到B型号发芽种子)=.‎ ‎ 说明 这是2008年河北省中考数学试题的第20题. 综合考查统计与概率的有关知识，这是河北省中考数学试题的新动向.‎ 例2甲、乙两个篮球队在集训期间进行了五场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成如图2-1、图2-2所示的统计图.‎ ‎（1）在图2-2中画折线表示乙队在集训期间比赛成绩的变化情况；‎ ‎（2）已知甲队五场比赛成绩的平均分甲=90，请计算乙队五场比赛成绩的平均分乙；‎ ‎（3）就这五场比赛，分别计算两队成绩的极差；‎ 图2-1‎ 图2-2‎ ‎（4）如果从甲乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计情况，试从平均分、折线图的走势、获胜场数和极差四个方面分别进行分析，你认为选派哪个球队参赛更能取得好成绩？‎ ‎ ‎ 解：（1）如图2-3‎ 图2-3‎ ‎（2）（分）.‎ ‎（3）甲队成绩的极差是18分，‎ 乙队成绩的极差是30分.‎ ‎（4）从平均分看，两队的平均分相同，实力大相当；‎ 从折线的走势看，甲队比赛成绩呈上升趋势，乙队比 赛成绩呈下降趋势；从获胜场数看，甲队胜3场，乙 队胜两场；从极差看，甲队成绩较稳定.综上所述，选派甲队参赛更能取得好成绩.‎ 说明 这是2007年河北省中考数学试题的第21题，考查学生关于统计基础知识和基本技能的掌握情况.‎ 例3某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：‎ 员工 管理人员 普通工作人员 人员结构 总经理 部门经理 科研人员 销售人员 高级技工 中级技工 勤杂工 员工数/名 ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎24‎ ‎1‎ 每人月工资/元 ‎21000‎ ‎8400‎ ‎2025‎ ‎2200‎ ‎1800‎ ‎1600‎ ‎950‎ 部门经理 小张 这个经理的介绍能反映该公司员工的月工资实际水平吗？‎ 欢迎你来我们公司应聘！我公司员工的月平均工资是2500元，薪水是较高的．‎ 图2-4‎ 请你根据上述内容，解答下列问题：‎ ‎（1）该公司“高级技工”有 名；‎ ‎（2）所有员工月工资的平均数为2500元，‎ ‎ 中位数为 元，众数为 元；‎ ‎（3）小张到这家公司应聘普通工作人员．‎ 请你回答右图中小张的问题，并指 出用（2）中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；‎ ‎（4）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资（结果保留整数），并判断能否反映该公司员工的月工资实际水平．‎ 解 （1）16；‎ ‎（2）1700，1600；‎ ‎（3）不能.中位数或众数（说出一个即可）.‎ ‎（4）（元），‎ 能反映该公司员工的月工资实际水平．‎ 说明 这是2006年河北省中考数学试题的第20题，考查学生对描述数据集中趋势特征量的认识. ‎ 平均数在描述数据集中趋势时，易受极端数据的干扰，其代表性不如中位数和众数良好．为此可以将极端数据排除后计算其它数据的平均数来代表该组数据的集中趋势．由此加深学生对数据集中趋势特征数的理解．‎ ‎ 五、函数图像 ‎ A(4,0)‎ B C D O x y ‎3‎ 图1‎ 例1 如图1，直线的表达式为， 与x轴交于点D. 直线经过点A、B，且与直线相交于点C.‎ ‎（1）求点D的坐标；‎ ‎（2）求直线的表达式；‎ ‎（3）求△ABC的面积；‎ ‎（4）在直线上存在异于点C的点P，使得 ‎△ADP与△ADC的面积相等，请直接写 出点P的坐标.‎ 解（1）直线的表达式为，‎ ‎ 解，得x=1，‎ ‎ ∴‎ ‎ （2）由图16-1可知、. 设直线的表达式为,代入点、的坐标，得到 ‎ ‎ ‎ 解得 ‎ ‎ ∴直线的表达式为.‎ ‎ （3）解得 ‎ ∴.‎ ‎ （4）‎ 说明 这是2008年河北省中考数学试题的第21题，考查一次函数图像的有关知识.‎ 例2 如图-2，已知二次函数的图像经过点A和点B.‎ ‎（1）求该二次函数的表达式；‎ ‎（2）写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；‎ ‎（3）点与点Q均在该函数图像上（其中）且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离.‎ 解：（1）将、，、分别代入得 图2‎ ‎-1‎ ‎3‎ ‎-9‎ O ‎-1‎ x y ‎ ‎ ‎ 解得 .‎ 所以二次函数的表达式为.‎ ‎（2）对称轴为，顶点坐标为 ‎（3）将代入得 ‎，‎ ‎ 解得或.‎ ‎ 不符合题意，舍去，‎ ‎ ∴ m=6.‎ ‎ ∵点P与点Q关于x轴对称，‎ ‎∴点Q到x轴的距离为6.‎ 说明 这是2007年河北省中考数学试题的第22题，考查二次函数的有关知识.