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- 2021-05-10 发布
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2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题)
专题39:直角三角形与勾股定理
今升数学工作室 编辑
一、选择题
1. (2012广东广州3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是【 】
A. B. C. D.
【答案】A。
【考点】勾股定理,点到直线的距离,三角形的面积。
【分析】根据题意画出相应的图形,如图所示。
在Rt△ABC中,AC=9,BC=12,
根据勾股定理得:。
过C作CD⊥AB,交AB于点D,
则由S△ABC=AC•BC=AB•CD,得。
∴点C到AB的距离是。故选A。
2. (2012浙江湖州3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,CD是AB边上的中线,则CD的长是【 】
A.20 B.10 C.5 D.
【答案】C。
【考点】直角三角形斜边上的中线性质。
【分析】由直角三角形的性质知:斜边上的中线等于斜边的一半,即可求出CD的长:
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,CD是AB边上的中线,
∴CD=AB=5。故选C。
3. (2012浙江宁波3分)勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为【 】
A.90 B.100 C.110 D.121
【答案】C。
【考点】勾股定理的证明。
【分析】如图,延长AB交KF于点O,延长AC交GM于点P,
所以,四边形AOLP是正方形,边长AO=AB+AC=3+4=7。
所以,KL=3+7=10,LM=4+7=11,
因此,矩形KLMJ的面积为10×11=110。故选C。
4. (2012福建漳州4分)将一副直角三角板,按如图所示叠放在一起,则图中∠的度数是【 】
A.45o B.60o C.75o D.90o
【答案】 C。
【考点】三角形的外角性质,直角三角形的性质。
【分析】如图,∵∠1=90°-60°=30°,
∴∠α=45°+30°=75°。故选C。
5. (2012四川绵阳3分)已知△ABC中,∠C=90°,tanA=,D是AC上一点,∠CBD=∠A,则sin∠ABD=【 】。
A. B. C. D.
【答案】A。
【考点】勾股定理,锐角三角函数的定义。
【分析】如图,作DE⊥AB于点E。
∵∠CBD=∠A,∴。
设CD=a,则BC=2a,AC=4a,AD=AC-CD=3a,
在Rt△BCD中,。
在Rt△ABC中,。
在Rt△ADE中,设DE=x,则AE=2x,
∵AE2+DE2=AD2,即x2+(2x)2=9a2,解得:x= ,即DE=。
在Rt△BDE中,。故选A。
6. (2012辽宁本溪3分)如图 在直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,DE是AB边的垂直平分线,垂足为D,交边BC于点E,连接AE,则△ACE的周长为【 】
A、16 B、15 C、14 D、13
【答案】A。
【考点】线段垂直平分线的性质,勾股定理。
【分析】连接AE,
∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,
∴。
∵DE是AB边的垂直平分线,∴AE=BE。
∴△ACE的周长为:AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16。故选A。
7. (2012辽宁营口3分)在Rt△ABC中,若∠C=,BC=6,AC=8,则A的值为【 】
(A) (B) (C) (D)
【答案】C。
【考点】勾股定理,锐角三角函数定义。
【分析】∵在Rt△ABC中,∠C=,BC=6,AC=8,
∴根据勾股定理,得AB=10。
∴A=。故选C。
8. (2012贵州贵阳3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则EF的长是【 】
A.3 B.2 C. D.1
【答案】B。
【考点】线段垂直平分线的性质,含30度角的直角三角形的性质,等腰三角形的判定。
【分析】连接AF,
∵DF是AB的垂直平分线,∴AF=BF。
∵FD⊥AB,∴∠AFD=∠BFD=30°,∠B=∠FAB=90°﹣30°=60°。
∵∠ACB=90°,∴∠BAC=30°,∠FAC=60°﹣30°=30°。
∵DE=1,∴AE=2DE=2。
∵∠FAE=∠AFD=30°,∴EF=AE=2。故选B。
9. (2012贵州毕节3分)如图.在Rt△ABC中,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于D,E式垂足,连接CD,若BD=1,则AC的长是【 】
A.2 B.2 C.4 D.4
【答案】A。
【考点】线段垂直平分线的性质,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理。
【分析】∵∠A=30°,∠B=90°,∴∠ACB=180°-30°-90°=60°。
∵DE垂直平分斜边AC,∴AD=CD。∴∠A=∠ACD=30°。∴∠DCB=60°-30°=30°。
∵BD=1,∴CD=2=AD。∴AB=1+2=3。
