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  • 2021-05-10 发布

二次函数中考压轴题三角形与存在性问题解析精选

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二次函数中考压轴题(三角形与存在性问题)解析精选 ‎【例1】. 已知:如图一,抛物线与x轴正半轴交于A、B两点,与y 轴交于点C,直线经过A、C两点,且AB=2.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移,且分别交y轴、线 段BC于点E、D,同时动点P从点B出发,沿BO方向以每秒2个单位速度运动,(如图2);当点P 运动到原点O时,直线DE与点P都停止运动,连DP,若点P运动时间为t秒 ;设,当 t 为何值时,s有最小值,并求出最小值。‎ ‎(3)在(2)的条件下,是否存在t的值,使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似;若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由。‎ ‎【答案】解:(1)在中,由x=0得y=-2,∴C(0,-2)。‎ ‎ 由 y=0得 x=2,∴A(2,0)。‎ ‎ ∵AB=2,∴B(4,0)。‎ ‎ ∴可设抛物线的解析式为,代入点C(0,-2)得。‎ ‎∴抛物线的解析式为。‎ ‎(2)由题意:CE=t,PB=2t,OP=4-2t。‎ ‎∵ED∥BA,∴△CED∽△COB。 ∴,即。∴ED=2t。‎ ‎∴。‎ ‎∴当t=1时,有最大值1。‎ ‎∴当t=1时,的值最小,最小值是1。‎ ‎(3)存在。设BC所在直线的解析式为y=kx+b,由B(4,0),C(0,-2)得 ‎ ,解得,∴C所在直线的解析式为。‎ ‎ 由题意可得:D点的纵坐标为t-2,则D点的横坐标为2t。‎ ‎∴。‎ 又。‎ ‎∵∠PBD=∠ABC,∴以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况:‎ 当时,即,解得;‎ 当时,即,解得。‎ 综上所述,当或时,以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似。‎ ‎【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的最值,相似三角形的判定和性质,勾股定理。‎ ‎【分析】(1)求出C、A、B的坐标,设抛物线的解析式为y=a(x-2)(x-4),代入点C的坐标求出a即可。‎ ‎(2)由题意:CE=t,PB=2t,OP=4-2t,由ED∥BA得出△CED∽△COB ,从而,求出ED=2CE=2t,根据 ‎ ‎,根据二次函数的最值求出即可。‎ ‎(3)以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况:和代入求出即可。‎ ‎【例2】. 如图,矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上,且OD=10,OB=8.将矩形的边BC绕点B逆时针旋转,使点C恰好与x轴上的点A重合.‎ ‎(1)直接写出点A、B的坐标:A( , )、B( , );‎ ‎(2)若抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B,则这条抛物线的解析式是 ;‎ ‎(3)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点,作MN⊥x轴于点N.问是否存在点M,使△AMN 与△ACD相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;‎ ‎(4)当≤x≤7,在抛物线上存在点P,使△ABP的面积最大,求△ABP面积的最大值.‎ ‎【答案】解:(1)(6,0),(0,-8)。‎ ‎ (2)。‎ ‎ (3)存在。‎ 设M,‎ 则N(m,0)MN=,NA=6-m。‎ ‎ 又DA=4,CD=8,‎ ①若点M在点N上方,,则△AMN∽△ACD。‎ ‎∴,即,解得m=6或m=10。‎ 与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。‎ ‎∴此时不存在点M,使△AMN与△ACD相似。‎ ②若点M在点N下方,,则△AMN∽△ACD。‎ ‎∴,即,解得m=-2或m=6。‎ 与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。‎ ‎∴此时不存在点M,使△AMN与△ACD相似。‎ ③若点M在点N上方,,则△AMN∽△ACD。‎ ‎∴,即,方程无解。‎ ‎∴此时不存在点M,使△AMN与△ACD相似。‎ ④若点M在点N下方,,则△AMN∽△ACD。‎ ‎∴,即,解得m=或m=6。‎ 当m=时符合条件。‎ ‎∴此时存在点M(,),使△AMN与△ACD相似。‎ 综上所述,存在点M(,),使△AMN与△ACD相似。‎ ‎(4)设P(p,),‎ ‎ 在中,令y=0,得x=4或x=6。‎ ‎ ∴≤x≤7分为≤x<4,4≤x<6和6≤x≤7三个区间讨论:‎ ‎ ①如图,当≤x<4时,过点P作PH⊥x轴于点H 则OH=p,HA=6-p ,PH=。‎ ‎∴‎ ‎ ∴当≤x<4时,随p的增加而减小。‎ ‎∴当x=时,取得最大值,最大值为。‎ ②如图,当4≤x<6时,过点P作PH⊥BC于点H,过点A作AG⊥BC于点G。‎ 则BH= p,HG=6-p,PH=,‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∴当4≤x<6时,随p的增加而减小。‎ ‎∴当x=4时,取得最大值,最大值为8。‎ ③如图,当6≤x≤7时,过点P作PH⊥x轴于点H。‎ 则OH=p,HA= p-6,PH=。‎ ‎∴‎ ‎∴当6≤x≤7时,随p的增加而增加。‎ ‎∴当x=7时,取得最大值,最大值为7。‎ 综上所述,当x=时,取得最大值,最大值为。‎ ‎【考点】二次函数综合题,矩形的性质,旋转的性质,勾股定理, 曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定,二次函数的性质。‎ ‎【分析】(1)由OD=10,OB=8,矩形的边BC绕点B逆时针旋转,使点C恰好与x轴上的点A重合,可得OA2=AB2-OB2=102-82=36,∴OA=6。∴A(6,0),B(0,-8)。‎ ‎(2)∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B,‎ ‎ ∴,解得。‎ ‎ ∴这条抛物线的解析式是。‎ ‎(3)分①若点M在点N上方,,②若点M在点N下方,,③若点M在点N上方,,④若点M在点N下方,四种情况讨论即可。‎ ‎(4)根据二次函数的性质,分≤x<4,4≤x<6和6≤x≤7三个区间分别求出最大值,比较即可。‎ ‎【例3】. 在平面直角坐标系xoy中, 一块含60°角的三角板作如图摆放,斜边 AB 在x轴上,直角顶点C在y轴正半轴上,已知点A(-1,0).‎ ‎ (1)请直接写出点B、C的坐标:B( , )、C( , );并求经过A、B、C三点的抛物 线解析式;‎ ‎ (2)现有与上述三角板完全一样的三角板DEF(其中∠EDF=90°,∠DEF=60°),把顶点E放在线段 AB上(点E是不与A、B两点重合的动点),并使ED所在直线经过点C. 此时,EF所在直线与(1)‎ 中的抛物线交于第一象限的点M. ‎ ‎ ①设AE=x,当x为何值时,△OCE∽△OBC;‎ ‎ ②在①的条件下探究:抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形,若存在,请求 点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)B(3,0),C(0,)。