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- 2021-05-10 发布
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中考专题复习模拟演练:平行四边形
一、选择题
1.正方形四边中点的连线围成的四边形(最准确的说法)一定是( )
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形
2.下列性质中,矩形不一定具有的是( )
A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对边相等 D. 四个角都是直角
3. 若平面上A、B两点到直线l的距离分别为m,n(m>n),则线段AB的中点到l的距离为( )
A. m﹣n B. C. D. 或
4.如图,在△ABC中,BD、CE是△ABC的中线,BD与CE相交于点O,点F、G分别是BO、CO的中点,连接AO.若AO=6cm,BC=8cm,则四边形DEFG的周长是( )
A. 14cm B. 18cm C. 24cm D. 28cm
5.如图,在▱ABCD中,BE⊥AB交对角线AC于点E,若∠1=18°,则∠2=( )
A. 98° B. 102° C. 108° D. 118°
6.在矩形ABCD中,AB=1,AD= ,AF平分∠DAB,过C点作CE⊥BD于E,延长AF、EC交于点H,下列结论中:①AF=FH;②BO=BF;③CA=CH;④BE=3ED,正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 如图,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,过点A,C作相距为2的平行线段AE,CF,分别交CD,AB于点E,F,则DE的长是( )
A. B. C. 1 D.
8.如图,在平行四边形ABCD中,过点C的直线CE⊥AB,垂足为E,若∠EAD=53°,则∠BCE的度数为()
A. 53° B. 37° C. 47° D. 123°
9.如图,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,黑、白两个甲壳虫同时从A点出发,以相同的速度分别沿棱向前爬行,黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→…,白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→…,并且都遵循如下规则:所爬行的第n+2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交(其中n是正整数).那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2019条棱分别停止在所到的正方体顶点处时,它们之间的距离是( )
A. 0 B. 1 C. D.
10.已知正方形ABCD的边长是10cm,△APQ是等边三角形,点P在BC上,点Q在CD上,则BP的边长是( )
A. cm B. cm C. cm D. cm
二、填空题
11.已知△ABC的各边长度分别为3cm,5cm,6cm,连结各边中点所构成的△DEF的周长是________ cm.
12.如图,⊙O的直径AB=4,半径OC⊥AB,D为弧BC上一点,DE⊥OC,DF⊥AB,垂足分别为E、F.则EF=________.
13.如图,在圆O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则圆O的半径为________cm.
14.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=70°,∠C=40°,过点D作DE∥AB交BC于点E,若AD=3,BC=10,则CD的长是________。
15.(2019•乌鲁木齐)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,则菱形ABCD的面积为________.
16. 如图,设四边形ABCD是边长为1的正方形,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去….若正方形ABCD的边长记为a1 , 按上述方法所作的正方形的边长依次为a2 , a3 , a4 , …,an , 则an=________.
17.在直线上按照如图所示方式放置面积为S1、S2、S3的三个正方形.若S1=1、S2=3,则S3=________.
18.在平面直角坐标系中,正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(0,3).延长CB交x轴于点A1 , 作正方形A1B1C1C;延长C1B1交x轴于点A2 , 作正方形A2B2C2C1…,按这样的规律进行下去,第4个正方形的边长为________.
三、解答题
19.如图,在三角形ABC中,AH是高,正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上,EF在BC上,设BC=120,AH=80,求正方形的边长.
20.已知如图:在△ABC中,AB、BC、CA的中点分别是E、F、G,AD是高.求证:∠EDG=∠EFG.
21.如图,AE是正方形ABCD中∠BAC的角平分线,AE分别交BD、BC于点F、E,AC与BD交于点O,求证:OF=CE.
22.已知,如图,点E、H分别为▱ABCD的边AB和CD延长线上一点,且BE=DH,EH分别交BC、AD于点F、G.求证:△AEG≌△CHF.
23. 如图,△ABC为锐角三角形,AD是BC边上的高,正方形EFGH的一边FG在BC上,顶点E、H分别在AB、AC上,已知BC=40cm,AD=30cm.
(1)求证:△AEH∽△ABC;
(2)求这个正方形的边长与面积.
24.探究题
【问题情境】
如图1,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.