在△BCD中,由勾股定理得:CB=。
在△ABC中,由勾股定理得:。故选A。
10. (2012广西河池3分)如图,在△ABC中,∠B=300,BC的垂直平分线交AB于E,垂足为D.若ED=5,
则CE的长为【 】
A.10 B.8 C.5 D.2.5
【答案】A。
【考点】线段垂直平分线的性质,含30度角的直角三角形的性质。
【分析】根据线段垂直平分线性质得出BE=CE,根据含30度角的直角三角形性质求出BE的长,即可求出CE长:
∵DE是线段BC的垂直平分线,∴BE=CE,∠BDE=90°。
∵∠B=30°,∴BE=2DE=2×5=10。∴CE=BE=10。故选A。
11. (2012广西来宾3分)已知三组数据:①2,3,4;②3,4,5;③1,,2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长,构成直角三角形的有【 】
A.② B.①② C.①③ D.②③
【答案】D。
【考点】勾股定理的逆定理。
【分析】根据勾股定理的逆定理,只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形,因此,对各选项逐一计算即可判断:
①∵22+32=13≠42,∴以2,3,4为长度的线段不能构成直角三角形,故不符合题意;
②∵32+42=52 ,∴以3,4,5为长度的线段能构成直角三角形,故符合题意;
③∵12+()2=22,∴以1,,2为长度的线段能构成直角三角形,故符合题意。
故构成直角三角形的有②③。故选D。
12. (2012吉林长春3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.D为边CA延长线上的一点,DE∥AB,
∠ADE=42°,则∠B的大小为【 】
(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°
【答案】C。
【考点】平行线的性质,直角三角形两锐角的关系.
【分析】∵DE∥AB,∠ADE=42°,∴∠CAB=∠ADE=42°。
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∴∠B=90°-∠CAB=90°-42°=48°。故选C。
二、填空题
1. (2012四川资阳3分)直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形的外接圆半径是 ▲ .
【答案】8或10。
【考点】三角形的外接圆与外心,勾股定理。
【分析】由勾股定理可知:
①当直角三角形的斜边长为16时,这个三角形的外接圆半径为8;
②当两条直角边长分别为16和12,则直角三角形的斜边长= ,因此这个三角形的外接圆半径为10。
综上所述:这个三角形的外接圆半径等于8或10。
2. (2012四川南充3分)如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是 ▲ cm.
【答案】4。
【考点】等腰直角三角形的性质,旋转的性质,勾股定理。
【分析】如图,将△ADC旋转至△ABE处,则△AEC的面积和四边形ABCD的面积一样多为24cm2,,这时三角形△AEC为等腰直角三角形,作边EC上的高AF,则AF=EC=FC,
∴ S△AEC= AF·EC=AF2=24 。∴AF2=24。
∴AC2=2AF2=48 AC=4。
3. (2012山东烟台3分)一副三角板叠在一起如图放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点M.如果∠ADF=100°,那么∠BMD为 ▲ 度.
【答案】85。
【考点】三角形内角和定理。
【分析】先根据∠ADF=100°求出∠MDB的度数,再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数即可:
∵∠ADF=100°,∠EDF=30°,∴∠MDB=180°﹣∠ADF﹣∠EDF=180°﹣100°﹣30°=50°。
∴∠BMD=180°﹣∠B﹣∠MDB=180°﹣45°﹣50°=85°。
4. (2012山东枣庄4分)如图所示,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=5,BC=8,则EF的长为 ▲ _.
【答案】。
【考点】三角形中位线的性质,直角三角形斜边上中线的性质。
【分析】由于DE为△ABC的中位线,BC=8,从而根据三角形中位线平行于第三边并且等于第三边一半的性质,得DE=4;又由于∠AFB=90°,点D为AB的中点,AB=5,从而根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质,得DF=。因此EF=DE-DF=4-=。
5. (2012广西柳州3分)一个圆锥形的漏斗,小李用三角板测得其高度的尺寸如图所示,那么漏斗的斜
壁AB的长度为 ▲ cm.
【答案】5。
【考点】勾股定理。
【分析】因为圆锥的底面半径、高及圆锥的母线构成直角三角形,所以根据题意知:圆锥的底面半径为3cm,
高为4cm,故圆锥的母线长(cm)。
6. (2012河北省3分)如图,AB、CD相交于点O,AC⊥CD于点C,若∠BOD=38°,则∠A= ▲ 。
【答案】520。
【考点】对顶角的性质,直角三角形两锐角的关系。
【分析】∵∠BOD与∠AOC是对顶角,∴∠AOC=,∠BOD=38°。
又∵在Rt△ACO中,两锐角互余,∴。
7. (2012新疆区5分)如图所示,分别以直角三角形的三边为直径作半圆,其中两个半圆的面积,S2=2π,则S3是 ▲ .
