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- 2021-05-10 发布
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2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编
第33章 直线与圆的位置关系
一、选择题
1. (2011宁波市,11,3分)如图,⊙O1的半径为1,正方形ABCD的边长为6,点O2为正方形ABCD的中心,O1O2垂直AB与P点,O1O2=8.若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°,在旋转过程中,⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现
A. 3次 B.5次 C. 6次 D. 7次
【答案】B
2. (2011浙江台州,10,4分)如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PB切⊙O于点B,则PB的最小值是( )
A. B. C. 3 D.2
【答案】B
3. (2011浙江温州,10,4分)如图,O是正方形ABCD的对角线BD上一点,⊙O边AB,BC都相切,点E,F分别在边AD,DC上.现将△DEF沿着EF对折,折痕EF与⊙O相切,此时点D恰好落在圆心O处.若DE=2,则正方形ABCD的边长是( )
A.3 B.4 C. D.
【答案】C
4. (2011浙江丽水,10,3分)如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )
A.点(0,3) B.点(2,3) C.点(5,1) D.点(6,1)
【答案】C
5. (2011浙江金华,10,3分)如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )
A.点(0,3) B.点(2,3) C.点(5,1) D.点(6,1)
【答案】C
6. (2011山东日照,11,4分)已知AC⊥BC于C,BC=a,CA=b,AB=c,下列选项中⊙O的半径为的是( )
【答案】C
7. (2011湖北鄂州,13,3分)如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于D,且CO=CD,则∠PCA=( )
A.30° B.45° C.60° D.67.5°
C
D
A
O
P
B
第13题图
【答案】D
8. (2011 浙江湖州,9,3)如图,已知AB是⊙O的直径,C是AB延长线上一点,BC=OB,
CE是⊙O的切线,切点为D,过点A作AE⊥CE,垂足为E,则CD:DE的值是
A. B.1 C.2 D.3
【答案】C
9. (2011台湾全区,33)如图(十五),为圆O的直径,在圆O上取异于A、B的一点C,并连接、
.若想在上取一点P,使得P与直线BC的距离等于长,判断下列四个作法何者正确?
A.作的中垂线,交于P点
B.作∠ACB的角平分线,交于P点
C.作∠ABC的角平分线,交于D点,过D作直线BC的并行线,交于P点
D.过A作圆O的切线,交直线BC于D点,作∠ADC的角平分线,交于P点
【答案】D
10.(2011甘肃兰州,3,4分)如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,DC切⊙O于点C,若∠A=25°,则∠D等于
A.20° B.30° C.40° D.50°
A
B
D
O
C
【答案】C
11. (2011四川成都,10,3分)已知⊙O的面积为,若点0到直线的距离为,则直线与⊙O的位置关系是C
(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)无法确定
【答案】C
12. (2011重庆綦江,7,4分) 如图,PA、PB是⊙O的切线,切点是A、B,已知∠P=60°,OA=3,那么∠AOB所对弧的长度为( )
A.6л B.5л C.3л D.2л
【答案】:D
13. (2011湖北黄冈,13,3分)如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于D,且CO=CD,则∠PCA=( )[来源:学,科,网Z,X,X,K]
A.30° B.45° C.60° D.67.5°
C
D
A
O
P
B
第13题图
【答案】D
14. (2011山东东营,12,3分)如图,直线与x轴、y分别相交与A、B两点,圆心P的坐标为(1,0),圆P与y轴相切与点O。若将圆P沿x轴向左移动,当圆P与该直线相交时,横坐标为整数的点P′的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D. 5
【答案】B
15. (2011浙江杭州,5,3)在平面直角坐标系xOy中,以点(-3,4)为圆心,4为半径的圆( )
A.与x轴相交,与y轴相切 B.与x轴相离,与y轴相交
C.与x轴相切,与y轴相交 D.与x轴相切,与y轴相离
【答案】C
16. (2011山东枣庄,7,3分)如图,是的切线,切点为A,PA=2,∠APO=30°,则的半径为( )
O
P
A
A.1 B. C.2 D.4
【答案】C
二、填空题
1. (2011广东东莞,9,4分)如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点,连结BC.若∠A=40°,则∠C= °
[来源:Zxxk.Com]
【答案】
2. (2011四川南充市,13,3分)如图,PA,PB是⊙O是切线,A,B为切点, AC是⊙O的直径,若∠BAC=25°,则∠P= __________度.
