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- 2021-05-10 发布
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1.如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.
（1） 求抛物线的解析式.
（2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
（注：抛物线的对称轴为）
解：设抛物线的解析式为，
依题意得：c=4且 解得
所以 所求的抛物线的解析式为
（2）连接DQ，在Rt△AOB中，
所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2
因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB
因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB
所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB
即
所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ，
所以t的值是
（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小
理由：因为抛物线的对称轴为所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线对称连接AQ交直线于点M，则MQ+MC的值最小过点Q作QE⊥x
轴，于E，所以∠QED=∠BOA=90 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO 即 所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）
设直线AQ的解析式为则 由此得
所以直线AQ的解析式为 联立
由此得 所以M则：在对称轴上存在点M，使MQ+MC的值最小。
2.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
（1）由已知得：C（0，－3），A（－1，0）
将A、B、C三点的坐标代入得 解得：
所以这个二次函数的表达式为：
（2）存在，F点的坐标为（2，－3）
理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：
∴E点的坐标为（－3，0）
由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F，坐标为（2，－3）
（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，－3），直线AG为．
设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．
当时，△APG的面积最大
此时P点的坐标为，．
3.如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。
⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;
⑶ 若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。
解：⑴抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为
根据题意，得，解得
∴抛物线的解析式为
⑵存在。
由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1。
以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，
得，即y＝4－x。
又P点(x,y)在抛物线上，∴，即
解得，，应舍去。∴。
∴，即点P坐标为。
②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）。
∴符合条件的点P坐标为或（2，3）。
⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,
得CB＝,CD＝,BD＝,
∴,
∴∠BCD＝90°,
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，
∵CF＝DF＝1,
∴∠CDF＝45°,
由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3），
∴DM∥BC,
∴四边形BCDM为直角梯形,由∠BCD＝90°及题意可知，
以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。
综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。
4.已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y
轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB0,－y表示点E到OA的距离．
∵OA是的对角线，
∴．
因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量的取值范围是1＜＜6．
①根据题意，当S = 24时，即．
化简，得 解之，得
故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．点E1（3，－4）满足OE = AE，所以是菱形；点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以不是菱形．
②当OA⊥EF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使为正方形．
13.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点、和点.
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；
（3）有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线 按→→的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，当、两点相遇时，它们都停止运动.设、同时从点出发秒时，的面积为S .
①请问、两点在运动过程中，是否存在∥，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
③设是②中函数S的最大值，那么 = .
解：（1）令，则；
令则．∴．
∵二次函数的图象过点，
∴可设二次函数的关系式为
又∵该函数图象过点．
∴
解之，得，．
∴所求二次函数的关系式为
（2）∵
=
∴顶点M的坐标为
过点M作MF轴于F
∴
=
∴四边形AOCM的面积为10
（3）①不存在DE∥OC
∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时，在中，．
设点E的坐标为∴，∴ ∵，
∴ ∴
∵>2，不满足．
∴不存在．
②根据题意得D，E两点相遇的时间为（秒）
现分情况讨论如下：
ⅰ）当时，；
ⅱ）当时，设点E的坐标为
∴，∴
∴
ⅲ）当2 <<时，设点E的坐标为，类似ⅱ可得
设点D的坐标为
∴，
∴
∴
=
③
14.已知：如图，抛物线经过、、三点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若过点C的直线与抛物线相交于点E （4，m），请求出△CBE的面积S的值；
（3）在抛物线上求一点使得△ABP0为等腰三角形并写出点的坐标；
