中考之圆综合题型 23页

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  • 2021-05-10 发布

中考之圆综合题型

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‎6.(2017武汉元调)如图,OA、OB、OC都是⊙O的半径,∠AOB=∠BOC.‎ ‎(1)求证:∠ACB=2∠BAC;‎ ‎(2)若AC平分∠OAB,求∠AOC的度数.‎ 解:(1)证明:在⊙O中,∵∠AOB=2∠ACB,∠BOC=2∠BAC,∵∠AOB=2∠BOC.∴∠ACB=2∠BAC.‎ ‎(2)解:设∠BAC=x°.∵AC平分∠OAB,∴∠OAB=2∠BAC=2x°,‎ ‎∵∠AOB=2∠ACB,∠ACB=2∠BAC,∴∠AOB=2∠ACB=4∠BAC=4x°,‎ 在△OAB中,∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°,∴4x+2x+2x=180,解得:x=22.5,‎ ‎∴∠AOC=6x°=135°.‎ ‎7.(2017武汉元调)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BD是角平分线,以点D为圆心,DA为半径的⊙D与AC相交于点E.‎ ‎(1)求证:BC是⊙D的切线;‎ ‎(2)若AB=5,BC=13,求CE的长.‎ 解:(1)证明:过点D作DF⊥BC于点F,‎ ‎∵∠BAD=90°,BD平分∠ABC,∴AD=DF.‎ ‎∵AD是⊙D的半径,DF⊥BC,∴BC是⊙D的切线;‎ ‎(2)解:∵∠BAC=90°.∴AB与⊙D相切,‎ ‎∵BC是⊙D的切线,∴AB=FB.‎ ‎∵AB=5,BC=13,∴CF=8,AC=12.‎ 在Rt△DFC中,设DF=DE=r,则r2+64=(12-r)2,解得:r=.∴CE=.‎ ‎13.(2016武汉元调)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D,AD交⊙O于点E.‎ ‎(1)求证:AC平分∠DAB;‎ ‎(2)连接CE,若CE=6,AC=8,直接写出⊙O直径的长.‎ ‎ ‎ 解:(1)证明:连接OC,∵CD是⊙O的切线,∴CD⊥OC,‎ 又∵CD⊥AD,∴AD∥OC,∴∠CAD=∠ACO,‎ ‎∵OA=OC,∴∠CAO=∠ACO,∴∠CAD=∠CAO,即AC平分∠DAB;‎ ‎(2)解:∵∠CAD=∠CAO,∴, ∴CE=BC=6,‎ ‎∵AB为直径,∴∠ACB=90°,由勾股定理得:AB=,‎ 即⊙O直径的长是10.‎ ‎【案例1】圆中的线段 ‎【真题呈现】‎ 如图,在⊙O中,弦AB、AC互相垂直,D、E分别为AB、AC的中点,则四边形OEAD为( C )‎ A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.直角梯形 ‎【真题解读】‎ 因为D、E分别为AB、AC的中点,根据平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,得OE⊥AC ,OD⊥AB.∵AB⊥AC,∴OEAD为矩形,故填C.‎ ‎【真题变式】‎ ‎1.如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于E,且AB⊥CD,AE=2,BE=6,CE=4,则⊙O的半径R= .‎ 解:过O作OG⊥CD于G,OF⊥AB于F,设DE=2x,CG==2+x,GE=2+x-2x=2-x,AF=FB=×(2+6)=4,∴EF=AF-AE=4-2=2,∴22+(2+x)2=OC2=OB2=(2-x)2+42,解得x=1.5,∴R=.‎ ‎ ‎ ‎2.如图,⊙O的半径R=6,点A、B、C在⊙O上,∠A=60°,求AB2+AC2-ABAC的值.‎ ‎ ‎ 解:延长CO交⊙O于D,连DB、CB,过C作CE⊥AB于E,∵=,∴∠D=∠A=60°,‎ ‎∵CD为直径,∴∠CBD=90°,∴BC=CD=×6×2=6,易得AE=,CE=AC,‎ ‎∵CE⊥AB,∴CE2+BE2=BC2,即+=,∴AB2+AC2-ABAC=108.‎ ‎3.