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- 2021-05-10 发布
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2017年内蒙古通辽市中考数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.﹣5的相反数是( )
A.5 B.﹣5 C. D.
2.下列四个几何体的俯视图中与众不同的是( )
A. B. C. D.
3.空气是混合物,为直观介绍空气各成分的百分比,最适合用的统计图是( )
A.折线图 B.条形图 C.直方图 D.扇形图
4.下列图形中,是轴对称图形,不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.若数据10,9,a,12,9的平均数是10,则这组数据的方差是( )
A.1 B.1.2 C.0.9 D.1.4
6.近似数5.0×102精确到( )
A.十分位 B.个位 C.十位 D.百位
7.志远要在报纸上刊登广告,一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元,他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍,在每平方厘米版面广告费相同的情况下,他该付广告费( )
A.540元 B.1080元 C.1620元 D.1800元
8.若关于x的一元二次方程(k+1)x2+2(k+1)x+k﹣2=0有实数根,则k的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
9.下列命题中,假命题有( )
①两点之间线段最短;②到角的两边距离相等的点在角的平分线上;
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④垂直于同一直线的两条直线平行;
⑤若⊙O的弦AB,CD交于点P,则PA•PB=PC•PD.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
10.如图,点P在直线AB上方,且∠APB=90°,PC⊥AB于C,若线段AB=6,AC=x,S△PAB=y,则y与x的函数关系图象大致是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共7小题,每小题3分,共21分)
11.不等式组的整数解是 .
12.如图,CD平分∠ECB,且CD∥AB,若∠A=36°,则∠B= .
13.毛泽东在《沁园春•雪》中提到五位历史名人:秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗,小红将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上,小哲从中随机抽取一张,卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是 .
14.若关于x的二次三项式x2+ax+是完全平方式,则a的值是 .
15.在▱ABCD中,AE平分∠BAD交边BC于E,DF平分∠ADC交边BC于F,若AD=11,EF=5,则AB= .
16.如图,将八个边长为
1的小正方形摆放在平面直角坐标系中,若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分,则将直线l向右平移3个单位后所得直线l′的函数关系式为 .
17.如图,直线y=﹣x﹣与x,y轴分别交于点A,B,与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C,过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D.若AD=AC,则点D的坐标为 .
三、解答题(本大题共9小题,共69分)
18.计算:(π﹣2017)0+6sin60°﹣|5﹣|﹣()﹣2.
19.先化简,再求值:(1﹣)÷,其中x从0,1,2,3四个数中适当选取.
20.一汽车从甲地出发开往相距240km的乙地,出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶,1小时后比原来的速度加快,比原计划提前24min到达乙地,求汽车出发后第1小时内的行驶速度.
21.小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏,每个转盘被分成面积相等的几个扇形,转动两个转盘各一次,若两次指针所指数字之和小于4,则小兰胜,否则小颖胜(指针指在分界线时重转),这个游戏对双方公平吗?请用树状图或列表法说明理由.
22.如图,物理教师为同学们演示单摆运动,单摆左右摆动中,在OA的位置时俯角∠
EOA=30°,在OB的位置时俯角∠FOB=60°,若OC⊥EF,点A比点B高7cm.求:
(1)单摆的长度(≈1.7);
(2)从点A摆动到点B经过的路径长(π≈3.1).
23.某校举办了一次成语知识竞赛,满分10分,学生得分均为整数,成绩达到6分及6分以上为合格,达到9分或10分为优秀,这次竞赛中,甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如图所示.
(1)求出下列成绩统计分析表中a,b的值:
组别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
甲组
6.8
a
3.76
90%
30%
乙组
b
7.5
1.96
80%
20%
(2)小英同学说:“这次竞赛我得了7分,在我们小组中排名属中游略偏上!”观察上面表格判断,小英是甲、乙哪个组的学生;
(3)甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组,所以他们组的成绩好于乙组.但乙组同学不同意甲组同学的说法,认为他们组的成绩要好于甲组.请你写出两条支持乙组同学观点的理由.
24.如图,AB为⊙O的直径,D为的中点,连接OD交弦AC于点F,过点D作DE∥AC,交BA的延长线于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)连接CD,若OA=AE=4,求四边形ACDE的面积.