（4）除（3）中所求的点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点，请说明理由．
解：（1）∵抛物线经过点、，
∴．
又∵抛物线经过点，
∴，．
∴抛物线的解析式为．
（2）∵E点在抛物线上，
∴m = 42–4×6+5 = -3．
∵直线y = kx+b过点C（0， 5）、E（4， –3），
∴ 解得k = -2，b = 5．
设直线y=-2x+5与x轴的交点为D，
当y=0时，-2x+5=0，解得x=．
∴D点的坐标为（，0）．
∴S=S△BDC + S△BDE
=
=10．
（3）∵抛物线的顶点既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，
∴点为所求满足条件的点．
（4）除点外，在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形．
理由如下：
∵，
∴分别以、为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点、、、、、、、，除去、两个点外，其余6个点为满足条件的点
15.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
(注意：本题中的结果均保留根号)
解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：
OB＝OA=2，∠BOD＝60°
在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∠OBD＝30°
∴OD＝1，DB＝
∴点B的坐标是（1，）
（2）设所求抛物线的解析式为，由已知可得：
解得：
∴所求抛物线解析式为
（3）存在
由 配方后得：
∴抛物线的对称轴为
（也可用顶点坐标公式求出）
∵点C在对称轴上，△BOC的周长＝OB+BC+CO；
∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，
∵点O与点A关于直线对称，有CO=CA
△BOC的周长＝OB+BC+CO＝OB+BC+CA
∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小。
设直线AB的解析式为，则有：
解得：
∴直线AB的解析式为
当时，
∴所求点C的坐标为（－1，）
（4）设P（），则 ①
过点P作PQ⊥y轴于点Q， PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ轴于点F，过点B作BE⊥PQ轴于点E，则PQ=，PG=，由题意可得：
＝
=
＝ ②
将①代入②，化简得：
＝
∴当时，△PAB得面积有最大值，最大面积为。
此时
∴点P的坐标为
16.如图，已知与轴交于点和的抛物线的顶点为，抛物线与关于轴对称，顶点为．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）已知原点，定点，上的点与上的点始终关于轴对称，则当点运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？
（3）在上是否存在点，使是以为斜边且一个角为的直角三角形？若存，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）由题意知点的坐标为．
设的函数关系式为．
又点在抛物线上，
，解得．
抛物线的函数关系式为（或）．
（2）与始终关于轴对称，
与轴平行．
设点的横坐标为，则其纵坐标为，
，，即．
当时，解得．
当时，解得．
当点运动到或或或时，
，以点为顶点的四边形是平行四边形．
（3）满足条件的点不存在．理由如下：若存在满足条件的点在上，则
，（或），
．
过点作于点，可得．
，，．
点的坐标为．
但是，当时，．
不存在这样的点构成满足条件的直角三角形．
17.如图，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）将A(1，0)，B(－3，0)代入y＝－x 2＋bx＋c得
解得
∴该抛物线的解析式为y＝－x 2－2x＋3．
（2）存在．
该抛物线的对称轴为x＝－＝－1
∵抛物线交x轴于A、B两点，∴A、B两点关于抛物线的对称轴x＝－1对称．
由轴对称的性质可知，直线BC与x＝－1的交点即为所求的Q点，此时△QAC的周长最小，如图1．
将x＝0代入y＝－x 2－2x＋3，得y＝3．
∴点C的坐标为(0，3)．
设直线BC的解析式为y＝kx＋b1，
将B(－3，0)，C(0，3)代入，得
解得
∴直线BC的解析式为y＝x＋3．
联立 解得
∴点Q的坐标为(－1，2)．
（3）存在．
设P点的坐标为（x，－x 2－2x＋3）（－3＜x＜0），如图2．
∵S△PBC ＝S四边形PBOC －S△BOC ＝S四边形PBOC －×3×3＝S四边形PBOC －
当S四边形PBOC有最大值时，S△PBC就最大．
∵S四边形PBOC ＝SRt△PBE＋S直角梯形PEOC
＝BE·PE＋(PE＋OC)·OE
＝(x＋3)(－x 2－2x＋3)＋(－x 2－2x＋3＋3)(－x)
＝－(x＋)2＋＋
当x＝－时，S四边形PBOC最大值为＋．
∴S△PBC最大值＝＋－＝．
当x＝－时，－x 2－2x＋3＝－(－)2－2×(－)＋3＝．
∴点P的坐标为(－，)．
18.如图，已知抛物线y＝a(x－1)2＋(a≠0)经过点A(－2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C，B在轴正半轴上，连结BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B
同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．
解：（1）把A(－2，0)代入y＝a(x－1)2＋，得0＝a(－2－1)2＋．
∴a＝－
∴该抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋
即y＝－x 2＋x＋．
（2）设点D的坐标为(xD，yD)，由于D为抛物线的顶点
∴xD＝－＝1，yD＝－×1 2＋×1＋＝．
∴点D的坐标为(1，)．
如图，过点D作DN⊥x轴于N，则DN＝，AN＝3，∴AD＝＝6．
∴∠DAO＝60°
∵OM∥AD
①当AD＝OP时，四边形DAOP为平行四边形．
∴OP＝6
∴t＝6（s）
②当DP⊥OM时，四边形DAOP为直角梯形．
过点O作OE⊥AD轴于E．
在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°，∴AE＝1．
（注：也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1）
∵四边形DEOP为矩形，∴OP＝DE＝6－1＝5．
∴t＝5（s）
③当PD＝OA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OP＝AD－2AE＝6－2＝4．
∴t＝4（s）
综上所述，当t＝6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形．
（3）∵∠DAO＝60°，OM∥AD，∴∠COB＝60°．
又∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OB＝OC＝AD＝6．
∵BQ＝2t，∴OQ＝6－2t（0＜t＜3）
过点P作PF⊥x轴于F，则PF＝t．
∴S四边形BCPQ ＝S△COB －S△POQ
＝×6×－×(6－2t)×t
＝(t－)2＋
∴当t＝（s）时，S四边形BCPQ的最小值为．
此时OQ＝6－2t＝6－2×＝3，OP＝，OF＝，∴QF＝3－＝，PF＝．
∴PQ＝＝＝
19.如图，已知直线y＝－x＋1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．