(1)【探究展示】
直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系:________;
(2)【拓展延伸】
AM=DE+BM是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图2,探究展示(1)、(2)中的结论是否成立?请分别作出判断,不需要证明.
参考答案
一、选择题
C B D A C C D B C C
二、填空题
11. 7
12. 2
13.
14. 7
15. 2
16. ( )n﹣1
17. 2
18.
三、解答题
19. 解:如下图所示: 设正方形的边长为x
∵四边形DEFG是正方形,
∴DE=EF=FG=DG,DG∥EF,
∴△ADG∽△ABC,
∴
即:
解之得:x=48
即正方形的边长为48
20. 证明:连接EG,
∵E、F、G分别是AB、BC、CA的中点,
∴EF为△ABC的中位线,EF=AC.
(三角形的中位线等于第三边的一半)
又∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,DG为直角△ADC斜边上的中线,
∴DG=AC.
(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
∴DG=EF.
同理DE=FG,EG=GE,
∴△EFG≌△GDE(SSS).
∴∠EDG=∠EFG.
21. 证明:取AE中点P,连接OP,
∵点O是AC中点,
∴OP是△ACE的中位线,
∴OP=CE,OP∥AD,
∴∠OPF=∠EAD=∠EAC+∠CAD=∠EAC+45°,
又∵∠OFP=∠ABD+∠BAE=∠BAE+45°,∠EAC=∠BAE,
∴∠OPF=∠OFP.
∴OP=OF.
∴OF=CE.
22. 证明:在▱ABCD中,AB∥CD,AB=CD,∠A=∠C, ∴∠E=∠H,
∵BE=DH,
∴AE=CH,
在△AEG与△CHF中,
,
∴△AEG≌△CHF(ASA).
23.(1)证明:证明:∵四边形EFGH是正方形, ∴EH∥BC,
∴∠AEH=∠B,∠AHE=∠C,
∴△AEH∽△ABC
(2)解:如图 设AD与EH交于点M. ∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°,
∴四边形EFDM是矩形,
∴EF=DM,设正方形EFGH的边长为x,
∵△AEH∽△ABC,
∴ ,
∴ ,
∴x= ,
∴正方形EFGH的边长为 cm,面积为 cm2
24. (1)AM=AD+MC
(2)AM=DE+BM成立.
证明:过点A作AF⊥AE,交CB的延长线于点F,如图1(2)所示.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB=AD,AB∥DC.
∵AF⊥AE,
∴∠FAE=90°.
∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE.
在△ABF和△ADE中,
∴△ABF≌△ADE(ASA).
∴BF=DE,∠F=∠AED.
∵AB∥DC,
∴∠AED=∠BAE.
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠FAB
=∠FAM.
∴∠F=∠FAM.
∴AM=FM.
∴AM=FB+BM=DE+BM.
(3)①结论AM=AD+MC仍然成立.
证明:延长AE、BC交于点P,如图2(1),
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC.
∴∠DAE=∠EPC.
∵AE平分∠DAM,
∴∠DAE=∠MAE.
∴∠EPC=∠MAE.
∴MA=MP.
在△ADE和△PCE中,
∴△ADE≌△PCE(AAS).
∴AD=PC.
∴MA=MP=PC+MC
=AD+MC.
②结论AM=DE+BM不成立.
证明:假设AM=DE+BM成立.
过点A作AQ⊥AE,交CB的延长线于点Q,如图2(2)所示.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB∥DC.
∵AQ⊥AE,
∴∠QAE=90°.
∴∠QAB=90°﹣∠BAE=∠DAE.
∴∠Q=90°﹣∠QAB
=90°﹣∠DAE
=∠AED.
∵AB∥DC,
∴∠AED=∠BAE.
∵∠QAB=∠EAD=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠QAB
=∠QAM.
∴∠Q=∠QAM.
∴AM=QM.
∴AM=QB+BM.
∵AM=DE+BM,
∴QB=DE.
在△ABQ和△ADE中,
∴△ABQ≌△ADE(AAS).
∴AB=AD.
与条件“AB≠AD“矛盾,故假设不成立.
∴AM=DE+BM不成立