如图,⊙O的半径R=6,点A、B、C在⊙O上,∠A=60°,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E.连DE,求DE的长.‎ C E O D A B ‎ ‎C E O D A B F 解:连OC、OB、BC,过O作OF⊥BC于F,∵∠A=60°.∴∠COB=2×60°=120°,‎ ‎∵OC=OB,∴∠OCB=30°.∵R=6,∴OF=3,CF=3.∴BC=2CF=6.‎ ‎∵OE⊥AC,OD⊥AB.∴D、E分别为AB、AC的中点.∴DE=BC=3.‎ ‎4.如图,⊙O的半径R=6,点A、B、C在⊙O上运动,保持∠A=60°,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,连DE,求四边形OEAD面积的最大值.‎ C E O D A B ‎ ‎C E O D A B 解:连OA、OC、OB、BC,易知DE=BC=×6=3.AO、DE的长度不变,当AO⊥DE时面积最大,∴S四边形OEAD=OA×DE=×6×3=9.‎ ‎5.如图,⊙O的半径R=6,点A、B、C在⊙O上运动,保持∠BAC=60°,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,连DE,则下列结论中,错误的是(B)‎ C E O D A B ‎ ‎C E O D A B A.弦BC的长为定值 B.四边形OEAD的面积为定值 C.线段DE的长为定值 D.四边形OEAD的面积有最大值 案例2 切线中常见基本图形 ‎[真题呈现]‎ 如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C的切线互相垂直,垂足为D,AD交⊙O于点E,连接AC.‎ ‎(1)求证:AC平分∠DAB;‎ ‎(2)若CE=6,AC=8,直接写出⊙O直径的长. ‎ C ‎ A ‎ E ‎ D ‎ O ‎ B ‎ ‎[真题解读]‎ ‎(1)遇切线连接切点和圆心,故连CO,则CO⊥CD.‎ ‎ ∵CO=AO,∴∠CAO=∠ACO.∵CO⊥CD,AD⊥CD,∴AD∥CO,∴∠ACO=∠DAC,∴∠DAC=∠CAO,即AC平分∠DAB.‎ ‎(2)用(1)的结论:∵AC平分∠DAB,∴CE=CB,∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∴AB==10.‎ ‎【真题变式】‎ ‎1.例题中在(2)的前提下:①CD=_________;②DE=____________.‎ ‎ 解:①过C作CF⊥AB于F,∵∠DAC=∠CAO,∴CD=CF,CF==4.8,∴DE==36;②易证△CDE≌△CFB,∴设DE=BF=x,∴62-x2=82-(10-x)2,解得x=3.6.‎ C ‎ A ‎ E ‎ D ‎ O ‎ B ‎ F ‎ ‎ ‎C ‎ A ‎ E ‎ D ‎ O ‎ B ‎ F ‎ ‎2.在例题条件下,已知CD=a,DE=b.求⊙O的半径R.‎ ‎ 解:连OC、BE相交于F,连CE,易证:△DCE≌△FBC.‎ 在△OFB中,OB2=OF2+BF2,∴(R-b)2+a2=R2,解得R=.‎ ‎3.在例题条件下,已知R=6,CE=2,则①R=___________,②CD=___________.‎ 解: ①R2-32=(2)2=(-3)2,解得R1=5,R2=-2(舍去).‎ ‎②CD==1.‎ ‎4.在例题条件下,延长AB,DC相交于F,若∠F=α,连接AC.‎ ‎(1)如图1,当α=30°时,=___________;‎ ‎(2)如图2,当α=45°时,=___________;+1‎ ‎(3)如图3,当α=60°时,=___________;+1‎ 案例3 图中几何变换 ‎【真题呈现】 ‎ 如图,△ABC是等边三角形,O为BC的中垂线AH上的动点,⊙O经过B,C两点,D为上一点,D,A两点在BC边异侧,连接AD,BD,CD.‎ ‎(1)如图1,若⊙O经过点A,求证:BD+CD= AD;‎ ‎(2)如图2,圆心O在BD上,若∠BAD= 45°,求∠ADB的度数;‎ ‎(3)如图 3,若 AH=OH,求证:BD2+CD2=AD2.‎ 图1 图2 图3‎ ‎【真题解读】‎ ‎(1)求证的是两条线段之和等于第三条线段,故考虑截长补短法,结合为等边三角形考虑旋转.