（1）请直接写出点C，D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积．
解：（1）C(3，2)，D(1，3)；
（2）设抛物线的解析式为y＝ax 2＋bx＋c，把A(0，1)，D(1，3)，C(3，2)代入
得 解得
∴抛物线的解析式为y＝－x 2＋x＋1；
（3）①当点A运动到点F（F为原B点的位置）时
∵AF＝＝，∴t＝＝1（秒）．
当0＜ t ≤1时，如图1．
B′F＝AA′＝t
∵Rt△AOF∽Rt△∠GB ′F，∴＝．
∴B ′G＝·B ′F＝×t＝t
正方形落在x轴下方部分的面积为S即为△B ′FG的面积S△B′FG
∴S＝S△B′FG＝B ′F·B ′G＝×t×t＝t 2
②当点C运动到x轴上时
∵Rt△BCC ′∽Rt△∠AOB，∴＝．
∴CC ′＝·BC＝×＝，∴t＝＝2（秒）．
当1＜ t ≤2时，如图2．
∵A ′B ′＝AB＝，∴A ′F＝t－．
∴A ′G＝
∵B ′H＝t
∴S＝S梯形A′B′HG＝(A ′G＋B ′H)·A ′B ′
＝(＋t)·
＝t－
③当点D运动到x轴上时
DD′＝
t＝＝3（秒）
当2＜ t ≤3时，如图3．
∵A ′G＝
∴GD′＝－＝
∴D′H＝－
∴S△D′GH ＝()(－)＝()2
∴S＝S正方形A′B′C′D′ －S△D′GH
＝()2－()2
＝－t 2＋t－
（4）如图4，抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积为图中阴影部分的面积．
∵t＝3，BB′＝AA′＝DD′＝
∴S阴影＝S矩形BB′C′C
＝BB′·BC
＝×
＝15
20.已知：抛物线y＝x 2－2x＋a（a ＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y＝x－a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N．
（1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（ ， ），N（ ， ）；
（2）如图，将△NAC沿轴翻折，若点N的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；
（3）在抛物线y＝x 2－2x＋a（a ＜0）上是否一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．
解：（1）M(1，a－1)，N(a，－a)．
（2）∵点N ′是△NAC沿轴翻折后点N的对应点
∴点N ′与点N关于y轴对称，∴N ′(－a，－a)．
将N ′(－a，－a)代入y＝x 2－2x＋a，得－a＝(－a)2－2×(－a)＋a
整理得4a 2＋9a＝0，解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝－．
∴N ′(3，)，∴点N到轴的距离为3．
∵a＝－，抛物线y＝x 2－2x＋a与y轴相交于点A，∴A(0，－)．
∴直线AN ′的解析式为y＝x －，将y＝0代入，得x ＝．
∴D(，0)，∴点D到轴的距离为．
∴S四边形ADCN ＝S△ACN ＋S△ACN ＝××3＋××＝
（3）如图，当点P在y轴的左侧时，若四边形ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC．
∴将点N向上平移－2a个单位可得到点P，其坐标为(a，－a)，代入抛物线的解析式，得：－a＝(a)2－2×a＋a，整理得8a 2＋3a＝0．
解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝－．
∴P(－，)
当点P在y轴的右侧时，若四边形APCN是平行四边形，
则AC与PN互相平分．
∴OA＝OC，OP＝ON，点P与点N关于原点对称．
∴P(－a，a)，代入y＝x 2－2x＋a，得
a＝(－a)2－2×(－a)＋a，整理得8a 2＋15a＝0．
解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝－．
∴P(，－)
∴存在这样的点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为
(－，)或(，－)．
21.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y＝ax 2＋bx过A、C两点．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
① 过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？
② 连接EQ，在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．
解：（1）点A的坐标为（4，8）．
将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y＝ax 2＋bx，
得 解得a＝－，b＝4．
∴抛物线的解析式为y＝－x 2＋4x．
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE＝＝，即＝＝．
∴PE＝AP＝t，PB＝8－t．
∴点E的坐标为（4＋t，8－t）．2
∴点G的纵坐标为－(4＋t)2＋4(4＋t)＝－t 2＋8．
∴EG＝－t 2＋8－(8－t)＝－t 2＋t
∵－＜0，∴当＝4时，线段EG最长为2．
②共有三个时刻． t1＝，t2＝，t3＝40－．
22.如图，抛物线y＝－x 2＋2x＋3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
x
y
D
C
A
O
B
（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，
四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．
解：（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．
抛物线的对称轴是：x＝1．
x
y
D
C
A
O
B
F
M
P
E
（2）①设直线BC的解析式为：y＝kx＋b．
将B（3，0），C（0，3）分别代入得：
解得
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3．
当x＝1时，y＝－1＋3＝2，∴E（1，2）．
当x＝m时，y＝－m＋3，∴P（m，－m＋3）．
将x＝1代入y＝－x 2＋2x＋3，得y＝4，
∴D（1，4）．
将x＝m代入y＝－x 2＋2x＋3，
得y＝－m 2＋2m＋3．
∴F（m，－m 2＋2m＋3）．
∴线段DE＝4－2＝2，线段PF＝－m 2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m 2＋3m
∵PF∥DE，∴当PF＝DE时，四边形PEDF为平行四边形．
由－m 2＋3m＝2，解得：m1＝2，m2＝1（不合题意，舍去）．
∴当m＝2时，四边形PEDF为平行四边形．②设直线PF与x轴交于点M．
由B（3，0），O（0，0），可得：OB＝OM＋MB＝3．
则S＝S△BPF ＋S△CPF
＝PF·BM＋PF·OM
＝PF·OB
＝(－m 2＋3m)×3
＝－m 2＋m（0≤m≤3）
即S与m的函数关系式为：S＝－m 2＋m（0≤m≤3）．
23.如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．
（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；
（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；
