中考数学复习专题5平行线与三角形 525 10页

‎ 中考数学复习专题5平行线与三角形 平行线与三角形基础梳理：‎ ‎（一）平行线 1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2. 判定： （1） 同位角相等，两直线平行。 （2） 内错角相等，两直线平行。 （3） 同旁内角相等，两直线平行。 （4） 垂直于同一直线的两直线平行。 3. 性质： (1) 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 (2) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。 (3) 两直线平行，同位角相等。 (4) 两直线平行，内错角相等。 (5) 两直线平行，同旁内角互补。 ‎（二）三角形 4. 一般三角形的性质 (1) 角与角的关系： 三个内角的和等于180°； 一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。 (2) 边与边的关系： 三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 (3) 边与角的大小对应关系： 在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。 (4) 三角形的主要线段的性质(见下表)： 名称 基本性质 角平分线 三角形三条内角平分线相交于一点（内心）；内心到三角形三边距离相等；角平分线上任一点到角的两边距离相等。‎ 中线 三角形的三条中线相交于一点。‎ 高 三角形的三条高相交于一点。‎ 边的垂直平分线 三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）； 外心到三角形三个顶点的距离相等。‎ 中位线 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。‎ 5. 几种特殊三角形的特殊性质 (1) 等腰三角形的特殊性质： ‎①等腰三角形的两个底角相等； ‎②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。 (2) 等边三角形的特殊性质： ‎①等边三角形每个内角都等于60°； ‎②等边三角形外心、内心合一。 (1) 直角三角形的特殊性质： ‎①直角三角形的两个锐角互为余角； ‎②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ① 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和 ‎（其逆命题也成立）； ② 直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半； ‎⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 2. 三角形的面积 (1) 一般三角形：S △ = a h（ h 是a边上的高 ） (2) 直角三角形：S △ = a b = c h（a、b是直角边，c是斜边，h是斜边上的高） (3) 等边三角形： S △ = a 2（ a是边长 ） (4) 等底等高的三角形面积相等；等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比；等高的三角形的面积的比等于它们的相应的底的比。 全等三角形 ‎【课前热身】‎ 1． 如图1所示，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=____．‎ B A E F C D ‎ ‎ ‎（第1题） （第2题） （第3题）‎ ‎2．如图2，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）‎ A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去 ‎ ‎3．如图，已知AE∥BF, ∠E=∠F,要使△ADE≌△BCF,可添加的条件是________.‎ ‎4. 在⊿ABC和⊿A/B/C/中，AB=A/B/，∠A=∠A/，若证⊿ABC≌⊿A/B/C/还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（ ）‎ ‎ A. ∠B=∠B/ B. ∠C=∠C/ C.‎‎ ‎BC=B/C/ D. AC=A/C/‎ ‎【考点链接】‎ ‎1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形.‎ ‎2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.‎ ‎3. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________.‎ ‎4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等.‎ ‎【典例精析】‎ 例1 已知：在梯形ABCD中，AB//CD，E是BC的中点，直线AE与DC的延长线交于点F. ‎ 求证：AB=CF.‎ 例2 （06重庆）如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，‎ 且AE∥BC．求证：（1）△AEF≌△BCD； （2）EF∥CD．‎ ‎【中考演练】‎ ‎1.（08遵义）如图，，，，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. ( 08双柏) 如图，点在的平分线上，，则需添加的一个条件是 （只写一个即可，不添加辅助线）：‎ O E A B D C ‎（第1题） （第2题） （第3题）‎ A B C D F E ‎3. ( 08郴州) 如图，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若，则 __________度．‎ 4. ‎（08荆州）如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，‎ ‎ AE＝AD，DF⊥AE于F，连结DE，‎ ‎ 求证：DF＝DC．‎ ‎5. 如图，AB=AD，BC=DC，AC与BD交于点E，由这些条件你能推出哪些结论？‎ ‎（不再添加辅助线，不再标注其它字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论即可）‎ E B C D A ‎﹡C B O D A E 6. (08东莞) 如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小.‎ 相似三角形 ‎【课前热身】‎ ‎1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．‎ ‎2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________．‎ ‎3．如图，在△ABC中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎ ‎ ‎4．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件： ‎ ‎（1）；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．‎ 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（ ） ‎ ‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎【考点链接】‎ 一、相似三角形的定义 三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．