25.邻边不相等的平行四边形纸片,剪去一个菱形,余下的一个四边形,称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又余下一个四边形,称为第二次操作;…依此类推,若第n次操作余下的四边形是菱形,则称原平行四边形为n阶准菱形,如图1,▱ABCD中,若AB=1,BC=2,则▱ABCD为1阶准菱形.
(1)猜想与计算:
邻边长分别为3和5的平行四边形是 阶准菱形;已知▱ABCD的邻边长分别为a,b(a>b),满足a=8b+r,b=5r,请写出▱ABCD是 阶准菱形.
(2)操作与推理:
小明为了剪去一个菱形,进行了如下操作:如图2,把▱ABCD沿BE折叠(点E在AD上),使点A落在BC边上的点F处,得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形.
26.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+2过点A(﹣2,0),B(2,2),与y轴交于点C.
(1)求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式;
(2)若点D在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上,求△ACD的周长的最小值;
(3)在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上是否存在点P,使△ACP是直角三角形?若存在直接写出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
2017年内蒙古通辽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.﹣5的相反数是( )
A.5 B.﹣5 C. D.
【考点】14:相反数.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得一个数的相反数.
【解答】解:﹣5的相反数是5,
故选:A.
2.下列四个几何体的俯视图中与众不同的是( )
A. B. C. D.
【考点】U2:简单组合体的三视图.
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图,可得答案.
【解答】解:A、的俯视图是第一列两个小正方形,第二列一个小正方形,
B、的俯视图是第一列是两个小正方形,第二列是两个小正方形,
C、的俯视图是第一列两个小正方形,第二列一个小正方形,
D、的俯视图是第一列两个小正方形,第二列一个小正方形,
故选:B.
3.空气是混合物,为直观介绍空气各成分的百分比,最适合用的统计图是( )
A.折线图 B.条形图 C.直方图 D.扇形图
【考点】VE:统计图的选择.
【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比,但一般不能直接从图中得到具体的数据;
折线统计图表示的是事物的变化情况;
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目;
频数分布直方图,清楚显示在各个不同区间内取值,各组频数分布情况,易于显示各组之间频数的差别.
【解答】解:由分析可知,要求直观反映空气的组成情况,即各部分在总体中所占的百分比,结合统计图各自的特点,应选择扇形统计图.
故选D.
4.下列图形中,是轴对称图形,不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】R5:中心对称图形;P3:轴对称图形.
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐个判断即可.
【解答】解:A、是中心对称图形,故本选项不符合题意;
B、是中心对称图形,故本选项不符合题意;
C、是中心对称图形,故本选项不符合题意;
D、不是中心对称图形,故本选项符合题意;
故选D.
5.若数据10,9,a,12,9的平均数是10,则这组数据的方差是( )
A.1 B.1.2 C.0.9 D.1.4
【考点】W7:方差;W1:算术平均数.
【分析】先由平均数的公式计算出a的值,再根据方差的公式计算即可.
【解答】解:∵数据10,9,a,12,9的平均数是10,
∴(10+9+a+12+9)÷5=10,
解得:a=10,
∴这组数据的方差是 [(10﹣10)2+(9﹣10)2+(10﹣10)2+(12﹣10)2+(9﹣10)2]=1.2.
故选B.
6.近似数5.0×102精确到( )
A.十分位 B.个位 C.十位 D.百位
【考点】1H:近似数和有效数字.
【分析】根据近似数的精确度求解.
【解答】解:近似数5.0×102精确到十位.
故选C.
7.志远要在报纸上刊登广告,一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元,他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍,在每平方厘米版面广告费相同的情况下,他该付广告费( )
A.540元 B.1080元 C.1620元 D.1800元
【考点】SA:相似三角形的应用.
【分析】根据题意可知版面的边长都扩大为原来的3倍后的面积,然后根据每平方厘米的广告费即可求出答案.
【解答】解:∵一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元,
∴每平方厘米的广告费为:180÷50=元,
∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为:30×15×=1620元
故选(C)
8.若关于x的一元二次方程(k+1)x2+2(k+1)x+k﹣2=0有实数根,则k的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
【考点】AA:根的判别式;C4:在数轴上表示不等式的解集.