（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN＝90°？若存在，请直接写出点P的坐标．
解：（1）∵点D是OA的中点，∴OD＝2，∴OD＝OC．
又∵OP是∠COD的角平分线，∴∠POC＝∠POD＝45°．
∴△POC≌∠POD，∴PC＝PD；
（2）如图，过点B作∠AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求．
易知点F的坐标为（2，2），故BF＝2，作PM⊥BF．
∵△PBF是等腰直角三角形，∴PM＝BF＝1．
∴点P的坐标为（3，3）．
∵抛物线经过原点
∴可设抛物线的解析式为y＝ax 2＋bx．
又∵抛物线经过点P（3，3）和点D（2，0）
∴ 解得
∴过O、P、D三点的抛物线的解析式为y＝x 2－2x；
（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于∠AOC的平分线的对称点即为C点．
连接EC，它与∠AOC的平分线的交点即为所求的P点（因为PE＋PD＝EC，而两点之间线段最短），此时△PED的周长最小．
∵抛物线y＝x 2－2x的顶点E的坐标（1，－1），C点的坐标（0，2）
设CE所在直线的解析式为y＝kx＋b
则 解得
∴CE所在直线的解析式为y＝－3x＋2．
联立，解得，故点P的坐标为（，）．
△PED的周长即是CE＋DE＝；
（4）存在点P，使∠CPN＝90°，其坐标为（，）或（2，2）．
24.如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD＝2，AB＝3．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．
①当t＝时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵因所求抛物线的顶点M的坐标为（2，4）
∴可设其对应的函数关系式为y＝a(x －2)2＋4．
又抛物线经过坐标原点O（0，0），∴a(0－2)2＋4＝0．
解得a＝－1．
∴所求函数关系式为y＝－(x －2)2＋4，即y＝－x 2＋4x．
（2）①点P不在直线ME上，理由如下：
根据抛物线的对称性可知E点的坐标为（4，0）．
设直线ME的解析式为y＝kx＋b，将M（2，4），E（4，0）代入，得
解得．
∴直线ME的解析式为y＝－2x＋8．
当t＝时，OA＝AP＝，∴P（，）．
∵点P的坐标不满足直线ME的解析式y＝－2x＋8
∴当t＝时，点P不在直线ME上．
②S存在最大值，理由如下：
∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，∴OA＝AP＝t．
∴P（t，t），N（t，－t 2＋4t），∴AN＝－t 2＋4t（0≤≤3）
∴PN＝AN－AP＝－t 2＋4t－t＝－t 2＋3t＝t(3－t)≥0
（ⅰ）当PN＝0，即t＝0或t＝3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD．
∴S＝DC·AD＝×3×2＝3．
（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形．
∵PN∥CD，AD⊥CD．
∴S＝(CD＋PN)·AD＝(3－t 2＋3t)×2＝－t 2＋3t＋3＝－(t－)2＋（0＜t＜3）．
当t＝时，S最大＝．
综上所述，当t＝时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积S有最大值，最大值为．
说明：（ⅱ）中的关系式，当t＝0和t＝3时也适合．
25.如图1，已知抛物线y＝ax 2－2ax－3与x轴交于A、B两点，其顶点为C，过点A的直线交抛物线于另一点D(2，－3)，且tan∠BAD＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结CD，求证：AD⊥CD；
（3）如图2，P是线段AD上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；
（4）点Q是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，F，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图1，过点D作DH⊥x轴于H，则OH＝2，DH＝3．
∵tan∠BAD＝1，∴AH＝DH＝3，∴AO＝3－2＝1．
∴A(－1，0)．
把A(－1，0)代入y＝ax 2－2ax－3，得a＋2a－3＝0．∴a＝1．
∴抛物线的解析式为y＝x 2－2x－3．
（2）∵y＝x 2－2x－3＝(x－1)2－4∴C(1，－4)．
连结AC，则AD 2＝3 2＋3 2＝18，CD 2＝(2－1)2＋(－3＋4)2＝2，AC 2＝(1＋1)2＋4 2＝20．
∴AD 2＋CD 2＝AC 2，∴△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°．
∴AD⊥CD．
（3）设直线AD的解析式为y＝kx＋b，把A(－1，0)，D(2，－3)代入
求得直线BC的解析式为y＝－x－1．
设点P的横坐标为x，则P(x，－x－1)，E(x，x 2－2x－3)．
∵点P在点E的上方
∴EP＝(－x－1)－(x 2－2x－3)＝－x 2＋x＋2＝－(x－)2＋
∴当x＝时，线段PE长度的最大值＝．
（4）存在，点F的坐标分别为F1(－3，0)，F2(1，0)，F3(，0)，F4(，0)．
关于点F坐标的求解过程（原题不作要求，本人添加，仅供参考）
如图3
①若四边形ADQ1F1为平行四边形，则AF1＝DQ1，DQ1∥AF1．
∴点Q1的纵坐标为－3，代入y＝x 2－2x－3，得x 2－2x－3＝－3，∴x1＝0，x2＝2．
∵D(2，－3)，∴Q1(0，－3)，∴DQ1＝2，∴AF1＝2．
∴F1(－3，0)．
②若四边形AF2DQ2为平行四边形，同理可得F2(1，0)．
③若四边形AQ3F3D为平行四边形，则AQ3＝DF3．
∴点Q3的纵坐标为3，代入y＝x 2－2x－3，得x 2－2x－3＝3，∴x3＝，x4＝．
－1－()＝，OF3＝2－()＝．
∴F3(，0)．
④若四边形AQ4F4D为平行四边形，则
OF4＝()－()＋()＝
∴F4(，0)．
26.已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，－2），直线x＝m（m＞2）与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x＝m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵二次函数y＝ax 2＋bx＋c的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，－2）
∴ 解得
∴二次函数的解析式y＝－x 2＋3x－2．
（2）当△EDB∽△AOC时，有＝或＝
∵AO＝1，CO＝2，BD＝m－2．
当＝时，得＝，∴ED＝．
∵点E在第四象限，∴E1（m，）．
当＝时，得＝，∴ED＝2m－4．
∵点E在第四象限，∴E2（m，4－2m）．
（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则
EF＝AB＝1，点F的横坐标为m－1．
当点E1的坐标为（m，）时，点F1的坐标为（m－1，）．
∵点F1在抛物线的图象上，∴＝－(m－1)2＋3(m－1)－2．
∴2m 2－11m＋14＝0，解得m1＝，m2＝2（不合题意，舍去）．
∴F1（，－）．∴S□ABEF ＝1×＝．
当点E2的坐标为（m，4－2m）时，点F2的坐标为（m－1，4－2m）．
∵点F2在抛物线的图象上，∴4－2m＝－(m－1)2＋3(m－1)－2．
∴m 2－7m＋10＝0，解得m1＝5，m2＝2（不合题意，舍去）．
∴F2（4，－6）．∴S□ABEF ＝1×6＝6．
