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  • 2021-05-10 发布

全国各地中考数学分类解析159套63专题专题39直角三角形与勾股定理

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‎2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题)‎ 专题39:直角三角形与勾股定理 今升数学工作室 编辑 一、选择题 ‎1. (2012广东广州3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是【 】‎ ‎  A.  B.  C.  D.‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】勾股定理,点到直线的距离,三角形的面积。‎ ‎【分析】根据题意画出相应的图形,如图所示。‎ 在Rt△ABC中,AC=9,BC=12,‎ 根据勾股定理得:。‎ 过C作CD⊥AB,交AB于点D,‎ 则由S△ABC=AC•BC=AB•CD,得。‎ ‎∴点C到AB的距离是。故选A。‎ ‎2. (2012浙江湖州3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,CD是AB边上的中线,则CD的长是【 】‎ A.20 B.‎10 ‎‎ C.5 D. ‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】直角三角形斜边上的中线性质。‎ ‎【分析】由直角三角形的性质知:斜边上的中线等于斜边的一半,即可求出CD的长:‎ ‎∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,CD是AB边上的中线,‎ ‎∴CD=AB=5。故选C。‎ ‎3. (2012浙江宁波3分)勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为【 】‎ ‎  A.90  B.‎100 ‎ C.110  D.121‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】勾股定理的证明。‎ ‎【分析】如图,延长AB交KF于点O,延长AC交GM于点P,‎ 所以,四边形AOLP是正方形,边长AO=AB+AC=3+4=7。‎ 所以,KL=3+7=10,LM=4+7=11,‎ 因此,矩形KLMJ的面积为10×11=110。故选C。‎ ‎4. (2012福建漳州4分)将一副直角三角板,按如图所示叠放在一起,则图中∠的度数是【 】‎ ‎ A.45o B.60o C.75o D.90o ‎【答案】 C。‎ ‎【考点】三角形的外角性质,直角三角形的性质。‎ ‎【分析】如图,∵∠1=90°-60°=30°,‎ ‎∴∠α=45°+30°=75°。故选C。‎ ‎5. (2012四川绵阳3分)已知△ABC中,∠C=90°,tanA=,D是AC上一点,∠CBD=∠A,则sin∠ABD=【 】。‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】勾股定理,锐角三角函数的定义。‎ ‎【分析】如图,作DE⊥AB于点E。‎ ‎∵∠CBD=∠A,∴。‎ 设CD=a,则BC=‎2a,AC=‎4a,AD=AC-CD=‎3a,‎ 在Rt△BCD中,。‎ 在Rt△ABC中,。‎ 在Rt△ADE中,设DE=x,则AE=2x,‎ ‎∵AE2+DE2=AD2,即x2+(2x)2=‎9a2,解得:x= ,即DE=。‎ 在Rt△BDE中,。故选A。‎ ‎6. (2012辽宁本溪3分)如图 在直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,DE是AB边的垂直平分线,垂足为D,交边BC于点E,连接AE,则△ACE的周长为【 】‎ A、16 B、‎15 ‎ C、14 D、13‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质,勾股定理。‎ ‎【分析】连接AE,‎ ‎∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,‎ ‎∴。‎ ‎∵DE是AB边的垂直平分线,∴AE=BE。‎ ‎∴△ACE的周长为:AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16。故选A。‎ ‎7. (2012辽宁营口3分)在Rt△ABC中,若∠C=,BC=6,AC=8,则A的值为【 】‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】勾股定理,锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】∵在Rt△ABC中,∠C=,BC=6,AC=8,‎ ‎ ∴根据勾股定理,得AB=10。