【答案】50
3. (2011浙江衢州,16,4分)木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.用角尺的较短边紧靠,并使较长边与相切于点.假设角尺的较长边足够长,角尺的顶点,较短边.若读得长为,则用含的代数式表示为 .
(第16题)
【答案】当时,;当.
4. (2011浙江绍兴,16,5分) 如图,相距2cm的两个点在在线上,它们分别以2 cm/s和1 cm/s的速度在上同时向右平移,当点分别平移到点的位置时,半径为1 cm的与半径为的相切,则点平移到点的所用时间为 s.
第16题图
【答案】
5. (2011江苏苏州,16,3分)如图,已知AB是⊙O的一条直径,延长AB至C点,使得AC=3BC,CD与⊙O相切,切点为D.若CD=,则线段BC的长度等于__________.
【答案】1
6. (2011江苏宿迁,17,3分)如图,从⊙O外一点A引圆的切线AB,切点为B,连接AO并延长交圆于点C,连接BC.若∠A=26°,则∠ACB的度数为 ▲ .
【答案】32
7. (2011山东济宁,13,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=4cm
,以点C为圆心,以3cm长为半径作圆,则⊙C与AB的位置关系是 .
第13题
【答案】相交
8. (2011广东汕头,9,4分)如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点,连结BC.若∠A=40°,则∠C= °
【答案】
9. (2011山东威海,17,3分)如图①,将一个量角器与一张等腰直角三角形(△ABC)纸片放置成轴对称图形,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,半圆(量角器)的圆心与点D重合,没得CE=5cm,将量角器沿DC方向平移2cm,半圆(量角器)恰与△ABC的边AC、BC相切,如图②,则AB的长为 cm.(精确到0.1cm)
图① (第17题) 图②
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
【答案】 24.5
10.(2011四川宜宾,11,3分)如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,AC是⊙O的直径,∠P=40°,则∠BAC=_____.
(第11题图)
【答案】20°
11. (2010湖北孝感,18,3分)如图,直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C,大半
圆M的弦AB与小半圆N相切于点F,且AB∥CD,AB=4,设、的长分别为x、y,线
段ED的长为z,则z(x+y)= .
【答案】8π
12. (2011广东省,9,4分)如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点,连结BC.若∠A=40°,则∠C= °[来源:学*科*网]
【答案】
三、解答题
1. (2011浙江义乌,21,8分)如图,已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直,垂足为点E. ⊙O的切线BF与弦AD的
延长线相交于点F,且AD=3,cos∠BCD= .
(1)求证:CD∥BF;
(2)求⊙O的半径;
(3)求弦CD的长.
FM
A
DO
EC
O
C
B
【答案】(1)∵BF是⊙O的切线 ∴AB⊥BF
∵AB⊥CD
∴CD∥BF
(2)连结BD ∵AB是直径 ∴∠ADB=90°
∵∠BCD=∠BAD cos∠BCD=
∴cos∠BAD=
又∵AD=3 ∴AB=4
∴⊙O的半径为2
F
A
D
E
O
C
B
(3)∵cos∠DAE= AD=3∴AE=
∴ED=
∴CD=2ED=
2. (2011浙江省舟山,22,10分)如图,△ABC中,以BC为直径的圆交AB于点D,∠ACD=∠ABC.
(1)求证:CA是圆的切线;
(2)若点E是BC上一点,已知BE=6,tan∠ABC=,tan∠AEC=,求圆的直径.
(第22题)
【答案】(1)∵BC是直径,∴∠BDC=90°,∴∠ABC+∠DCB=90°,∵∠ACD=∠ABC,
∴∠ACD+∠DCB=90°,∴BC⊥CA,∴CA是圆的切线.
