中考高分的十八个关节关节18研究性问题的思考要点 13页

‎   关节十八 ‎ 研究性问题的思考要点 ‎ 研究性问题最根本的特点在于它具有“获取新知识”的意义或意味，也即它不单纯是已学的课本知识的应用，而是包含有理解和掌握一个“新概念”或“新规定”、发现和总结一个“新规律”或“新结论”的成份及过程，它可以突出地考查我们的“学习能力”和“发现与创新”能力。‎ 从所依循的思考方向和思维方法来看，研究性问题可大体分为三类：‎ Ⅰ、通过引入的“新概念”或“新规定”及其应用，重在体现和考查“抽象概括”的能力”；‎ Ⅱ、通过设置由“特殊到一般”或“由一般到另一特殊”的活动情意，并从中归纳或类比总结出“新规律”，重在体现和考查“合情推理”的能力。‎ Ⅲ、通过对已知的普遍认识的基础上添加特殊条件或限制，以获得更特殊更深入的新认识，重在体现和考查由特殊化使认识走向更深入。‎ 一、设置“新概念”或“新规定”情景的研究性问题 这类问题的思考要点在于把握准“新概念”和“新规定”的实质，或说根本特征，从而将其应用在所属的具体情景之中。‎ 例1 如图（1），菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”。在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等。‎ ‎（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为 和，将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形越接近于正方形。‎ ‎①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于 ；‎ ‎ ②当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形。‎ ‎（2）设矩形相邻两条边长分别是和（），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形。‎ 你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义。‎ ‎【观察与思考】对于（1），关键是准确地把握：菱形的“接近度”为，其中和是该菱形“相邻两内角的度数”。‎ 对于（2），首先要弄清：应保证相似图形的“接近度”相等，此乃是“接近度”的本质特征，接下来的问题就好解决了。‎ 解：（1）① 40。 ② 。‎ ‎（2）不合理，例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但却不相等，合理定义方法不唯一，如定义为。越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形。‎ ‎【说明】在本题，关键是要能把握“接近度”这一个新概念的本质特征。‎ 例2 在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形式以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度过，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为（，），其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角。‎ ‎（1）填空：‎ ‎① 如图（1），将以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到， 这个旋转相似变换记为A（ ， ）；‎ A C D E B B C G F D E A H I A B C D E ‎②如图（2），是边长为1的等边三角形，将它作旋转相似变换A（），得到，则线段长为 ；‎ ‎ （1） （2） （3）‎ ‎（2）如图（3），分别以锐角三角形的三边AB，BC，CA为边向外作正方形，点分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用，之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段之间的关系。‎ ‎【观察与思考】关键就是要把（，）的特征——即位似与旋转的规定——搞清搞准。以下问题都是这些特征的具体化和运用。‎ 解：（1）① 2，60°；② 2；‎ ‎（2）经过旋转相似变换），得到，此时，线段变为线段。‎ 经过旋转相似变换），得到，此时，线段变为线段。‎ ‎，‎ ‎。‎ ‎【说明】从本题可以看出，所谓掌握一个“新概念”或“新规定”，是指能将它应用在具体的问题中和复合的问题中，这也正是抽象概括能力的基本表现形式。‎ 二、设置“发现新规律”的研究性问题 这类问题的思考要点在于把握准“由特殊到一般”或“由特殊到特殊”的共同点或共同属性，借归纳或类比概括出带有一定“普遍性”的规律。‎ 例1 提出问题：如图（1），在四边形中，P是AD边上任意一点，与和的面积之间有什么关系？‎ 探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手。‎ A B C D P A B C D P ‎（1）当时（如图（2）‎ 的高相等。 （1）‎ ‎。‎ 的高相等。‎ ‎。‎ ‎。 （2）‎ ‎ ‎ ‎ 。‎ ‎（2）当时，探求与和之间的关系，写出求解过程；‎ ‎（3）当时，探求与和之间的关系为： ；‎ ‎（4）一般地，当（表示正整数）时，探求与和之间的关系，写出求解过程；‎ 问题解决：当时，与和之间的关系式为： 。‎ ‎【观察与思考】对于（2），关键是将（1）的推理过程类比到时的情景，看其是否成立；对于（3）是将（1）、（2）的结论再类比到；对于（4）则是将推理过程和结论进行更为一般化的推广和归纳。‎ 解：（2），的高相等，。