‎ ‎ ∵A(—1,0)B(3,0)‎ ‎∴可设过A、B、C三点的抛物线为 。‎ ‎ 又∵C(0,)在抛物线上,∴,解得。‎ ‎∴经过A、B、C三点的抛物线解析式 即。‎ ‎(2)①当△OCE∽△OBC时,则。‎ ‎ ∵OC=, OE=AE—AO=x-1, OB=3,∴。∴x=2。‎ ‎ ∴当x=2时,△OCE∽△OBC。‎ ‎ ②存在点P。‎ ‎ 由①可知x=2,∴OE=1。∴E(1,0)。 此时,△CAE为等边三角形。‎ ‎ ∴∠AEC=∠A=60°。‎ 又∵∠CEM=60°, ∴∠MEB=60°。‎ ‎ ∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称。‎ ‎ ∵C(0,),∴M(2,)。‎ ‎ 过M作MN⊥x轴于点N(2,0),‎ ‎∴MN=。 ∴ EN=1。‎ ‎ ∴ 。‎ 若△PEM为等腰三角形,则:‎ ⅰ)当EP=EM时, ∵EM=2,且点P在直线x=1上,∴P(1,2)或P(1,-2)。‎ ‎ ⅱ)当EM=PM时,点M在EP的垂直平分线上,∴P(1,2) 。 ‎ ‎ ⅲ)当PE=PM时,点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点,∴P(1,)‎ ‎ ∴综上所述,存在P点坐标为(1,2)或(1,—2)或(1,2)或(1,)时,‎ ‎△EPM为等腰三角形。‎ ‎【考点】二次函数综合题,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,相似三角形的性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理,等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】(1)由已知,根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长,从而求得点 B、C的坐标。设定交点式,用待定系数法,求得抛物线解析式。‎ ‎(2)①根据相似三角形的性质,对应边成比例列式求解。‎ ‎ ②求得EM的长,分EP=EM, EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。‎ ‎【例4】. 已知直线与x轴和y轴分别交于点A和点B,抛物线的顶点M在直线AB上,且抛物线与直线AB的另一个交点为N.‎ ‎(1)如图①,当点M与点A重合时,求:‎ ‎①抛物线的解析式;(4分)‎ ‎②点N的坐标和线段MN的长;(4分)‎ ‎(2)抛物线在直线AB上平移,是否存在点M,使得△OMN与△AOB相似?若存在,‎ 直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(4分)‎ ‎【答案】解:(1)①∵直线与x轴和y轴分别交于点A和点B,∴A(,0),B(0,-5)。‎ 当顶点M与点A重合时,∴M(,0)。‎ ‎∴抛物线的解析式是:,即。‎ ‎②∵N是直线与在抛物线的交点,‎ ‎∴,解得或。‎ ‎∴N(,-4)。‎ 如图,过N作NC⊥x轴,垂足为C。‎ ‎∵N(,-4),∴C(,0)‎ ‎∴NC=4.MC=OM-OC=。 ‎ ‎∴。‎ ‎(2)存在。点M的坐标为(2,-1)或(4,3)。‎ ‎【考点】二次函数综合题,二次函数的性质,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】(1)①由直线与x轴和y轴分别交于点A和点B,求出点A、B的坐标,由顶点M与点A重合,根据二次函数的性质求出顶点解析式。‎ ‎ ②联立和,求出点N的坐标,过N作NC⊥x 轴,由勾股定理求出线段MN的长。‎ ‎(2)存在两种情况,△OMN与△AOB相似:‎ ‎ 情况1,∠OMN=900,过M作MD⊥x轴,垂足为D。‎ ‎ 设M(m,),则OD= m,DM=。‎ ‎ 又OA=,OB=5,‎ ‎ 则由△OMD∽△BAO得,,即,解得m=2。‎ ‎∴M(2,-1)。‎ ‎ 情况2,∠ONM=900,若△OMN与△AOB相似,则∠OMN=∠OBN。‎ ‎ ∴OM=OB=5。‎ ‎ 设M(m,),则解得m=4。‎ ‎∴M(4,3)。‎ 综上所述,当点M的坐标为(2,-1)或(4,3)时,△OMN与△AOB相似。‎ ‎【例5】. 在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.‎ ‎(1)求这个二次函数的关系解析式;‎ ‎(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;‎ 考生注意:下面的(3)、(4)、(5)题为三选一的选做题,即只能选做其中一个题目,多答时只按作答的首题评分,切记啊!‎ ‎(3)在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;‎ ‎(4)点Q是直线AC上方的抛物线上一动点,过点Q作QE垂直于x轴,垂足为E.是否存在点Q,使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;‎ ‎(5)点M为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点Q,使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)由抛物线过A(-3,0),B(1,0),则 ‎       ,解得 。‎ ‎       ∴二次函数的关系解析式为。‎ ‎ (2)设点P坐标为(m,n),则。‎ ‎ 连接PO,作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N。‎ ‎ PM =, ,AO=3。‎ ‎ 当时,,所以OC=2。‎ ‎       [‎ ‎ ‎ ‎ ∵<0,∴函数有最大值,当时,有最大值。‎ ‎ 此时。‎ ‎∴存在点,使△ACP的面积最大。 ‎ ‎ (3)存在。点。‎ ‎ (4)存在。点。‎ ‎ (5)点。‎ ‎【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,等腰直角三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)将点A、B的坐标代入即可求得a、b,从而得到二次函数的关系解析式。‎ ‎(2)设点P坐标为(m,n),则。连接PO,作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N,根据求出S关于m的二次函数,根据二次函数最值求法即可求解。‎ ‎(3)分BQ为斜边和CQ为斜边两种情况讨论即可。‎ ‎(4)分△BQE∽△AOC,△EBQ∽△AOC,△QEB∽△AOC三种情况讨论即可。‎ ‎(5)分AC是边和对角线两种情况讨论即可。‎ ‎【例6】. 如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D。设抛物线的顶点为P,连接PA、AD、DP,线段AD与y轴相交于点E。‎ ‎  (1)求该抛物线的解析式;‎ ‎  (2)在平面直角坐标系中是否存在点Q,使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由;‎ ‎  (3)将∠CED绕点E顺时针旋转,边EC旋转后与线段BC相交于点M,边ED旋转后与对称轴l相交于点N,连接PM、DN,若PM=2DN,求点N的坐标(直接写出结果)。 ‎ ‎【答案】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,‎ ‎ ∴抛物线的解析式可设为,‎ ‎ 将C(0,3)代入得,解得。‎ ‎ ∴抛物线的解析式为,即。‎ ‎ (2)存在。如图,‎ ‎ 由得对称轴l为,‎ ‎ 由B(3,0)、C(0,3)得tan∠OBC=,‎ ‎ ∴∠OBC==300。