(2)在Rt△AEC中,tan∠AEC=,∴,;
在Rt△ABC中,tan∠ABC=,∴,;
∵BC-EC=BE,BE=6,∴,解得AC=,
∴BC=.即圆的直径为10.
3. (2011安徽芜湖,23,12分)如图,已知直线交⊙O于A、B两点,AE是⊙O
的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作,垂足为D.
(1) 求证:CD为⊙O的切线;
(2) 若DC+DA=6,⊙O的直径为10,求AB的长度.
【答案】
(1)证明:连接OC, ……………………………………1分
因为点C在⊙O上,OA=OC,所以 因为,所以,有.因为AC平分∠PAE,所以……………3分
所以 ……4分
又因为点C在⊙O上,OC为⊙O的半径,所以CD为⊙O的切线. ………………5分
(2)解:过O作,垂足为F,所以,
所以四边形OCDF为矩形,所以 ……………………………7分
因为DC+DA=6,设,则
因为⊙O的直径为10,所以,所以.
在中,由勾股定理知
即化简得,
解得或x=9. ………………9分
由,知,故. ………10分
从而AD=2, …………………11分
因为,由垂径定理知F为AB的中点,所以…………12分
4. (2011山东滨州,22,8分)如图,直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A、B两点,弦AC∥PM, 连接OM、BC.
求证:(1)△ABC∽△POM;
(2)2OA2=OP·BC.
(第22题图)
【答案】证明:(1)∵直线PM切⊙O于点M,∴∠PMO=90°………………1分
∵弦AB是直径,∴∠ACB=90°………………2分
∴∠ACB=∠PMO………………3分
∵AC∥PM, ∴∠CAB=∠P ………………4分
∴△ABC∽△POM………………5分
(2) ∵ △ABC∽△POM, ∴………………6分
又AB=2OA,OA=OM, ∴………………7分
∴2OA2=OP·BC………………8分
5. (2011山东菏泽,18,10分)如图,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,
(1)求证:△ABE∽△ADB;
(2)求AB的长;
(3)延长DB到F,使得BF=BO,连接FA,试判断直线FA与⊙O的位置关系,并说明理由.
解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,
∵∠C=∠D,∴∠ABC=∠D,
又∵∠BAE=∠EAB,∴△ABE∽△ADB,
(2) ∵△ABE∽△ADB,∴,
∴AB2=AD·AE=(AE+ED)·AE=(2+4)×2=12
∴AB=.
(3) 直线FA与⊙O相切,理由如下:
连接OA,∵BD为⊙O的直径,∴∠BAD=90°,
∴,
BF=BO=,
∵AB=,∴BF=BO=AB,可证∠OAF=90°,
∴直线FA与⊙O相切.
6. (2011山东日照,21,9分)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,CD是⊙O的切线,C为切点,AD⊥CD于点D.
求证:(1)∠AOC=2∠ACD;
(2)AC2=AB·AD.
【答案】证明:(1)∵CD是⊙O的切线,∴∠OCD=90°,
即∠ACD+∠ACO=90°.…① ∵OC=OA,∴∠ACO=∠CAO,
∴∠AOC=180°-2∠ACO,即∠AOC+∠ACO=90°. ② 由①,②,得:∠ACD-∠AOC=0,即∠AOC=2∠ACD;
(2)如图,连接BC.
∵AB是直径,∴∠ACB=90°.
在Rt△ACD与△RtACD中,
∵∠AOC=2∠B,∴∠B=∠ACD,
∴△ACD∽△ABC,∴,即AC2=AB·AD.
7. (2011浙江温州,20,8分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,过点B作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.已知OA=3,AE=2,
(1)求CD的长;
(2)求BF的长.
【答案】解:(1)连结OC,在Rt△OCE中,.
∵CD⊥AB,
∴
(2) ∵BF是⊙O 的切线,
∴FB⊥AB,
∴CE∥FB,
∴△ACE∽△AFB,
∴,,
∴
8. (2011浙江省嘉兴,22,12分)如图,△ABC中,以BC为直径的圆交AB于点D,∠ACD=∠ABC.