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式,即可得出关于k的一元一次不等式组,解之即可得出k的取值范围,将其表示在数轴上即可得出结论.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程(k+1)x2+2(k+1)x+k﹣2=0有实数根,
∴,
解得:k>﹣1.
故选A.
9.下列命题中,假命题有( )
①两点之间线段最短;②到角的两边距离相等的点在角的平分线上;
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④垂直于同一直线的两条直线平行;
⑤若⊙O的弦AB,CD交于点P,则PA•PB=PC•PD.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【考点】O1:命题与定理.
【分析】根据线段的性质公理判断①;
根据角平分线的性质判断②;
根据垂线的性质、平行公理的推论判断③④;
连接AC、DB,根据同弧所对的圆周角相等,证出△ACP∽△DBP,然后根据相似三角形的性质得出结论.依此判断⑤.
【解答】解:①两点之间线段最短,说法正确,不是假命题;
②到角的两边距离相等的点在角的平分线上,说法正确,不是假命题;
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,原来的说法错误,是假命题;
④在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行,原来的说法错误,是假命题;
⑤如图,连接AC、BD.
∵∠A=∠D,∠C=∠B,
∴△ACP∽△DBP,
∴=,
∴PA•PB=PC•PD,
故若⊙O的弦AB,CD交于点P,则PA•PB=PC•PD的说法正确,不是假命题.
故选:C.
10.如图,点P在直线AB上方,且∠APB=90°,PC⊥AB于C,若线段AB=6,AC=x,S△PAB=y,则y与x的函数关系图象大致是( )
A. B. C. D.
【考点】E7:动点问题的函数图象.
【分析】根据已知条件推出△APC∽△PBC,根据相似三角形的性质得到PC=,根据三角形的面积公式即可得到结论.
【解答】解:∵PC⊥AB于C,∠APB=90°,
∴∠ACP=∠BCP=90°,
∴∠APC+∠BPC=∠APC+∠PAC=90°,
∴∠PAC=∠BPC,
∴△APC∽△PBC,
∴,
∵AB=6,AC=x,
∴BC=6﹣x,
∴PC2=x(6﹣x),
∴PC=,
∴y=AB•PC=3=3,
故选D.
二、填空题(本大题共7小题,每小题3分,共21分)
11.不等式组的整数解是 0,1,2 .
【考点】CC:一元一次不等式组的整数解.
【分析】根据不等式组的解法得出不等式组的解集,再求得整数解即可.
【解答】解:解不等式一得,x>﹣1,
解不等式二得,x≤2,
不等式组的解集为﹣1<x≤2,
不等式组的整数解为0,1,2,
故答案为0,1,2.
12.如图,CD平分∠ECB,且CD∥AB,若∠A=36°,则∠B= 36° .
【考点】JA:平行线的性质.
【分析】先根据平行线的性质,得出∠A=∠ECD,∠B=∠BCD,再根据角平分线的定义,即可得到∠ECD=∠BCD,进而得出∠B=∠A.
【解答】解:∵CD∥AB,
∴∠A=∠ECD,∠B=∠BCD,
又∵CD平分∠ECB,
∴∠ECD=∠BCD,
∴∠B=∠A=36°,
故答案为:36°.
13.毛泽东在《沁园春•雪》中提到五位历史名人:秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗,小红将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上,小哲从中随机抽取一张,卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是 .
【考点】X4:概率公式.
【分析】先找出唐朝以后出生的人物,然后依据概率公式计算即可.
【解答】解:在秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗5五人中,唐朝以后出生的有2人.
∴在上述5人中随机抽取一张,所有抽到的人物为唐朝以后出生的概率=.
故答案为:.
14.若关于x的二次三项式x2+ax+是完全平方式,则a的值是 ±1 .
【考点】4E:完全平方式.
【分析】这里首末两项是x和这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去x和积的2倍,故﹣a=±1,求解即可
【解答】解:中间一项为加上或减去x和积的2倍,
故a=±1,
解得a=±1,
故答案为:±1.
15.在▱ABCD中,AE平分∠BAD交边BC于E,DF平分∠ADC交边BC于F,若AD=11,EF=5,则AB= 8或3 .
【考点】L5:平行四边形的性质.