‎ 例3　甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图3所示，请根据图像所提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）乙队开挖到30m时，用了_____h．开挖6h时甲队比乙队多挖了_____m；‎ ‎（2）请你求出：①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；‎ ‎②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；‎ ‎（3）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？‎ ‎ 解 （1）2，10；‎ ‎6‎ ‎2‎ O x(h)‎ y(m)‎ ‎30‎ ‎60‎ 乙 甲 ‎50‎ 图像与信息 图3‎ ‎（2）设甲队在的时段内y与x 之 间的关系为，由于函数图像过点 ‎（6，60），代入得.解得.‎ 所以.‎ ‎ 乙队在的时段内y与x 之间的 关系为，由于函数图像过点 ‎（2，30）、（6，50），代入得 ‎ .解得 ‎ 所以.‎ ‎（3）由题意得，解得.‎ 所以当h时，甲、乙两队所挖河渠的长度相等.‎ 这是2006年河北省中考数学试题的第21题 ．设置了这样一个问题情景，把两工程队的开挖长度与时间的关系用图像直观地反映出来，帮助学生容易理解两个变量间的函数关系.‎ 图4‎ 图象与信息 ‎20‎ ‎30‎ y/cm x/h ‎25‎ ‎10‎ 甲 O ‎2.5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 乙 ‎ 例4 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（cm）与燃烧时间x（h）的关系如图4所示．请根据图象所提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ，‎ 从点燃到燃尽所用的时间分别是 ；‎ ‎（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；‎ ‎（3）当x为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等？‎ ‎ 解 （1）30，25； ‎ ‎2h, 2.5h ；‎ ‎ （2）甲的图像过点（0，30）、（2，0）.设在0~2h时段内甲蜡烛y与x之间的函数关系式为，将点的坐标代入得 ‎ 解得 ‎ ‎ 所以在0~2h时段内甲蜡烛y与x之间的函数关系式为.‎ ‎ 乙的图像过点（0，25）、（2.5，0）.设在0~2.5h时段内乙蜡烛y与x之间的函数关系式为，将点的坐标代入得 ‎ 解得 ‎ ‎ 所以在0~2.5h时段内乙蜡烛y与x之间的函数关系式为.‎ ‎ （3）解，得.‎ ‎ 答 当x=1时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等.‎ 说明 这是2005年河北省中考数学试题的第21题.‎ ‎ 六、操作与探究 ‎ 例1 在一平直河岸l同侧有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别是‎3km和‎2km，‎ AB = a km (a>1). 现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水.‎ ‎ 方案设计 某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1-1是“方案一”的示意图，设该方案中管道长度为，且 (km) (其中于点P)；图1-2是“方案二”的示意图，设该方案中管道长度为，且(km) (其中点 与点A关于l对称，B与l交于点P).‎ P A B l 图1-2‎ P A B l 图1-1‎ P A B l 图1-3‎ C C K P A B l 图17-2‎ P A B l 图17-1‎ P A B l 图17-3‎ C C K 观察计算 ‎（1）在方案一中，= km(用含a的式子表示)；‎ ‎（2）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了图1-3所示的辅助线，请你按小 宇的思路计算，= km(用含a的式子表示).‎ 方法指导 当不易直接比较两个正数的大小时，可以对它们的平方进行比较：‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ 与 的符号相同.‎ 当 时， ，即m>n；‎ 当 时， ，即m=n；‎ 当 时， ，即m”、“=”、“<”）；‎ 当a=6时，比较大小：‎ ‎ （填“>”、“=”、“<”）；‎ ‎（2）请你参考右边方框中的方法指导，‎ 就a（当a>1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较 短，应选择方案一还是方案二？‎ 解答：‎ 观察计算（1）；‎ ‎ （2）.‎ 探索归纳（1）<；>.‎ ‎ （2）.‎ ‎ 当，即时，，∴；‎ ‎ 当，即时，，∴；‎ ‎ 当，即时，，∴.