(1)求证:CA是圆的切线;
(2)若点E是BC上一点,已知BE=6,tan∠ABC=,tan∠AEC=,求圆的直径.
(第22题)
[来源:学_科_网]
【答案】(1)∵BC是直径,∴∠BDC=90°,∴∠ABC+∠DCB=90°,∵∠ACD=∠ABC,
∴∠ACD+∠DCB=90°,∴BC⊥CA,∴CA是圆的切线.
(2)在Rt△AEC中,tan∠AEC=,∴,;
在Rt△ABC中,tan∠ABC=,∴,;
∵BC-EC=BE,BE=6,∴,解得AC=,
∴BC=.即圆的直径为10.
9. (2011广东株洲,22,8分)如图,AB为⊙O的直径,BC为⊙O的切线,AC交⊙O于点E,D 为AC上一点,∠AOD=∠C.
(1)求证:OD⊥AC;
(2)若AE=8,,求OD的长.
【答案】(1)证明:∵BC是⊙O的切线,AB为⊙O的直径
∴∠ABC=90°,∠A+∠C=90°,
又∵∠AOD=∠C,
∴∠AOD+∠A=90°,
∴∠ADO=90°,
∴OD⊥AC.
(2)解:∵OD⊥AE,O为圆心,
∴D为AE中点 ,
∴,
又 ,∴ OD=3.
10.(2011山东济宁,20,7分)如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于点E,交AM于点D,交BN于点C,F是CD的中点,连接OF,
(1)求证:OD∥BE;
(2)猜想:OF与CD有何数量关系?并说明理由.
第20题
【答案】(1)证明:连接OE,
∵AM、DE是⊙O的切线,OA、OE是⊙O的半径,
∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°,
∴∠AOD=∠EOD=∠AOE,
∵∠ABE=∠AOE,∴∠AOD=∠ABE,
∴OD∥BE
(2)OF=CD,
理由:连接OC,
∵BC、CE是⊙O的切线,
∴∠OCB=∠OCE
∵AM∥BN,
∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°
由(1)得∠ADO=∠EDO,
∴2∠EDO+2∠OCE=180°,即∠EDO+∠OCE=90°
在Rt△DOC中,∵F是DC的中点,
∴OF=CD.
第20题
11. (2011山东聊城,23,8分)如图,AB是半圆的直径,点O是圆心,点C是OA
的中点,CD⊥OA交半圆于点D,点E是的中点,连接OD、AE,过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P,
(1)求∠AOD的度数;
(2)求证:PD是半圆O的切线;
【答案】(1)∵点C是OA的中点,∴OC=OA=OD,∵CD⊥OA,∴∠OCD=90°,在Rt△OCD中,cos∠COD=,∴∠COD=60°,即∠AOD=60°,
(2)证明:连接OC,点E是BD弧的中点,DE弧=BE弧,∴∠BOE=∠DOE=∠DOB= (180°-∠COD)=60°,∵OA=OE,∴∠EAO=∠AEO,又∠EAO+∠AEO=∠EOB=60°,∴∠EAO=30°,∵PD∥AE,∴∠P=∠EAO=30°,由(1)知∠AOD=60°,∴∠PDO=180°-(∠P+∠POD)=180°-(30°+60°)=90°,∴PD是圆O的切线
12. (2011山东潍坊,23,11分)如图,AB是半圆O的直径,AB=2.射线AM、BN为半圆的切线.在AM上取一点D,连接BD交半圆于点C,连接AC.过O点作BC的垂线OE,垂足为点E,与BN相交于点F.过D点做半圆的切线DP,切点为P,与BN相交于点Q.
(1)求证:△ABC∽ΔOFB;
(2)当ΔABD与△BFO的面积相等时,求BQ的长;
(3)求证:当D在AM上移动时(A点除外),点Q始终是线段BF的中点.
【解】(1)证明:∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,即AC⊥BC.
又∵OE⊥BC,∴OE//AC,∴∠BAC=∠FOB.