27.已知：t1，t2是方程t 2＋2t－24＝0，的两个实数根，且t1＜t2，抛物线y＝x 2＋bx＋c的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求□OPAQ的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当□OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使□OPAQ为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）由t 2＋2t－24＝0，解得t1＝－6，t2＝4．
∵t1＜t2，∴A（－6，0），B（0，4）．
∵抛物线y＝x 2＋bx＋c的图象经过点A，B两点
∴ 解得
∴这个抛物线的解析式为y＝x 2＋x＋4．
（2）∵点P（x，y）在抛物线上，且位于第三象限，∴y＜0，即－y＞0．
又∵S＝2S△APO＝2××| OA|·| y |＝| OA|·| y |＝6| y |
∴S＝－6y．
＝－6(x 2＋x＋4)
＝－4(x 2＋7x＋6)
＝－4(x＋)2＋25．
令y＝0，则x 2＋x＋4＝0，解得x1＝－6，x2＝－1．
∴抛物线与x轴的交点坐标为（－6，0）、（－1，0）
∴x的取值范围为－6＜x＜－1．
（3）当S＝24时，得－4(x＋)2＋25＝24，解得：x1＝－4，x2＝－3．
代入抛物线的解析式得：y1＝y2＝－4．
∴点P的坐标为（－3，－4）、（－4，－4）．
当点P为（－3，－4）时，满足PO＝PA，此时，□OPAQ是菱形．
当点P为（－4，－4）时，不满足PO＝PA，此时，□OPAQ不是菱形．
要使□OPAQ为正方形，那么，一定有OA⊥PQ，OA＝PQ，此时，点的坐标为（－3，－3），而（－3，－3）不在抛物线y＝x 2＋x＋4上，故不存在这样的点P，使□OPAQ为正方形．
28.如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，），B（－，），C（1，0），∠ABC＝90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，），以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′，求证：四边形AOCB′是矩形，并判断点B′是否在（1）的抛物线上；
（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
解：（1）∵抛物线的顶点为D（0，）
∴可设抛物线的解析式为y＝ax 2＋．
∵B（－，）在抛物线上
∴a(－)2＋＝，∴a＝．
∴抛物线的解析式为y＝x 2＋．
（2）∵B（－，），C（1，0）
∴BC＝＝
又B′C＝BC，OA＝，∴B′C＝OA．
∵AC＝＝＝2
∴AB＝＝＝1
又AB′＝AB，OC＝1，∴AB′＝OC．
∴四边形AOCB′是矩形．
∵B′C＝，OC＝1
∴点B′ 的坐标为（1，）将x＝1代入y＝x 2＋得y＝
∴点B′ 在抛物线上．
（3）存在 理由如下：
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，则
解得
∴直线AB的解析式为y＝
∵P、F分别在直线AB和抛物线上，且PF∥AD
∴设P（m，），F（m，m 2＋）
∴PF＝()－(m 2＋)＝－m 2＋＋
AD＝＝
若四边形PADF是平行四边形，则有PF＝AD．
即－m 2＋＋＝
解得m1＝0（不合题意，舍去），m2＝．
当m＝时，＝×＋＝．
∴存在点P（，），使四边形PADF是平行四边形．
29.如图1，平移抛物线F1：y＝x 2后得到抛物线F2．已知抛物线F2经过抛物线F1的顶点M和点A（2，0），且对称轴与抛物线F1交于点B，设抛物线F2的顶点为N．
（1）探究四边形ABMN的形状及面积（直接写出结论）；
（2）若将已知条件中的“抛物线F1：y＝x 2”改为“抛物线F1：y＝ax 2”（如图2），“点A（2，0）”改为“点A（m，0）”，其它条件不变，探究四边形ABMN的形状及其面积，并说明理由；
（3）若将已知条件中的“抛物线F1：y＝x 2”改为“抛物线F1：y＝ax 2＋c”（如图3），“点A（2，0）”改为“点A（m，c）”其它条件不变，求直线AB与轴的交点C的坐标（直接写出结论）．
解：（1）四边形ABMN是正方形，其面积为2．
（2）四边形ABMN是菱形．当m＞0时，四边形ABMN的面积为；当＜0时，四边形ABMN的面积为-．
理由如下：
∵平移抛物线F1后得到抛物线F2，且抛物线F2经过原点O．
∴设抛物线F2的解析式为y＝ax 2＋bx．
∵抛物线F2经过点A（m，0）
∴am 2＋bm＝0．
由题意可知m≠0，∴b＝－am．
∴抛物线F2的解析式为y＝ax 2－amx．∴y＝a(x－)2－
∴抛物线F2的对称轴为直线x＝，顶点N（，－）．
∵抛物线F2的对称轴与抛物线F1的交点为B，∴点B的横坐标为．
∵点B在抛物线F1：y＝ax 2上
∴yB＝a()2＝
设抛物线F2的对称轴与x轴交于点P，如图1．
∵a＞0，∴BP＝．
∵顶点N（，－），∴NP＝|－|＝．
∴BP＝NP．
∵抛物线是轴对称图形，∴OP＝AP．
∴四边形ABMN是平行四边形．
∵BN是抛物线F2的对称轴，∴BN⊥OA．
∴四边形ABMN是菱形．
∵BN＝BP＋NP，∴BN＝．
∵四边形ABMN的面积为×OA·BN＝×|m|×
∴当m＞0时，四边形ABMN的面积为×m×＝．
当m＜0时，四边形ABMN的面积为×(－m)×＝－．
（3）点C的坐标为（0，＋c）（参考图2）．
30.如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；
（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋1．
∵抛物线经过原点，∴a(0－2)2＋1＝0，∴a＝－．
∴抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋1＝－x 2＋x．
（2）△AOB和所求△MOB同底不等高，若S△MOB ＝3S△AOB ，则△MOB的高是△AOB高的3倍，
即M点的纵坐标是－3．
∴－x 2＋x＝－3，整理得x 2－4x－12＝0，解得x1＝6，x2＝－2．
∴满足条件的点有两个：M1(6，－3)，M2(－2，－3)
（3）不存在．
理由如下：
由抛物线的对称性，知AO＝AB，∠AOB＝∠ABO．
若△OBN∽△OAB，则∠BON＝∠BOA＝∠BNO．
设ON交抛物线的对称轴于A′ 点，则A′ (2，－1)．
∴直线ON的解析式为y＝－x．
由x＝－x 2＋x，得x1＝0，x2＝6．∴N(6，－3)．
过点N作NC⊥x轴于C．
在Rt△BCN中，BC＝6－4＝2，NC＝3
∴NB＝＝．
∵OB＝4，∴NB≠OB，∴∠BON≠∠BNO，∴△OBN与△OAB不相似．
同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点．
∴在x轴下方的抛物线上不存在点N，使△OBN与△OAB相似．
31.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
（1）如图1，过点B作BM⊥x轴于M．
由旋转性质知OB＝OA＝2．
∵∠AOB＝120°，∴∠BOM＝60°．
∴OM＝OB·cos60°＝2×＝1，BM＝OB·sin60°＝2×＝．
∴点B的坐标为(1，)．
（2）设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为y＝ax 2＋bx＋c
∵抛物线过原点，∴c＝0．
∴ 解得
∴所求抛物线的解析式为y＝x 2＋x．
（3）存在．
如图2，连接AB，交抛物线的对称轴于点C，连接OC．
∵OB的长为定值，∴要使△BOC的周长最小，必须BC＋OC的长最小．
∵点A与点O关于抛物线的对称轴对称，∴OC＝AC．
∴BC＋OC＝BC＋AC＝AB．