‎ 结论：当时，选方案二；‎ ‎ 当时，选方案一或方案二；‎ ‎ 当时，选方案一.‎ 说明 这是2008年河北省中考数学试题的第23题.‎ 例2 在图2-1—2-5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b，且AD和AE在同一直线上.‎ 操作示例 当时，如图2-1，在BA上选取点G，使BG=b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB，并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH.‎ ‎ 思考发现 ‎ 小明在操作后发现：这种剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针 旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上. 连结CH，‎ 图2-1‎ 由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕 点C顺时针旋转90°到△CHD的位置. 这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判定△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG, ，进而根据正方形的判定方法，可以判定四边形FGCH是正方形.‎ ‎ 实践探究 ‎ （1）正方形FGCH的面积是 ；（用含a, b的式子表示）‎ ‎ （2）类比2-1的剪拼方法，请你就图2-2—图2-4的三种情况分别画出剪拼成一个 图2-3‎ 图2-4‎ 图2-2‎ 新正方形的示意图.‎ 联想拓展 小明通过探究后发现：当时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA的方向上随着b的增大不断上移.‎ 图2-5‎ 当时，图17-8能否剪拼成一个正方形？‎ 若能，请在图中画出剪拼的示意图；若不能，则 简要说明理由.‎ 解：实践探究 ‎（1）.‎ ‎（2）剪拼方法如图2-6—17-11.‎ 图2-6‎ 图2-717-10‎ 图2-8‎ 图2-9‎ ‎ ‎ 联想拓展 ‎ 能.‎ ‎ 剪拼方法如图2-9（图中BG=DH=b）.‎ 说明 这是2007年河北省中考数学试题的第23题.‎ 例3．探索 在如图3-1至图3-3中，△ABC的面积为a ．‎ ‎  （1）如图3-1 延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=________（用含a的代数式表示）；‎ ‎  （2）如图3-2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2=__________（用含a的代数式表示），并写出理由；‎ 图3-1‎ A B C D A B C D E 图3-2‎ D E A B C F 图3-3‎ ‎   ‎ ‎（3）在图3-2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD， ‎ FE，得到△DEF（如图17-15）．若阴影部分的面积为S3，‎ 则S3=__________（用含a的代数式表示）．‎ 图3-4‎ D E A B C F H M G 发现 像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，‎ 连结所得端点，得到△DEF（如图3-3），此时，‎ 我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展 一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积 的_______倍．‎ 应用 去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图3-4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？‎ 解 探索 ‎（1）a;‎ ‎ (2) 2a，理由：连结AD，‎ ‎ ∵‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴.‎ ‎ （3）6a.‎ ‎ 发现 7.‎ ‎ 应用 拓展区域的面积：(m2).‎ 说明 这是2006年河北省中考数学试题的第22题，逐步探索结论，并通过计算获得验证．使学生在探究过程中获得探究问题（或者说研究问题）的感受和体验，这也是“课题学习”领域内容的具体体现．‎ 七、实验与推理 例1如图18-1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边PF也在直线l上， EF与AC重合，且EF=FP.