∵BN是半圆的切线,故∠BCA=∠OBF=90°.
∴△ACB∽△OBF.
(2)由△ACB∽△OBF,得∠OFB=∠DBA,∠DAB=∠OBF=90°,
∴△ABD∽△BFO,
当△ABD与△BFO的面积相等时,△ABD≌△BFO.
∴AD=BO=AB =1.
∵DA⊥AB,∴DA为⊙O的切线.
连接OP,∵DP是半圆O的切线,
∴DA=DP=1,∴DA=AO=OP=DP=1,
∴四边形ADPO为正方形.
∴DP//AB,∴四边形DABQ为矩形.
∴BQ=AD=1.
(3)由(2)知,△ABD∽△BFO,
∴,∴.
∵DPQ是半圆O的切线,∴AD=DP,QB=QP.
过点Q作AM的垂线QK,垂足为K,在Rt△DQK中,,
∴,
∴,∴BF=2BQ,∴Q为BF的中点.
13. (2011四川广安,29,10分)如图8所示.P是⊙O外一点.PA是⊙O的切线.A是切点.B是⊙O上一点.且PA=PB,连接AO、BO、AB,并延长BO与切线PA相交于点Q.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)求证: AQ·PQ= OQ·BQ;
(3)设∠AOQ=.若cos=.OQ= 15.求AB的长
_
Q
_
P
_
O
_
B
_
A
图8
【答案】(1)证明:如图,连结OP
∵PA=PB,AO=BO,PO=PO
∴△APO≌△BPO ∴∠PBO=∠PAO=90°
∴PB是⊙O的切线
(2)证明:∵∠OAQ=∠PBQ=90°
∴△QPB∽QOA
∴ 即AQ·PQ= OQ·BQ
(3)解:cos== ∴AO=12[来源:Z.xx.k.Com]
∵△QPB∽QOA ∠BPQ=∠AOQ=
∴tan∠BPQ== ∴PB=36 PO=12
∵AB·PO= OB·BP ∴AB=
_
Q
_
P
_
O
_
B
_
A
图8
14. (2011江苏淮安,25,10分)如图,AD是⊙O的弦,AB经过圆心O,交⊙O于点C,∠DAB=∠B=30°.
(1)直线BD是否与⊙O相切?为什么?(2)连接CD,若CD=5,求AB的长.
【答案】(1)答:直线BD与⊙O相切.理由如下:
如图,连接OD,
∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°,
∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°,
即OD⊥BD,
∴直线BD与⊙O相切.
(2)解:由(1)知,∠ODA=∠DAB=30°,
∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°,
又∵OC=OD,
∴△DOB是等边三角形,
∴OA=OD=CD=5.
又∵∠B=30°,∠ODB=30°,
∴OB=2OD=10.
∴AB=OA+OB=5+10=15.[来源:学科网][来源:学。科。网Z。X。X。K]
15. (2011江苏南通,22,8分)(本小题满分8分)
如图,AM为⊙O的切线,A为切点,BD⊥AM于点D,BD交⊙O于C,OC平分∠AOB.求∠B的度数.
【答案】60°.
16. (2011四川绵阳22,12)如图,在梯形ABCD中,AB//CD,∠BAD=90°,以AD为直径的
半圆O与BC相切.
(1)求证:OB丄OC;
(2)若AD= 12,∠ BCD=60°,⊙O1与半⊙O 外切,并与BC、CD 相切,求⊙O1的面积.