‎ ‎    ∴A=。故选C。‎ ‎8. (2012贵州贵阳3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则EF的长是【 】‎ A.3 B.‎2 C. D.1‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质,含30度角的直角三角形的性质,等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】连接AF,‎ ‎∵DF是AB的垂直平分线,∴AF=BF。‎ ‎∵FD⊥AB,∴∠AFD=∠BFD=30°,∠B=∠FAB=90°﹣30°=60°。‎ ‎∵∠ACB=90°,∴∠BAC=30°,∠FAC=60°﹣30°=30°。‎ ‎∵DE=1,∴AE=2DE=2。‎ ‎∵∠FAE=∠AFD=30°,∴EF=AE=2。故选B。‎ ‎9. (2012贵州毕节3分)如图.在Rt△ABC中,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于D,E式垂足,连接CD,若BD=1,则AC的长是【 】 ‎ A.2 B‎.2 ‎‎ C.4 D.4‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理。‎ ‎【分析】∵∠A=30°,∠B=90°,∴∠ACB=180°-30°-90°=60°。‎ ‎∵DE垂直平分斜边AC,∴AD=CD。∴∠A=∠ACD=30°。∴∠DCB=60°-30°=30°。‎ ‎∵BD=1,∴CD=2=AD。∴AB=1+2=3。‎ 在△BCD中,由勾股定理得:CB=。‎ 在△ABC中,由勾股定理得:。故选A。‎ ‎10. (2012广西河池3分)如图,在△ABC中,∠B=300,BC的垂直平分线交AB于E,垂足为D.若ED=5,‎ 则CE的长为【 】‎ A.10 B.‎8 ‎‎ C.5 D.2.5‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质,含30度角的直角三角形的性质。‎ ‎【分析】根据线段垂直平分线性质得出BE=CE,根据含30度角的直角三角形性质求出BE的长,即可求出CE长:‎ ‎∵DE是线段BC的垂直平分线,∴BE=CE,∠BDE=90°。‎ ‎∵∠B=30°,∴BE=2DE=2×5=10。∴CE=BE=10。故选A。‎ ‎11. (2012广西来宾3分)已知三组数据:①2,3,4;②3,4,5;③1,,2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长,构成直角三角形的有【 】‎ A.② B.①② C.①③ D.②③‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】勾股定理的逆定理。‎ ‎【分析】根据勾股定理的逆定理,只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形,因此,对各选项逐一计算即可判断:‎ ‎ ①∵22+32=13≠42,∴以2,3,4为长度的线段不能构成直角三角形,故不符合题意;‎ ‎②∵32+42=52 ,∴以3,4,5为长度的线段能构成直角三角形,故符合题意;‎ ‎③∵12+()2=22,∴以1,,2为长度的线段能构成直角三角形,故符合题意。‎ 故构成直角三角形的有②③。故选D。‎ ‎12. (2012吉林长春3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.D为边CA延长线上的一点,DE∥AB,‎ ‎∠ADE=42°,则∠B的大小为【 】‎ ‎(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】平行线的性质,直角三角形两锐角的关系.‎ ‎【分析】∵DE∥AB,∠ADE=42°,∴∠CAB=∠ADE=42°。‎ ‎∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∴∠B=90°-∠CAB=90°-42°=48°。故选C。‎ 二、填空题 ‎1. (2012四川资阳3分)直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形的外接圆半径是 ▲ .‎ ‎【答案】8或10。‎ ‎【考点】三角形的外接圆与外心,勾股定理。‎ ‎【分析】由勾股定理可知:‎ ‎①当直角三角形的斜边长为16时,这个三角形的外接圆半径为8;‎ ‎②当两条直角边长分别为16和12,则直角三角形的斜边长= ,因此这个三角形的外接圆半径为10。‎ 综上所述:这个三角形的外接圆半径等于8或10。