中考数学常用公式和定理大全 8页

中考数学常用公式定理 1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3， ， 0.231，0.737373…， ， ．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－ ，0.1010010001…(两个1之 间依次多1个0)．有理数和无理数统称为实数． 2、绝对值：a≥0 丨a丨＝a；a≤0 丨a丨＝－a．如：丨－ 丨＝ ；丨3.14－π丨＝π－3.14． 3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有 效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0． 4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－ 4.07×105，0.000043＝4.3×10－5． 5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋ b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－ 4ab． 6、幂的运算性质：①am×an＝am＋n．②am÷an＝am－n．③(am)n＝amn．④(ab)n＝anbn．⑤( )n＝n． ⑥a－n＝ ，特别：( )－n＝( )n．⑦a0＝1(a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4，(a3)2＝a6，(3a3)3＝ 27a9，(－3)－1＝－ ，5－2＝ ＝ ，( )－2＝( )2＝ ，(－3.14)º＝1，( － )0＝1． 7、二次根式：①( )2＝a(a≥0)，② ＝丨a丨，③ ＝ × ，④ ＝ (a＞0，b≥0)．如：① (3 )2＝45．② ＝6．③a＜0时， ＝－a ．④ 的平方根＝4的平方根＝±2．（平方根、 立方根、算术平方根的概念） 8、一元二次方程：对于方程：ax2＋bx＋c＝0： 韦达定理：设 是方程 的两个根，那么有 ①求根公式是 x＝ ，其中△＝b2－4ac 叫做根的判别式． 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根． ②若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)． ③以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0． 9、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截 距)．当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下 降)．特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点． 10、反比例函数y＝ (k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向 1 na 21, xx 02 =++ cbxax a cxxa bxx =•−=+ 2121 , 2 4 2 b b ac a − ± − 右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数 相反． 11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体 中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数 最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数 (或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数． （2）公式：设有 n 个数x1，x2，…，xn，那么： ①平均数为： ； ②极差： 用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即： 极差=最大值-最小值； ③方差： 数据 、 ……, 的方差为 ，则 = 标准差：方差的算术平方根. 数据 、 ……, 的标准差 ，则 = 一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。 12、频率与概率： （1）频率= ，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于 1，频率分布直方图中各个小长 方形的面积为各组频率。 （2）概率 ①如果用 P 表示一个事件 A 发生的概率，则 0≤P（A）≤1； P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0； ②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。 ③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值； 13、锐角三角函数： ①设∠A是Rt△ABC的任一锐角，则∠A的正弦：sinA＝ ，∠A的余弦：cosA＝ ，∠A的 正切：tanA＝ ．并且sin2A＋cos2A＝1． 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小． ②余角公式：sin(90º－A)＝cosA，cos(90º－A)＝sinA． ③特殊角的三角函数值：sin30º＝cos60º＝ ，sin45º＝cos45º＝ ，sin60º＝cos30º＝ ， tan30º＝ ，tan45º ＝1，tan60º＝ ． ④斜坡的坡度：i＝ ＝ ．设坡角为α，则i＝tanα＝ ． 14、平面直角坐标系中的有关知识： 1 2 ...... nx x xx n + + += 1x 2x nx 2s 2s ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 ..... nx x x x x xn é ù- + - + + -ê úë û 1x 2x nx s s ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 ..... nx x x x x xn é ù- + - + + -ê úë û 总数 频数 铅垂高度 水平宽度 h l α （1）对称性：若直角坐标系内一点 P（a，b），则 P 关于 x 轴对称的点为 P1（a，－b），P 关于 y 轴对称的 点为 P2（－a，b），关于原点对称的点为 P3（－a，－b）. （2）坐标平移：若直角坐标系内一点 P（a，b）向左平移 h 个单位，坐标变为 P（a－h，b），向右平移 h 个单位，坐标变为 P（a＋h，b）；向上平移 h 个单位，坐标变为 P（a，b＋h），向下平移 h 个单位，坐标 变为 P（a，b－h）.如：点 A（2，－1）向上平移 2 个单位，再向右平移 5 个单位，则坐标变为 A（7， 1）. 15、二次函数的有关知识： 1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数. 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ① 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下； 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 . 