‎ ‎(1) 在图18-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；‎ ‎（2）将△EFP沿直线l向左平移到图18-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP、BQ. 猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；‎ ‎（3）将△EFP沿直线l向左平移到图18-3的位置时，EP的延长线交AC于点Q，连结AP、BQ. 你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系 还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.‎ l P C A B 图18-2‎ F E Q l P C A B 图18-3‎ F E Q l P C (F)‎ A (E)‎ B 图18-1‎ 解：（1）AB=AP； AB⊥AP.‎ ‎ （2）BQ=AP； BQ⊥AP.‎ ‎ 证明：∵EF=FP，EF⊥FP，∴∠EPF=45°.‎ ‎ 又∵AC⊥BC，∴∠CQP=45°，‎ ‎ ∴CQ=CP.‎ ‎ 在△BCQ和△ACP中，‎ l P C A B 图18-4‎ F E Q M ‎ BC=AC，∠BCQ=90°=∠ACP，CQ=CP，‎ ‎ ∴△BCQ≌△ACP.‎ ‎ ∴BQ=AP.‎ ‎ 如图18-4，延长BQ交AP于点M.‎ ‎ ∵△BCQ≌△ACP，∴∠CBQ=∠CAP.‎ ‎ ∵∠CBQ＋∠CQB=90°，∠CQB=∠AQM，‎ ‎∴∠CAM＋∠AQM=90°，‎ ‎ ∴∠QMA=90°，即BQ⊥AP. ‎ l P C A B 图18-5‎ F E Q N ‎ （3）成立.‎ ‎ 证明：如图18-5，‎ ‎∵∠EPF=45°，∴∠CPQ=45°，‎ ‎ 又∵AC⊥BC，∴ ∠CQP=45°，‎ ‎ ∴CQ=CP.‎ ‎ 在△BCQ和△ACP中，‎ ‎ BC=AC，∠BCQ=90°=∠ACP，CQ=CP，‎ ‎ ∴△BCQ≌△ACP.‎ ‎ ∴BQ=AP.‎ ‎ 如图18-5，延长QB交AP于点N.‎ ‎ ∵△BCQ≌△ACP，∴∠CQB=∠APC.‎ ‎ ∵∠CBQ＋∠CQB=90°，∠PBN=∠CBQ，‎ ‎∴∠APC＋∠PBN=90°，‎ ‎ ∴∠QNA=90°，即BQ⊥AP. ‎ ‎ 说明：这是2008年河北省中考数学试题的第24题. 通过观察、测量、猜想结论以及对结论进行证明，把合情推理和演绎推理融合在一起，使学生经历了数学发现的全过程，体会到了合情推理的重要性和证明的必要性．‎ 例2 在△ABC中，AB=AC, CG⊥BA交BA的延长线于点G，一等腰直角三角尺按图18-6所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B.‎ ‎（1）在图18-6中，请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想.‎ ‎（2）当三角尺沿AC方向平移到图18-7所示的位置时，一条直角边仍与 AC边在一条直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E. 此时请你通过观察、测量DE, DF与CG的长度，猜想并写出与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想. ‎ 图18-6‎ A B C F G 图18-8‎ A B C F G E D A B C F G E D 图18-7‎ ‎（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图18-8所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）‎ 解：（1）BF=CG.‎ ‎ 证明：在△ABF和△ACG中，‎ ‎ ∵ ，，AB=AC，‎ ‎∴ △ABF≌△ACG（AAS），‎ ‎∴ BF=CG.‎ ‎ （2）.‎ ‎ 证明：过点D作DH⊥CG于点H，如图18-9.‎ 图18-9‎ A B C F G E D H ‎ ∵ DE⊥BA于点E，，DH⊥CG，‎ ‎ ∴ 四边形EDHG为矩形，‎ ‎ ∴ DE=HG，DH//BG. ‎ 因此.‎ ‎ ∵ AB=AC， ∴ .‎ 又 ∵ ，‎ ‎ ∴ △FDC≌△HCD（AAS），‎ ‎ ∴ DF=CH.‎ 因此 .‎ ‎（3）仍然成立.‎ 说明 这是2007年河北省中考数学试题的第24题. ‎ 例3如图18-10，一个等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．‎ ‎（1）如图18-11，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；‎ 图18-12‎ A B D G E F O M N C ‎（2）若三角尺GEF旋转到如图18-12所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．‎ 图18-10‎ A( G )‎ B( E )‎ C O D( F )‎ 图18-11‎ E A B D G F O M N C ‎ 解 （1）.