‎ ‎2. (2012四川南充3分)如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD的面积是‎24cm2.则AC长是 ▲ cm. ‎ ‎【答案】4。‎ ‎【考点】等腰直角三角形的性质,旋转的性质,勾股定理。‎ ‎【分析】如图,将△ADC旋转至△ABE处,则△AEC的面积和四边形ABCD的面积一样多为‎24cm2,,这时三角形△AEC为等腰直角三角形,作边EC上的高AF,则AF=EC=FC, ‎ ‎∴ S△AEC= AF·EC=AF2=24 。∴AF2=24。‎ ‎∴AC2=2AF2=‎48 AC=4。‎ ‎3. (2012山东烟台3分)一副三角板叠在一起如图放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点M.如果∠ADF=100°,那么∠BMD为  ▲  度.‎ ‎【答案】85。‎ ‎【考点】三角形内角和定理。‎ ‎【分析】先根据∠ADF=100°求出∠MDB的度数,再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数即可:‎ ‎∵∠ADF=100°,∠EDF=30°,∴∠MDB=180°﹣∠ADF﹣∠EDF=180°﹣100°﹣30°=50°。‎ ‎∴∠BMD=180°﹣∠B﹣∠MDB=180°﹣45°﹣50°=85°。‎ ‎4. (2012山东枣庄4分)如图所示,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=5,BC=8,则EF的长为 ▲ _.‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】三角形中位线的性质,直角三角形斜边上中线的性质。‎ ‎【分析】由于DE为△ABC的中位线,BC=8,从而根据三角形中位线平行于第三边并且等于第三边一半的性质,得DE=4;又由于∠AFB=90°,点D为AB的中点,AB=5,从而根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质,得DF=。因此EF=DE-DF=4-=。‎ ‎5. (2012广西柳州3分)一个圆锥形的漏斗,小李用三角板测得其高度的尺寸如图所示,那么漏斗的斜 壁AB的长度为 ▲ cm.‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】勾股定理。‎ ‎【分析】因为圆锥的底面半径、高及圆锥的母线构成直角三角形,所以根据题意知:圆锥的底面半径为‎3cm,‎ 高为‎4cm,故圆锥的母线长(cm)。‎ ‎6. (2012河北省3分)如图,AB、CD相交于点O,AC⊥CD于点C,若∠BOD=38°,则∠A= ▲ 。‎ ‎【答案】520。‎ ‎【考点】对顶角的性质,直角三角形两锐角的关系。‎ ‎【分析】∵∠BOD与∠AOC是对顶角,∴∠AOC=,∠BOD=38°。‎ 又∵在Rt△ACO中,两锐角互余,∴。‎ ‎7. (2012新疆区5分)如图所示,分别以直角三角形的三边为直径作半圆,其中两个半圆的面积,S2=2π,则S3是  ▲  .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】勾股定理。‎ ‎【分析】如图,由圆的面积公式得,,‎ ‎ 解得,。‎ ‎ 根据勾股定理,得。‎ ‎ 。‎ ‎8. (2012甘肃白银4分)如图,由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形,连接小正方形的三个顶点,可得到△ABC,则△ABC中BC边上的高是 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】网格问题,勾股定理,割补法求面积。‎ ‎【分析】求出△ABC的面积,再根据三角形的面积公式即可求得BC边上的高:‎ ‎ 如图,根据正方形的性质,知面积①=面积②,面积③=面积④,从而得 ‎△ABC的面积为一个半正方形的面积。‎ 由勾股定理可得BC=,∴BC边上的高是。‎ ‎9. (2012吉林省3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为 半径画弧,交AB于点D,则BD= _ ▲____.‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】勾股定理,圆的性质。‎ ‎【分析】∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB=。‎ ‎∵以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,∴AD=AC=3。∴BD=AB-AD=5-3=2。‎ ‎10. (2012青海省2分)如图,直线l1∥l2且l1,l2被直线l3所截,∠1=∠2=35°,∠P=90°,则∠3=‎ ‎ ▲ 度.