【答案】(1)证明:连接OF,在梯形ABCD,在直角△AOB 和直角△AOB F中
∵
∴△AOB≌△AOB(HL)
同理△COD≌△COF,∴∠BOC=90°,即OB⊥OC
(2) 过点做O1G,O1H垂直DC,DA,∵∠DOB=60°,∴∠DCO=∠BCO=30°,设O1G=x,又∵AD=12,∴OD=6,DC=6,OC=12,CG=x, O1C =6-x,根据勾股定理可知O1G²+GC²=O1C²
x²+3x²=(6-x)²∴(x-2)(x+6)=0,x=2
17. (2011四川乐山24,10分)如图,D为O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)过点B作O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan∠CDA=,求BE的长
【答案】
⑴证明:连接OD
∵OA=OD
∴∠ADO=∠OAD
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADO+∠BDO=90°
∴在RtΔABD中,∠ABD+∠BAD=90°
∵∠CDA=∠CBD
∴∠CDA+∠ADO=90°
∴OD⊥CE
即CE为⊙O的切线
18. (2011四川凉山州,27,8分)如图,已知,以为直径,为圆心的半圆交于点,点为的中点,连接交于点,为的角平分线,且,垂足为点。
(1) 求证:是半圆的切线;
(2) 若,,求的长。
B
DA
OA
HA
CA
EA
MA
FA
A
27题图
【答案】
⑴证明:连接,
∵是直径 ∴
有∵于 ∴
∵ ∴
∵是的角平分线
∴
又 ∵为的中点
∴
∵于
∵ 即
又∵是直径 ∴是半圆的切线 ···4分
(2)∵,。
由(1)知,,∴。
在中,于,平分,
∴,∴。
由∽,得。
∴,
∴。
19. (2011江苏无锡,27,10分)(本题满分10分)如图,已知O(0,0)、A(4,0)、B(4,3)。动点P从O点出发,以每秒3个单位的速度,沿△OAB的边OA、AB、BO
作匀速运动;动直线l从AB位置出发,以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动。若它们同时出发,运动的时间为t秒,当点P运动到O时,它们都停止运动。[来源:学科网ZXXK]
(1)当P在线段OA上运动时,求直线l与以点P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围;
(2)当P在线段AB上运动时,设直线l分别与OA、OB交于C、D,试问:四边形CPBD是否可能为菱形?若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由,并说明如何改变直线l的出发时间,使得四边形CPBD会是菱形。
y
O
x
A
B
【答案】
解:(1)当点P在线段OA上时,P(3t,0),…………………………………………………………(1分)
⊙P与x轴的两交点坐标分别为(3t − 1,0)、(3t + 1,0),直线l为x = 4 − t,
若直线l与⊙P相交,则……………(3分)
解得: < t < .……………………………………………………………………(5分)
(2)点P与直线l运动t秒时,AP = 3t − 4,AC = t.若要四边形CPBD为菱形,则CP // OB,
∴∠PCA = ∠BOA,∴Rt△APC ∽ Rt△ABO,∴,∴,解得t = ,……(6分)
此时AP = ,AC = ,∴PC = ,而PB = 7 − 3t = ≠ PC,
故四边形CPBD不可能时菱形.……………………………………………(7分)
(上述方法不唯一,只要推出矛盾即可)
现改变直线l的出发时间,设直线l比点P晚出发a秒,
若四边形CPBD为菱形,则CP // OB,∴△APC ∽ △ABO,,∴,
即:,解得
∴只要直线l比点P晚出发秒,则当点P运动秒时,四边形CPBD就是菱形.………………(10分)
20.(2011湖北武汉市,22,8分)(本题满分8分)如图,PA为⊙O的切线,A为切点.过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.
(1)求证:PB为⊙O的切线;
(2)若tan∠ABE=,求sinE的值.
【答案】(本题8分)(1)证明:连接OA
∵PA为⊙O的切线,
∴∠PAO=90°
∵OA=OB,OP⊥AB于C
∴BC=CA,PB=PA
∴△PBO≌△PAO
∴∠PBO=∠PAO=90°
∴PB为⊙O的切线
(2)解法1:连接AD,∵BD是直径,∠BAD=90°
由(1)知∠BCO=90°
∴AD∥OP
∴△ADE∽△POE
∴EA/EP=AD/OP 由AD∥OC得AD=2OC
∵tan∠ABE=1/2
∴OC/BC=1/2,设OC=t,则BC=2t,AD=2t由△PBC∽△BOC,得PC=2BC=4t,OP=5t
∴EA/EP=AD/OP=2/5,可设EA=2m,EP=5m,则PA=3m
∵PA=PB∴PB=3m
∴sinE=PB/EP=3/5
(2)解法2:连接AD,则∠BAD=90°由(1)知∠BCO=90°∵由AD∥OC,∴AD=2OC ∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,设OC=t,BC=2t,AB=4t由△PBC∽△BOC,得PC=2BC=4t,
∴PA=PB=2t 过A作AF⊥PB于F,则AF·PB=AB·PC
∴AF=t 进而由勾股定理得PF=t
∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/5
21. (2011湖南衡阳,24,8分)如图,△ABC内接于⊙O,CA=CB,CD∥AB且与OA
的延长线交与点D.