‎ 方法一:延长BD到F,使DF=DC,再证△BCF ≌ △ACD;‎ 方法二:在AD上截取DG=DC,连接CG,先证△DCG为等边三角形,再证△ACG≌△BCD;‎ 方法三:此题也可作垂线,构造全等;过C作CM⊥AD于M,CN⊥BD于N.先证△ACM≌△BCN,再证△MCD≌△NCD.‎ ‎【解后反思】‎ 当△ABC为等边三角形时,,一般化,对于等腰△ABC不妨设AB=BC,且∠ABC=α,为多少呢?不妨先特殊化:α= 90°,60°, 120°,的值分别为,1,‎ ‎(2)几何直观可以猜想,△BCD为等腰直角三角形,但无法证明.看此问题添加了条件∠BAD=45‎ ‎°,联想到等腰直角三形,故设AD交⊙O于E,连接BE,则BE⊥ED,∴∠BAE=∠ABE=45°,则∠CAE=∠CBE=15°,∵,∴∠CBE=∠CDA=15°,∴∠CAE=∠CDA,∴ AC=CD=BC,∵BD为⊙O的直径,∴∠BCD=90°,∠CDB=45°,∴∠ADB=45°-15°=30°.‎ ‎【真题变式】‎ ‎1.如图,AB是⊙O的直径,C为圆上一点,△ACD为等边三角形,D在⊙O外,已知∠ADB=45°,⊙O的半径为4,则AD的长为 .‎ 解:①∠CDB=60°-45°=15°;‎ ‎ ②∠CBD=180°-60°-90°-15°=15°;‎ ‎③DC=CB=AC=AD;④AD=AC=4.‎ ‎2.如图,AB是⊙O的直径,C为圆上一点,△ACD为等边三角形,D在⊙O外,已知∠ABD=30°,则 的值为 .‎ 解:①设BD与⊙O相交于E,连接AE、EC,∵弧AE=弧AE,∴∠ACE=∠ABD=30°=∠DCE;②△DCE≌△ACE;③DE=AE;④=.‎ ‎【真题解读】‎ 第三问:看条件AH=OH,O为BC的中垂线AH上的动点,∴AO与BC相互垂直且平分,∴四边形ABOC为菱形.∴∠BOC=∠BAC=60°,∠BDC=∠BOC=30°,看结论:要证BD2+CD2=AD2,要用勾股定理解题,而30°+60°=90°,故以BD为边向外作等边三角形BED,于是思路找到:先证△ABD≌△CBE,得到AD=CE,在Rt△CED中,易得ED2+CD2=CE2,∴BD2+CD2=AD2.‎ ‎【真题变式】‎ ‎3.四边形ABCD中,∠BCD=30°,连BD、△ABD为等边三角形,△BCD的外接圆圆心为O,若⊙O的半径为8,则S△ABD= .16‎ ‎4.四边形ABCD中,∠BCD=30°,AC=6,AB=BD=AD,求△BCD的面积的最大值.‎ 解:以CD为边作等边△CDE,AD=BD,DC=DE,∠ADC=60°+∠BDC=∠BOE,∴△ADC≌△BDE,∴AC=BE.在△BCE中,BE2=BC2+CE2,即BC2+CD2=AC2=36≥2BC·CD,∴BC·CD≤18.5,S△BCD=BC·CD≤×18=.‎ ‎5.四边形ABCD中,AB=BC=AC,AC⊥CD,若∠ABD=45°,则∠ADB的度数为 .‎ ‎【提示】方法一:作AE⊥BD于E,以AD为直径作圆O,则点E、C都在圆O上,∵△ABC为等边三角形,∠ABD=45°,∴∠CBE=15°.∵∠AEB=90°,∴△ABE为等腰直角三角形,∴∠EAB=45°,∠EAC=15°,∴∠CDE=15°,∴△CBD为等腰三角形,∴△ACD为等腰直角三角形,∠ADB=30°.‎ 方法二:以C为圆心,CA为半径作⊙C,则⊙C过A、B两点,若D为⊙C外,设CD交⊙C于D`,则∠ABD`=∠ACD=45°,则D、D`重合,若D在⊙O内,设CD交⊙C于D`,连接BD`,则∠ABD`=∠ACD=45°,则D、D`重合,∴D在⊙O上,∵∠ACB=60°,∴∠ADB=∠ACB=30°.‎ ‎6.四边形ABCD中,AB=BC=CA,AC⊥CD,若∠ADB=30°,求∠ABD的度数.‎ A B C D 解:过A作AE⊥BD于E,以AD为直径作圆,则E、C在⊙O上,‎ 设∠ABD=x,则∠CBE=60°-x, ∠EAC=x-30°,‎ ‎∵∠ADB=30°,∴∠ACE=∠BCE=30°,EC= EC.‎ ‎∴△BCE≌△ACE,∴∠CBE=∠CAE,∴60°-x=x-30°,‎ ‎∴x=45°,即ABD=45°.‎ ‎7.四边形ABCD中,AB=AD=BD,∠BCD=30°,△BCD的面积为12,求线段AC长的最小值.