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  • 2021-05-10 发布

2013中考数学压轴题正方形问题精选解析二

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‎2013中考数学压轴题正方形问题精选解析(二)‎ N K G C E D F A B P M 例3 如图,在边长为6的正方形ABCD的两侧作正方形BEFG和正方形DMNK,恰好使得N、A、F三点在一直线上,连接MF交线段AD于点P,连接NP,设正方形BEFG的边长为x,正方形DMNK的边长为y.‎ ‎(1)求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围;‎ ‎(2)当△NPF的面积为32时,求x的值;‎ ‎(3)以P为圆心,AP为半径的圆能否与以G为圆心,GF为半径的圆相切?如果能,请求出x的值,如果不能,请说明理由.‎ 解析:(1)∵正方形BEFG、正方形DMNK、正方形ABCD ‎∴∠E=∠F=90O ,AE∥MC,MC∥NK ‎∴AE∥NK,∴∠KNA=∠EAF ‎∴△KNA∽△EAF,∴ = ,即 = ‎∴y=x+6(0<x ≤6)‎ ‎(2)由(1)知NK=AE,∴AN=AF ‎∵正方形DMNK,∴AP∥NM,∴ = =1‎ ‎∴FP=PM,∴S△MNP =S△NPF =32‎ ‎∴S正方形DMNK =2S△MNP =64‎ ‎∴y=8,∴x=2‎ ‎(3)连接PG,延长FG交AD于点H,则GH⊥AD 易知:AP= ,AH=x,PH= -x,HG=6;PG=AP+GF= +x ‎①当两圆外切时 在Rt△GHP中,PH 2+HG 2=PG 2,即( -x )2+6 2=( +x )2‎ 解得:x=-3-3 (舍去)或x=-3+3 ‎②当两圆内切时 在Rt△GHP中,PH 2+HG 2=PG 2,即( -x )2+6 2=( -x )2‎ 方程无解 所以,当x=3 -3时,两圆相切 例4 已知:正方形ABCD的边长为1,射线AE与射线BC交于点E,射线AF与射线CD交于点F,∠EAF=45°,连接EF.‎ ‎(1)如图1,当点E在线段BC上时,试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系?并证明你的猜想;‎ ‎(2)设BE=x,DF=y,当点E在线段BC上运动时(不包括点B、C),求y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围;‎ ‎(3)当点E在射线BC上运动时(不含端点B),点F在射线CD上运动.试判断以E为圆心,以BE为半径的⊙E和以F为圆心,以FD为半径的⊙F之间的位置关系;‎ A B D C E F G 图2‎ A B D C E F 图1‎ ‎(4)如图2,当点E在BC的延长线上时,设AE与CD交于点G.问:△EGF与△EFA 能否相似?若能相似,求出BE的长,若不可能相似,请说明理由.‎ 解析:‎ ‎(1)猜想:EF=BE+DF 证明:将△ADF绕点A顺时针旋转90°,得△ABF′,易知点F′、B、E在同一直线上(如.图1)‎ A B D C E F 图1‎ F′‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎∵AF′=AF ‎∠F′AE=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-45°=45°=∠EAF 又AE=AE,∴△AF′E≌△AFE ‎∴EF=F′E=BE+BF=BE+DF ‎(2)在Rt△EFC中,EC 2+FC 2=EF 2‎ ‎∵EC=1-x,FC=1-y,EF=x+y ‎∴( 1-x )2+( 1-y )2=( x+y )2‎ ‎∴y= (0<x <1)‎ ‎(3)①当点E在点B、C之间时,由(1)知EF=BE+DF,故此时⊙E与⊙F外切;‎ ‎②当点E在点C时,DF=0,⊙F不存在.‎ ‎③当点E在BC延长线上时,将△ADF绕点A顺时针旋转90°,得△ABF′(如图2)‎ 则AF′=AF,∠1=∠2,BF′=DF,∠F′AF=90°‎ ‎∴∠F′AE=∠EAF=45°‎ 又AE=AE,∴△AF′E≌△AFE ‎∴EF=EF′=BE-BF′=BE-DF ‎∴此时⊙E与⊙F内切 综上所述,当点E在线段BC上时,⊙E与⊙F外切;当点E在BC延长线上时,⊙E与⊙F内切 A B D C E F G 图2‎ F′‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎(4)△EGF与△EFA能够相似,只要当∠EFG=∠EAF=45° 即可 此时CE=CF 设BE=x,DF=y,由(3)知EF=x-y 在Rt△CFE中,CE 2+CF 2=EF 2‎ ‎∴( x-1 )2+( 1+y )2=( x-y )2‎ ‎∴y= (x >1)‎ 由CE=CF,得x-1=1+y,即x-1=1+ 化简得x 2-2x-1=0,解得x1=1- (舍去),x2=1+ ‎∴△EGF与△EFA能够相似,此时BE的长为1+ 例5 已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E为BC边上一点,以BE为边作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧.‎ ‎(1)当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时,求BE的长;‎ ‎(2)将(1)问中的正方形BEFG沿BC向右平移,记平移中的正方形BEFG为正方形B′EFG,当点E与点C重合时停止平移.设平移的距离为t,正方形B′EFG的边EF与AC交于点M,连接B′D,B′M,DM.是否存在这样的t,使△B′DM是直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)在(2)问的平移过程中,设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.‎ B A C D 备用图 B A C D 解析:(1)如图①,设正方形BEFG的边长为x 则BE=FG=BG=x B A C D 图①‎ E F G ‎∵AB=3,BC=6,∴AG=AB-BG=3-x ‎∵GF∥BE,∴△AGF∽△ABC ‎∴ = ,即 = 解得x=2,即BE=2‎ ‎(2)存在满足条件的t,理由如下:‎ 如图②,过D作DH⊥BC于点H 则BH=AD=2,DH=AB=3‎ 由题意得:BB′=HE=t,HB′=|t-2|,EC=4-t B A C D 图②‎ E F G H B′‎ M N 在Rt△B′ME中,B′M 2=B′E 2+ME 2=2 2+( 2- t )2= t 2-2t+8‎ ‎∵EF∥AB,∴△MEC∽△ABC ‎∴ = ,即 = ,∴ME=2- t 在Rt△DHB′ 中,B′D 2=DH 2+B′H 2=3 2+( t-2 )2=t 2-4t+13‎ 过M作MN⊥DH于点N 则MN=HE=t,NH=ME=2- t ‎∴DN=DH-NH=3-( 2- t )= t+1‎ 在Rt△DMN中,DM 2=DN 2+MN 2= t 2+t+1‎ ‎(ⅰ)若∠DB′M=90°,则DM 2=B′M 2+B′D 2‎ 即 t 2+t+1=( t 2-2t+8 )+( t 2-4t+13 ),解得t= ‎(ⅱ)若∠B′MD=90°,则B′D 2=B′M 2+DM 2‎ 即t 2-4t+13=( t 2-2t+8 )+( t 2+t+1 ),解得t1=-3+ ,t2=-3- ‎∵0≤t ≤4,∴t=-3+ ‎(ⅲ)若∠B′DM=90°,则B′M 2=B′D 2+DM 2‎ 即 t 2-2t+8=( t 2-4t+13 )+( t 2+t+1 ),此方程无解 B A C D 图③‎ E F G B′‎ H 综上所述,当t= 或-3+ 时,△B′DM是直角三角形 ‎(3)当0≤t ≤ 时,S= t 2‎ 当 ≤t ≤2时,S=- t 2+t- 当2≤t ≤ 时,S=- t 2+2t- B A C D 图④‎ E F G B′‎ H 当 ≤t ≤4时,S=- t+ 提示:‎ 当点F落在CD上时,如图③‎ FE=2,EC=4-t,DH=3,HC=4‎ 由△FEC∽△DHC,得 = 即 = ,∴t= 当点G落在AC上时,点G也在DH上(即DH与AC的交点)‎ B A C D 图⑤‎ E F G B′‎ M N t=2‎ 当点G落在CD上时,如图④‎ GB′=2,B′C=6-t 由△GB′C∽△DHC,得 = 即 = ,∴t= 当点E与点C重合时,t=4‎ B A C D 图⑥‎ E F G B′‎ M N P Q ‎①当0≤t ≤ 时,如图⑤‎ ‎∵MF=t,FN= t ‎∴S=S△FMN = ·t· t= t 2‎ ‎②当 ≤t ≤2时,如图⑥‎ ‎∵PF=t- ,FQ= PF= t-1‎ B A C D 图⑦‎ E F G B′‎ P Q M N ‎∴S△FPQ = ( t- )( t-1 )= t 2-t+ ‎∴S=S△FMN -S△FPQ = t 2-( t 2-t+ )=- t 2+t- ‎③当2≤t ≤ 时,如图⑦‎ ‎∵B′M= B′C= ( 6-t )=3- t ‎∴GM=2-( 3- t )= t-1‎ ‎∴S梯形GMNF = ( t-1+ t )×2=t-1‎ ‎∴S=S梯形GMNF -S△FPQ =( t-1 )-( t 2-t+ )=- t 2+2t- B A C D 图⑧‎ E F G B′‎ P Q N M ‎④当 ≤t ≤4时,如图⑧‎ ‎∵PB′= B′C= ( 6-t )= - t ‎∴GP=2-( - t )= t- ‎∴S梯形GPQF = ( t- + t-1 )×2= t- ‎∴S=S梯形GMNF -S梯形GPQF =( t-1 )-( t- )=- t+