‎ 又的高相等，。‎ ‎ 。‎ ‎。‎ ‎（3）。‎ ‎（4）。‎ ‎，的高相等。‎ ‎。‎ 又的高相等。‎ ‎。‎ ‎ ‎ ‎ 。‎ ‎。‎ 问题解决：。‎ ‎【说明】在本题，准确地使用“类比”和“归纳”是各小问题获解的关键。‎ 例2 实验与探究：（1）在图（1），（2），（3）中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），‎ 写出图（1），（2），（3）中的顶点的坐标，它们分别是（5，2）， ， ；‎ ‎（）‎ D（）‎ B（）‎ C ‎（）‎ D（4，0）‎ B（1，2）‎ C ‎ （1） （2）‎ D（）‎ B（）‎ C D（）‎ B（）‎ C ‎ （4）‎ ‎ （3）‎ ‎（2）在图（4）中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标；（C点的坐标用含的代数式表示）；‎ 归纳与发现：（3）通过对图（1），（2），（3），（4）的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现；无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为，如图（4）时，则四个顶点的横坐标之间的等量关系为 ；纵坐标之间的等量 关系为 （不必证明）。‎ 运用与推广：（4）在同一直角坐标系中有抛物线和三个点G，，‎ ‎（其中。问当为何值时，该抛物线上存在点，使得为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的点的坐标。‎ ‎【观察与思考】问题（1），（2），（3）逐步“由特殊到一般”，发现点C的坐标和另外三点的坐标间的关系，思考的核心是体察并归纳出各种情况下的坐标关系的共性，从而上升成“一般规律”；问题（4）则是这个“一般规律”的综合性应用。‎ 解：（1），。‎ ‎（2）分别过点作轴的垂线，垂足分别为。分别过作于E，于点F。如图（4`），在平行四边形中，，又，‎ ‎。‎ ‎，又。‎ D（）‎ B（）‎ C E F ‎。‎ 设。由得。‎ 由，得。 （4`）‎ ‎。‎ ‎（3）。或。‎ ‎（4）①若为平行四边形的对角线，由（3）可得。要使在抛物线上，则有，即（舍去），。此时（。‎ ‎②若为平行四边形的对角线，由（3）可得，同理可得，此时。‎ ‎③若为平行四边形的对角线，由（3）可得，同理可得，此时。‎ 综上所述，当时，抛物线上存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形。‎ 符合条件的点有（；；。‎ ‎【说明】在本题中，由（1）的具体启发完成（2）中的求解是关键；在问题（4）中，全面而恰当的分类使解答简捷而有序。‎ 例3 如图（1），点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点。‎ ‎ 某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线。‎ ‎（1）研究小组猜想：在中，若点D为AB边上黄金分割点（如图（2），则直线CD是的黄金分割线，你认为对吗？为什么？‎ ‎（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？‎ ‎（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D（D为AB的黄金分割点），作直线，交AC于点F，连结（如图（3），则直线也是黄金分割线，请你说明理由。‎ A C B D F E A C B D E F A C B D A C ‎（1）‎ ‎ （3）‎ ‎ （2） （4）‎ ‎（4）如图（4），点E是平行四边形的边AB的黄金分割点，过点E作，交于点F，显然直线是平行四边形的黄金分割线，请你画一条平行四边形的黄金分割线，使它不经过平行四边形各边的黄金分割点。‎ ‎【观察与思考】对于（1）和（2）要通过“黄金分割线”的定义来检验，要点是由“黄金分割点”类比到“黄金分割线”后对其意义的确切把握。‎ 对于（3）和（4），实际是做“等积变换”，这在“几何图形的等积分割”部分已有介绍。‎ 解：（1）直线是的黄金分割线。理由如下：‎ 设的边AB上的高为。‎ ‎。‎ ‎。又点D为边AB的黄金分割点。‎ ‎。。‎ 直线是的黄金分割线。‎ ‎（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时，‎ ‎，‎ 三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线。‎ ‎（3） 的公共边CE上的高也相等，‎ ‎。‎ ‎。‎ 又，。‎ 因此，直线也是的黄金分割线。‎ ‎（4）画法不惟一，现提供两种画法；‎ 画法一：如答图（1`），取的中点G，再过点G作一条直线分别交于点，则直线就是平行四边形的黄金分割线。‎ A C B D F E M N A C B D F E M G N 画法二：如答图（2`），在上取一点，连结，再过点F作交AB于点M，连结，则直线就是平行四边形的黄金分割线。‎ ‎ （1`） （2`）‎ ‎【说明】本题体现的就是通过类比将“黄金分割”由线段扩充到三角形和平行四边形。‎ ‎ 归纳和类比是知识扩充与增长的极为重要的思维途径，也是研究性问题展开的有效方式。因此，我们要深刻体会归纳与类比的思考要点，并能熟练而灵活地运用。‎ 三、设置“特殊化”情景的研究性问题 ‎ 这类问题的思考要点在于充分利用附加的特殊条件或对结论的特殊要求，把握特殊条件的特殊结论和相应的关系。‎ ‎ 例1 抛物线，其顶点（可以位于坐标系内任意一点，请研究以下问题：‎ ‎（1）若其顶点为（1，1），则 ， ，‎ 若其顶点为（，则 ， ，‎ ‎（2）具有怎样的关系时，顶点在直线上？‎ ‎（3）抛物线上任意一点，都可以是抛物线的顶点吗？