由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时BC＋OC最小，点C的位置即为所求．
设直线AB的解析式为y＝kx＋m，将A(－2，0)，B(1，)代入，得
解得
∴直线AB的解析式为y＝x＋．
抛物线的对称轴为直线x＝＝－1，即x＝－1．
将x＝－1代入直线AB的解析式，得y＝×(－1)＋＝．
∴点C的坐标为(－1，)．
（4）△PAB有最大面积．
如图3，过点P作y轴的平行线交AB于点D．
∵S△PAB ＝S△PAD＋S△PBD
＝(yD－yP)(xB－xA)
＝[(x＋)－(x 2＋x)](1＋2)
＝－x 2－x＋
＝－(x＋)2＋
∴当x＝－时，△PAB的面积有最大值，最大值为．
此时yP＝×(－)2＋×(－)＝－．
∴此时P点的坐标为(－，－)．
32.已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．
（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．
（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．
②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．
解：（1）由题意知Rt△△AOC∽Rt△COB，∴＝．
∴OC 2＝OA·OB＝OA(AB－OA)，即22＝OA(5－OA)．
∴OA 2－5OA＋4＝0，∵OA＜OB，∴OA＝1，OB＝4．
∴A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)．
∴可设所求抛物线的关系式为y＝a(x＋1)(x－4)．
将点C(0，2)代入，得2＝a(0＋1)(0－4)，∴a＝－．
∴经过点A、B、C的抛物线的关系式为y＝－(x＋1)(x－4)．
即y＝－x 2＋x＋2．
（2）①E1(3，)，E2(，)，E3(，)．
设直线BC的解析式为y＝kx＋b．
则 解得
∴直线BC的解析式为y＝－x＋2．
∵点E在直线BC上，∴E(x，－x＋2)．
若ED＝EB，过点E作EH⊥x轴于H，如图2，则DH＝DB＝1．
∴OH＝OD＋DH＝2＋1＝3．
∴点E的横坐标为3，代入直线BC的解析式，得y＝－×3＋2＝．
∴E1(3，)．
若DE＝DB，则(x－2)2＋(－x＋2)2＝22．
整理得5x 2－24x＋16＝0，解得x1＝4（舍去），x2＝．
∴y＝－×＋2＝，∴E2(，)．
若BE＝BD，则(x－4)2＋(－x＋2)2＝22．
整理得5x 2－24x＋16＝0，解得x1＝（此时点P在第四象限，舍去），x2＝．
∴y＝－×()＋2＝，∴E3(，)．
②△CDP有最大面积．
过点D作x轴的垂线，交PC于点M，如图3．
设直线PC的解析式为y＝px＋q，将C(0，2)，P(m，n)代入，
得 解得
∴直线PC的解析式为y＝x＋2，∴M(2，＋2)．
S△CDP＝S△CDM＋S△PDM＝xP·yM
＝m(＋2)
＝m＋n－2
＝m＋(－m2＋m＋2)－2
＝－m2＋m
＝－(m－)2＋
∴当m＝时，△CDP有最大面积，最大面积为．
此时n＝－×()2＋×＋2＝
∴此时点P的坐标为(，)．
33.如图，已知抛物线y＝x 2＋4x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为(－1，0)．
（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．
解：（1）对称轴为直线x＝－＝－2，即x＝－2；
令y＝0，得x 2＋4x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝－3．
∵点B的坐标为(－1，0)，∴点A的坐标为(－3，0)．
（2）存在，点P的坐标为(－2，3)，(2，3)和(－4，－3)．
（3）存在．当x＝0时，y＝x 2＋4x＋3＝3，∴点C的坐标为(0，3)．
AO＝3，EO＝2，AE＝1，CO＝3．
∵DE∥CO，
∴△AED∽△AOC．∴＝，即＝．
∴DE＝1．
∵DE∥CO，且DE≠CO，∴四边形DEOC为梯形．
S梯形DEOC＝(1＋3)×2＝4．
设直线CM交x轴于点F，如图．
若直线CM把梯形DEOC分成面积相等的两部分，则S△COF＝2
即CO·FO＝2．∴×3FO＝2，∴FO＝．
∴点F的坐标为(－，0)．
∵直线CM经过点C(0，3)，∴设直线CM的解析式为y＝kx＋3．
把F(－，0)代入，得－k＋3＝0．
∴k＝．
∴直线CM的解析式为y＝x＋3．
34.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C(－1，0)，如图所示；抛物线y＝ax 2＋ax－2经过点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）过点B作BD⊥x轴于D．
∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠CAO＝90°．
∴∠BCD＝∠CAO．
又∵∠BDC＝∠COA＝90°，BC＝CA．
∴Rt△BCD≌Rt△CAO，∴BD＝CO＝1，CD＝AO＝2．
∴点B的坐标为(－3，1)；
（2）把B(－3，1)代入y＝ax 2＋ax－2，得1＝9a－3a－2，解得a＝．
∴抛物线的解析式为y＝x 2＋x－2；
（3）存在．①延长BC至点P1，使CP1＝BC，则得到以点C为直角顶点的等腰直角三角形△ACP1．
过点P1作P1M⊥x轴．
∵CP1＝BC，∠P1CM＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°．
∴Rt△P1CM≌Rt△BCD，
∴CM＝CD＝2，P1M＝BD＝1，可求得点P1(1，－1)；
把x＝1代入y＝x 2＋x－2，得y＝－1．
∴点P1(1，－1)在抛物线上．
① 点A作AP2⊥AC，且使AP2＝AC，则得到以点A为直角顶点的等腰直角三角形△ACP2．
过点P2作P2N⊥y轴，同理可证Rt△P2NA≌Rt△AOC．
P2N＝AO＝2，AN＝CO＝1．可求得点P2(2，1)．
把x＝2代入y＝x 2＋x－2，得y＝1．
∴点P2(2，1)在抛物线上．
综上所述，在抛物线上还存在点P1(1，－1)和P2(2，1)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形．
35.如图，在平面直角坐标中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，－)，且在x轴上截得的线段AB的长为6．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在y轴上，且使得△PAC的周长最小，求：
①点P的坐标；
②△PAC的周长和面积；
（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）设二次函数的解析式为y＝a(x －4)2－(a≠0)，且A(x1，0)，B(x2，0)．
∵y＝a(x －4)2－＝ax 2－8ax＋16a－
∴x1＋x2＝8，x1x2＝16－．
∴AB 2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝82－4(16－)＝36，∴a＝．
∴二次函数的解析式为y＝(x －4)2－．
（2）①如图1，作点A关于y轴的对称点A′，连结A′C交y轴于点P，连结PA，则点P为所求．
令y＝0，得(x －4)2－＝0，解得x1＝1，x2＝7．
∴A(1，0)，B(7，0)．∴OA＝1，∴OA′＝1．
设抛物线的对称轴与x轴交于点D，则AD＝3，A′D＝5，DC＝．
∵△A′OP∽△ADC，∴＝，即＝，∴OP＝．
∴P(0，－)．
②∵A′C＝＝＝
AC＝＝＝
∴△PAC的周长＝PA＋PC＋AC＝A′C＋AC＝＋．
S△PAC＝S△A′AC － S△A′AP＝A′A(DC－OP)＝×2×(－)＝．
