2017年度中考数学（锐角三角函数与特殊角）押轴题专练 15页

锐角三角函数与特殊角的押轴题解析汇编二 ‎ 锐角三角函数与特殊角 一、选择题 ‎1．（2011湖北随州，9，3分）cos30°=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【思路分析】因为cos30°= ，所以C正确．故选C．‎ ‎【答案】C ‎【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．难度较小.‎ ‎1. （2011甘肃兰州，4，4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△则tan的值为（　　　）‎ A. B. C. D. ‎ A B C C’‎ B’‎ ‎【解题思路】由旋转的性质可知，∠=∠B，利用网格构建一个直角三角形，通过观察可以看出∠B的对边为1，相邻的直角边等于3，所以tan= tanB=，故选B，其余选项显然不正确.‎ ‎【答案】B．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质和直角三角形三角函数的定义，旋转不改变图形的形状和大小，利用图形的初始位置进行思考是解决本题的重要方法，另△ABC显然不是一个直角三角形，巧妙的利用网格构建直角三角形也是一个非常重要的方法．难度中等．‎ ‎2. (2011江苏镇江，6，2分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【解题思路】∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝．‎ ‎【答案】A ‎【点评】此题主要考查三角形函数的定义．直角三角形中，一个锐角的正弦是指对边与斜边的比．具体求值时，可进行转化，使问题变得简单，难度较小．‎ ‎2、（2011四川乐山，2，3分）如图（1），在4×4的正方形网格中，tanα= ‎ ‎ (A) 1 (B) 2 （C） （D）‎ ‎【解题思路】根据网格的特点：设每一小正方形的边长为1，可以确定∠α的对边为2，邻边为1，然后利用正切的定义tanα=∠α的对边/∠α的邻边=2.故A、C、D不正确。‎ ‎【答案】B。‎ ‎【点评】网格问题是近几年来中考的热点，它考查了学生的读图、析图的能力，充分利用网格的特点，构建适当的图形，确定图形相应的边长或角的度数，根据题目条件要求列式计算。难度中等．‎ ‎10．（2011年四川省南充市，10，3分）如图，⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）‎ ‎（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 ‎【解题思路】此题易得∠ACE=90°，∴tan∠AEC=∴①成立; 设AC=a,CE=b，则而故 ‎∴，，即：∴②成立；延长DM交直线AB于N,易证△AMN≌△EMD，进而得到MD=MN,BD=BN,由等腰三角形三线合一，可得③④成立。‎ ‎【答案】D ‎【点评】本题是一个综合性题目，有一定难度。‎ ‎9. （2011四川乐山，9，3分）如图（5），在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G。下列结论：①tan∠HBE=cot∠HEB ② ③BH=FG ④.其中正确的序号是 ‎ (A)①②③ (B) ②③④ （C） ①③④ （D）①②④‎ ‎【解题思路】：根据题意：∵E、F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，∴△ABE≌△BCF,∴∠BAE=∠CBF, 又∵∠BEA与∠BAE互余，∴∠BEA与∠EBH互余，即AE⊥BF,△BHE是直角三角形，∴①tan∠HBE=cot∠HEB正确；又∵CG∥AE，∴△GFC是直角三角形，即△BCF∽△CDF,∴② 成立；又∵BE=CF,∠GFC=∠BEH,∠BHE=∠CGF,∴△BHE≌△CGF,故BH=CG,∴③BH=FG不成立；∵E、F分别是边BC、CD的中点，设正方形ABCD的边长为2，则BE=1，根据勾股定理可得：BF=,GF=,即=4，成立。故D正确。‎ ‎【答案】D。‎ ‎【点评】本题是对三角形的全等、相似、勾股定理以及三角函数的应用的综合考查，解题的关键是先根据正方形的特点，确定边、角关系，判定三角形的形状，证得三角形全等、相似；并应用勾股定理求得边长，利用全等、相似关系，从而判定四个结论的正误。本题难度较大。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ D C ‎ B ‎ A ‎ 第6题 ‎ ‎（2011常州市第6题,2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。若AC=‎ ‎，BC=2,则sin∠ACD的值为〖 〗‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎【解题思路】在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=，再根据等角的转化，Sin∠ACD=sin∠B=,故选A.‎ ‎【答案】选A.‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的相关知识，解答本题的关键是实现等角∠ACD与∠B之间的转化.