(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由;
(2)若∠ACB=120°,OA=2,求CD的长.
【解】 (1) CD与⊙O的位置关系是相切,理由如下:
作直径CE,连结AE.
∵CE是直径, ∴∠EAC=90°,∴∠E+∠ACE=90°,
∵CA=CB,∴∠B=∠CAB,∵AB∥CD,
∴∠ACD=∠CAB,∵∠B=∠E,∠ACD=∠E,
∴∠ACE+∠ACD=90°,即∠DCO=90°,
∴OC⊥D C,∴CD与⊙O相切.
(2)∵CD∥AB,OC⊥D C,∴OC⊥A B,
又∠ACB=120°,∴∠OCA=∠OCB=60°,
∵OA=OC,∴△OAC是等边三角形,
∴∠DOA=60°,
∴在Rt△DCO中, =,
∴DC=OC=OA=2.
22. (2011湖南永州,23,10分)如图,AB是半圆O的直径,点C是⊙O上一点(不与A,B重合),连接AC,BC,过点O作OD∥AC交BC于点D,在OD的延长线上取一点E,连接EB,使∠OEB=∠ABC.
⑴求证:BE是⊙O的切线;
⑵若OA=10,BC=16,求BE的长.
(第25题图)
【答案】证明:⑴∵AB是半圆O的直径 ∴∠ACB=90°
∵OD∥AC ∴∠ODB=∠ACB=90° ∴∠BOD+∠ABC=90°
又∵∠OEB=∠ABC ∴∠BOD+∠OEB=90° ∴∠OBE=90°
∵AB是半圆O的直径 ∴BE是⊙O的切线
⑵在中,AB=2OA=20,BC=16,∴
∴ ∴
∴.
23. (2011江苏盐城,25,10分)如图,在△ABC中,∠C= 90°,以AB上一点O为圆心,OA长为半径的圆与BC相切于点D,分别交AC、AB于点E、F.
(1)若AC=6,AB= 10,求⊙O的半径;
(2)连接OE、ED、DF、EF.若四边形BDEF是平行四边形,试判断四边形OFDE的形状,并说明理由.
【答案】(1)连接OD. 设⊙O的半径为r.
∵BC切⊙O于点D,∴OD⊥BC.
∵∠C=90°,∴OD∥AC,∴△OBD∽△ABC.
∴ = ,即 = . 解得r = ,
∴⊙O的半径为.
(2)四边形OFDE是菱形.
∵四边形BDEF是平行四边形,∴∠DEF=∠B.
∵∠DEF=∠DOB,∴∠B=∠DOB.[来源:Zxxk.Com]
∵∠ODB=90°,∴∠DOB+∠B=90°,∴∠DOB=60°.
∵DE∥AB,∴∠ODE=60°.∵OD=OE,∴△ODE是等边三角形.
∴OD=DE.∵OD=OF,∴DE=OF.∴四边形OFDE是平行四边形.
∵OE=OF,∴平行四边形OFDE是菱形.
24. (20011江苏镇江27,9分)在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象是直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点.直线过点C(a,0)且与
垂直,其中a>0,点P、Q同时从A点出发,其中点P沿射线AB运动,速度为每秒4个单位;点Q沿射线AO运动,速度为每秒5个单位.
(1)写出A点的坐标和AB的长;
(2)当点P、Q运动了t秒时,以点Q为圆心,PQ为半径的⊙Q与直线、y轴都相切,求此时a的值.