‎ ‎ 由轴对称的性质和三角形外角性质,得 ‎∠ADP==1200。‎ 由锐角三角函数可得点D的坐标为(,2)。‎ ‎∴DP=CP=1,AD=4。‎ ①在y轴正方向上存在点Q1,只要CQ1=4,则由SAS可判断△Q1CD≌△ADP,‎ 此时,Q1的坐标为(0,7)。‎ ②由轴对称的性质,得Q1关于直线BC的对称点Q2也满足△Q2CD≌△ADP,‎ 过点Q2作Q2G⊥y轴于点G,则在Rt△CQ2G中,由Q2C=4,∠Q2CG=600可得 CG=2,Q2G=2。∴OG=1。∴Q2的坐标为(-2,1)。‎ ③在对称轴l点P关于点D的反方向上存在点Q3,只要DQ3=4,则△Q3DC≌△ADP,‎ 此时,Q3的坐标为(,-2)。‎ ④由轴对称的性质,得Q3关于直线BC的对称点Q4也满足△Q2DC≌△ADP,‎ 过点Q4作Q4H⊥l于点H,则在Rt△DQ4H中,由Q4D=4,∠Q4DH=600可得 DH=2,HQ4=2。∴Q4的坐标为(3,4)。‎ 综上所述,点Q的坐标为(0,7)或(-2,1)或(,-2)或(3,4)。‎ ‎(3)()。‎ ‎【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,轴对称的性质,三角形外角性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质,旋转的性质。‎ ‎【分析】(1)根据已知点的坐标,设抛物线的交点式,用待定系数法即可求。‎ ‎ (2)求出△ADP的两边夹一角,根据SAS作出判断。‎ ‎(3)如图,作做EF⊥l于点F,‎ 由题意易证明△PMD ≌△EMD,△CME ≌△DNE,‎ ‎ ∴PM=EM=EN=2DN。‎ 由题意DF=1,EF=,NF=1-DN ‎ 在Rt△EFN中,,‎ ‎ ∴,整理得,解得(负值舍去)。‎ ‎ ∴。‎ ‎∴点N的纵坐标为。∴N()。‎ ‎【例7】. 如图,直线AB交x轴于点B(4,0),交y轴于点A(0,4),直线DM⊥x轴正半轴于点M,交线段AB于点C,DM=6,连接DA,∠DAC=90°.‎ ‎(1)直接写出直线AB的解析式;‎ ‎(2)求点D的坐标;‎ ‎(3)若点P是线段MB上的动点,过点P作x轴的垂线,交AB于点F,交过O、D、B三点的抛物线于点E,连接CE.是否存在点P,使△BPF与△FCE相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,将A(0,4),B(4,0)两点坐标代入,得 ‎,解得。‎ ‎∴直线AB的解析式为y=﹣x+4。‎ ‎(2)过D点作DG⊥y轴,垂足为G,‎ ‎∵OA=OB=4,∴△OAB为等腰直角三角形。‎ 又∵AD⊥AB,∴∠DAG=90°﹣∠OAB=45°。‎ ‎∴△ADG为等腰直角三角形。‎ ‎∴DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2。‎ ‎∴D(2,6)。‎ ‎(3)存在。‎ 由抛物线过O(0,0),B(4,0)两点,设抛物线解析式为y=ax(x﹣4),‎ 将D(2,6)代入,得a=。∴抛物线解析式为y=x(x﹣4)。‎ 由(2)可知,∠B=45°,则∠CFE=∠BFP=45°,C(2,2)。‎ 设P(x,0),则MP=x﹣2,PB=4﹣x,‎ ‎①当∠ECF=∠BPF=90°时(如图1),△BPF与△FCE相似,过C点作CH⊥EF,此时,△CHE、△CHF、△PBF为等腰直角三角形。‎ 则PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4﹣x+2(x﹣2)=x,‎ 将E(x,x)代入抛物线y=x(x﹣4)中,‎ 得x=x(x﹣4),解得x=0或,‎ ‎∴P(,0)。‎ ‎②当∠CEF=∠BPF=90°时(如图2),此时,△CEF、△BPF为等腰直角三角形。‎ 则PE=MC=2,‎ 将E(x,2)代入抛物线y=x(x﹣4)中,‎ 得2=x(x﹣4),解得x=或。‎ ‎∴P(,0)。‎ 综上所述,点P的坐标为(,0)或(,0)。‎ ‎【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,等腰直角三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质。1367104‎ ‎【分析】(1)根据A(0,4),B(4,0)两点坐标,可求直线AB的解析式。‎ ‎ (2)作DG⊥y轴,垂足为G,由已知得OA=OB=4,△OAB为等腰直角三角形,而AD⊥AB,利用互余关系可知,△ADG为等腰直角三角形,则DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2,可求D点坐标。‎ ‎(3)存在。已知O(0,0),B(4,0),设抛物线的交点式,将D点坐标代入求抛物线解析式,由于对顶角∠CFE=∠BFP=45°,故当△BPF与△FCE相似时,分为:∠ECF=∠BPF=90°,∠CEF=∠BPF=90°两种情况,根据等腰直角三角形的性质求P点坐标。‎ ‎【例8】. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点为B(2,1),且过点A(0,2)。直线与抛物线交于点D、E(点E在对称轴的右侧)。抛物线的对称轴交直线于点C,交x轴于点G。PM⊥x轴,垂足为点F。点P在抛物线上,且位于对称轴的右侧,PM⊥x轴,垂足为点M,△PCM为等边三角形。‎ ‎ (1)求该抛物线的表达式;‎ ‎ (2)求点P的坐标;‎ ‎ (3)试判断CE与EF是否相等,并说明理由;‎ ‎(4)连接PE,在x轴上点M的右侧是否存在一点N,使△CMN与△CPE全等?若存在,试求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由。‎ ‎【答案】解:(1)∵抛物线的顶点为B(2,1),‎ ‎ ∴可设抛物线的解析式为。‎ ‎ 将A(0,2)代入,得,解得。‎ ‎ ∴该抛物线的表达式。‎ ‎(2)将代入,得,‎ ‎ ∴点C的坐标为(2,2),即CG=2。‎ ‎ ∵△PCM为等边三角形,∴∠CMP=600,CM=PM。‎ ‎ ∵PM⊥x轴,,∴∠CMG=300。∴CM=4,GM=。∴OM=,PM=4。‎ ‎ ∴点P的坐标为(,4)。‎ ‎(3)相等。理由如下:‎ ‎ 联立和得,解得,。‎ ‎ ∵不合题意,舍去,‎ ‎∴EF=,点E的坐标为(,)。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 又∵,∴。‎ ‎ ∴CE=EF。‎ ‎(4)不存在。理由如下:‎ ‎ 假设在x轴上点M的右侧存在一点N,使△CMN≌△CPE,则CN=CE,∠MCN=∠PCE。‎ ‎ ∵∠MCP=600,∴∠NCE=600。‎ ‎∴△CNE是等边三角形。‎ ‎∴EN=CE,∠CEN=600。‎ 又∵由(3)CE=EF,∴EN=EF。‎ 又∵点E是直线上的点,∴∠CEF=450。‎ ‎∴点N与点F不重合。‎ ‎∵EF⊥x轴,这与“垂线段最短”矛盾,∴原假设错误,满足条件的点N不存在。‎ ‎【考点】二次函数综合题,二次函数的性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,等边三角形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,勾股定理,反证法,全等三角形的性质。‎ ‎【分析】(1)根据抛物线的顶点,设顶点式表达式,将点A的坐标人代入即可求解。‎ ‎(2)由点C是抛物线对称轴x=2和直线的交点可求得点C的坐标,由△PCM为等边三角形,根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求得点P的坐标。‎ ‎(3)计算出CE和EF的值即可得出结论。‎ ‎(4)用反证法证明,假设在x轴上点M的右侧存在一点N,使△CMN≌△CPE,推出与公理矛盾的结论。