【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC,由DF平分∠ADC,得到∠ADF=∠CDF,等量代换得到∠DFC=∠FDC,根据等腰三角形的判定得到CF=CD,同理BE=AB,根据平行四边形的性质得到AB=CD,AD=BC,得出AB=BE=CF=CD,分两种情况,即可得到结论.
【解答】解:①如图1,在▱ABCD中,∵BC=AD=11,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB,
∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC,
∵AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,
∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,
∴∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF,
∴AB=BE,CF=CD,
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5,
∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=2AB﹣5=11,
∴AB=8;
②在▱ABCD中,∵BC=AD=11,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB,
∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC,
∵AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,
∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,
∴∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF,
∴AB=BE,CF=CD,
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5,
∴BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11,
∴AB=3;
综上所述:AB的长为8或3.
故答案为:8或3.
16.如图,将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中,若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分,则将直线l向右平移3个单位后所得直线l′的函数关系式为 y=x﹣ .
【考点】F9:一次函数图象与几何变换.
【分析】设直线l和八个正方形的最上面交点为A,过A作AB⊥OB于B,B过A作AC⊥OC于C,易知OB=3,利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式.
【解答】解:设直线l和八个正方形的最上面交点为A,过A作AB⊥OB于B,B过A作AC⊥OC于C,
∵正方形的边长为1,
∴OB=3,
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分,
∴两边分别是4,
∴三角形ABO面积是5,
∴OB•AB=5,
∴AB=,
∴OC=,
由此可知直线l经过(,3),
设直线方程为y=kx,
则3=k,
k=,
∴直线l解析式为y=x,
∴将直线l向右平移3个单位后所得直线l′的函数关系式为y=x﹣;
故答案为:y=x﹣.
17.如图,直线y=﹣x﹣与x,y轴分别交于点A,B,与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C,过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D.若AD=AC,则点D的坐标为 (﹣3,4﹣2) .
【考点】G8:反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】过C作CE⊥x轴于E,求得A(﹣3,0),B(0,﹣),解直角三角形得到∠OAB=30°,求得∠CAE=30°,设D(﹣3,),得到AD=,AC=,于是得到C(﹣+,﹣),列方程即可得到结论.
【解答】解:过C作CE⊥x轴于E,
∵直线y=﹣x﹣与x,y轴分别交于点A,B,
∴A(﹣3,0),B(0,﹣),
∴tan∠OAB==,
∴∠OAB=30°,
∴∠CAE=30°,
设D(﹣3,),
∵AD⊥x轴,
∴AD=,
∵AD=AC,
∴AC=,
∴CE=,AE=,
∴C(﹣+,﹣),
∵C在反比例函数y=的图象上,
∴(﹣+)•(﹣)=k,
∴k=6﹣12,
∴D(﹣3,4﹣2),
故答案为:(﹣3,4﹣2).
三、解答题(本大题共9小题,共69分)
18.计算:(π﹣2017)0+6sin60°﹣|5﹣|﹣()﹣2.
【考点】2C:实数的运算;6E:零指数幂;6F:负整数指数幂;T5:特殊角的三角函数值.
【分析】根据零指数幂的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质化简即可解决问题.
【解答】解:原式=1+6×﹣3+5﹣4
=2.
19.先化简,再求值:(1﹣)÷,其中x从0,1,2,3四个数中适当选取.
【考点】6D:分式的化简求值.
【分析】首先化简(1﹣)÷
,然后根据x的取值范围,从0,1,2,3四个数中适当选取,求出算式的值是多少即可.
【解答】解:(1﹣)÷
=×
=
∵x﹣1≠0,x﹣2≠0,x﹣3≠0,
∴x≠1,2,3,
当x=0时,
原式==﹣
20.一汽车从甲地出发开往相距240km的乙地,出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶,1小时后比原来的速度加快,比原计划提前24min到达乙地,求汽车出发后第1小时内的行驶速度.
【考点】B7:分式方程的应用.
【分析】根据题意结合行驶的时间的变化得出等式进而求出答案.
【解答】解:设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/小时,根据题意可得:
=+,
解得:x=120,
经检验得:x=120是原方程的根,
答:汽车出发后第1小时内的行驶速度是120千米/小时.
