中考之圆综合题型 23页

‎6．（2017武汉元调）如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝∠BOC．‎ ‎（1）求证：∠ACB＝2∠BAC；‎ ‎（2）若AC平分∠OAB，求∠AOC的度数．‎ 解：（1）证明：在⊙O中，∵∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，∵∠AOB＝2∠BOC．∴∠ACB＝2∠BAC．‎ ‎（2）解：设∠BAC＝x°．∵AC平分∠OAB，∴∠OAB＝2∠BAC＝2x°，‎ ‎∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝2∠BAC，∴∠AOB＝2∠ACB＝4∠BAC＝4x°，‎ 在△OAB中，∠AOB＋∠OAB＋∠OBA＝180°，∴4x＋2x＋2x＝180，解得：x＝22．5，‎ ‎∴∠AOC＝6x°＝135°．‎ ‎7．（2017武汉元调）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E．‎ ‎（1）求证：BC是⊙D的切线；‎ ‎（2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长．‎ 解：（1）证明：过点D作DF⊥BC于点F，‎ ‎∵∠BAD＝90°，BD平分∠ABC，∴AD＝DF．‎ ‎∵AD是⊙D的半径，DF⊥BC，∴BC是⊙D的切线；‎ ‎（2）解：∵∠BAC＝90°．∴AB与⊙D相切，‎ ‎∵BC是⊙D的切线，∴AB＝FB．‎ ‎∵AB＝5，BC＝13，∴CF＝8，AC＝12．‎ 在Rt△DFC中，设DF＝DE＝r，则r2＋64＝（12－r）2，解得：r＝．∴CE＝．‎ ‎13．（2016武汉元调）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．‎ ‎（1）求证：AC平分∠DAB；‎ ‎（2）连接CE，若CE＝6，AC＝8，直接写出⊙O直径的长．‎ ‎ ‎ 解：（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，‎ 又∵CD⊥AD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠ACO，‎ ‎∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，即AC平分∠DAB；‎ ‎（2）解：∵∠CAD＝∠CAO，∴， ∴CE＝BC＝6，‎ ‎∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB＝，‎ 即⊙O直径的长是10．‎ ‎【案例1】圆中的线段 ‎【真题呈现】‎ 如图，在⊙O中，弦AB、AC互相垂直，D、E分别为AB、AC的中点，则四边形OEAD为（ C ）‎ A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 ‎【真题解读】‎ 因为D、E分别为AB、AC的中点，根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，得OE⊥AC ，OD⊥AB．∵AB⊥AC，∴OEAD为矩形，故填C．‎ ‎【真题变式】‎ ‎1．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于E，且AB⊥CD，AE＝2，BE＝6，CE＝4，则⊙O的半径R＝ ．‎ 解：过O作OG⊥CD于G，OF⊥AB于F，设DE＝2x，CG＝＝2＋x，GE＝2＋x－2x＝2－x，AF＝FB＝×(2＋6)＝4，∴EF＝AF－AE＝4－2＝2，∴22＋(2＋x)2＝OC2＝OB2＝(2－x)2＋42，解得x＝1．5，∴R＝．‎ ‎ ‎ ‎2．如图，⊙O的半径R＝6，点A、B、C在⊙O上，∠A＝60°，求AB2＋AC2－ABAC的值．