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- 2021-05-10 发布
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如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,抛物线的顶点为D.
(1)求b,c的值;
(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下:
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积;
②在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由.
在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
(4)补充:在(3)的条件下,点P、Q、B、O为顶点的四边形能否成为梯形,若能,求出相应Q的坐标。
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直角坐标系XOY中,将直线y=kx沿y轴下移3个单位长度后恰好经点B(-3,0)及y 轴上的C点。若抛物y=-x2+bx+c与x轴交于A点B点,(点A在点B的右侧),且过点C 。
(1)求直线BC及抛物线解析式
(2)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求p点坐标
如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C(0, -3),对称轴是直线x=1,直线BC交抛物线对称轴交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求直线BC的函数表达式;
(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P,Q两点,且点P在第三象限.
①当线段PQ=3AB/4时,求tan∠CED的值;
②当以点C,D,E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.
温馨提示:考生可以根据第(3)问的题意,在图中补出图形,以便作答.
第25题图 第25题备用图
直角坐标系XOY中,半径2√5的⊙C与x轴交于A(-1,0),B(3,0)且点C在X轴上方。
(1) 求圆心C的坐标。(Xc=1, c(1,4))
(2) 已知一个二次函数的图像过A、B、C三点。求解析式. (y=-(x+1)(x-3))
(3) 设点P在y轴上,点M在(2)的二次函数图像上,如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形,直接写出点M坐标。
26.如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,抛物线的顶点为D.
(1)求b,c的值;
(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下:
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积;
②在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由.
分析:(1)由∠ACB=90°,AC=BC,OA=1,OC=4,可得A(﹣1,0)B(4,5),然后利用待定系数法即可求得b,c的值;
(2)由直线AB经过点A(﹣1,0),B(4,5),即可求得直线AB的解析式,又由二次函数y=x2﹣2x﹣3,设点E(t,t+1),则可得点F的坐标,则可求得EF的最大值,求得点E的坐标;
(3)①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD,可求出点F的坐标(,),点D的坐标为(1,﹣4)由S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF即可求得;
②过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,m2﹣2m﹣3),可得m2﹣2m﹣2=5/2,即可求得点P的坐标,又由过点F作b⊥EF交抛物线于P3,设P3(n,n2﹣2n﹣3),可得n2﹣2n﹣2=﹣15/4,求得点P的坐标,则可得使△EFP是以EF为直角边的直角三角形的P的坐标.
解答:解:(1)由已知得:A(﹣1,0),B(4,5),
∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0),B(4,5),
∴,解得:b=﹣2,c=﹣3;
(2)如图:∵直线AB经过点A(﹣1,0),B(4,5),∴直线AB的解析式为:y=x+1, ∵二次函数y=x2﹣2x﹣3,∴设点E(t,t+1),则F(t,t2﹣2t﹣3),
∴EF=(t+1)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣(t﹣3/2)2+25/4,∴当t=3/2时,EF的最大值为25/4,∴点E坐标(3/2,5/2);
(3)①如图:顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD.
可求出点F的坐标(3/2,-15/4),点D的坐标为(1,﹣4)
S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=××(4﹣)+××(﹣1)=;
②如图:ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,m2﹣2m﹣3)则有:
m2﹣2m﹣2=,解得:m1=,m2=,
∴P1(,),P2(,),
ⅱ)过点F作b⊥EF交抛物线于P3,设P3(n,n2﹣2n﹣3)
则有:n2﹣2n﹣2=﹣15/4,解得:n1=1/2,n2=3/2(与点F重合,舍去),∴P3(,),综上所述:所有点P的坐标:P1(,),P2(,),P3(,)能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形.
点评:此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识.此题综合性很强,解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用.
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23、(2010河南)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
(4)补充:在(3)的条件下,点P、Q、B、O为顶点的四边形能否成为梯形,若能,求出相应Q的坐标。
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-(2011上海奉贤区P34)直角坐标系XOY中,将直线y=kx沿y轴下移3个单位长度后恰好经点B(-3,0)及y 轴上的C点。若抛物y=-x2+bx+c与x轴交于A点B点,(点A在点B的右侧),且过点C 。
(1)求直线BC及抛物线解析式
(2)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求p点坐标
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25. (沈阳市2011年p36)如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C(0, -3),对称轴是直线x=1,直线BC交抛物线对称轴交于点D.(1)求抛物线的函数表达式;(2)求直线BC的函数表达式;
(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P,Q两点,且点P在第三象限. ①当线段PQ=3AB/4时,求tan∠CED的值;
②当以点C,D,E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.
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B
A
O
C
D
1
1
x=1
x
y
E
F
P
Q
G
25.⑴∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴
∴b=-2.∵抛物线与y轴交于点C(0,-3),
∴c=-3,∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3.
⑵∵抛物线与x轴交于A、B两点,当y=0时,x2-2x-3=0.
∴x1=-1,x2=3.∵A点在B点左侧,∴A(-1,0),B(3,0)
设过点B(3,0)、C(0,-3)的直线的函数表达式为y=kx+m,
则,∴∴直线BC函数表达式为y=x-3.
⑶①∵AB=4,PO=AB,∴PO=3
∵PO⊥y轴∴PO∥x轴,则由抛物线的对称性
可得点P的横坐标为,
∴P(,)∴F(0,),∴FC=3-OF=3-=.∵PO垂直平分CE于点F,
∴CE=2 FC= ∵点D在直线BC上,∴当x=1时,y=-2,则D(1,-2).
过点D作DG⊥CE于点G,∴DG=1,CG=1,∴GE=CE-CG=-1=.
在Rt△EGD中,tan∠CED=.
②P1(1-,-2),P2(1-,).
直角坐标系XOY中,半径2√5的⊙C与x轴交于A(-1,0),B(3,0)且点C在X轴上方。求圆心C的坐标。(Xc=1, c(1,4))
(1)已知一个二次函数的图像过A、B、C三点。求解析式. (y=-(x+1)(x-3))
(2)设点P在y轴上,点M在(2)的二次函数图像上,如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形,直接写出点M坐标。