‎ A B C D 解:以CD为边向外作等边三角形CDE.AD=BD,CD=DE,∠ADC=60°+∠BDC=∠BDE.‎ ‎∴△ADC≌△BDE,∴AC=BE,又在△BCE中,∠BCE=∠BCD+∠DCE=30°+60°=90°,‎ ‎∴AC=BE+CE=BC+CD.过D作DF⊥BC于F,则2DF=CD.‎ ‎∴S△BCD=BC·(CD)=BC·CD=12,∴BC·CD=48,‎ ‎∴AC=BC+CD≥2BC·CD=2×48=96,‎ ‎∴AC≥4,∴AC的最小值为4.‎ 案例4 圆与等腰三角形(1)‎ ‎【真题呈现】‎ 如图1,已知⊙O中,BC是直径,D点为OB上任意一点(异于O,B),过D点作AD⊥BC,交⊙O于A点,=,连接BF交AD于E点.‎ ‎(1)探究AE与BE的大小关系并证明你的结论;‎ ‎(2)当D为OC上任意一点(异于O,C),其他条件不变时,(1)中的结论是否仍然成立,画出图形并证明你的结论.‎ O B C F A D E G ‎(图3)‎ O B C A D F G E ‎(图2)‎ O B C A F D E G ‎(图1)‎ ‎【真题解读】‎ 第一问:从条件BC为直径,AD⊥BC可联想到垂径定理,故延长AD交⊙O于G,则=,‎ ‎∵=,∴==.从结论看到要探究AE与BE的大小,几何直观看AE=BE,故可连接AB.证∠ABE=∠BAE,显然,由=可得到结论,请规范表述:‎ 延长AD交⊙O于G,连接AB,直径BC⊥AG,∴=,‎ 又∵=,∴=.∴∠ABE=∠BAE.‎ 第二问:能否运用第一问的方法?故仍然延长AD交⊙O于G,连接AB,其实证法与上一问做法一模一样,请规范表述:同上.‎ ‎【解后反思】‎ 其实第二问作出图形有两种情况,请试一试,如图3,但做法仍与图2一样.(回归双基)‎ ‎【真题变式】‎ ‎1.(回归双基)如图2,若OD=5,AD=12,则EC=___________.‎ 解:连接OA,则OA==13,BD=5+13=18,设BE=AE=a,则DE=a-12,‎ 在Rt△BDE中,a=18+(a-12) ,解得a=.∴EG=2AD-AE=2×12-=.‎ ‎2.如图3,已知OB=5,CD=2,则EG=___________.‎ 解:CD=2,半径为5,从而OD=3,在Rt△ODG中,DG==4,‎ 设CE=x,则DE=4+x,BD=AE+8=8+x,‎ 在Rt△BDE中,8+(4+x)=(8+x),解得x=2.‎ ‎3.(回归双基)如图1,连AF、AC交BF于M,已知BD=4,DE=3,则 ‎(1)AF=___________;‎ ‎(2)BC=___________;‎ ‎(3)S△AMF=___________.‎ B O D A C F E M 解:(1)∵BD=4,DE=3,∴BE=5=AE,AF=AB=4;‎ ‎(2)连接OA交BF于点N,由圆的对称性知OA⊥BF,则△BDE≌△ANE;‎ ‎∴AN=4,EN=3,设圆的半径为r,(r-4)+8=r,解得r=10,BC=20;‎ ‎(3)易知ON=CF=10-4=6,∴CF=12,BF=16,由=,∴AC平分∠BCF,‎ 则===,∴MF=BF=×6,S△AMF=MF·AN=×6×4=12.‎ 案例5 圆与等腰三角形(2)‎ ‎【真题呈现】‎ 小明学习了垂径定理,做了下面的探究,根据题目要求帮小明完成探究.‎ ‎(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图1,在⊙O中,C是的中点,直线CD⊥AB于点E,则AE=BE.请证明此结论;‎ ‎(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线,成为该圆的一条折弦.如图2,PA,PB组成⊙O的一条折弦.C是劣弧的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE=PE+PB.请证明此结论;‎ ‎(3)如图3,PA、PB组成⊙O的一条折弦,若C是优弧的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE,PE与PB之间存在怎样的数量关系?写出并证明你的结论.