‎ ‎ ‎ 解：延长CO交⊙O于D，连DB、CB，过C作CE⊥AB于E，∵＝，∴∠D＝∠A＝60°，‎ ‎∵CD为直径，∴∠CBD＝90°，∴BC＝CD＝×6×2＝6，易得AE＝，CE＝AC，‎ ‎∵CE⊥AB，∴CE2＋BE2＝BC2，即＋＝，∴AB2＋AC2－ABAC＝108．‎ ‎3．如图，⊙O的半径R＝6，点A、B、C在⊙O上，∠A＝60°，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．连DE，求DE的长．‎ C E O D A B ‎ ‎C E O D A B F 解：连OC、OB、BC，过O作OF⊥BC于F，∵∠A＝60°．∴∠COB＝2×60°＝120°，‎ ‎∵OC＝OB，∴∠OCB＝30°．∵R＝6，∴OF＝3，CF＝3．∴BC＝2CF＝6．‎ ‎∵OE⊥AC，OD⊥AB．∴D、E分别为AB、AC的中点．∴DE＝BC＝3．‎ ‎4．如图，⊙O的半径R＝6，点A、B、C在⊙O上运动，保持∠A＝60°，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，连DE，求四边形OEAD面积的最大值．‎ C E O D A B ‎ ‎C E O D A B 解：连OA、OC、OB、BC，易知DE＝BC＝×6＝3．AO、DE的长度不变，当AO⊥DE时面积最大，∴S四边形OEAD＝OA×DE＝×6×3＝9．‎ ‎5．如图，⊙O的半径R＝6，点A、B、C在⊙O上运动，保持∠BAC＝60°，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，连DE，则下列结论中，错误的是(B)‎ C E O D A B ‎ ‎C E O D A B A．弦BC的长为定值 B．四边形OEAD的面积为定值 C．线段DE的长为定值 D．四边形OEAD的面积有最大值 案例2 切线中常见基本图形 ‎[真题呈现]‎ 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接AC．‎ ‎（1）求证：AC平分∠DAB；‎ ‎（2）若CE＝6，AC＝8，直接写出⊙O直径的长． ‎ C ‎ A ‎ E ‎ D ‎ O ‎ B ‎ ‎[真题解读]‎ ‎（1）遇切线连接切点和圆心，故连CO，则CO⊥CD．‎ ‎ ∵CO＝AO，∴∠CAO＝∠ACO．∵CO⊥CD，AD⊥CD，∴AD∥CO，∴∠ACO＝∠DAC，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB．‎ ‎（2）用（1）的结论：∵AC平分∠DAB，∴CE＝CB，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝10．‎ ‎【真题变式】‎ ‎1．例题中在（2）的前提下：①CD＝_________；②DE＝____________．‎ ‎ 解：①过C作CF⊥AB于F，∵∠DAC＝∠CAO，∴CD＝CF，CF＝＝4．8，∴DE＝＝36；②易证△CDE≌△CFB，∴设DE＝BF＝x，∴62－x2＝82－(10－x)2，解得x＝3．6．‎ C ‎ A ‎ E ‎ D ‎ O ‎ B ‎ F ‎ ‎ ‎C ‎ A ‎ E ‎ D ‎ O ‎ B ‎ F ‎ ‎2．在例题条件下，已知CD＝a，DE＝b．求⊙O的半径R．‎ ‎ 解：连OC、BE相交于F，连CE，易证：△DCE≌△FBC．‎ 在△OFB中，OB2＝OF2＋BF2，∴(R－b)2＋a2＝R2，解得R＝．‎ ‎3．在例题条件下，已知R＝6，CE＝2，则①R＝___________，②CD＝___________．‎ 解： ①R2－32＝（2）2＝（－3）2，解得R1＝5，R2＝－2（舍去）．‎ ‎②CD＝＝1．‎ ‎4．在例题条件下，延长AB，DC相交于F，若∠F＝α，连接AC．‎ ‎（1）如图1，当α＝30°时，＝___________；‎ ‎（2）如图2，当α＝45°时，＝___________；＋1‎ ‎（3）如图3，当α＝60°时，＝___________；＋1‎ 案例3 图中几何变换 ‎【真题呈现】 ‎ 如图，△ABC是等边三角形，O为BC的中垂线AH上的动点，⊙O经过B，C两点，D为上一点，D，A两点在BC边异侧，连接AD，BD，CD．