答案:(1)A(-4,0),AB=5.
(2)由题意得:AP=4t,AQ=5t,,又∠PAQ=∠QAB,∴△APQ∽△AOB.
∴∠APQ=∠AOB=90°。
∵点P在上,∴⊙Q在运动过程中保持与相切。
①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时,设与⊙Q相切于F,由△APQ∽△AOB得
,∴PQ=6,
连接QF,则QF=PQ, △QFC∽△APQ∽△AOB得.
∴,,∴QC=,a=OQ+QC=.
②当⊙Q在y轴左侧与y轴相切时,设与⊙Q相切于E, 由△APQ∽△AOB得
,∴PQ=.
连接QE,则QE=PQ,由△QEC∽△APQ∽△AOB得,∴,,
∴QC=,a=QC-OQ=.∴a的值为和。
25. (2011广东湛江27,12分)如图,在中,,点D是AC的中点,且,过点作,使圆心在上,与交于点.
(1)求证:直线与相切;
(2)若,求的直径.
【答案】(1)证明:连接OD,在中,OA=OD,
所以,
又因为,
所以,所以,即,
所以BD与相切;
(2)由于AE为直径,所以,由题意可知,又点D是AC的中点,且
,所以可得,即的直径为5.
26. (2011贵州安顺,26,12分)已知:如图,在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.
⑴求证:点D是AB的中点;
⑵判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
⑶若⊙O的直径为18,cosB =,求DE的长.
第26题图
【答案】(1)证明:连接CD,则CD, 又∵AC = BC, CD = CD, ∴≌
∴AD = BD , 即点D是AB的中点.
第26题图
(2)DE是⊙O的切线 .
理由是:连接OD, 则DO是△ABC的中位线,∴DO∥AC , 又∵DE;
∴DE 即DE是⊙O的切线;
(3)∵AC = BC, ∴∠B =∠A , ∴cos∠B = cos∠A =, ∵ cos∠B =, BC = 18,
∴BD = 6 , ∴AD = 6 , ∵ cos∠A = , ∴AE = 2,
在中,DE=.
27. (2011河北,25,10分)如图14-1至14-4中,两平行线AB,CD间的距离为6,点M为AB上一定点.
思考
如图14-1,圆心为O的半圆纸片在AB,CD之间(包括AB,CD),其直径MN在AB上,MN=8,点P为半圆上一点,设∠MOP=α.
当α= 度时,点P到CD的距离最小,最小值为 。
探究一
在图14-1的基础上,以点M为旋转中心,在AB,CD之间顺时针旋转该半圆纸片,直到不能再转动为止,如图14-2,得到最大旋转角∠BMO= 度,此时点N到CD的距离是
探究二
将图14-1中的扇形纸片NOP按下面对α要求剪掉,使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转。
(1)如图14-3,当α=60°时,球在旋转过程中,点p到CD的最小距离,并请指出旋转角∠BMO的最大值;
(2)如图14-4,在扇形纸片MOP旋转过程中,要保证点P能落在直线CD上,请确定α的取值范围.
(参考数据:sin49°=,cos41°=,tan37°= )
【答案】思考 90,2;
探究一 30,2;
探究二
(1)由已知得M与P的距离为4,∴当MP⊥AB时,点P到AB的最大距离为4,从而点P到CD的最小距离为6-4=2.当扇形MOP在AB,CD之间旋转到不能再转时,弧MP与AB相切,此时旋转角最大,∠BMO的最大值为90°。
(2)如图,由探究一可知,点P是弧MP与CD的切点时,α达到最大,即OP⊥CD。此时延长PO交AB于点H,α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°。
如图,当点P在CD上且与AB距离最小时,MP⊥CD,α达到最小,连接MP,作OH⊥MP于点H,由垂径定理,得MH=3,在Rt△MOH中,MO=4,∴sin∠MOH=,∴∠MOH=49°,∵α=2∠MOH,∴α最小值为98°。∴α的取值范围是98°≤α≤120°。
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