（3）存在． ∵tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝30°．
同理，∠ABC＝30°，∴∠ACB＝120°，AC＝BC．
①若以AB为腰，∠BAQ1为顶角，使△ABQ1∽△CBA，则AQ1＝AB＝6，∠BAQ1＝120°．
如图2，过点Q1作Q1H⊥x轴于H，则
Q1H＝AQ1·sin60°＝6×＝，HA＝AQ1·cos60°＝6×＝3．
HO＝HA－OA＝3－1＝2．
∴点Q1的坐标为(－2，)．
把x＝－2代入y＝(x －4)2－，得y＝(－2－4)2－＝．
∴点Q1在抛物线上．
① 以BA为腰，∠ABQ2为顶角，使△ABQ2∽△ACB，由对称性可求得点Q1的坐标为(10，)．
同样，点Q2也在抛物线上．
③若以AB为底，AQ，BQ为腰，点Q在抛物线的对称轴上，不合题意，舍去．
综上所述，在x轴上方的抛物线上存在点Q1(－2，)和Q2(10，)，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似．
36.如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－3，0)、B两点，与y轴相交于点C(0，)．当x＝－4和x＝2时，二次函数y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)的函数值y相等，连结AC、BC．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
y
O
x
C
N
B
P
M
A
解：（1）由题意得
解得a＝－，b＝－，c＝．
（2）由（1）知y＝－x 2－x＋，令y＝0，得－x 2－x＋＝0．
解得x1＝－3，x2＝1．
∵A(－3，0)，∴B(1，0)．
又∵C(0，)，∴OA＝3，OB＝1，OC＝，∴AB＝4，BC＝2．
∴tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝60°，∴∠CAO＝30°．
同理，可求得∠CBO＝60°，∠BCO＝30°，∴∠ACB＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
又∵BM＝BN＝t，∴△BMN是等边三角形．
∴∠BNM＝60°，∴∠PNM＝60°，∴∠PNC＝60°．
∴Rt△PNC∽Rt△ABC，∴＝．
由题意知PN＝BN＝t，NC＝BC－BN＝2－t，∴＝．
∴t＝．
∴OM＝BM－OB＝－1＝．
如图1，过点P作PH⊥x轴于H，则PH＝PM·sin60°＝×＝．
MH＝PM·cos60°＝×＝．
∴OH＝OM＋MH＝＋＝1．
∴点P的坐标为(－1，)．
（3）存在．
由（2）知△ABC是直角三角形，若△BNQ与△ABC相似，则△BNQ也是直角三角形．
∵二次函数y＝－x 2－x＋的图象的对称轴为x＝－1．
∴点P在对称轴上．
∵PN∥x轴，∴PN⊥对称轴．
又∵QN≥PN，PN＝BN，∴QN≥BN．
∴△BNQ不存在以点Q为直角顶点的情形．
①如图2，过点N作QN⊥对称轴于Q，连结BQ，则△BNQ是以点N为直角顶点的直角三角形，且QN＞PN，∠MNQ＝30°．
∴∠PNQ＝30°，∴QN＝＝＝．
∴＝＝．
∵＝tan60°＝，∴≠．
∴当△BNQ以点N为直角顶点时，△BNQ与△ABC不相似．
②如图3，延长NM交对称轴于点Q，连结BQ，则∠BMQ＝120°．
∵∠AMP＝60°，∠AMQ＝∠BMN＝60°，∴∠PMQ＝120°．
∴∠BMQ＝∠PMQ，又∵PM＝BM，QM＝QM．
∴△BMQ≌△PMQ，∴∠BQM＝∠PQM＝30°．
∵∠BNM＝60°，∴∠QBN＝90°．
∵∠CAO＝30°，∠ACB＝90°．
∴△BNQ∽△ABC．
∴当△BNQ以点B为直角顶点时，△BNQ∽△ABC．
设对称轴与x轴的交点为D．
∵∠DMQ＝∠DMP＝60°，DM＝DM，∴Rt△DMQ≌Rt△DMP．
∴DQ＝PD，∴点Q与点P关于x轴对称．
∴点Q的坐标为(－1，－)．
综合①②得，在抛物线的对称轴上存在点Q(－1，－)，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
37.如图①，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
解：（1）由题意得．
解得．
∴所求抛物线的解析式为y＝－x 2－2x＋3；
（2）存在符合条件的点P，其坐标为P(－1，)或P(－1，)
或P(－1，6)或P(－1，)；
（3）解法一：
过点E作EF⊥x轴于点F，设E(m，－m 2－2m＋3)（－3＜ a ＜0）
则EF＝－m 2－2m＋3，BF＝m＋3，OF＝－m．
∴S四边形BOCE ＝S△BEF ＋S梯形FOCE
＝BF·EF ＋(EF＋OC)·OF
＝(m＋3)(－m 2－2m＋3)＋(－m 2－2m＋6)(－m)．
＝－m 2－m＋
＝－(m＋)2＋
∴当m＝－时，S四边形BOCE 最大，且最大值为．
此时y＝－(－)2－2×(－)＋3＝
∴此时E点的坐标为(－，)．
解法二：过点E作EF⊥x轴于点F，设E(x，y)（－3＜ x ＜0）
则S四边形BOCE ＝S△BEF ＋S梯形FOCE
＝BF·EF ＋(EF＋OC)·OF
＝(3＋x)· y＋(3＋y)(－x)．
＝(y－x)＝(－x 2－3x＋3)．
＝－(x＋)2＋
∴当x＝－时，S四边形BOCE 最大，且最大值为．
此时y＝－(－)2－2×(－)＋3＝
∴此时E点的坐标为(－，)．
38.如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x 2－5x＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝1．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵OA、OC的长是方程x 2－5x＋4＝0的两个根，OA＜OC．
∴OA＝1，OC＝4．
∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴
∴A（－1，0），C（0，－4）．
∵抛物线y＝ax 2＋bx＋c的对称轴为x＝1
∴由对称性可得B点坐标为（3，0）．
∴A、B、C三点的坐标分别是：A（－1，0），B（3，0），C（0，－4）．
（2）∵点C（0，－4）在抛物线y＝ax 2＋bx＋c图象上，∴c＝－4．
将A（－1，0），B（3，0）代入y＝ax 2＋bx－4得
解得
∴此抛物线的解析式为y＝x 2－x－4．
（3）∵BD＝m，∴AD＝4－m．
在Rt△BOC中，BC 2＝OB 2＋OC 2＝3 2＋4 2＝25，∴BC＝5．
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．
∴＝，即＝．
∴DE＝．
过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF＝sin∠CBA＝＝．
∴＝，∴EF＝DE＝×＝4－m．
∴S ＝S△CDE ＝S△ADC －S△ADE
＝(4－m)×4－(4－m)(4－m)
＝－m 2＋2m
＝－(m－2)2＋2（0＜m＜4）．∵－＜0
∴当m＝2时，S有最大值2．
此时OD＝OB－BD＝3－2＝1．
∴此时D点坐标为（1，0）．
39.如图，抛物线y＝a(x＋3)(x－1)与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为(－2，6)．
（1）求a的值及直线AC的函数关系式；
（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得6＝a(－2＋3)(－2－1)，∴a＝－2．
∴抛物线的解析式为y＝－2(x＋3)(x－1)，即y＝－2x 2－4x＋6
令－2(x＋3)(x－1)＝0，得x1＝－3，x2＝1
∵点A在点B右侧，∴A(1，0)，B(－3，0)
设直线AC的函数关系式为y＝kx＋b，把A(1，0)、C(－2，6)代入，得