‎ ‎（2011 江苏苏州，9，3分）在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E ‎ 第9题 ‎ F ‎ ‎【解题思路】连结BD，根据中位线EF知BDF=4，在△DBC中，因为 BD2﹢DC2=42﹢32=25，BC2=52=25，所以BD2﹢DC2=BC2，所以∠BDC=90°，‎ 所以tanC==，故选B．‎ ‎【答案】B．‎ ‎【点评】本题综合考查了中位线、 勾股定理和锐角三角函数，求tanC，就要把∠C构成在一个直角三角形中.‎ 二、填空题 ‎1. （2011年湖北省武汉市3分）sin30°的值为_____.‎ 分析：特殊角的三角函数值。‎ 答案：‎ 点评：本题主要考察特殊角的三角函数值，属于基础题。‎ ‎1. （2011福建泉州，16，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,则AB= ，= .‎ ‎【解题思路】由勾股定理可得AB=5，由三角函数的定义可知：‎ ‎【答案】5，； ‎ ‎【点评】本题侧重对勾股定理，及三角函数定义的考查，难度较小。‎ ‎2. (2011江苏镇江，11，2分)若∠α的补角是120°，则∠α＝__▲__，sinα＝__▲__．‎ ‎【解题思路】∠α的补角是180°－∠α．sin60°＝．‎ ‎【答案】60°，‎ ‎【点评】此题考查补角的概念，特殊角的三角函数值，难度较小．‎ ‎（2011常州市第11题,2分）若∠的补角为120°，则∠= ，Sin= 。 ‎ ‎【解题思路】由∠的补角为120°建立方程180-∠=120，解得∠=600，sin600=.‎ 答案：600，。‎ ‎【点评】解答本题的关键是根据条件建立方程，熟记特殊角的三角函数值。‎ ‎（2011江苏连云港，14，3分）△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝_ ▲ ．‎ 第14题 C B A ‎【解题思路】用勾股定理可以求得AC=，AB边上的高为2，即 ‎【答案】‎ ‎【点评】本题考查勾股定理、三角函数等知识及构造思想。难度较小。‎ ‎1．（2011湖南株洲，11，3分）如图，孔明同学背着一桶水，从山脚出发，沿与地面成角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（处），米，则孔明从到上升的高度是 米．‎ ‎【解题思路】由图形，结合含有30°角的直角三角形性质，或锐角函数的知识求得BC＝‎40米.‎ ‎【答案】40.‎ ‎【点评】直角三角形是研究图形性质的基础，也是中考的常考知识.难度较小．‎ ‎3. （2011江西南昌，16，3分）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°．有以下四个结论：①AF⊥BC ②△ADG≌△ACF ③O为BC的中点 ④AG：DE=：4，其中正确结论的序号是 ．（错填得0分，少填酌情给分）‎ ‎【解题思路】由∠DAB=30°得∠BAE=60°，所以∠CAF=30°而∠C=60°所以∠CAF=90°即AF⊥BC,因为∠DAB=∠CAF, ∠D=∠C=60°AD=AC,所以△ADG≌△ACF，连接OA,易得OB=OA=OC，即O为BC的中点,在直角△ADG中，设DG=a，则AD=‎2a,AG=a,在直角△ADE中可得DE=‎4a,所以AG：DE=：4.‎ ‎【答案】①②③④‎ ‎【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形全等的判定、锐角三角函数的意义和学生综合分析的能力，难度较大.‎ 三、解答题 ‎17．（2011四川乐山，17，9分）计算：‎ ‎【解题思路】：根据绝对值的意义、锐角三角函数、负指数的运算和最简二次根式的化简，进行计算：|-2|=2；cos300=;()-1=3;=2.‎ ‎【答案】‎ ‎ =2-+3+2‎ ‎ =2-2+3+2‎ ‎ =5.‎ ‎【点评】本题是对数与式的运算的考查，特别是对绝对值的意义、锐角三角函数、负指数的运算和最简二次根式的化简的理解，综合性强。本题难度中等。‎ ‎21． （2011四川广安，21，7分）计算：‎ ‎【解题思路】本题为基本计算题，主要考察负指数幂，零指数幂，特殊角三角函数值和绝对值的运算．‎ ‎【答案】解：原式==．‎ ‎【点评】本题为基本计算题，主要考察负指数幂，零指数幂，特殊角三角函数值和绝对值的运算．难度中等．‎ ‎20．（2011内蒙古乌兰察布，19，7分）计算：‎ ‎【解题思路】原式=‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题主要考查了二次根式的化简、特殊角的三角函数值、绝对值的意义、零指数.难度较小.‎ ‎1．（2011四川内江，17，7分）计算：tan30°-（π-2011）0＋-‎ ‎【思路分析】分别计算三角函数值、化简二次根式、求零次幂及去绝对值，然后合并同类项或同类二次根式. ‎ ‎【答案】解：原式=×-1+2+1-‎ ‎ =1+‎ ‎【点评】对于二次根式化应化为最简二次根式，绝对值的化简应注意绝对号内的数的正负，任何不等于零的数（或式）的零次幂都等于1．本题易出现（π-2011）0=0、这样的错误．‎ ‎1. （2011甘肃兰州，21，7分）已知a是锐角，且sin（a+15°）=.‎ 计算4cosα+tanα+的值.‎ ‎【解题思路】将a+15°看成一个角，考虑特殊角的三角函数值sin60°=，求出α=45°，代入式子即可.‎ ‎【答案】∵sin60°=，∴α+15°=60°，∴α=45°‎ ‎∴4cosα+tanα+‎ ‎=－4cos45°1+tan45°+3‎ ‎=－4×－1+1+3=3.‎ ‎【点评】本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂的乘方、负指数幂的乘方等知识点.这三个知识点也是最容易出错的地方，计算时只要注意即可.