几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 （ 轴） （0,0） （ 轴） (0, ) ( ,0) ( , ) 当 时 开口向上 当 时 开口向下 ( ) 4.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法： ，∴顶点是 ，对称轴是直线 . （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )， 对称轴是直线 . （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。 若已知抛物线上两点 （及 y 值相同），则对称轴方程可以表示为： 9.抛物线 中， 的作用 （1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样. （2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ，故：① 时，对称轴为 轴；② （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧； cbacbxaxy ,,(2 ++= )0≠a y x a 0>a 0a 0 a b a b y ③ （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧. （3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置. 当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）： ① ，抛物线经过原点; ② ,与 轴交于正半轴；③ ,与 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 . 11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式. （2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： . 12.直线与抛物线的交点 （1） 轴与抛物线 得交点为(0, ). （2）抛物线与 轴的交点 二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点 ( ) 抛物线与 轴相交； ②有一个交点（顶点在 轴上） ( ) 抛物线与 轴相切； ③没有交点 ( ) 抛物线与 轴相离. （3）平行于 轴的直线与抛物线的交点 同（2）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐 标为 ，则横坐标是 的两个实数根. （4）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程 组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; ②方 程组只有一组解时 与 只有一个交点；③方程组无解时 与 没有交点. （5）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ， 则 1、多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)180º（n≥3，n是正整数），外角和等于360º 2、平行线分线段成比例定理： （1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 如图：a∥b∥c，直线 l1 与 l2 分别与直线 a、b、c 相交与点 A、B、C D、E、F，则有 （2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 如图：△ABC 中，DE∥BC，DE 与 AB、AC 相交与点 D、E，则有： 0< a b a b y c cbxaxy ++= 2 y 0=x cy = cbxaxy ++= 2 y c 0=c 0>c y 0∆ ⇔ x x ⇔ 0=∆ ⇔ x ⇔ 0<∆ ⇔ x x k kcbxax =++2 ( )0≠+= knkxy l ( )02 ≠++= acbxaxy G cbxaxy nkxy ++= += 2 ⇔ l G ⇔ l G ⇔ l G x cbxaxy ++= 2 x ( ) ( )00 21 ，，， xBxA 1 2AB x x= − , ,AB DE AB DE BC EF BC EF AC DF AC DF = = = , ,AD AE AD AE DE DB EC DB EC AB AC BC AB AC = = = = a c A B C D E F l 1 b l 2 A B C D E C E A B D ＊3、直角三角形中的射影定理：如图：Rt△ABC 中，∠ACB＝90o，CD⊥AB 于 D，则有： （1） （2） （3） 4、圆的有关性质： （1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：①经过圆心；②垂直弦；③平分弦；④ 平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质．注：具备①，③时，弦不 能是直径．（2）两条平行弦所夹的弧相等．（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（4）一条弧所 对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半．（6）同弧或等弧所 对的圆周角相等．（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．（8）90º的圆周角所对的弦是直径， 反之，直径所对的圆周角是90º，直径是最长的弦．（9）圆内接四边形的对角互补． 5、三角形的内心与外心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角角平分线 的交点．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线的交点． 常见结论：（1）Rt△ABC 的三条边分别为：a、b、c（c 为斜边），则它的内切圆的半径 ； （2）△ABC 的周长为 ，面积为 S，其内切圆的半径为 r，则 ＊6、弦切角定理及其推论： （1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：∠PAC 为弦切 角。 （2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。 如果 AC 是⊙O 的弦，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，则 推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等） 如果 AC 是⊙O 的弦，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，则 ＊7、相交弦定理、割线定理、切割线定理： 相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图①，即：PA·PB = PC·PD 割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。 