‎ C F A D B P O E ‎(图3)‎ A C P B D O E F ‎(图2)‎ O A C D B E ‎(图1)‎ ‎【真题解读】‎ 第一问:证△OAE≌△OBE即可;‎ 第二问:∵=,∴AC=BC,∵=,∴∠CAP=∠CBP,再从结论AE=PE+PB,可考虑截长法,即在AP上取AF=BP,再证EF=EP即可;‎ 第三问:用第二问的方法,可考虑补短法,即在PA的延长线上截取AF=BP,连接CF、AC、CP、CB,先证△AFC≌△BPC;再证EF=EP即可.‎ 解:(1)略;‎ ‎(2)连接AC,BC.∵C为AB的中点,∴AC=BC,∵=,∴∠CAP=∠CBP,‎ 在AP上截取AF=BP,连接CF、CP,∴△AFC≌△BPC,∴CF=CP,‎ ‎∵CE⊥AP,∴EF=EP,∴AE=AF+EF=BP+EF,即AE=PE+PB;‎ ‎(3)PE=AE+PB.证明:∵C是的中点,∴AC=BC,‎ 延长PA到F使AF=BP,连CF、CA、CP、CB,‎ ‎∵∠CAP+∠B=180°,∴∠FAC+∠CAP=180°,∴∠B=∠FAC,‎ ‎∴△FAC≌△PBC,∴CF=CP,‎ ‎∵CD⊥AP,∴PE=EF,∴PE=AE+AF=AE+PB.‎ ‎【解后反思】‎ 从条件看弧的中点可得到等弧,运用旋转可完成一些图形的变换.在运用旋转时,等角、等边是关键,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角也是常见旋转的工具.‎ ‎【真题变式】‎ ‎1.BC为⊙O内一弦,A为优弧的中点,D为劣弧上任意一点,过A作AE⊥BD于E,AF⊥CD于F,则下列结论正确的有____________(填序号).‎ ‎①∠ABD=∠ACD,②∠EAF=∠BAC,③∠BAC=2∠DEF,④=2.‎ E A B C O D F ‎【提示】∵=,∴∠ABD=∠ACD,故①对;‎ ‎∵AE⊥BD,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFC=90°,∵A为的中点,‎ ‎∴AB=AC,∴△ABE≌△ACF,∴∠EAB=∠FAC,‎ ‎∴∠EAF=∠BAC,故②对;‎ ‎∵△ABE≌△ACF,∴AE=AF,连AD,则△AED≌△AFD,DE=DF,‎ ‎∴∠DEF=∠DFE,∠BDC=∠DEF+∠DFE=2∠DEF.‎ ‎∵=,∴∠BAC=∠BDC=2∠DEF,故③对;‎ ‎∵△ABE≌△ACF,∴BE=CF.∵△AED≌△AFD,∴DE=DF,‎ ‎∴====2,故④对;‎ 故填①②③④.‎ ‎2.如图,在⊙O中,直径AB⊥弦CD,点P是上任一点,作AM⊥DP延长线于M,则=____.‎ A B C D P O M N ‎【提示】连接AD、AC,过A作AN⊥CP于N.‎ ‎∵直径AB⊥CD,∴=,∴AC=AD.‎ ‎∵=,∠ACP=∠ADP,AM⊥MD,AN⊥CP,‎ ‎∴△AMD≌△ANC,∴DM=CN,AM=AN,∵AP=AP,‎ ‎∴△AMP≌△ANP,∴MP=PN,‎ ‎∴====2.‎ ‎3.如图,已知等边△ABC内接于⊙O,AB=2,点D为弧AC上一点,∠ABD=45°,AE⊥BD于点E,则△BDE的周长是________.‎ A B C D O E ‎【提示】运用真题结论:BE=ED+CD,∴△BDC的周长=BC+BD+CD=BC+BE+ED+CD=BC+2BE=2+2×AB=2+2.‎ 案例6 看不见的圆——路径问题 ‎【真题呈现】‎ 如图,扇形OAB的圆心角的度数为120°,半径长为4,P为上的动点,PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为M、N,D是△PMN的外心.当点P运动的过程中,点M、N分别在半径上作相应运动,从点N 离开点O时起,到点M到达点O时止,点D运动的路径长为 ( )‎ A O B P M N D A.π B.π C.2 D.2 ‎ 【真题解读】‎ ‎①当点N与点O重合时,作出△P1M1O,外心D1为P1O的中点.‎ ‎②当点M与点O重合时,作出△P2M2O,外心D2为P2O的中点.‎ ‎③当P在上运动时,取OP中点为D,则于是DM=DN=DP,‎ 从而点D为△PMN的外心.‎ ‎④点P运动时,OP=4,从而DO=2,点D在以O为圆心半径为2的上运动从而所求得的路径长即为的长.又的圆心角为∠D1OD2=60°,从而弧长为,故选择A.