‎ 二、相似三角形的判定方法 ‎1. 若DE∥BC（A型和X型）则______________．‎ ‎2. 射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）‎ 则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=___________，CD2=____________，BC2=_______ ____．‎ ‎ ‎ ‎3. 两个角对应相等的两个三角形__________．‎ ‎4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．‎ ‎5. 三边对应成比例的两个三角形___________．‎ 三、相似三角形的性质 ‎1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．‎ ‎2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．‎ ‎3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于________________． ‎ ‎【典例精析】‎ 例1 在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，AB=4，AC=3，DE=1，当DF等于多少时，这两个三角形相似．‎ ‎ ‎ 例1 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，‎ 要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶 点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？‎ 例3 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：‎3.5cm×‎3.5cm，放映的荧屏的规格为‎2m×‎2m，若放映机的光源距胶片‎35cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？‎ ‎【中考演练】‎ ‎1.（08大连）如图，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为______________．‎ ‎2. (08杭州) 在中, 为直角, 于点,, ‎ 写出其中的一对相似三角形是 _ 和 _ ； 并写出它的面积比_________.‎ ‎（第1题） （第2题） （第3题）‎ ‎3.( 08常州) 如图，在△ABC中,若DE∥BC,＝,DE＝‎4cm,则BC的长为 ( )‎ A‎.8cm B‎.12cm C‎.11cm D‎.10cm ‎4. （08无锡） 如图，已知是矩形的边上一点，于，‎ 试证明．‎ 锐角三角函数 ‎【课前热身】‎ ‎1．（06黑龙江）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则AC的长是（ ）‎ ‎ A． B．‎3 C． D．‎ ‎2．RtABC中，∠C=，∠A∶∠B=1∶2，则sinA的值（ ）‎ B(0,－4)‎ A(3,0)‎ ‎0‎ x y A． B． C． D．1‎ ‎3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），‎ 点B（0，－4），则 等于_______．‎ ‎4．=____________‎ α a b c ‎【考点链接】‎ ‎1．sinα，cosα，tanα定义 sinα＝______，cosα＝_______，tanα＝______ ．‎ ‎2．特殊角三角函数值 ‎30°‎ ‎45°‎ ‎60°‎ sinα cosα tanα cotα ‎【典例精析】‎ 例1 在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，求sinA，cosA，tanA． ‎ 例2 计算:．‎ 例3 等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，求底角∠B的四个三角函数值．‎ ‎ ‎ ‎【中考演练】‎ ‎1．(08威海) 在△ABC中，∠C ＝ 90°，tanA ＝，则sinB ＝( )‎ A．　　 B． C． D．‎ ‎2．若，则下列结论正确的为（ ）‎ A． 0°< ∠A < 30° B．30°< ∠A < 45°‎ C． 45°< ∠A < 60° D．60°< ∠A < 90°‎ ‎3. (08连云港) 在中，，，，则 ‎ ‎4.（07济宁） 计算的值是 ‎ ‎5. 已知 ‎ ‎6．△ABC中，若（sinA－）2＋|－cosB|＝0，求∠C的大小．‎ ‎﹡7.（07长春）图中有两个正方形，A，C两点在大正方形的对角线上‎_‎ E ‎_‎ A ‎_‎ F ‎_‎ D ‎_‎ C ‎_‎ B ‎_‎ O ‎_‎ H ‎_‎ G ，△HAC是等边三角形，若AB=2，求EF的长．‎ F A B C D E ‎﹡8.矩形ABCD中AB＝10，BC＝8， E为AD边上一点，沿BE将△BDE对折，点D正好落在AB边上，求 tan∠AFE．‎ 解直角三角形及其应用 ‎【课前热身】‎ ‎1．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为‎10米，则大树的高约为________米．（结果保留根号） 　　　　　 ‎ ‎2. 某坡面的坡度为1：，则坡角是_______度．‎ ‎3．(07山东)王英同学从A地沿北偏西60º方向走‎100m到B地，再从B地向正南方向走‎200m到C地，此时王英同学离A地 ( )‎ A．‎150m 　 　 B．m 　 C．‎100 m 　 D．m ‎【考点链接】‎ ‎1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些__________________________________叫做解直角三角形．‎ ‎2．解直角三角形的类型：‎ 已知____________；已知___________________． ‎ ‎3．如图（1）解直角三角形的公式： ‎ ‎（1）三边关系：__________________． ‎ ‎（2）角关系：∠A+∠B＝_____， ‎ ‎（3）边角关系：sinA=____，sinB=____，cosA=_____ ‎ cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____． ‎ ‎4．如图（2）仰角是____________,俯角是____________． ‎ ‎5．如图（3）方向角：OA：_____，OB：_______，OC：_______，OD：________．‎ ‎6．如图（4）坡度：AB的坡度iAB＝_______，∠α叫_____，tanα＝i＝____．‎ O A B C ‎ ‎ ‎（图2） （图3） （图4）‎ ‎【典例精析】‎ 例1　Rt的斜边AB＝5, ，求中的其他量.‎ 例2　(08十堰)　海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．‎ ‎【中考演练】‎ ‎1．在中，，AB＝5，AC＝4，则 sinA的值是_________.‎ ‎2．(乌兰察布)升国旗时，某同学站在离旗杆‎24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面‎1.2m，则旗杆高度约为_______.（取，结果精确到‎0.1m）‎ ‎3．（云南）已知：如图，在ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．‎ 求BC的长. (结果保留根号)‎ ‎﹡4．（06哈尔滨）如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB．（保留根号）‎