‎ ‎【答案】55。‎ ‎【考点】平行线的性质,直角三角形两锐角的关系。190187‎ ‎【分析】如图,∵l1∥l2,∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°。‎ ‎ ∵∠1=∠2=35°,∴∠3+∠4=110°。‎ ‎∵∠P=90°,∠2=35°,∴∠4=90°﹣35°=55°。‎ ‎∴∠3=110°﹣55°=55°。 ‎ ‎11. (2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分)Rt△ABC中,∠A=900,BC=4,有一个内角为600,点P是直线AB上不同于A、B的一点,且∠ACP=300,则PB的长为 ▲ .‎ ‎【答案】4或或。‎ ‎【考点】含30度角的直角三角形性质,直角三角形两锐角的关系,等边三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,勾股定理。‎ ‎【分析】分两种情况考虑:‎ 当∠ABC=60°时,如图所示: ∵∠CAB=90°,∴∠BCA=30°。‎ 又∵∠PCA=30°,∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°。‎ 又∵∠ABC=60°,∴△PCB为等边三角形。‎ 又∵BC=4,∴PB=4。‎ 当∠ABC=30°时, ‎ ‎(i)当P在A的右边时,如图所示:‎ ‎∵∠PCA=30°,∠ACB=60°,∴∠PCB=90°。‎ 又∠B=30°,BC=4,‎ ‎∴,即 。‎ ‎(ii)当P在A的左边时,如图所示: ‎ ‎∵∠PCA=30°,∠ACB=60°,∴∠BCP=30°。‎ 又∠B=30°,∴∠BCP=∠B。∴CP=BP。‎ 在Rt△ABC中,∠B=30°,BC=4,∴AC=BC=2。‎ 根据勾股定理得:,‎ ‎∴AP=AB-PB=-PB。‎ 在Rt△APC中,根据勾股定理得:AC2+AP2=CP2=BP2,即22+(-PB)2=BP2,‎ 解得:BP=。‎ 综上所述,BP的长为4或或。‎ 三、解答题 ‎1. (2012北京市5分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,∠BAC=900,∠CED=450,∠DCE=900,DE=,BE=2.求CD的长和四边形ABCD的面积.‎ ‎【答案】解:过点D作DH⊥AC,‎ ‎∵∠CED=45°,DH⊥EC,DE=,∴EH=DH=1。‎ 又∵∠DCE=30°,∴DC=2,HC=。‎ ‎∵∠AEB=45°,∠BAC=90°,BE=2,‎ ‎∴AB=AE=2。∴AC=2+1+ =3+。‎ ‎∴ 。‎ ‎【考点】勾股定理,含30度角的直角三角形的性质,等腰直角三角形的性质,‎ ‎【分析】利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1,进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长,求出AC,AB的长即可得出四边形ABCD的面积。‎ ‎2. (2012浙江绍兴12分)小明和同桌小聪在课后复习时,对课本“目标与评定”中的一道思考题,进行了认真的探索。‎ ‎【思考题】如图,一架‎2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时B到墙C的距离为‎0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑‎0.4米,那么点B将向外移动多少米?‎ ‎(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整:‎ 解:设点B将向外移动x米,即BB1=x,‎ 则B‎1C=x+0.7,A‎1C=AC﹣AA1=‎ 而A1B1=2.5,在Rt△A1B‎1C中,由得方程 ,‎ 解方程得x1= ,x2= ,‎ ‎∴点B将向外移动 米。‎ ‎(2)解完“思考题”后,小聪提出了如下两个问题:‎ ‎【问题一】在“思考题”中,将“下滑‎0.4米”改为“下滑‎0.9米”,那么该题的答案会是‎0.9米吗?为什么?‎ ‎【问题二】在“思考题”中,梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离,有可能相等吗?为什么?‎ 请你解答小聪提出的这两个问题。‎ ‎【答案】解:(1);0.8,﹣2.2(舍去);0.8。‎ ‎(2)①不会是‎0.9米,理由如下:‎ 若AA1=BB1=0.9,则A‎1C=2.4﹣0.9=1.5,B‎1C=0.7+0.9=1.6,1.52+1.62=4.81,2.52=6.25,‎ ‎∵,∴该题的答案不会是‎0.9米。‎ ‎②有可能。理由如下:‎ 设梯子顶端从A处下滑x米,点B向外也移动x米,‎ 则有,解得:x=1.7或x=0(舍去)。‎