‎ ‎【真题分解】‎ ‎1.如图,扇形AOB的半径为R,P为上的动点,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,△PMN外接圆半径为r.则的值 .‎ 解:连OP,取OP中点Q,由题意可知OQ=QP=QM=QN.从而点M、O、N、P在以Q为圆心,OQ长为半径的圆上.于是△PMN的外接圆为⊙Q,从而r=OQ,R=OP,于是 ‎2.如图,扇形AOB的圆心角的度数为120°,半径长为6,P为上的动点,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N.则线段MN的长为 . ‎ 解:连OP,由∠OMP=90°,∠ONP=90°知M、N在以OP为直径的圆上,则∠MPN=60°,设OP的中点为Q,从而∠MQN=120°.由于OA=6,从而OP=6,QM=QN=3,有垂径定理可知 ‎3.如图,扇形AOB的圆心角的度数为120°,半径长为8,P为上的动点,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N.则四边形PMON的最大值为 . ‎ 解:连OP、MN,运用上一题的方法,由OA=8,可知OP=8.由∠AOB=120°,可知,于是 ‎4.(武汉四调)如图,直径AB、CD的夹角为60°,P为⊙O上的一个动点(不与点A,B,C,D重合),PM、PN分别垂直于CD,AB,垂足分别为M、N.若⊙O的半径长为2,则MN的长( B ) ‎ A.随P点运动而变化,最大值为 B.等于 C.随P点运动而变化,最小值为 D.随P点运动而变化,没有最值 ‎【真题变式】‎ ‎1.如图,四边形ABCD为正方形,边长为,E在CD边上,CE=,点P在线段CE上运动,DH⊥直线BP于H.当点P从C运动到E时,求点H运动的路径长为 .‎ 解:以BD为直径画圆,圆心为O,由,知直径DB=6,从而半径为R=3,连BE,延长后交⊙O于F,则点H的运动轨迹为弧CF,又,∴∠EBC=30°,于是∠FOC=2∠EBC=60°,从而弧CF的长为 ‎2.已知半圆O的直径AB长为8,点C在上,且=2,点P在上运动,Q为弦AP的中点.当点P从B运动到C时,点Q运动的路径长为 .‎ 解:连AC,取AC中点D,取AO中点E,连DE,则∠ADO=90°,以E为圆心,ED为半径,在直线AB上方画圆,可知点Q的轨迹为弧DO,由于,从而∠BOC=120°.由DE∥OC知∠DEO=120°,又AB=8,从而AO=4,于是OE=2,于是弧DO的长为.‎ ‎3.如图所示,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,E为OB的中点,BE=,点P在上运动,连AP,DF⊥AP于F,当点P从C运动到点B时,则点F的运动路径的长为 .‎ 解:由知,,从而,,连AD、AC,从而,AC=6,可知△ACD为等边三角形,取AD中点为M,AC中点为G,以M为圆心,3为半径作圆M,则点F在M上运动,当P在C点时,F在G点,当P在B时,F在点E;当P在弧CB上运动时,F在弧GE上运动,所求路径长为弧GE的长,又可知∠GME=60°,从而弧GE的长为 ‎4.如图所示,⊙O的半径为6,弦AB//CD,且AB=,CD=,点P在上运动,连PA、PB,BE⊥PA于E,AF⊥PB于F,BE交AF于G,当点P从C运动到D时,求点G运动路径的长.‎ 解:有R=6,,,可知圆心角∠AOB=120°,∠COD=120°,从而∠APB=60°,于是∠AGB=120°,当P在C点时,G在A点,当P在D点时,G在B点,做弧AB关于直线AB的对称图形,得弧AOB,当P在弧CD上运动时,G在弧AOB上运动,从而弧AOB的长=弧AB 的长=‎ ‎5.如图所示,⊙O的直径AB长为,点C、D在上,==,点P在上运动,连PA、PB,I为△PAB的内心,当点P从C运动到D时,则点I运动路径的长为 .‎ 解:连AI、IB,则∠AIB=135°,取下半圆弧AB的中点Q,Q与P在直线AB异侧,则QA=6,QB=6,QI=6,连QC、QD,则∠COD=60°,∠CQD=30°,以Q为圆心,6为半径,作圆Q,设圆Q与QC交于M,与QD交于N,当P在C点时,I在点M,当P在D点时,I在N,当P在弧CD,I在弧MN,从而点I运动的路径长为 ‎6.