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  • 2021-05-10 发布

宜昌市近五届中考数学几何压轴题23题汇编及答案

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‎2019年宜昌市近五届中考数学几何压轴题(23题)汇编及答案 ‎(本大题一般2~3小问,共11分)上传校勘:柯老师 ‎【2014/23】在矩形ABCD中, = a,点G,H分别在边AB,DC上,且HA=HG,点E为AB边上的一个动点,连接HE,把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE.‎ ‎(1)如图1,当DH=DA时,‎ ‎①填空:∠HGA=   度;‎ ‎②若EF∥HG,求∠AHE的度数,并求此时a的最小值;‎ ‎(2)如图3,∠AEH=60°,EG=2BG,连接FG,交边FG,交边DC于点P,且FG⊥AB,G为垂足,求a的值.‎ ‎【2015/23】如图四边形ABCD为菱形,对角线AC,BD相交于点E,F是边BA延长线上一点,连接EF,以EF为直径作⊙O,交边DC于D,G两点,AD分别与EF,GF交于I,H两点。‎ ‎(1)求∠FDE的度数;‎ ‎(2)试判断四边形FACD的形状,并证明你的结论;‎ ‎(3)当G为线段DC的中点时,‎ ‎①求证:FD=FI;‎ ‎②设AC=2m,BD=2n,求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比。‎ ‎【2016/23】在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10 . D是△ABC内部或BC边上的一个动点(与B,C不重合). 以D为顶点作△DEF,使△DEF∽△ABC(相似比k>1),EF∥BC. ‎ ‎(1)求∠D的度数;‎ ‎(2)若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH,‎ ‎①如图1,连接GH,AD,当GH⊥AD时,请判断四边形AGDH的形状,并证明;‎ ‎②当四边形AGDH的面积最大时,过A作AP⊥EF于P,且AP=AD ,求k的值.‎ ‎ ‎ ‎(第23题图1) (第23题图2供参考用) (第23题图3供参考用)‎ 图1 图2 ‎ ‎【2017/23】‎ ‎23. 正方形的边长为1,点是边上的一个动点(与不重合),以为顶点在所在直线的上方作. ‎ ‎(1)当经过点时,‎ ‎①请直接填空: (可能,不可能)过点;(图1仅供分析)‎ ‎②如图2,在上截取,过点作垂直于直线,垂足为点,册于,求证:四边形为正方形.‎ ‎(2)当不过点时,设交边于,且.在上存在点,过点作垂直于直线,垂足为点,使得,连接,求四边形的最大面积.‎ ‎【2018/23】‎ ‎23. 在矩形中,,是边上一点,把沿直线折叠,顶点的对应点是点,过点作,垂足为且在上,交于点.‎ ‎(1)如图1,若点是的中点,求证:;‎ ‎(2) 如图2,①求证: ;‎ ‎②当,且时,求的值;‎ ‎③当时,求的值.‎ 图1 图2 图2备用图 参考答案:‎ ‎【2014/23】‎ 解:(1)①∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠ADH=90°,‎ ‎∵DH=DA,‎ ‎∴∠DAH=∠DHA=45°,‎ ‎∴∠HAE=45°,‎ ‎∵HA=HG,‎ ‎∴∠HAE=∠HGA=45°;‎ 故答案为:45°;‎ ‎②分两种情况讨论:‎ 第一种情况:‎ ‎∵∠HAG=∠HGA=45°;‎ ‎∴∠AHG=90°,‎ 由折叠可知:∠HAE=∠F=45°,∠AHE=∠FHE,‎ ‎∵EF∥HG,‎ ‎∴∠FHG=∠F=45°,‎ ‎∴∠AHF=∠AHG﹣∠FHG=45°,‎ 即∠AHE+∠FHE=45°,‎ ‎∴∠AHE=22.5°,‎ 此时,当B与G重合时,a的值最小,最小值是2;‎ 第二种情况:‎ ‎∵EF∥HG,‎ ‎∴∠HGA=∠FEA=45°,‎ 即∠AEH+∠FEH=45°,‎ 由折叠可知:∠AEH=∠FEH,‎ ‎∴∠AEH=∠FEH=22.5°,‎ ‎∵EF∥HG,‎ ‎∴∠GHE=∠FEH=22.5°,‎ ‎∴∠AHE=90°+22.5°=112.5°,‎ 此时,当B与E重合时,a的值最小,‎ 设DH=DA=x,则AH=CH=x,‎ 在Rt△AHG中,∠AHG=90°,由勾股定理得:‎ AG=AH=2x,‎ ‎∵∠AEH=∠FEH,∠GHE=∠FEH,‎ ‎∴∠AEH=∠GHE,‎ ‎∴GH=GE=x,‎ ‎∴AB=AE=2x+x,‎ ‎∴a的最小值是=2+;‎ ‎(2)如图:过点H作HQ⊥AB于Q,则∠AQH=∠GOH=90°,‎ 在矩形ABCD中,∠D=∠DAQ=90°,‎ ‎∴∠D=∠DAQ=∠AQH=90°,‎ ‎∴四边形DAQH为矩形,‎ ‎∴AD=HQ,‎ 设AD=x,GB=y,则HQ=x,EG=2y,‎ 由折叠可知:∠AEH=∠FEH=60°,‎ ‎∴∠FEG=60°,‎ 在Rt△EFG中,EG=EF×cos60°,EF=4y,‎ 在Rt△HQE中,EQ==x,‎ ‎∴QG=QE+EG=x+2y,‎ ‎∵HA=HG,HQ⊥AB,‎ ‎∴AQ=GQ=x+2y,‎ ‎∴AE=AQ+QE=x+2y,‎ 由折叠可知:AE=EF,‎ ‎∴x+2y=4y,‎ ‎∴y=x,‎ ‎∴AB=2AQ+GB=2(x+2y)+y=x,‎ ‎∴a==.‎ ‎【2015/23】‎ 解:(1)∵EF是⊙O的直径,∴∠FDE=90°;‎ ‎(2)四边形FACD是平行四边形.‎ 理由如下:‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AB∥CD,AC⊥BD,‎ ‎∴∠AEB=90°.‎ 又∵∠FDE=90°,‎ ‎∴∠AEB=∠FDE,‎ ‎∴AC∥DF,‎ ‎∴四边形FACD是平行四边形;‎ ‎(3)①连接GE,如图.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,∴点E为AC中点.‎ ‎∵G为线段DC的中点,∴GE∥DA,‎ ‎∴∠FHI=∠FGE.‎ ‎∵EF是⊙O的直径,∴∠FGE=90°,‎ ‎∴∠FHI=90°.‎ ‎∵∠DEC=∠AEB=90°,G为线段DC的中点,‎ ‎∴DG=GE,‎ ‎∴=,‎ ‎∴∠1=∠2.‎ ‎∵∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°,‎ ‎∴∠3=∠4,‎ ‎∴FD=FI;‎ ‎②∵AC∥DF,∴∠3=∠6.‎ ‎∵∠4=∠5,∠3=∠4,‎ ‎∴∠5=∠6,∴EI=EA.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,四边形FACD是平行四边形,‎ ‎∴DE=BD=n,AE=AC=m,FD=AC=2m,‎ ‎∴EF=FI+IE=FD+AE=3m.‎ 在Rt△EDF中,根据勾股定理可得:‎ n2+(2m)2=(3m)2,‎ 即n=m,‎ ‎∴S⊙O=π()2=πm2,S菱形ABCD=•2m•2n=2mn=2m2,‎ ‎∴S⊙O:S菱形ABCD=.