21.小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏,每个转盘被分成面积相等的几个扇形,转动两个转盘各一次,若两次指针所指数字之和小于4,则小兰胜,否则小颖胜(指针指在分界线时重转),这个游戏对双方公平吗?请用树状图或列表法说明理由.
【考点】X7:游戏公平性;X6:列表法与树状图法.
【分析】首先依据题先用树状图法分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率,游戏是否公平,求出游戏双方获胜的概率,比较是否相等即可.
【解答】解:这个游戏对双方是公平的.
如图,
∴一共有6种情况,和大于4的有3种,
∴P(和大于4)==,
∴这个游戏对双方是公平的.
22.如图,物理教师为同学们演示单摆运动,单摆左右摆动中,在OA的位置时俯角∠EOA=30°,在OB的位置时俯角∠FOB=60°,若OC⊥EF,点A比点B高7cm.求:
(1)单摆的长度(≈1.7);
(2)从点A摆动到点B经过的路径长(π≈3.1).
【考点】TA:解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题;O4:轨迹.
【分析】(1)作AP⊥OC、BQ⊥OC,由题意得∠AOP=60°、∠BOQ=30°,设OA=OB=x,根据三角函数得OP=OAcos∠AOP=x、OQ=OBcos∠BOQ=x,由PQ=OQ﹣OP可得关于x的方程,解之可得;
(2)由(1)知∠AOB=90°、OA=OB=7+7,利用弧长公式求解可得.
【解答】解:(1)如图,过点A作AP⊥OC于点P,过点B作BQ⊥OC于点Q,
∵∠EOA=30°、∠FOB=60°,且OC⊥EF,
∴∠AOP=60°、∠BOQ=30°,
设OA=OB=x,
则在Rt△AOP中,OP=OAcos∠AOP=x,
在Rt△BOQ中,OQ=OBcos∠BOQ=x,
由PQ=OQ﹣OP可得x﹣x=7,
解得:x=7+7≈18.9(cm),
答:单摆的长度约为18.9cm;
(2)由(1)知,∠AOP=60°、∠BOQ=30°,且OA=OB=7+7,
∴∠AOB=90°,
则从点A摆动到点B经过的路径长为≈29.295,
答:从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm.
23.某校举办了一次成语知识竞赛,满分10分,学生得分均为整数,成绩达到6分及6分以上为合格,达到9分或10分为优秀,这次竞赛中,甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如图所示.
(1)求出下列成绩统计分析表中a,b的值:
组别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
甲组
6.8
a
3.76
90%
30%
乙组
b
7.5
1.96
80%
20%
(2)小英同学说:“这次竞赛我得了7分,在我们小组中排名属中游略偏上!”观察上面表格判断,小英是甲、乙哪个组的学生;
(3)甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组,所以他们组的成绩好于乙组.但乙组同学不同意甲组同学的说法,认为他们组的成绩要好于甲组.请你写出两条支持乙组同学观点的理由.
【考点】W7:方差;VD:折线统计图;W1:算术平均数;W4:中位数.
【分析】(1)由折线图中数据,根据中位数和甲权平均数的定义求解可得;
(2)根据中位数的意义求解可得;
(3)可从平均数和方差两方面阐述即可.
【解答】解:(1)由折线统计图可知,甲组成绩从小到大排列为:3、6、6、6、6、6、7、9、9、10,
∴其中位数a=6,
乙组学生成绩的平均分b==7.2;
(2)∵甲组的中位数为6,乙组的中位数为7.5,而小英的成绩位于全班中上游,
∴小英属于甲组学生;
(3)①乙组的平均分高于甲组,即乙组的总体平均水平高;
②乙组的方差比甲组小,即乙组的成绩比甲组的成绩稳定.
24.如图,AB为⊙O的直径,D为的中点,连接OD交弦AC于点F,过点D作DE∥AC,交BA的延长线于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)连接CD,若OA=AE=4,求四边形ACDE的面积.
【考点】ME:切线的判定与性质.
【分析】(1)欲证明DE是⊙O的切线,只要证明AC⊥OD,ED⊥OD即可.
(2)由△AFO≌△CFD(SAS),推出S△AFO=S△CFD,推出S四边形ACDE=S△ODE,求出△ODE的面积即可.