‎ ‎【例9】. 如图,顶点坐标为(2,-1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,3),‎ 与x轴交于A、B两点.‎ ‎(1)求抛物线的表达式;‎ ‎(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC、AD,求△ACD的面积;‎ ‎(3)点E为直线BC上一动点,过点E作y轴的平行线EF,与抛物线交于点F ‎.问是否存在点E,使 得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.[来源:‎ ‎【答案】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(2,-1),‎ ‎ ∴可设抛物线的表达式为。‎ ‎ ∵点C(0,3)在上,∴,解得。‎ ‎ ∴抛物线的表达式为,即。‎ ‎ (2)令,即,解得。∴A(1,0),B(3,0)。‎ ‎ 设BC的解析式为,将B(3,0),C(0,3)代入得,‎ ‎ ,解得。∴BC的解析式为。‎ ‎ 当x=2时,y=-2+3=1,∴D(2,1)。‎ ‎ ∴。‎ ‎ (3)存在。假设存在点E,使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似。‎ ‎ ∵△BCO是等腰直角三角形,∴以D、E、F为顶点的三角形也必须是等腰直角三角形。‎ ‎ ∵由EF∥OC得∠DEF=450,‎ ‎ ∴以D、E、F为顶点的等腰直角三角形只能以点D、F为直角顶点。‎ ‎ ①当点F为直角顶点时,DF⊥EF,此时△DEF∽△BCO。‎ ‎ ∴DF所在直线为y=1。‎ ‎ 由,解得 ‎ 将代入,和,∴E(,);‎ ‎ 将代入,和,∴E(,)。‎ ‎ ②当点D为直角顶点时,DF⊥ED,此时△EFD∽△BCO。‎ ‎ ∵点D在对称轴上,∴DA=DB。‎ ‎ ∵∠CBA=450,∴∠DAB=450,∴∠ADB=900。‎ ‎ ∴AD⊥BC。∴点F在直线AD上。‎ ‎ 设AD的解析式为,将A(1,0),D(2,1)代入得,‎ ‎ ,解得。∴AD的解析式为。‎ ‎ 由,解得或。‎ ‎ 将代入,和,∴E(1,2);‎ ‎ 将代入,和,∴E(4,-1)。‎ ‎ 综上所述,点E的坐标为(,)或(,)或(1,2)或(4,-1)。‎ ‎【考点】二次函数综合题,二次函数的性质,待定系数法,曲线图上点的坐标与方程的关系,等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)设抛物线的顶点式表达式,用待定系数法即可求得抛物线的表达式。‎ ‎ (2)求出A、B、D点坐标,由即可求得△ACD的面积。‎ ‎ (3)分点F为直角顶点和点D为直角顶点两种情况求解即可。‎ ‎【例10】. 已知,如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边BC在x轴上,直角顶点A在y轴的正半轴上,A(0,2),B(-1,0)。‎ ‎(1)求点C的坐标;‎ ‎(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴;‎ ‎(3)设点P(m,n)是抛物线在第一象限部分上的点,△PAC的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求使S最大时点P的坐标;‎ ‎(4)在抛物线对称轴上,是否存在这样的点M,使得△MPC(P为上述(3)问中使S 最大时点)为等腰三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由。‎ ‎【答案】解:(1)∵A(0,2),B(-1,0),∴OA=2,OB=1。‎ ‎ 由Rt△ABC知Rt△ABO∽Rt△CAO,∴,即,解得OC=4。‎ ‎ ∴点C的坐标为(4,0)。‎ ‎ (2)设过A、B、C三点的抛物线的解析式为,‎ ‎ 将A(0,2)代入,得,解得。‎ ‎ ∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为,即。‎ ‎ ∵,∴抛物线的对称轴为。‎ ‎ (3)过点P作x轴的垂线,垂足为点H。‎ ‎ ∵点P(m,n)在上,‎ ‎ ∴P。‎ ‎ ∴,‎ ‎ ,。‎ ‎ ∴‎ ‎ 。‎ ‎ ∵,∴当时,S最大。‎ 当时,。∴点P的坐标为(2,3)。‎ ‎(4)存在。点M的坐标为()或()或()或()或()。‎ ‎【考点】二次函数综合题,相似三角形的判定和性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,等腰三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)由Rt△ABO∽Rt△CAO可得,从而求出点C的坐标。‎ ‎(2)设抛物线的交点式,用待定系数法求出抛物线的解析式;化为顶点式可得抛物线的对称轴。‎ ‎(3)过点P作x轴的垂线于点H,则由可得S关于m的函数关系式;化为顶点式可得S最大时点P的坐标。‎ ‎  另解:点A、C的坐标可求AC的解析式:,设过点P与AC平行的直线为。‎ ‎  由点P在和可得。‎ ‎  ∴,整理,得。‎ ‎  要使△PAC的面积最大,即要点P到AC的距离最大,即与只有一个交点,即的△=0,即,解得。‎ ‎  将代入得,将代入得。‎ ‎  ∴当S最大时点P的坐标为(2,3)。‎ ‎(4)设点M(),‎ ‎ ∵C(4,0), P(2,3),‎ ‎ ∴PC=,‎ PM=,‎ ‎ CM=。‎ 分三种情况讨论:‎ ‎  ①当点M是顶点时,PM= CM,即,解得,。∴M1()。‎ ‎     ②当点C是顶点时,PC= CM,即,解得,。‎ ‎ ∴M2(),M2()。‎ ‎ ③当点P是顶点时,PC= PM,即,解得,。‎ ‎ ∴M4(),M5()。‎ ‎   综上所述,当点M的坐标为()或()或()或()或()时,△MPC为等腰三角形。‎ ‎【例11】. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底边BC的垂直平分线和BC所在 的直线建立平面直角坐标系,抛物线经过A、B两点.‎ ‎(1)写出点A、点B的坐标;‎ ‎(2)若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移,分别交线段OA、CA和抛物 线于点E、M和点P,连结PA、PB.设直线l移动的时间为t(0<t<4)秒,求四边形PBCA的面积S(面积单位)与t(秒)的函数关系式,并求出四边形PBCA的最大面积;‎ ‎(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点P,使得△PAM是直角三角形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)A(8,0),B(0,4)。‎ ‎ (2)∵AB=AC,∴OB=OC。∴C(0,-4)。‎ ‎ 设直线AC:,由A(8,0),C(0,-4)得 ‎ ,解得。∴直线AC:。‎ ‎ ∵ 直线l移动的速度为2,时间为t,∴OE=2t。‎ 设P,‎ ‎ 在中,令x=2t,得,∴M(2t,)。‎ ‎ ∵BC=8,PM=,OE=2t,EA=,‎ ‎ ∴‎ ‎ 。‎ ‎ ∴四边形PBCA的面积S与t的函数关系式为(0<t<4)。‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴四边形PBCA的最大面积为41个平方单位。‎ ‎(3)存在。∵由(2),在0<t<4,即0<t<8时,∠AMP和∠APM不可能为直角。‎ ‎ 若∠PAM为直角,则PA⊥CA,∴△AOC∽△PEA。∴。‎ ‎ 设P,则OC=4,OA=8,EA=8-p,EP=,‎ ‎ ∴,整理得,解得(舍去)。‎ ‎ 当时,。∴P(3,10)。‎ ‎ ∴当P(3,10)时,△PAM是直角三角形。