‎ ‎ 证明 ∵△GEF是等腰三角形，四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ABD =∠F =, .‎ 又∵∠BOM=∠FON, ‎ ‎∴△OBM≌△OFN,‎ ‎∴ .‎ ‎ (2) 仍然成立.‎ ‎ 证明 ∵△GEF是等腰三角形，四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ABD =∠GFE =, .‎ ‎ ∴∠MBO=∠NFO=‎ 又∵∠BOM=∠FON, ‎ ‎∴△OBM≌△OFN,‎ ‎∴ .‎ 说明 这是2006年河北省中考数学试题的第23题.‎ ‎ 数学建模 例1 研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系式，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地的销售价P甲、P乙（万元）均与x满足一次函数关系. （注：年利润=年销售额－全部费用）‎ ‎（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，P甲=，请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润W甲（万元）与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时，P乙=（n为常数），且在乙地当年的最大利润为35万元. 试确定n的值；‎ ‎（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1）、（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是在乙地产销才能获得较大的利润？‎ 参考公式：抛物线（）的顶点坐标是.‎ 解：（1）甲地当年的年销售额为万元，‎ ‎ W甲=.‎ ‎（2）在乙地生产并销售时，年利润 W乙=‎ ‎ =.‎ ‎ 由=35，解得n=15或.‎ ‎ n=不符合题意，舍去，‎ ‎ 所以n=15.‎ ‎ （3）当x=18时，‎ W乙===25.2，‎ ‎ W甲===23.4.‎ ‎ W乙> W甲 ‎ 所以应选乙地.‎ 说明 这是2008年河北省中考数学试题的第25题，以现实经济事务为背景，综合考查二次函数、一次函数、一元二次方程等内容.‎ 例2‎ 解：（1）.‎ ‎ （2）由题意，得，‎ ‎ 整理得.‎ ‎ （3）由题意，得，‎ ‎ 整理得.‎ ‎ 购进C型手机部数为：. ‎ 根据题意列不等式组：‎ ‎ 解得 .‎ ‎ ∴ x范围为，且x为整数.‎ ‎∵ P是x的一次函数，，∴P随x的增大而增大.‎ ‎ 所以当x取最大值34时，P有最大值，最大值为17500元. 此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部.‎ 说明 这是2007年河北省中考数学试题的第25题，此题较生动的反映了函数、不等式与方程之间的密切联系.根据课程标准的修订精神，列出不等式组解决实际问题不再列入考试范围，但本题所体现的思想方法仍是考试重点.‎ 例3 利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．‎ ‎（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；‎ ‎（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；‎ ‎（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？‎ ‎（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．‎ 解 （1）（吨）.‎ ‎ （2）‎ 化简得 .‎ ‎ （3）=.‎ 利达经销店要获得最大利润，材料的售价应定为210元/吨.‎ ‎ （4）小静说的不对.‎ 理由：月销售额 ‎=.‎ ‎ 当小静说的不对.时，W取最大值；而时，W不取最大值.‎ 所以，小静说的不对.‎ 说明 这是2006年河北省中考数学试题的第24题，考查学生数学建模能力.最后一问解答除用常规的列式计算进行判断外，还可用举反例的方法进行判断，例如，计算时W的值.这更能反映出课标对反例作用的理解要求．在常规题型的基础上多角度的挖掘了试题对教学的良好导向作用．‎ 综合应用 例1 如图20-1，在Rt△ABC中，，AB=50，AC=30，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点. 点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线交折线BC-CA于点G. 点P、Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止. 设点P、Q运动的时间是t秒（t>0）.