解得
∴直线AC的函数关系式为y＝－2x＋2．
（2）①设P点的横坐标为m(－2≤ m ≤1)，
则P(m，－2m＋2)，M(m，－2m 2－4m＋6)．
∴PM＝－2m 2－4m＋6－(－2m＋2)
＝－2m 2－2m＋4
＝－2(m＋)2＋
∴当m＝－时，线段PM长度的最大值为．
②存在
M1(0，6)． M2(－，)．
ⅰ)如图1，当M为直角顶点时，连结CM，则CM⊥PM， △CMP∽△ANP
∵点C(－2，6)，∴点M的纵坐标为6，代入y＝－2x 2－4x＋6
得－2x 2－4x＋6＝6，∴x＝－2（舍去）或x＝0
∴M1(0，6)
（此时点M在y轴上，即抛物线与y轴的交点，此时直线MN与y轴重合，点N与原点O重合）
ⅱ)如图2，当C为直角顶点时，设M(m，－2m 2－4m＋6)(－2≤ m ≤1)
过C作CH⊥MN于H，连结CM，设直线AC与y轴相交于点D
则△CMP∽△NAP
又∵△HMC∽△CMP，△NAP∽△OAD，∴△HMC∽△OAD
∴＝
∵C(－2，6)，∴CH＝m＋2，MH＝－2m 2－4m＋6－6＝－2m 2－4m
在y＝－2x＋2中，令x＝0，得y＝2
∴D(0，2)，∴OD＝2
∴＝
整理得4m 2＋9m＋2＝0，解得m＝－2（舍去）或m＝－
当m＝－时，－2m 2－4m＋6＝(－)2－4×(－)＋6＝
∴M2(－，)
40.如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA＋PD最小，求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）设该二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k
∵顶点C的横坐标为4，且过点D(0，)
∴＝16a＋k ①
又∵对称轴为直线x＝4，图象在x轴上截得的线段AB的长为6
∴A(1，0)，B(7，0)
∴0＝9a＋k ②
由①②解得a＝，k＝
∴该二次函数的解析式为y＝(x－4)2
（2）∵点A、B关于直线x＝4对称，∴PA＝PB
∴PA＋PD＝PB＋PD≥DB
∴当点P在线段DB上时，PA＋PD取得最小值
∴DB与对称轴的交点即为所求的点P，如图1
设直线x＝4与x轴交于点M
∵PM∥OD，∴∠BPM＝∠BDO
又∠PBM＝∠DBO，∴△BPM∽△BDO
∴＝，即＝，∴PM＝’
∴点P的坐标为(4，)
（3）由（1）知点C(4，)，
又∵AM＝3，∴在Rt△ACM中，tan∠ACM＝，∴∠ACM＝60°
∵AC＝BC，∴∠ACB＝120°
①如图2，当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N
如果AB＝BQ，由△ABC∽△ABQ，得BQ＝6，∠ABQ＝120°
∴∠QBN＝60°
∴QN＝，BN＝3，ON＝10
∴此时点Q的坐标为(10，)
∵(10－4)2＝，∴点Q在抛物线上
如果AB＝AQ，由对称性知Q(－2，)，且也在抛物线上
②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB
∴此时点Q的坐标为(4，)
综上所述，在抛物线上存在点Q，使△QAB与△ABC相似
点Q的坐标为(10，)或(－2，)或(4，)．
41.已知，如图，抛物线y＝ax 2＋3ax＋c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵对称轴x＝－＝－．
又∵OC＝3OB＝3，a＞0
∴C(0，－3)．
方法一：把B(1，0)、C(0，－3)代入y＝ax 2＋3ax＋c得：
解得
∴抛物线的解析式为y＝x 2＋x－3．
方法二：令ax 2＋3ax＋c＝0，则xA＋xB＝－3
∵B(1，0)，∴xA＋1＝－3，∴xA＝－4
∴A(－4，0)
∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋4)(x－1)，把C(0，－3)代入
得－3＝a(0＋4)(0－1)，∴a＝
∴抛物线的解析式为y＝(x＋4)(x－1)
即y＝x 2＋x－3．
（2）方法一：如图1，过点D作DN⊥x轴，垂足为N，交线段AC于点M
∵S四边形ABCD ＝S△ABC ＋S△ACD
＝AB·OC＋DM·(AN＋ON)
＝(4＋1)×3＋DM·4＝＋2DM．
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，把A(－4，0)、C(0，－3)代入
得 解得
∴直线AC的解析式为y＝－x－3．
设D(x，x 2＋x－3)，则M(x，－x－3)
∴DM＝－x－3－(x 2＋x－3)＝－(x＋2)2＋3．
当x＝－2时，DM有最大值3
此时四边形ABCD面积有最大值，最大值为：＋2×3＝．
方法二：如图2，过点D作DQ⊥y轴于Q，过点C作CC1∥x轴交抛物线于C1
设D(x，x 2＋x－3)，则DQ＝－x，OQ＝－x 2－x＋3
从图象可判断当点D在CC1下方的抛物线上运动时，四边形ABCD面积才有最大值
则S四边形ABCD ＝S△BOC ＋S梯形AOQD －S△CDQ
＝OB·OC＋(AO＋DQ)·OQ－DQ·CQ
＝×1×3＋(4＋DQ)·OQ－DQ·(OQ－3)
＝＋2OQ＋DQ．
＝－2(x 2＋x－3)－x
＝－x 2－6x＋
＝－(x＋2)2＋．
当x＝－2时，四边形ABCD面积有最大值
（3）如图3
①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，则四边形ACP1E1为平行四边形．∵C(0，－3)，令x 2＋x－3＝－3
解得x1＝0，x2＝3，∴CP1＝3
∴P1(－3，－3)．
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形．∵C(0，－3)，∴设P(x，3)
由x 2＋x－3＝3，解得x＝或x＝
∴P2(，3)，P3(，3)．
综上所述，存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形，点P的坐标分别为：
P1(－3，－3)，P2(，3)，P3(，3)
42.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)、B(5，0)两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，将∠DCB绕点C按顺时针方向旋转，角的两边CD和CB与x轴分别交于点P、Q，设旋转角为α(0°＜α≤90°)．
①当α等于多少度时，△CPQ是等腰三角形？
②设BP＝t，AQ＝s，求s与t之间的函数关系式．
解：（1）根据题意，得． 解得．
∴抛物线的解析式为y＝－x 2＋3x－．即y＝－(x－3)2＋2．
∴顶点C的坐标为（3，2）．．
（2）①∵CD＝DB＝AD＝2，CD⊥AB，
∴∠DCB＝∠CBD＝45°．
ⅰ）若CQ＝CP，则∠PCD＝∠PCQ＝22.5°．
∴当α＝22.5°时，△CPQ是等腰三角形．
ⅱ）若CQ＝PQ，则∠CPQ＝∠PCQ＝45°，
此时点Q与D重合，点P与A重合．
∴当α＝45°时，△CPQ是等腰三角形．
ⅲ）若PC＝PQ，则∠PCQ＝∠PQC＝45°，此时点Q与B重合，点P与D重合．
∴α＝0°，不合题意．
∴当α＝22.5°或45°时，△CPQ是等腰三角形．
②连接AC，∵AD＝CD＝2，CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，AC＝BC＝＝．
ⅰ）当0°＜α≤45°时，
∵∠ACQ＝∠ACP＋∠PCQ＝∠ACP＋45°．
∠BPC＝∠ACP＋∠CAD＝∠ACP＋45°．
∴∠ACQ＝∠BPC．
又∵∠CAQ＝∠PBC＝45°，∴△ACQ∽△BPC．
∴＝．∴AQ·BP＝AC·BC＝×＝8．
ⅱ）当45°＜α＜90°时，同理可得AQ·BP＝AC·BC＝8． ∴s＝．
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