‎ ‎【考点】二次函数综合题,动直线问题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数最值,相似三角形的判定和性质,直角三角形的判定。‎ ‎【分析】(1)在中,令x=0,得y=4;令y=0,得x=-1或x=8。‎ ‎ ∴A(8,0),B(0,4)。‎ ‎ (2)由AB=AC,根据等腰三角形三线合一的性质可得点C的坐标,从而用待定系数法求出直线AC的解析式,得到点M关于t的表达式,根据求出四边形PBCA的面积S与t的函数关系式,应用二次函数最值的求法求出四边形PBCA的最大面积。‎ ‎ (3)存在。易知,∠AMP和∠APM不可能为直角。当∠PAM为直角时,△AOC∽△PEA,根据比例关系列出方程求解即可。‎ ‎【例12】. 已知直线y = 2x + 4 与x 轴、y 轴分别交于A , D 两点,抛物线经过点A , D ,点B 是抛物线与x 轴的另一个交点。‎ ‎(1)求这条抛物线的解析式及点B 的坐标;‎ ‎(2)设点M 是直线AD 上一点,且,求点M 的坐标;‎ ‎(3)如果点C(2,y)在这条抛物线上,在y 轴的正半轴上是否存在点P,使△BCP为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。‎ ‎【答案】解:(1)在y = 2x + 4中,令y =0,得x=-2;令x=0,得y =4。‎ ‎ ∴A(-2,0),D(0,4)。‎ ‎ 将A(-2,0),D(0,4)代入,得 ‎ ,解得。‎ ‎ ∴这条抛物线的解析式为。‎ ‎ 令,解得。∴B(4,0)。‎ ‎ (2)设M(m,2 m + 4),分两种情况:‎ ‎ ①当M在线段AD上时,由得 ‎,‎ 解得,。∴M1()。‎ ‎②当M在线段DA延长线上时,‎ 由得 ‎,解得。∴M2()。‎ 综上所述,点M 的坐标为M1(),M2()。‎ ‎(3)存在。‎ ‎ ∵点C(2,y)在上,‎ ‎ ∴。∴C(2,4)。‎ ‎ 设P,根据勾股定理,得 ‎ ,‎ ‎ ,。‎ ‎ 分三种情况:‎ ‎①若PB=BC,则,解得,。‎ ‎∵点P在y 轴的正半轴上,∴P1(0,2)。‎ ‎②若PB=PC,则,解得,。∴P2(0,)。‎ ③若BC=PC,则,解得,。‎ ‎∵点P在y 轴的正半轴上,∴不符合要求。‎ 当时,B、C、P在一直线上,不构成三角形,也不符合要求。‎ ‎∴BC=PC时,在y 轴的正半轴上是不存在点P,使△BCP为等腰三角形。‎ 综上所述,在y 轴的正半轴上是存在点P1(0,2),P2(0,),使△BCP为等腰三角形。‎ ‎【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】(1)求出点A,D的坐标,代入,即可求出抛物线的解析式。令y=0,即可求出点B的坐标。‎ ‎(2)分M在线段AD上和M在线段DA延长线上两种情况两种情况讨论。‎ ‎(3)P,由勾股定理,表示出各边长,分PB=BC,PB=PC,BC=PC三种情况讨论。‎ ‎【例13】. 如图,在平面直角坐标系中,直线交x轴于点P,交y轴于点A.抛物线的图象过点E(-1,0),并与直线相交于A、B两点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式(关系式);‎ ‎(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C,求点C的坐标;‎ ‎(3)除点C外,在坐标轴上是否存在点M,使得△MAB是直角三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)∵一次函数交y轴于点A,‎ ‎∴令x=0,得y=2。∴A(0,2)。‎ ‎ ∵A(0,2)、E(-1,0)是抛物线的图象上的点,‎ ‎ ∴,解得 。 ‎ ‎ ∴抛物线的解析式是:。‎ ‎(2)∵一次函数交x轴于点P,∴令y=0,得x=6。∴P(6,0)。‎ ‎ ∵AC⊥AB,OA⊥OP,∴△AOC∽△POA。∴。‎ ‎ ∵AO=2,PO=6,∴。∴。∴点C的坐标为。‎ ‎(3)存在。‎ 设除点C外,在坐标轴上还存在点M,使得△MAB是直角三角形,‎ 即∠AMB=900或∠ABM=900。‎ ‎∵点B是直线和抛物线的交点,‎ ‎∴,解得。∴。‎ ‎ ①若∠AMB=900,那么点M是以AB为直径的圆与坐标轴的交点,这时点M会在x轴的正半轴上和y轴的正半轴上。‎ ‎ 若交点在y轴的正半轴上(如图),则点M的纵坐标与点B的纵坐标相等,即。‎ ‎ 若交点在x轴的正半轴上(如图),设,过点B作BD⊥x轴于点D,则有△AOM∽△MDA。∴ 。‎ ‎ ∵AO=2,MD=,OM=m,DB=,‎ ‎ ∴,解得。∴或。‎ ‎ ⑵若∠ABM=900,即过B作BM⊥AP,这时M在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上。 ‎ 若交点在x轴的正半轴上(如图),设,过点B作BD⊥x轴于点D,则有△BDM∽△PDB。∴ 。‎ ‎∵BD=,MD=,PD=,‎ ‎∴,解得。∴。‎ ‎ 若交点在y轴的负半轴上(如图),设,过B作BF垂直y轴于点F,则有△ABF∽△BMF。∴ 。‎ ‎∵BF=,AF=,MF=,‎ ‎∴,解得。‎ ‎ ∴。‎ 综上所述,除点C外,在坐标轴上还存在点M,使得△MAB是直角三角形,满足条件 的点M的坐标是:、或、或、或,或共五个点。‎ ‎【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,一次、二次函数的性质,相似三角形的判定和性质,直角三角形的判定。‎ ‎【分析】(1)求出点A的坐标,由点A、E在抛物线的图象上,用待定系数法即可求得抛物线的解析式。‎ ‎ (2)由△AOC∽△POA得比例式即可求得点C的坐标。‎ ‎ (3)分∠AMB=900(交点在y轴的正半轴上或交点在x轴的正半轴上),∠ABM=900(交点在x轴的正半轴上或交点在y轴的负半轴上)讨论即可。‎ ‎【例14】. 在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,点C为 (-1,0) .如图所示,B点在抛物线y=x2+x-2图象上,过点B作 BD⊥x轴,垂足为D,且B点横坐标为-3.‎ ‎(1)求证:△BDC≌△COA;‎ ‎(2)求BC所在直线的函数关系式;‎ ‎(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所 有点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)证明:∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠OAC=90°,‎ ‎∴∠BCD=∠OAC。‎ ‎∵△ABC为等腰直角三角形 ,∴BC=AC。‎ 在△BDC和△COA中,∠BDC=∠COA=90°,∠BCD=∠OAC,BC=AC,‎ ‎∴△BDC≌△COA(AAS)。 ‎ ‎(2)∵C点坐标为 (-1,0),∴BD=CO=1。‎ ‎∵B点横坐标为-3,∴B点坐标为 (-3,1)。‎ 设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b,‎ ‎∴,解得。∴BC所在直线的函数关系式为y=- x- 。‎ ‎(3)存在 。 ‎ ‎∵y=x2+x-2=(x+)2x-,∴对称轴为直线x=-。‎ 若以AC为直角边,点C为直角顶点,对称轴上有一点P1,使CP1⊥AC,‎ ‎∵BC⊥AC,∴点P1为直线BC与对轴称直线x=-的交点。‎ 由题意可得: , 解得,。∴P1(-,-)。‎ 若以AC为直角边,点A为直角顶点,对称轴上有一点P2,使AP2⊥AC,‎ 则过点A作A P2∥BC,交对轴称直线x=-于点P2,‎ ‎∵CD=OA,∴A(0,2)。‎ 设直线AP2的解析式为:y=-x+m,把A(0,2)代入得m=2。‎ ‎∴直线AP2的解析式为:y=-x+2。‎ ‎ 由题意可得:,解得,。