如图②，即：PA·PB = PC·PD 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如 图③，即：PC2 = PA·PB 8、面积公式： 2CD AD BD= ⋅ 2AC AD AB= ⋅ 2BC BD AB= ⋅ 2 a b cr + −= l 1 2S lr= 1 1 2 2PAC AC AOC∠ = = ∠ PAC ABC∠ = ∠ C A BD PO C A B DPO C B A D PO C A B O P B C A ①S正△＝ ×(边长)2． ②S平行四边形＝底×高． ③S菱形＝底×高＝ ×(对角线的积)， ④S圆＝πR2． ⑤l圆周长＝2πR． ⑥弧长L＝ ． ⑦ ⑧S圆柱侧＝底面周长×高＝2πrh，S全面积＝S侧＋S底＝2πrh＋2πr2 ⑨S圆锥侧＝ ×底面周长×母线＝πrb， S全面积＝S侧＋S底＝πrb＋πr2 1 2 3 的值为（ ） 4. 计算： 2. 已知 的值。 3. 若 的值。 4. 若 1.垂径定理及推论: 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理， 即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”. 几何表达式举例： ∵ CD 过圆心 ∵CD⊥AB 2.平行线夹弧定理： 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 几何表达式举例： 1 ( )2S = + × = ×梯形 上底 下底 高 中位线 高 2 1 360 2 n rS lr π= =扇形 已知 、 、 是实数，且满足 ，求 的值。x y z x y z z x yz( ) | |− + − + − = +4 2 1 02 计算： ×( ) ( ) ( )1 3 2004 2 2 1 16 1 2 1 1 0 2− − + + − + − x px qx x px qx= + + = − + +1 1 2001 1 13 3时，代数式 的值为 ，则当 时，代数式 计算 ÷ ·x x x x x x x x x x x xy y 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 3 4 2 9 9 2 2 + − + + + − − + + − − + x x x x x x 2 2 1 1 2 1 2+ − − − − −÷ a a a a a a a a = − + − − − + − 1 3 1 2 1 2 12 2 2，求 a b a b ab− = + −2 2 2 2 ，求 3 4 6 9 42< < − + + −a a a a，化简： | | A B C D E O ƽ·ÖÓÅ»¡ ¹ýÔ²ÐÄ ´¹Ö±ÓÚÏÒ Æ½·ÖÏÒ Æ½·ÖÁÓ»¡ ∴ AC BC AD BD= = AE=BE A B C D O ∵ ∴ ∥ = AB CD AC BD 3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中） “等角对等弦”； “等弦对等角”； “等角对等弧”； “等弧对等角”； “等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”； “等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”. 几何表达式举例： (1) ∵∠AOB=∠COD ∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD ∴∠AOB=∠COD 4．圆周角定理及推论: （1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半； （2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”； （4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图) （5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 直角三角形.(如图) （1） （2）（3） （4） 几何表达式举例： （1） ∵∠ACB= ∠AOB ∴ …………… （2） ∵ AB 是直径 ∴ ∠ACB=90° （3） ∵ ∠ACB=90° ∴ AB 是直径 （4） ∵ CD=AD=BD ∴ ΔABC 是 RtΔ 5．圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外 角都等于它的内对角. 几何表达式举例： ∵ ABCD 是圆内接四边形 ∴ ∠CDE =∠ABC ∠C+∠A =180° 6．切线的判定与性质定理: 如图：有三个元素，“知二可推一”； 需记忆其中四个定理. （1）经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线； （2）圆的切线垂直于经过切点的半径； ※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 几何表达式举例： （1） ∵OC 是半径 ∵OC⊥AB ∴AB 是切线 （2） ∵OC 是半径 ∵AB 是切线 ∴OC⊥AB （3） …………… 7．切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等；圆心和这一 点的连线平分两条切线的夹角. 几何表达式举例： ∵ PA、PB 是切线 ∴ PA=PB ∵PO 过圆心 ∴∠APO =∠BPO 8．弦切角定理及其推论: （1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角； （2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等； （如图） （3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图） 几何表达式举例： （1）∵BD 是切线，BC 是弦 ∴∠CBD =∠CAB （2） ∵ ED，BC 是切线 ∴ ∠CBA =∠DEF 2 1 A B C D E F O A B C O A B C O A BC D A B C D E A B C O Êǰ뾶 ´¹Ö± ÊÇÇÐÏß P A B O A B C D A B C D E F ∵ EF AB= （1） （2） 9．相交弦定理及其推论: （1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等； （2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两 条线段长的比例中项. （1） （2） 几何表达式举例： （1） ∵PA·PB=PC·PD ∴……… （2） ∵AB 是直径 ∵PC⊥AB ∴PC2=PA·PB 10．切割线定理及其推论: （1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交 点的两条线段长的比例中项； （2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点 的两条线段长的积相等. （2） 几何表达式举例： （1） ∵PC 是切线， PB 是割线 ∴PC2=PA·PB （2） ∵PB、PD 是割线 ∴PA·PB=PC·PD 11．关于两圆的性质定理: （1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦； （2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上. （1） （2） 几何表达式举例： （1） ∵O1，O2 是圆心 ∴O1O2 垂直平分 AB （2） ∵⊙1 、⊙2 相切 ∴O1 、A、O2 三点一线 A BC D P A B C PO A B CP A B C DP A B O1 O2 A O1 O2