若可以，请指明应满足的关系，若不可以，请说明理由。‎ ‎【观察与思考】根据各小题中对顶点的特殊要求，去寻求应满足的条件。‎ 解：（1）（通过解方程可得）2；4，9。‎ ‎（2）若（在直线上，则。‎ 为任意实数），即满足关系时，抛物线的顶点总在直线上。‎ ‎（3）可以。令，得为任意实数）。‎ 当和满足关系时，抛物线的顶点都在抛物线上。‎ ‎【说明】由本题可以看出，特殊化方向的研究，可以使我们对原事物有更多方向和更深层次的认识。‎ A C B D 例2 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。那么在什么情况下，它们会全等？‎ ‎（1）阅读与证明：‎ 当这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。‎ ‎ 当这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）。‎ ‎ 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：‎ 已知：，均为锐角三角形，，‎ ‎，。‎ 求证：。‎ ‎（请你将下列证明过程补允完整）。‎ 证明：分别过点作于D，于，‎ 则，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎。‎ ‎（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确的结论，请你写出这个结论。‎ 解：（1）又，‎ ‎，‎ 又，。‎ ‎。‎ ‎（2）若，均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，且，，，则。‎ ‎【说明】本题告诉我们，一个不真的命题加上若干限定条件之后，它就可能成为一个真命题，因此，“特殊化”方向的研究，可帮助我们获得更深入的知识。‎ ‎ 练习题 ‎1、设关于的一次函数与，则称函数。‎ ‎（其中为此两个函数的生成函数。‎ ‎（1）当时，求函数与的生成函数的值；‎ ‎（2）若函数与的图象的交点为，判断点是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由。‎ ‎2、如图（1），在的方格中，给出下列三种变换：变换，变换，变换。将图形沿轴向右平移1格的图形，称为作1次变换；将图形沿轴翻折得图形，称为作1次变换；将图形绕坐标原点顺时针旋转90°得图形，称为作1次变换。‎ 规定：变换表示先作1次变换，再作一次变换；变换表示先作一次变换，再依一次变换；变换表示作次变换。解答下列问题：‎ ‎（1）作变换相当于至少作 次变换；‎ ‎（2）请在图（2）中画出图形作变换后得到的图形；‎ ‎（3）变换与变换是否是相同的变换？请在图（3）中画出变换后得到的图形，在图（4）中画出变换后得到的图形。‎ 变换 P变换 Q F ‎ ‎ ‎ （1）‎ ‎ （2） （3）‎ ‎ （4）‎ ‎3、阅读材料并解答问题：‎ 与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，……与正边形各边都相切的圆叫做正边形的内切圆，设正边形的面积为，其内切圆的半径为，试探索正边形的面积。‎ A C B A C B A C B A C B 如图（1），当时，‎ 设切⊙于点C，连结，‎ ‎。‎ ‎。‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎。‎ ‎（1）如图（2），当时，仿照（1）中的方法和过程可求得： ；‎ ‎（2）如图（3），当时，仿照（1）中的方法和过程；‎ ‎（3）如图（4），根据以上探索过程，请直接写出= 。‎ ‎4、课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：‎ 如图（1），已知四边形中，AC平分，互补，‎ 求证：。‎ 小敏反复探索，不得其解。她想，若将四边形特殊化，看如何解决该问题。‎ ‎（1）特殊情况入手 添加条件：“”。如图（2），可证。（请你完成此证明）‎ A B C D F E A B C D A B C D ‎（2）解决原来问题 受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图（3），过点C分别作的垂线，垂足分别为。‎ ‎（请你补全证明）‎ ‎5、学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律。如图，在同一时间，身高为的小明（AB）的影子BC长是，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得。‎ ‎（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；‎ ‎（2）求路灯灯泡的垂直高度。‎ ‎（3）如果小明沿线段向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点处时，求其影子的长；当小明继 续走剩下路程的到处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处，…按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为 （直接用的代数式表示）。‎ HH B C E A ‎6、如图，已知平面直角坐标系，两点的坐标分别为。‎ ‎（1）若是轴上一个动点，则当 时，的周长最短。‎ ‎（2）若是轴上两个动点，则当 时，四边形ABDC的周长最短。‎ A B ‎（3）设分别为轴和轴上的动点，请问：是否存在这样的点，使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出 ， ，若不存在，请说明理由。‎