∴P2(-,-)。‎ ‎∴P点坐标分别为P1(-,-)、P2(-,-)。‎ ‎【考点】二次函数综合题,平角定义,直角三角形两锐角的关系,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,抛物线的对称轴,直角三角形的判定。‎ ‎【分析】(1)由等腰直角三角形的性质,平角定义,直角三角形两锐角的关系,可由AAS证得。‎ ‎ (2)求出点B的坐标,由点B、C的坐标,用待定系数法可求BC所在直线的函数关系式。‎ ‎ (3)分点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况讨论即可。‎ ‎【例15】.如图,顶点为P(4,-4)的二次函数图象经过原点(0,0),点A在该图象上,‎ OA交其对称轴于点M,点M、N关于点P对称,连接AN、ON ‎(1)求该二次函数的关系式.‎ ‎(2)若点A的坐标是(6,-3),求△ANO的面积.‎ ‎(3)当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动,请解答下列问题:‎ ‎①证明:∠ANM=∠ONM ‎②△ANO能否为直角三角形?如果能,请求出所有符合条件的点A的坐标,如果不能,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)∵二次函数图象的顶点为P(4,-4),∴设二次函数的关系式为。‎ ‎ 又∵二次函数图象经过原点(0,0),∴,解得。‎ ‎ ∴二次函数的关系式为,即。‎ ‎ (2)设直线OA的解析式为,将A(6,-3)代入得,解得。‎ ‎ ∴直线OA的解析式为。‎ ‎ 把代入得。∴M(4,-2)。‎ 又∵点M、N关于点P对称,∴N(4,-6),MN=4。‎ ‎∴。‎ ‎ (3)①证明:过点A作AH⊥于点H,,与x轴交于点D。则 ‎ 设A(),‎ 则直线OA的解析式为。‎ 则M(),N(),H()。‎ ‎∴OD=4,ND=,HA=,NH=。‎ ‎∴。‎ ‎∴。∴∠ANM=∠ONM。‎ ‎②能。理由如下:分三种情况讨论:‎ 情况1,若∠ONA是直角,由①,得∠ANM=∠ONM=450,‎ ‎∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH,即。‎ 整理,得,解得。‎ ‎∴此时,点A与点P重合。故此时不存在点A,使∠ONA是直角。‎ 情况2,若∠AON是直角,则。‎ ‎∵ ,‎ ‎∴。‎ 整理,得,解得,。‎ 舍去,(在左侧)。‎ 当时,。‎ ‎∴此时存在点A(),使∠AON是直角。‎ 情况3,若∠NAO是直角,则△AMN∽△DMO∽△DON,∴。‎ ‎∵OD=4,MD=,ND=,∴。‎ 整理,得,解得。‎ ‎∴此时,点A与点P重合。故此时不存在点A,使∠ONA是直角。‎ 综上所述,当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动时,存在点A(),使∠AON是直角,即△ANO为直角三角形。‎ ‎【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,对称的性质,锐角三角函数定义,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程。‎ ‎【分析】(1)由二次函数图象的顶点为P(4,-4)和经过原点,设顶点式关系式,用待定系数法即可求。‎ ‎ (2)求出直线OA的解析式,从而得到点M的坐标,根据对称性点N坐标,从而求得MN的长,从而求得△ANO的面积。‎ ‎ (3)①根据正切函数定义,分别求出∠ANM和∠ONM即可证明。‎ ‎ ②分∠ONA是直角,∠AON是直角,∠NAO是直角三种情况讨论即可得出结论。‎ ‎ 当∠AON是直角时,还可在Rt△OMNK中用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解:‎ ‎ ∵OP=PN=PM,OP=‎ ‎∵ PN=-4 , ∴=-4 。 ∴‎ ‎【例16】. 如图,已知二次函数的图像过点A(-4,3),B(4,4).‎ ‎ (1)求二次函数的解析式:‎ ‎ (2)求证:△ACB是直角三角形;‎ ‎ (3)若点P在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点P作PH垂直x轴于点H,是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。‎ ‎【答案】解:(1)将A(-4,3),B(4,4)代人中, ‎ ‎ , 整理得: 解得 ‎ ∴二次函数的解析式为:,即:。 ‎ ‎ (2)由 整理得 ,解得。‎ ‎ ∴C (-2,0),D 。‎ ‎ ∴AC2=4+9 ,BC2=36+16,AC2+ BC2=13+52=65,AB2=64+1=65,‎ ‎ ∴ AC2+ BC2=AB2 。∴△ACB是直角三角形。‎ ‎ (3)设(x<0),则PH=, HD=。‎ 又∵AC=, BC=,‎ ‎ ①当△PHD∽△ACB时有:,即:,‎ 整理得 ,解得(舍去),此时,。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ②当△DHP∽△ACB时有:, 即:,‎ ‎ 整理 ,解得(舍去),此时,。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 综上所述,满足条件的点有两个即,。‎ ‎【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理和逆定理的应用,相似三角形的判定性质,坐标系中点的坐标的特征,抛物线与x轴的交点,解一元二次方程和二元一次方程组。‎ ‎【分析】(1)求二次函数的解析式,也就是要求中a、b的值,只要把A(-4,3),B(4,4)代人即可。‎ ‎ (2)求证△ACB是直角三角形,只要求出AC,BC,AB的长度,然后用勾股定理及其逆定理去考察。‎ ‎ (3)分两种情况进行讨论,①△DHP∽△BCA,②△PHD∽△BCA ‎,然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P的坐标。‎ ‎【例17】. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.‎ ‎(1)求抛物线的函数关系式;‎ ‎(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;‎ ‎(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)∵A(-1,0)、B(3,0)经过抛物线y=ax2+bx+c,‎ ‎∴可设抛物线为y=a(x+1)(x-3)。‎ 又∵C(0,3) 经过抛物线,∴代入,得3=a(0+1)(0-3),即a=-1。‎ ‎∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3。‎ ‎ (2)连接BC,直线BC与直线l的交点为P。‎ ‎ 则此时的点P,使△PAC的周长最小。‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b,‎ 将B(3,0),C(0,3)代入,得:‎ ‎,解得:。‎ ‎∴直线BC的函数关系式y=-x+3。‎ 当x-1时,y=2,即P的坐标(1,2)。‎ ‎(3)存在。点M的坐标为(1,),(1,-),(1,1),(1,0)。‎ ‎【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,线段中垂线的性质,三角形三边关系,等腰三角形的性质。‎ ‎【分析】(1)可设交点式,用待定系数法求出待定系数即可。