‎ ‎【2016/23】‎ 解:(1)∵AB2+AC2=100=BC2,‎ ‎∴∠BAC=90°,‎ ‎∵△DEF∽△ABC,‎ ‎∴∠D=∠BAC=90°,‎ ‎(2)①四边形AGDH为正方形,‎ 理由:如图1,‎ 延长ED交BC于M,延长FD交BC于N,‎ ‎∵△DEF∽△ABC,‎ ‎∴∠B=∠C,‎ ‎∵EF∥BC,‎ ‎∴∠E=∠EMC,‎ ‎∴∠B=∠EMC,‎ ‎∴AB∥DE,‎ 同理:DF∥AC,‎ ‎∴四边形AGDH为平行四边形,‎ ‎∵∠D=90°,‎ ‎∴四边形AGDH为矩形,‎ ‎∵GH⊥AD,‎ ‎∴四边形AGDH为正方形;‎ ‎②当点D在△ABC内部时,四边形AGDH的面积不可能最大,‎ 理由:如图2,‎ 点D在内部时(N在△ABC内部或BC边上),延长GD至N,过N作NM⊥AC于M,‎ ‎∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH,‎ ‎∴点D在△ABC内部时,四边形AGDH的面积不可能最大,‎ 只有点D在BC边上时,面积才有可能最大,‎ 如图3,‎ 点D在BC上,‎ ‎∵DG∥AC,‎ ‎∴△BGD∽△BAC,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴AH=8﹣GA,‎ S矩形AGDH=AG×AH=AG×(8﹣AG)=﹣AG2+8AG,‎ 当AG=﹣=3时,S矩形AGDH最大,此时,DG=AH=4,‎ 即:当AG=3,AH=4时,S矩形AGDH最大,‎ 在Rt△BGD中,BD=5,‎ ‎∴DC=BC﹣BD=5,‎ 即:点D为BC的中点,‎ ‎∵AD=BC=5,‎ ‎∴PA=AD=5,‎ 延长PA,∵EF∥BC,QP⊥EF,‎ ‎∴QP⊥BC,‎ ‎∴PQ是EF,BC之间的距离,‎ ‎∴D是EF的距离为PQ的长,‎ 在△ABC中, AB×AC=BC×AQ ‎∴AQ=4.8‎ ‎∵△DEF∽△ABC,‎ ‎∴k===.‎ ‎【2017/23】‎ 解:(1)①若ON过点D,则OA>AB,OD>CD,‎ ‎∴OA2>AD2,OD2>AD2,‎ ‎∴OA2+OD2>2AD2≠AD2,‎ ‎∴∠AOD≠90°,这与∠MON=90°矛盾,‎ ‎∴ON不可能过D点,‎ 故答案为:不可能;‎ ‎②∵EH⊥CD,EF⊥BC,‎ ‎∴∠EHC=∠EFC=90°,且∠HCF=90°,‎ ‎∴四边形EFCH为矩形,‎ ‎∵∠MON=90°,‎ ‎∴∠EOF=90°﹣∠AOB,‎ 在正方形ABCD中,∠BAO=90°﹣∠AOB,‎ ‎∴∠EOF=∠BAO,‎ 在△OFE和△ABO中 ‎∴△OFE≌△ABO(AAS),‎ ‎∴EF=OB,OF=AB,‎ 又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC,‎ ‎∴CF=EF,‎ ‎∴四边形EFCH为正方形;‎ ‎(2)∵∠POK=∠OGB,∠PKO=∠OBG,‎ ‎∴△PKO∽△OBG,‎ ‎∵S△PKO=4S△OBG,‎ ‎∴=()2=4,‎ ‎∴OP=2,‎ ‎∴S△POG=OG•OP=×1×2=1,‎ 设OB=a,BG=b,则a2+b2=OG2=1,‎ ‎∴b=,‎ ‎∴S△OBG=ab=a==,‎ ‎∴当a2=时,△OBG有最大值,此时S△PKO=4S△OBG=1,‎ ‎∴四边形PKBG的最大面积为1+1+ =.‎ ‎【2018/23】‎ ‎23.(1)证明:在矩形中,,‎ 如图1,又, 图1‎ ‎,‎ ‎(2)如图2,图2‎ ‎①在矩形中,,‎ 沿折叠得到 ‎,‎ ‎,‎ ‎②当时,‎ ‎,‎ ‎,‎ 又,‎ ‎∴设,则,‎ ‎,‎ 解得,‎ ‎,‎ ‎,‎ 由折叠得,‎ ‎,‎ ‎,‎ 设,‎ ‎ 则 在中,,‎ ‎③若,‎ 解法一:连接,(如图3)‎ ‎,‎ ‎∴四边形是平行四边形 ‎,‎ 平行四边形是菱形 ‎,‎ ‎,‎ 解法二:如图2,‎ ‎,‎ ‎,‎ 又,‎ 由得,‎ 解法三:(如图4)过点作,垂足为 图4‎