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  • 2021-05-10 发布

中考数学抛物线难题解析含答案

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如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,抛物线的顶点为D.‎ ‎(1)求b,c的值;‎ ‎(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;‎ ‎(3)在(2)的条件下:‎ ‎①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积;‎ ‎②在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由.‎ 在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.‎ ‎(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.‎ ‎(4)补充:在(3)的条件下,点P、Q、B、O为顶点的四边形能否成为梯形,若能,求出相应Q的坐标。‎ ‎41‎ 直角坐标系XOY中,将直线y=kx沿y轴下移3个单位长度后恰好经点B(-3,0)及y 轴上的C点。若抛物y=-x2+bx+c与x轴交于A点B点,(点A在点B的右侧),且过点C 。‎ ‎(1)求直线BC及抛物线解析式 ‎(2)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求p点坐标 如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C(0, -3),对称轴是直线x=1,直线BC交抛物线对称轴交于点D.‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式;‎ ‎(2)求直线BC的函数表达式; ‎ ‎(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P,Q两点,且点P在第三象限.‎ ‎①当线段PQ=3AB/4时,求tan∠CED的值;‎ ‎②当以点C,D,E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.‎ 温馨提示:考生可以根据第(3)问的题意,在图中补出图形,以便作答.‎ ‎ ‎ 第25题图 第25题备用图 直角坐标系XOY中,半径2√5的⊙C与x轴交于A(-1,0),B(3,0)且点C在X轴上方。‎ (1) 求圆心C的坐标。(Xc=1, c(1,4))‎ (2) 已知一个二次函数的图像过A、B、C三点。求解析式. (y=-(x+1)(x-3))‎ (3) 设点P在y轴上,点M在(2)的二次函数图像上,如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形,直接写出点M坐标。‎ ‎26.如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,抛物线的顶点为D.‎ ‎(1)求b,c的值;‎ ‎(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;‎ ‎(3)在(2)的条件下:‎ ‎①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积;‎ ‎②在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由.‎ 分析:(1)由∠ACB=90°,AC=BC,OA=1,OC=4,可得A(﹣1,0)B(4,5),然后利用待定系数法即可求得b,c的值;‎ ‎(2)由直线AB经过点A(﹣1,0),B(4,5),即可求得直线AB的解析式,又由二次函数y=x2﹣2x﹣3,设点E(t,t+1),则可得点F的坐标,则可求得EF的最大值,求得点E的坐标;‎ ‎(3)①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD,可求出点F的坐标(,),点D的坐标为(1,﹣4)由S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF即可求得;‎ ‎②过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,m2﹣2m﹣3),可得m2﹣2m﹣2=5/2,即可求得点P的坐标,又由过点F作b⊥EF交抛物线于P3,设P3(n,n2﹣2n﹣3),可得n2﹣2n﹣2=﹣15/4,求得点P的坐标,则可得使△EFP是以EF为直角边的直角三角形的P的坐标.‎ 解答:解:(1)由已知得:A(﹣1,0),B(4,5),‎ ‎∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0),B(4,5),‎ ‎∴,解得:b=﹣2,c=﹣3;‎ ‎(2)如图:∵直线AB经过点A(﹣1,0),B(4,5),∴直线AB的解析式为:y=x+1, ∵二次函数y=x2﹣2x﹣3,∴设点E(t,t+1),则F(t,t2﹣2t﹣3),‎ ‎∴EF=(t+1)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣(t﹣3/2)2+25/4,∴当t=3/2时,EF的最大值为25/4,∴点E坐标(3/2,5/2);‎ ‎(3)①如图:顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD.‎ 可求出点F的坐标(3/2,-15/4),点D的坐标为(1,﹣4)‎ S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=××(4﹣)+××(﹣1)=;‎ ‎②如图:ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,m2﹣2m﹣3)则有:‎ m2﹣2m﹣2=,解得:m1=,m2=,‎ ‎∴P1(,),P2(,),‎ ⅱ)过点F作b⊥EF交抛物线于P3,设P3(n,n2﹣2n﹣3)‎ 则有:n2﹣2n﹣2=﹣15/4,解得:n1=1/2,n2=3/2(与点F重合,舍去),∴P3(,),综上所述:所有点P的坐标:P1(,),P2(,),P3(,)能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形.‎ 点评:此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识.此题综合性很强,解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用.‎ ‎41‎ ‎23、(2010河南)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.‎ ‎(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.‎ ‎(4)补充:在(3)的条件下,点P、Q、B、O为顶点的四边形能否成为梯形,若能,求出相应Q的坐标。‎ ‎------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‎ ‎-(2011上海奉贤区P34)直角坐标系XOY中,将直线y=kx沿y轴下移3个单位长度后恰好经点B(-3,0)及y 轴上的C点。若抛物y=-x2+bx+c与x轴交于A点B点,(点A在点B的右侧),且过点C 。‎ ‎(1)求直线BC及抛物线解析式 ‎(2)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求p点坐标 ‎ ‎ ‎-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------‎ ‎25. (沈阳市2011年p36)如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C(0, -3),对称轴是直线x=1,直线BC交抛物线对称轴交于点D.(1)求抛物线的函数表达式;(2)求直线BC的函数表达式; ‎ ‎(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P,Q两点,且点P在第三象限. ①当线段PQ=3AB/4时,求tan∠CED的值;‎ ‎②当以点C,D,E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.‎ ‎-‎ ‎ ‎ B A O C D ‎1‎ ‎1‎ x=1‎ x y E F P Q G ‎25.⑴∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴‎ ‎∴b=-2.∵抛物线与y轴交于点C(0,-3),‎ ‎∴c=-3,∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3.‎ ‎⑵∵抛物线与x轴交于A、B两点,当y=0时,x2-2x-3=0.‎ ‎∴x1=-1,x2=3.∵A点在B点左侧,∴A(-1,0),B(3,0)‎ 设过点B(3,0)、C(0,-3)的直线的函数表达式为y=kx+m,‎ 则,∴∴直线BC函数表达式为y=x-3.‎ ‎⑶①∵AB=4,PO=AB,∴PO=3‎ ‎∵PO⊥y轴∴PO∥x轴,则由抛物线的对称性 可得点P的横坐标为,‎ ‎∴P(,)∴F(0,),∴FC=3-OF=3-=.∵PO垂直平分CE于点F,‎ ‎∴CE=2 FC= ∵点D在直线BC上,∴当x=1时,y=-2,则D(1,-2).‎ 过点D作DG⊥CE于点G,∴DG=1,CG=1,∴GE=CE-CG=-1=.‎ 在Rt△EGD中,tan∠CED=.‎ ‎②P1(1-,-2),P2(1-,).‎ 直角坐标系XOY中,半径2√5的⊙C与x轴交于A(-1,0),B(3,0)且点C在X轴上方。求圆心C的坐标。(Xc=1, c(1,4))‎ ‎(1)已知一个二次函数的图像过A、B、C三点。求解析式. (y=-(x+1)(x-3))‎ ‎(2)设点P在y轴上,点M在(2)的二次函数图像上,如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形,直接写出点M坐标。‎