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- 2021-05-10 发布
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第16讲 相似三角形
一、 知识清单梳理
知识点一:比例线段
关键点拨与对应举例
1. 比例
线段
在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.
列比例等式时,注意四条线段的大小顺序,防止出现比例混乱.
2.比例
的基本性质
(1)基本性质:⇔ ad=bc;(b、d≠0)
(2)合比性质:⇔=;(b、d≠0)
(3)等比性质:=…==k(b+d+…+n≠0)⇔
=k.(b、d、···、n≠0)
已知比例式的值,求相关字母代数式的值,常用引入参数法,将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示,再求代数式的值,也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母,再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子,也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.
例:若,则 .
3.平行线分线段成比例定理
(1)两条直线被一组平行线所截,所得的对应线
段成比例.即如图所示,若l3∥l4∥l5,则.
利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时,注意根据图形列出比例等式,灵活运用比例基本性质求解.
例:如图,已知D,E分别是△ABC的边BC和AC上的点,AE=2,CE=3,要使DE∥AB,那么BC:CD应等于 .
(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的
延长 线),所得的对应线段成比例.
即如图所示,若AB∥CD,则.
(3)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形相似.
如图所示,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC.
4.黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果==≈0.618,那么线段AB被点C黄金分割.其中点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
例:把长为10cm的线段进行黄金分割,那么较长线段长为 cm.
知识点二 :相似三角形的性质与判定
5.相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图,若∠A=∠D,∠B=∠E,
则△ABC∽△DEF.
判定三角形相似的思路:①条件中若有平行
线,可用平行线找出相等的角而判定;②条
件中若有
一对等角,可再找一对等角或再找
夹这对等角的两组边对应成比例;③条件中
若有两边对应成比例可找夹角相等;④条件
中若有一对直角,可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例;⑤条件中若有
等腰关系,可找顶角相等或找一对底角相等
或找底、腰对应成比例.
(2) 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似. 如图,若∠A=∠D,,则△ABC∽△DEF.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似.如图,若,则△ABC∽△DEF.
6.相似
三角形的性质
(1)对应角相等,对应边成比例.
(2)周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方.
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比.
例:(1)已知△ABC∽△DEF,△ABC的周长为3,△DEF的周长为2,则△ABC与△DEF的面积之比为9:4.
(2) 如图,DE∥BC, AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4,则AF:AG=1:2.
7.相似三角形的基本模型
(1)熟悉利用利用相似求解问题的基本图形,可以迅速找到解题思路,事半功倍.
(2)证明等积式或者比例式的一般方法:经常把等积式化为比例式,把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后,通过证明这两个三角形相似,从而得出结果.
二、经典试做
1.已知△ABC∽△DEF,∠A=80°,∠B=20°,
那么△DEF的各角的度数分别是______________.
2.如图27211,直线CD∥EF,若OE=7,CE=4,则=________.
图27211
3.已知△ABC∽△A′B′C′,如果AC=6,A′C′=2.4,那么△A′B′C′与△ABC的相似比为________.
4.如图若∠BAD=∠CAE,∠E=∠C,则________∽________.
5.如图27213,DE∥FG∥BC,图中共有相似三角形( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
图27213
6.在△ABC和△A′B′C′中,有下列条件:
①=;②=;③∠A=∠A′;④∠C=∠C′.
如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
7.如图27214,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,求证:AD2=CD·BD.
9.如图27215,已知△ABC,延长BC到点D,使CD=BC.
取AB的中点F,连接FD交AC于点E.
(1)求的值;
(2)若AB=a,FB=EC,求AC的长.
图27215
10.如图27216,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=6.若动点D从点B出发,沿线段BA运动到点A为止,运动速度为每秒2个单位长度.过点D作DE∥BC交AC于点E,设动点D运动的时间为x秒,AE的长为y.
(1)求出y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求出△BDE的面积S与x之间的函数关系式;
(3)当x为何值时,△BDE的面积S有最大值,最大值为多少?
4.已知△ABC和△DEF相似且对应中线的比为3∶4,则△ABC和△DEF的周长比为____________.
5.高为3米的木箱在地面上的影长为12米,此时测得一建筑物在水面上的影长为36米,则该建筑物的高度为______米.
7.如图27226,直立在B处的标杆AB=2.4 m,直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上(点F,B,D也在同一条直线上).已知BD=8 m,FB=2.5 m,人高EF=1.5 m,求树高CD.
图27226
9.如图在▱ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=CD.
(1)求证:△ABF∽△CEB;
(2)若△DEF的面积为2,求▱ABCD的面积.
图27228
9.如图27315,在6×8的网格图中,每个小正方形边长均为1,点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.
(1)以O为位似中心,在网格图中作△A′B′C′,使△A′B′C′和△ABC位似,且位似比为1∶2;
(2)连接(1)中的AA′,求四边形AA′C′C的周长(结果保留根号).
图27315