‎ A B C D E F K G Q P 图20-1‎ ‎（1）D、F两点间的距离是 ；‎ ‎（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积 相等的两部分？若能，求出t的值；若不能，说明 理由；‎ ‎（3）当点P运动到折线EF-FC上，且点P又 恰好落在射线QK上时，求t的值；‎ A B C D E F K G H P 图20-2‎ Q O ‎（4）连结PG，当PG//AB时，请直接写出t的值.‎ 解：（1）25.‎ ‎（2）能.‎ 如图20-2，连结DF，过点F作 于点H，由四边形CDEF为矩形，可知QK过 DF的中点O时，QK把四边形CDEF分成 面积相等的两部分. 此时， QH=OF=12.5. ‎ A B C D E F K G P 图20-3‎ Q ‎∵ BF=20，△HBF∽△CAB，‎ ‎∴ HB=，‎ ‎ ∴ .‎ ‎（3）点P在EF上，如图20-3，‎ ‎ .‎ ‎ BQ=4t，.‎ ‎ △PQE∽△BCA，‎ A B C D E F K ‎(G)‎ P 图20-4‎ Q ‎∴ ，‎ ‎ 解得 .‎ ‎ 点P在FC上，如图20-4，‎ ‎ .‎ ‎ ∵BQ=4t，‎ A B C D E F K G Q P 图20-5‎ H ‎∴PB=5t.‎ ‎∵，BF=20，‎ ‎ ∴ .‎ ‎ 解得.‎ ‎（4）如图20-5，；‎ A B C D E F K G Q P 图20-6‎ ‎ 如图20-6，.‎ 注：判断PG//AB，可分为以下几种情形：‎ 当时，点P下行，点G上行，‎ ‎ 所以存在PG//AB的时刻，如图20-5；‎ 当时，PG与AB不可能平行；‎ 当时，点P沿CD下行，点G 沿BC上行，所以存在PG//AB的时刻，如图20-6.‎ 说明 这是2008年河北省中考数学试题的第26题，考查学生综合运用知识的能力.‎ 例2 如图20-7，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135. ‎ 点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动. ‎ 过点Q向上作射线，交折线段CD-DA-AB于点E. 点P, Q 同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止. 设点P, Q运动的时间是t秒（t > 0）.‎ ‎（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；‎ ‎（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ//DC ？‎ 图20-7‎ A B C D E K Q P ‎（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，‎ 分别求点E运动到CD, DA上时，S与t的函数关 系式；（不必写出t的取值范围）‎ ‎（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写 出t的取值范围；若不能，请说明理由.‎ 图20-8‎ A B C D E K Q P H 解：（1）（秒）时，点P到达终点C. 此时， QC=,‎ 所以BQ的长为.‎ ‎（2）如图20-8，因为AD//BC, 所以若PQ//DC,‎ 则四边形PQCD是平行四边形，从而PD=QC，‎ 由QC=3t, 得 ‎ ‎ .‎ 解得 . ‎ 经检验，当时，有PQ//DC.‎ ‎（3）当点E在CD上运动时，如图20-9. ‎ 分别过点A, D作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，‎ G 图20-9‎ A B C D E K Q P F H 则四边形ADHF是矩形，且△ABF≌△DCH, 从而 FH=AD=75，于是 BF=CH=30,‎ 所以 DH=AF=40.‎ ‎∵ QC=3t, ∴ QE=.‎ ‎∴ .‎ 当点E在DA上时，如图20-8. 过点D作DH⊥BC于点H，由知 DH=40，CH=30, QC=3t, 从而，所以 ‎ .‎ ‎（4）△PQE能成为直角三角形.‎ t的取值范围：且，或t=35.‎ 说明 这是2007年河北省中考数学试题的第26题，考查学生综合运用知识的能力.‎ 下面是关于（4）的详细解法，不需要书写在卷面上，仅供参考.‎ 当点P在BA（包括点A）上，即时，如图20-9，过点P作PG⊥BC于点G，则PG=.‎ 由，易知四边形PGQE是矩形，所以，当时，△PQE总是直角三角形. ‎ 当点P, E都在AD（不包括点A，但包括点D）上，即时，如图20-8.‎ ‎ 由QK⊥BC和AD//BC可知，△PQE总是直角三角形，但点P, E不能重合，即 图20-10‎ ‎ ，解得.‎ 当点P在DC上（不包括点D，但包括点C）,即 时，如图20-10.‎ 图20-5‎ 图20-11‎ F(Q)‎ C(P)‎ 由可知，点P在以QE为直径 的圆的外部，所以不可能是直角；‎ 由可知，是锐角；‎ ‎，所以只有点P与点C重合，即t=35时,如图20-11，. ‎ 此时，△PQE是直角三角形.‎