【解答】(1)证明:∵D为的中点,
∴OD⊥AC,
∵AC∥DE,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(2)解:连接DC,
∵D为的中点,
∴OD⊥AC,AF=CF,
∵AC∥DE,且OA=AE,
∴F为OD的中点,即OF=FD,
在△AFO和△CFD中,
∴△AFO≌△CFD(SAS),
∴S△AFO=S△CFD,
∴S四边形ACDE=S△ODE
在Rt△ODE中,OD=OA=AE=4,
∴OE=8,
∴DE==4,
∴S四边形ACDE=S△ODE=×OD×DE=×4×4=8.
25.邻边不相等的平行四边形纸片,剪去一个菱形,余下的一个四边形,称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又余下一个四边形,称为第二次操作;…依此类推,若第n次操作余下的四边形是菱形,则称原平行四边形为n阶准菱形,如图1,▱ABCD中,若AB=1,BC=2,则▱ABCD为1阶准菱形.
(1)猜想与计算:
邻边长分别为3和5的平行四边形是 3 阶准菱形;已知▱ABCD的邻边长分别为a,b(a>b),满足a=8b+r,b=5r,请写出▱ABCD是 12 阶准菱形.
(2)操作与推理:
小明为了剪去一个菱形,进行了如下操作:如图2,把▱ABCD沿BE折叠(点E在AD上),使点A落在BC边上的点F处,得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形.
【考点】LO:四边形综合题.
【分析】(1)利用平行四边形准菱形的意义即可得出结论;
(2)先判断出∠AEB=∠ABE,进而判断出AE=BF,即可得出结论.
【解答】解:(1)如图1,
利用邻边长分别为3和5的平行四边形进行3次操作,所剩四边形是边长为1的菱形,
故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形:
如图2,
∵b=5r,
∴a=8b+r=40r+r=8×5r+r,
利用邻边长分别为41r和5r的平行四边形进行8+4=12次操作,所剩四边形是边长为1的菱形,
故邻边长分别为41r和5r的平行四边形是12阶准菱形:
故答案为:3,12
(2)由折叠知:∠ABE=∠FBE,AB=BF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥BF,
∴∠AEB=∠FBE,
∴∠AEB=∠ABE,
∴AE=AB,
∴AE=BF,
∴四边形ABFE是平行四边形,
∴四边形ABFE是菱形
26.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+2过点A(﹣2,0),B(2,2),与y轴交于点C.
(1)求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式;
(2)若点D在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上,求△ACD的周长的最小值;
(3)在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上是否存在点P,使△ACP是直角三角形?若存在直接写出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的函数表达式;
(2)由轴对称的最短路径得:因为B与C关于对称轴对称,所以连接AB交对称轴于点D,此时△ACD的周长最小,利用勾股定理求其三边相加即可;
(3)存在,当A和C分别为直角顶点时,画出直角三角形,设P(1,y),根据三角形相似列比例式可得P的坐标.
【解答】解:(1)把点A(﹣2,0),B(2,2)代入抛物线y=ax2+bx+2中,
,
解得:,
∴抛物线函数表达式为:y=﹣x2+x+2;
(2)y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣1)2+;
∴对称轴是:直线x=1,
如图1,过B作BE⊥x轴于E,
∵C(0,2),B(2,2),对称轴是:x=1,
∴C与B关于x=1对称,
∴CD=BD,
连接AB交对称轴于点D,此时△ACD的周长最小,
∵BE=2,AE=2+2=4,OC=2,OA=2,
∴AB==2,
AC==2,
∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=2+2;
答:△ACD的周长的最小值是2+2,
(3)存在,
分两种情况:
①当∠ACP=90°时,△ACP是直角三角形,如图2,
过P作PD⊥y轴于D,
设P(1,y),
则△CGP∽△AOC,
∴,
∴,
∴CG=1,
∴OG=2﹣1=1,
∴P(1,1);
②当∠CAP=90°时,△ACP是直角三角形,如图3,
设P(1,y),
则△PEA∽△AOC,
∴,
∴=,
∴PE=3,
∴P(1,﹣3);
综上所述,△ACP是直角三角形时,点P的坐标为(1,1)或(1,﹣3).