‎ ‎ (2)由图知:A、B点关于抛物线的对称轴对称,那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知:若连接BC,那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点。‎ ‎(3)由于△MAC的腰和底没有明确,因此要分三种情况来讨论:①MA=AC、②MA=MC、②AC=MC;可先设出M点的坐标,然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长,再按上面的三种情况列式求解:‎ ‎∵抛物线的对称轴为: x=1,∴设M(1,m)。‎ ‎∵A(-1,0)、C(0,3),∴MA2=m2+4,MC2=m2-6m+10,AC2=10。‎ ‎①若MA=MC,则MA2=MC2,得:m2+4=m2-6m+10,得:m=1。‎ ‎②若MA=AC,则MA2=AC2,得:m2+4=10,得:m=±。‎ ‎③若MC=AC,则MC2=AC2,得:m2-6m+10=10,得:m=0,m=6,‎ 当m=6时,M、A、C三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去。‎ 综上可知,符合条件的M点,且坐标为(1,),(1,-),(1,1),(1,0)。‎ ‎【例18】. 如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点,并与x轴交于另一点C(点C点A的右侧),点P是抛物线上一动点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;‎ ‎(2)若点P在第二象限内,过点P作PD⊥轴于D,交AB于点E.当点P运动到什么位置时,线段PE最长?此时PE等于多少?‎ ‎(3)如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q,与直线AB交于点N,点M为OA的中点,那么是否存在这样的直线l,使得△MON是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,∴A(-4,0),B(0,4)。‎ ‎∵抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点, ‎ ‎∴,解得 。‎ ‎∴抛物线解析式为y=-x2-3x+4。‎ 令y=0,得-x2-3x+4=0,解得x1=-4,x2=1,‎ ‎∴C(1,0)。‎ ‎(2)如图1,设D(t,0)。‎ ‎∵OA=OB,∴∠BAO=45°。‎ ‎∴E(t,t+4),P(t,-t2-3t+4)。‎ PE=yP-yE=-t2-3t+4-t-4=-t2-4t=-(t+2)2+4。‎ ‎∴当t=-2时,线段PE的长度有最大值4,此时P(-2,6)。‎ ‎(3)存在。如图2,过N点作NH⊥x轴于点H。‎ 设OH=m(m>0),∵OA=OB,∴∠BAO=45°。‎ ‎∴NH=AH=4-m,∴yQ=4-m。‎ 又M为OA中点,∴MH=2-m。‎ 当△MON为等腰三角形时:‎ ‎①若MN=ON,则H为底边OM的中点,‎ ‎∴m=1,∴yQ=4-m=3。‎ 由-xQ2-3xQ+4=3,解得。‎ ‎∴点Q坐标为(,3)或(,3)。‎ ‎②若MN=OM=2,则在Rt△MNH中,‎ 根据勾股定理得:MN2=NH2+MH2,即22=(4-m)2+(2-m)2,‎ 化简得m2-6m+8=0,解得:m1=2,m2=4(不合题意,舍去)。‎ ‎∴yQ=2,由-xQ2-3xQ+4=2,解得。‎ ‎∴点Q坐标为(,2)或(,2)。‎ ‎③若ON=OM=2,则在Rt△NOH中,‎ 根据勾股定理得:ON2=NH2+OH2,即22=(4-m)2+m2,‎ 化简得m2-4m+6=0,∵△=-8<0,‎ ‎∴此时不存在这样的直线l,使得△MON为等腰三角形。‎ 综上所述,存在这样的直线l,使得△MON为等腰三角形。所求Q点的坐标为 ‎(,3)或(,3)或(,2)或(,2)。‎ ‎【考点】二次函数综合题,曲线图上点的坐标与方程的关系,二次函数的最值,等腰三角形的判定和性质,勾股定理,解一元二次方程。‎ ‎【分析】(1)首先求得A、B点的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式,并求出抛物线与x轴另一交点C的坐标。‎ ‎(2)求出线段PE长度的表达式,设D点横坐标为t,则可以将PE表示为关于t的二次函数,利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值。‎ ‎(3)根据等腰三角形的性质和勾股定理,将直线l的存在性问题转化为一元二次方程问题,通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在,并求出相应Q点的坐标。 “△MON是等腰三角形”,其中包含三种情况:MN=ON,MN=OM,ON=OM,逐一讨论求解。‎ ‎【例19】. 如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.‎ ‎(1)求点B的坐标;‎ ‎(2)求经过点A.O、B的抛物线的解析式;‎ ‎(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)如图,过B点作BC⊥x轴,垂足为C,则∠BCO=90°。‎ ‎∵∠AOB=120°,∴∠BOC=60°。‎ 又∵OA=OB=4,‎ ‎∴OC=OB=×4=2,BC=OB•sin60°=。‎ ‎∴点B的坐标为(﹣2,﹣)。‎ ‎(2)∵抛物线过原点O和点A.B,‎ ‎ ∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx,将A(4,0),B(﹣2,﹣)代入,得 ‎,解得。‎ ‎∴此抛物线的解析式为。‎ ‎(3)存在。‎ 如图,抛物线的对称轴是x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为(2,y)。‎ ‎①若OB=OP,则22+|y|2=42,解得y=±,‎ 当y=时,‎ 在Rt△POD中,∠PDO=90°,sin∠POD=,‎ ‎∴∠POD=60°‎ ‎∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°,即P、O、B三点在同一直线上。‎ ‎∴y=不符合题意,舍去。‎ ‎∴点P的坐标为(2,﹣)。‎ ‎②若OB=PB,则42+|y+|2=42,解得y=﹣。‎ ‎∴点P的坐标为(2,﹣)。‎ ‎③若OP=BP,则22+|y|2=42+|y+|2,解得y=﹣。‎ ‎∴点P的坐标为(2,﹣)。‎ 综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为(2,﹣)。‎ ‎【考点】二次函数综合题,旋转的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,等腰三角形的性质,勾股定理,分类讨论。‎ ‎【分析】(1)首先根据OA的旋转条件确定B点位置,然后过B做x轴的垂线,通过构建直角三角形和OB的长(即OA长)确定B点的坐标。‎ ‎(2)已知O、A、B三点坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式。‎ ‎(3)根据(2)的抛物线解析式,可得到抛物线的对称轴,然后先设出P点的坐标,而O、B坐标已知,可先表示出△OPB三边的边长表达式,然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论,然后分辨是否存在符合条件的P点。‎ ‎【例20】. 已知抛物线经过A(2,0). 设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.‎ ‎(1)求b的值,求出点P、点B的坐标;‎ ‎(2)如图,在直线 上是否存在点D,使四边形OPBD为平行四边形?