难度较小.‎ ‎2. （2011广东河源，11，6分）‎ ‎ 计算：．‎ ‎【解题思路】分别求出每个式子的值,再分别加减.，一个负数的允绝对值是这个数相反数，，，。‎ ‎【答案】原式=3+1-3-=1-=-‎ ‎【点评】此题综合考查绝对值、二次根式、三角函数、零指数幂及负整数指数幂的运算，是一道综合多个简单知识点的常规计算题，计算时要认真仔细，难度中等．‎ ‎3. (2011江苏镇江，18(1)，4分)‎ 计算：sin45°－＋； ‎ ‎【解题思路】(1)将sin45°和进行转化，然后再加减．‎ ‎【答案】解：(1)原式＝－＋2＝2．‎ ‎【点评】本小题考查实数的运算，难度较小.‎ ‎22．（2011四川眉山，22，8分）在一次数学课外活动中，一位同学在教学楼的点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30°，测得旗杆底部C的俯角为60°，已知点A距地面的高AD为‎15cm．求旗杆的高度．‎ ‎【解题思路】过A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，然后利用解直角三角形的知识解答．‎ ‎【答案】过A作AE⊥BC，垂足为E，由题意可知，四边形ADCE为矩形，‎ ‎∴EC=AD=15，‎ 在Rt△AEC中，tan∠EAC=，‎ ‎∴AE=（米），‎ 在Rt△AEB中，tan∠BAE=，‎ ‎∴BE=AE•tan∠EAB=•tan30°=5（米），‎ ‎∴BC=CE+BE=20（米）．‎ 故旗杆高度为‎20米．‎ ‎【点评】此题考查了解直角三角形的知识，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．难度中等．‎ ‎（2011江苏南京，7分）如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度，他们借助一个高度为‎30m的建筑物CD进行测量，在点C处塔顶B的仰角为45°，在点E处测得B的仰角为37°（B、D、E三点在一条直线上）．求电视塔的高度h．‎ ‎（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）‎ A B E C D h ‎37°‎ ‎45°‎ ‎(第25题)‎ ‎【解题思路】本题主要考查了利用三角形函数求三角形的边长，因为在点C处塔顶B的仰角为45°，所以可以知道△ABC为等腰直角三角形，所以AB=AC，这样就可以借助直角△ABE求出电视塔的高度了。‎ ‎【答案】在中，＝．‎ ‎∴EC＝≈（）．‎ 在中，∠BCA＝45°，∴‎ 在中，＝．∴．∴（）． ‎ 答：电视塔高度约为120． ‎ 点评：本题利用测电视塔的知识来考查三角形函数的知识，鲜活的背景，丰富了试题的载体．难度中等。‎ ‎4.（2011甘肃兰州，26，9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△‎ ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边/腰=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：‎ ‎（1）sad60°= .‎ ‎（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 .‎ ‎（3）如图②，已知sinA=，其中∠A为锐角，试求sadA的值.‎ ‎【解题思路】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答．‎ ‎【答案】（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，则三角形为等边三角形，则sad60°= =1．‎ ‎（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．故答案为0＜sadA＜2．‎ ‎（3）  如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A= ．‎ 在AB上取点D，使AD=AC，作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k，‎ ‎ 则AD=AC= =4k，又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A= ．‎ ‎∴DH=ADsin∠A= k，AH= = k．‎ 则在△CDH中，CH=AC-AH= k，CD= = k．于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD= k．‎ 由正对的定义可得：sadA= = ．‎ ‎【点评】此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答．难度中等.‎ ‎1．（2011湖南省邵阳市，20，8分）崀山成功列入世界自然遗产名录后，景区管理部门决定在八角寨架设旅游索道．设计人员为了计算索道AB（索道起点为山脚B处，终点为山顶A处）的长度，采取了如图（八）所示的测量方法．在B处测得山顶A的仰角为16°，查阅相关资料得山高AC＝‎325米，求索道AB的长度．（结果精确到‎1米）‎ 参考数据 sin16°≈0.28‎ cos16°≈0.96‎ tan16°≈0.29‎ ‎ ‎ ‎【解题思路】：如图：Rt△ABC中，AC=325 ∠B = ∴ ∴0.28= AB≈‎‎1161米 ‎【点评】：本题考察了锐角三角函数，已知量与待求边集中制直角三角形的斜边、直角边所以用弦，由于AC是直角三角形中已知角的对边，所以用正弦。难度较小