【答案】。
【考点】勾股定理。
【分析】如图,由圆的面积公式得,,
解得,。
根据勾股定理,得。
。
8. (2012甘肃白银4分)如图,由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形,连接小正方形的三个顶点,可得到△ABC,则△ABC中BC边上的高是 ▲ .
【答案】。
【考点】网格问题,勾股定理,割补法求面积。
【分析】求出△ABC的面积,再根据三角形的面积公式即可求得BC边上的高:
如图,根据正方形的性质,知面积①=面积②,面积③=面积④,从而得
△ABC的面积为一个半正方形的面积。
由勾股定理可得BC=,∴BC边上的高是。
9. (2012吉林省3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为
半径画弧,交AB于点D,则BD= _ ▲____.
【答案】2。
【考点】勾股定理,圆的性质。
【分析】∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB=。
∵以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,∴AD=AC=3。∴BD=AB-AD=5-3=2。
10. (2012青海省2分)如图,直线l1∥l2且l1,l2被直线l3所截,∠1=∠2=35°,∠P=90°,则∠3=
▲ 度.
【答案】55。
【考点】平行线的性质,直角三角形两锐角的关系。190187
【分析】如图,∵l1∥l2,∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°。
∵∠1=∠2=35°,∴∠3+∠4=110°。
∵∠P=90°,∠2=35°,∴∠4=90°﹣35°=55°。
∴∠3=110°﹣55°=55°。
11. (2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分)Rt△ABC中,∠A=900,BC=4,有一个内角为600,点P是直线AB上不同于A、B的一点,且∠ACP=300,则PB的长为 ▲ .
【答案】4或或。
【考点】含30度角的直角三角形性质,直角三角形两锐角的关系,等边三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,勾股定理。
【分析】分两种情况考虑:
当∠ABC=60°时,如图所示:
∵∠CAB=90°,∴∠BCA=30°。
又∵∠PCA=30°,∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°。
又∵∠ABC=60°,∴△PCB为等边三角形。
又∵BC=4,∴PB=4。
当∠ABC=30°时,
(i)当P在A的右边时,如图所示:
∵∠PCA=30°,∠ACB=60°,∴∠PCB=90°。
又∠B=30°,BC=4,
∴,即 。
(ii)当P在A的左边时,如图所示:
∵∠PCA=30°,∠ACB=60°,∴∠BCP=30°。
又∠B=30°,∴∠BCP=∠B。∴CP=BP。
在Rt△ABC中,∠B=30°,BC=4,∴AC=BC=2。
根据勾股定理得:,
∴AP=AB-PB=-PB。
在Rt△APC中,根据勾股定理得:AC2+AP2=CP2=BP2,即22+(-PB)2=BP2,
解得:BP=。
综上所述,BP的长为4或或。
三、解答题
1. (2012北京市5分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,∠BAC=900,∠CED=450,∠DCE=900,DE=,BE=2.求CD的长和四边形ABCD的面积.
【答案】解:过点D作DH⊥AC,
∵∠CED=45°,DH⊥EC,DE=,∴EH=DH=1。
又∵∠DCE=30°,∴DC=2,HC=。
∵∠AEB=45°,∠BAC=90°,BE=2,
∴AB=AE=2。∴AC=2+1+ =3+。
∴ 。
【考点】勾股定理,含30度角的直角三角形的性质,等腰直角三角形的性质,
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1,进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长,求出AC,AB的长即可得出四边形ABCD的面积。
2. (2012浙江绍兴12分)小明和同桌小聪在课后复习时,对课本“目标与评定”中的一道思考题,进行了认真的探索。
【思考题】如图,一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时B到墙C的距离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么点B将向外移动多少米?
(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整:
解:设点B将向外移动x米,即BB1=x,
则B1C=x+0.7,A1C=AC﹣AA1=
而A1B1=2.5,在Rt△A1B1C中,由得方程 ,
解方程得x1= ,x2= ,
∴点B将向外移动 米。
(2)解完“思考题”后,小聪提出了如下两个问题:
【问题一】在“思考题”中,将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”,那么该题的答案会是0.9米吗?为什么?
【问题二】在“思考题”中,梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离,有可能相等吗?为什么?
请你解答小聪提出的这两个问题。
【答案】解:(1);0.8,﹣2.2(舍去);0.8。
(2)①不会是0.9米,理由如下:
若AA1=BB1=0.9,则A1C=2.4﹣0.9=1.5,B1C=0.7+0.9=1.6,1.52+1.62=4.81,2.52=6.25,
∵,∴该题的答案不会是0.9米。
②有可能。理由如下:
设梯子顶端从A处下滑x米,点B向外也移动x米,
则有,解得:x=1.7或x=0(舍去)。