若存在,求出点D的坐 标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,使△AMP≌△AMB?如果存在,试举例验证你的猜想;如果不存在,试说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)∵抛物线经过A(2,0),‎ ‎∴,解得。‎ ‎∴抛物线的解析式为。‎ ‎∵,‎ ‎∴顶点P的坐标为(4,)。‎ 令y=0,得,解得。‎ ‎∴点B的坐标是(6,0)。‎ ‎(2)在直线 上存在点D,使四边形OPBD为平行四边形。理由如下:‎ 设直线PB的解析式为,把B(6,0),P(4, )分别代入,得 ‎ , 解得。‎ ‎ ∴直线PB的解析式为。‎ ‎ 又∵直线OD的解析式为 ‎ ∴直线PB∥OD。‎ ‎ 设直线OP的解析式为,把P(4, )代入,得 ‎ ,解得。‎ 如果OP∥BD,那么四边形OPBD为平行四边形。‎ 设直线BD的解析式为,将B(6,0)代入,得 ‎,解得。‎ ‎∴直线BD的解析式为。‎ 联立方程组,解得。‎ ‎∴D点的坐标为(2, )。‎ ‎ (3)符合条件的点M存在。验证如下:‎ 过点P作x轴的垂线,垂足为为C,则PC=,AC=2,‎ 由勾股定理,可得AP=4,PB=4。‎ 又∵AB=4,∴△APB是等边三角形。‎ 作∠PAB的平分线交抛物线于M点,连接PM,BM。‎ ‎∵AM=AM,∠PAM=∠BAM,AB=AP,∴△AMP≌△AMB.(SAS)。‎ 因此即存在这样的点M,使△AMP≌△AMB.。‎ ‎【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平行四边形的判定,勾股定理,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定。‎ ‎【分析】(1)由抛物线经过A(2,0),代入即可求出b的值;从而得出抛物线的解析式,化为顶点式即可求出顶点P的坐标;令y=0,即可求出点B的坐标。‎ ‎ (2)用待定系数法,求出直线PB、BD的解析式,联立和,解之即得 点D的坐标。‎ ‎(3)由勾股定理求出AP、BP和AB的长,证出△APB是等边三角形,即可作BP的中垂线AM交BP于点M,点M即为所求。‎ ‎【例21】. 在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,点C为 (-1,0) .如图所示,B点在抛物线y=x2+x-2图象上,过点B作BD⊥x轴,垂足为D,且B点横坐标为-3.‎ ‎(1)求证:△BDC≌△COA;‎ ‎(2)求BC所在直线的函数关系式;‎ ‎(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所 有点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)证明:∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠OAC=90°,‎ ‎∴∠BCD=∠OAC。‎ ‎∵△ABC为等腰直角三角形 ,∴BC=AC。‎ 在△BDC和△COA中,∠BDC=∠COA=90°,∠BCD=∠OAC,BC=AC,‎ ‎∴△BDC≌△COA(AAS)。 ‎ ‎(2)∵C点坐标为 (-1,0),∴BD=CO=1。‎ ‎∵B点横坐标为-3,∴B点坐标为 (-3,1)。‎ 设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b,‎ ‎∴,解得。∴BC所在直线的函数关系式为y=- x- 。‎ ‎(3)存在 。 ‎ ‎∵y=x2+x-2=(x+)2x-,∴对称轴为直线x=-。‎ 若以AC为直角边,点C为直角顶点,对称轴上有一点P1,使CP1⊥AC,‎ ‎∵BC⊥AC,∴点P1为直线BC与对轴称直线x=-的交点。‎ 由题意可得: , 解得,。∴P1(-,-)。‎ 若以AC为直角边,点A为直角顶点,对称轴上有一点P2,使AP2⊥AC,‎ 则过点A作A P2∥BC,交对轴称直线x=-于点P2,‎ ‎∵CD=OA,∴A(0,2)。‎ 设直线AP2的解析式为:y=-x+m,把A(0,2)代入得m=2。‎ ‎∴直线AP2的解析式为:y=-x+2。‎ ‎ 由题意可得:,解得,。∴P2(-,-)。‎ ‎∴P点坐标分别为P1(-,-)、P2(-,-)。‎ ‎【考点】二次函数综合题,平角定义,直角三角形两锐角的关系,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,抛物线的对称轴,直角三角形的判定。‎ ‎【分析】(1)由等腰直角三角形的性质,平角定义,直角三角形两锐角的关系,可由AAS证得。‎ ‎ (2)求出点B的坐标,由点B、C的坐标,用待定系数法可求BC所在直线的函数关系式。‎ ‎ (3)分点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况讨论即可。‎ ‎【例22】. 如图,抛物线与x轴交于A.B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点C与点F关于抛物线的对称轴对称,直线AF交y轴于点E,|OC|:|OA|=5:1.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)求直线AF的解析式;‎ ‎(3)在直线AF上是否存在点P,使△CFP是直角三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)在y=x2﹣bx﹣5中令x=0,得y=5,∴|OC|=5。‎ ‎ ∵|OC|:|OA|=5:1,∴|OA|=1。∴A(﹣1,0)。‎ 把A(﹣1,0)代入y=x2﹣bx﹣5得(﹣1)2+b﹣5=0,解得b=4。‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5。‎ ‎(2)∵y=x2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9,∴抛物线的的对称轴为x=2。‎ ‎ ∵点C与点F关于对称轴对称,C(0,﹣5)∴F(4,﹣5)。‎ 设直线AF的解析式为y=kx+b,‎ 把F(4,﹣5),A(﹣1,0),代入y=kx+b,得 ‎,解得。∴直线FA的解析式为y=﹣x﹣1。‎ ‎(3)存在。理由如下:‎ ‎①当∠FCP=90°时,点P与点E重合,‎ ‎∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点,∴E(0,﹣1)。∴P(0,﹣1)。‎ ‎②当CF是斜边时,过点C作CP⊥AF于点P。‎ 设P(x1,﹣x1﹣1),‎ ‎∵∠ECF=90°,E(0,﹣1),C(0,﹣5),F(4,﹣5),‎ ‎∴CE=CF。∴EP=PF。∴CP=PF。‎ ‎∴点P在抛物线的对称轴上。∴x1=2。‎ 把x1=2代入y=﹣x﹣1,得y=﹣3。∴P(2,﹣3)。‎ 综上所述,直线AF上存在点P(0,﹣1)或(0,﹣1)使△CFP是直角三角形。‎ ‎【考点】二次函数综合题,二次函数的性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,直角三角形的判定,等腰直角三角形的性质。‎ ‎【分析】(1)根据抛物线解析式求出OC的长度,再根据比例求出OA的长度,从而得到点A的坐标,然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b,即可得到抛物线解析式。‎ ‎(2)由y=x2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9可得对称轴为x=2,根据点C、F关于对称轴对称可得点F的坐标,然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可。‎ ‎(3)分①点P与点E重合和②CF是斜边两种情况讨论即可。‎