如图所示,△BAC中,∠BAC=120°,AB=AC,点D在BC边上,BD=2DC.点P在线段BD上运动,△APC的外接圆的圆心为O,当点P从B运动到D时,则点O运动路径的长为 .‎ 解:由题意可知,,BD=4,,.作线段AC的垂直平分线,则△APC外接圆的圆心在直线上运动,过点A作BC的垂线与交于M,作AD的垂直平分线交于N,当P在B点时,O在M点,当P在D点时,O在N点;点P从B运动到D时,点O从M运动到N,所求路径MN的长为4.‎ ‎7.如图所示,平面直角坐标系中,点A(0,2),B(-2,0),C(6,0),点P在x轴正半轴上运动.以AP为直角边作等腰直角三角形,∠APQ=90°,M为BQ的中点,点Q与B在直线AP异侧,当点P从原点O出发运动到C时,则点M运动路径的长为 .‎ 解:设P为(t,0),则Q为(2+t,t),从而M为,点M在直线上,当P在O点时,,M为(0,0);当P在C时,t=6,M为(3,3),从而点M运动路径长为.‎ 案例7 几何定值问题 ‎【真题呈现】‎ 如图,扇形AOD中,∠AOD=90°,OA=6,点P为上任意一点(不与点A和D重合),PQ⊥OD于Q,点I为△OPQ的内心,过O,I和D三点的圆的半径为. 则当点P在上运动时,的值满足( D )‎ A. B. C. D.‎ ‎【真题解读】‎ ‎ 分析四个选项,我们看到B和D意味着r为定值,我们作出△OID的外接圆⊙E,又作出直径DF,此时∠DOF=90°,由OA=6,知OD=6,从而r为定值等价于∠F为定角,由于圆内接四边形OFDI中,∠F+∠OID=180°,这要求∠OID为定角,我们注意到△OIP和△OID关于OI轴对称,从而要求∠OIP为定角,这一点恰好成立,易知∠OIP=135°,详细推理过程,请同学们自己给出.‎ 由∠OQP=90°,可知∠OIP=135°,从而∠OID=135°,于是∠OFD=180°-∠OID=45°,‎ 从而△OFD为等腰直角三角形,于是,又,从而,故而选择D.‎ ‎【解后反思】‎ ‎ 如图△ABP中,AB为定长线段,P为动点,若保持∠APB=θ(为定角),则△APB的外接圆半径R为定值.这个结论,我们称为“定线定角定半径”.‎ ‎【真题分解】‎ ‎1.△ABC中,I为内心,∠BAC=a,则∠BIC= (用含a的式子表示).‎ 解:,从而,‎ 于是,‎ 从而 ‎2.如图,四边形ABCD,内接于⊙O,CD为直径,∠BAD=135°,AB=,AD=1,则CD= .‎ 解:作BE⊥直线AD于E,连BD,由∠BAD=135°,知△BEA和△BCD为等腰直角三角形,由AB=知AE=3,BE=3,又AD=1,从而ED=EA+AD=4,于是Rt△BED中,,Rt△BCD中,.‎ ‎3.△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,I为△ABC的内心,求△IBC的外接圆的半径.‎ 解:由题1中结论知,∠BIC=135°,由AB=6,AC=8,∠A=90°,知,作出△BIC的外接圆O,又作出直径CD,连BD,从而∠BDC=45°,△BDC为等腰直角三角形,于是,从而△IBC的外接圆的半径为.‎ ‎4.如图,△ABC中,∠BAC=60°, AB=2,AC=,I为△ABC的内心,则△IBC的外接圆的半径R=________.‎ 解:由∠BAC=60°知,∠BIC=120°,作CE⊥AB于E,又作出△IBC的外接圆⊙O,再作出直径CD,连BD,△AEC中,AC=,AE=,EC=,从而BE=AB-AE=,于是BC==3,△BDC中,∠D=60°,∠BCD=30°,从而DC=2R,BD=R,于是BC=R,从而R=3,R=.‎ ‎5.如图,扇形AOB中,∠AOA=30°,AC⊥OB于C,△AOC的内心为I,以I,O,B为顶点的三角形的外接圆直径为8,则AC的长为________.‎ 解:由∠ACO=90°,可知∠AIO=135°,易知△AIO≌△BIO,从而∠BIO=135°,作出△BIO的外接圆⊙E,又作⊙E的直径BD,连OD,∠D=180°-∠BIO=45°,从而,BOD为等腰直角三角形,于是BD=BO,从而BO=4,△AOC中,AC=AO=BO=2.‎ ‎【真题变式】‎ ‎1.(回归教材)如图,点P在线段AB上运动,△APM和△PBN为等边三角形,点M,N在直线AB同侧,AN和BM相交于点H,已知AB=3,△AHB外接圆半径为R,求R的值.‎ 解:先证△APN≌△MPB,由此可知∠AHB=120°,‎ 作出△AHB的外接圆O,又作出直径BC,连AC,‎ 则∠ACB=60°,∠ABC=30°,从而BC=2R,AC=R,‎ 于是ABC△中,R2+(3)2=(2R)2,从而R=3.‎ ‎2.如图,点P在线段AB上运动,△APM和△PBN为等边三角形,点M,N在直线AB同侧,AN和BM相交于点H,已知AB=6,求△AHB的面积的最大值.‎ 解:与上题相同的辅助线,可求出△AHB的外接圆半径R=2,‎ 点H的运动轨迹为劣弧AB(去掉A、B两端点),易知当H为弧AB的中点时,‎ ‎△AHB的面积最大,此时S△AHB=×6×=3.‎ ‎3.如图,线段AB长为8,点P在AB上运动,以AP为直径作⊙O,BD⊥AB,且BD=BP,AD交⊙O于点E,求△ABE外接圆半径R的长.‎ 解:连PE、PD,从而∠AEP=90°,于是B、E在以PD为直径的圆上,作出此圆,‎ 从而=,∠BPD=∠BDP=45°,于是∠AEB=135°,再作出△AEB的外接圆F,‎ 又作出F的直径AG,从而AG=AB=8,又AG=2R,于是R=4.‎ 案例8 几何最值问题 ‎【真题呈现】‎ 如图,在⊙O中,弦AD等于半径,B为优弧上的一动点,等腰△ABC的底边所在直线经过点D,若⊙O的半径等于1,则OC的长不可能为(  )A A.2- B.-1 C.2 D.+1‎ ‎【真题解读】‎ 连AO,DO,则△AOD为等边三角形,从而∠AOD=60°,于是∠ABD=30°,∠ACB=30°,此时,△ACD中,AD为定线段,C为动点,而∠ACD为定角.作出△ACD的外接圆⊙M,则∠AMD=2∠ACD=60°,可知△AMD为等边三角形,从而⊙M的半径r=1,OM的长d=,于是d-r≤OC≤d+r,即-1≤OC≤+1,故选A.‎ ‎【解后反思】‎ 动点P对定线段AB的张角∠APB为定角,则△APB的外接圆⊙O为定圆,‎ 若∠APB=α,则∠AOB=2α,∠OAB=∠OBA=90°-α,从而△AOB为定三角形.‎ ‎【真题分解】‎ ‎1.同例题条件,设∠ADB=θ,请同学个在以下条件中,分别求出OC的长.‎ ‎(1)如图1,θ=90°,OC=________;‎ ‎(2)如图2,θ=60°,OC=________;‎ ‎(3)如图3,θ=30°,此时C与D重合,OC=________;‎ ‎(4)如图4,θ=105°,OC=________;‎ ‎(5)如图5,θ=15°,OC=________;‎ 解:(1)作OE⊥BD于E,则OE=,CE=,从而OC==;‎ ‎(2)OC=2;(3)OC=1;(4)OC=+1;(5)OC=-1.‎ ‎【真题变式】‎ ‎1.AB是⊙O的直径, 点P在上运动,以PB为边向外作等边△PBQ,点Q与O在直线PB异侧.已知AB=6,求OQ长的最大值.‎ 解:连PO,以PO为边作等边三角形△POC,其中C与Q在直线PO异侧,连BC,则△POQ≌△PCB,从而OQ=BC≤OC+OB=3+3=6,当∠POB=120°时,OQ=6.‎ ‎2.如图,AB是⊙O的直径,点C在AB上,且AC=3CB,点P在上运动,且不与A、B重合.以PC为边向外作等边△PCQ,点Q与O在直线PC异侧,已知⊙O的半径为6,求OQ长的最大值.‎ 解:连PO,以PO为边作正三角形△POD,其中D与Q在直线PO异侧,连DC,则△POQ≌△PDC,由⊙O半径为6知AB=12,从而CB=3,OC=3,于是OQ=DC≤OD+OC=OP+OC=6+3=9,当∠POC=120°时,OQ最大=9.‎ ‎3.△ABC中,AB=AC,AB⊥AC,点D在CA边上运动,点E在AB边上运动,保持CD=AE,AF⊥DE于F,交BC于G,若BC=8,求四边形AEGD面积的最小值.‎ 解:延长DA到H,使AH=AE,连接HE,则DH=AD+AH=AD+AE=AD+DC=AC=AB,从而△ABG≌△DHE,于是AG=DE,又BC=8,从而AB=8,A C=8,设A E=x,则CD=x,A D=8-x,于是D E2=A E2+A D2=x 2+(8-x)2=2 x 2-16 x+64=2(x-4)2+32,从而有S四边形A E G D=AG·DE= D E2=(x-4)2+16,当x=4时,四边形取最小值16.‎