‎ ‎（1）如图1，若⊙O经过点A，求证：BD＋CD＝ AD；‎ ‎（2）如图2，圆心O在BD上，若∠BAD＝ 45°，求∠ADB的度数；‎ ‎（3）如图 3，若 AH＝OH，求证：BD2＋CD2＝AD2．‎ 图1 图2 图3‎ ‎【真题解读】‎ ‎（1）求证的是两条线段之和等于第三条线段，故考虑截长补短法，结合为等边三角形考虑旋转．‎ 方法一：延长BD到F，使DF＝DC，再证△BCF ≌ △ACD；‎ 方法二：在AD上截取DG＝DC，连接CG，先证△DCG为等边三角形，再证△ACG≌△BCD；‎ 方法三：此题也可作垂线，构造全等；过C作CM⊥AD于M，CN⊥BD于N．先证△ACM≌△BCN，再证△MCD≌△NCD．‎ ‎【解后反思】‎ 当△ABC为等边三角形时，，一般化，对于等腰△ABC不妨设AB＝BC，且∠ABC＝α，为多少呢？不妨先特殊化：α＝ 90°，60°， 120°，的值分别为，1，‎ ‎（2）几何直观可以猜想，△BCD为等腰直角三角形，但无法证明．看此问题添加了条件∠BAD＝45‎ ‎°，联想到等腰直角三形，故设AD交⊙O于E，连接BE，则BE⊥ED，∴∠BAE＝∠ABE＝45°，则∠CAE＝∠CBE＝15°，∵，∴∠CBE＝∠CDA＝15°，∴∠CAE＝∠CDA，∴ AC＝CD＝BC，∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∠CDB＝45°，∴∠ADB＝45°－15°＝30°．‎ ‎【真题变式】‎ ‎1．如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，△ACD为等边三角形，D在⊙O外，已知∠ADB＝45°，⊙O的半径为4，则AD的长为 ．‎ 解：①∠CDB＝60°－45°＝15°；‎ ‎ ②∠CBD＝180°－60°－90°－15°＝15°；‎ ‎③DC＝CB＝AC＝AD；④AD＝AC＝4．‎ ‎2．如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，△ACD为等边三角形，D在⊙O外，已知∠ABD＝30°，则 的值为 ．‎ 解：①设BD与⊙O相交于E，连接AE、EC，∵弧AE＝弧AE，∴∠ACE＝∠ABD＝30°＝∠DCE；②△DCE≌△ACE；③DE＝AE；④＝．‎ ‎【真题解读】‎ 第三问：看条件AH＝OH，O为BC的中垂线AH上的动点，∴AO与BC相互垂直且平分，∴四边形ABOC为菱形．∴∠BOC＝∠BAC＝60°，∠BDC＝∠BOC＝30°，看结论：要证BD2＋CD2＝AD2，要用勾股定理解题，而30°＋60°＝90°，故以BD为边向外作等边三角形BED，于是思路找到：先证△ABD≌△CBE，得到AD＝CE，在Rt△CED中，易得ED2＋CD2＝CE2，∴BD2＋CD2＝AD2．‎ ‎【真题变式】‎ ‎3．四边形ABCD中，∠BCD＝30°，连BD、△ABD为等边三角形，△BCD的外接圆圆心为O，若⊙O的半径为8，则S△ABD＝ ．16‎ ‎4．四边形ABCD中，∠BCD＝30°，AC＝6，AB＝BD＝AD，求△BCD的面积的最大值．‎ 解：以CD为边作等边△CDE，AD＝BD，DC＝DE，∠ADC＝60°＋∠BDC＝∠BOE，∴△ADC≌△BDE，∴AC＝BE．在△BCE中，BE2＝BC2＋CE2，即BC2＋CD2＝AC2＝36≥2BC·CD，∴BC·CD≤18．5，S△BCD＝BC·CD≤×18＝．‎ ‎5．四边形ABCD中，AB＝BC＝AC，AC⊥CD，若∠ABD＝45°，则∠ADB的度数为 ．‎ ‎【提示】方法一：作AE⊥BD于E，以AD为直径作圆O，则点E、C都在圆O上，∵△ABC为等边三角形，∠ABD＝45°，∴∠CBE＝15°．∵∠AEB＝90°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∠EAB＝45°，∠EAC＝15°，∴∠CDE＝15°，∴△CBD为等腰三角形，∴△ACD为等腰直角三角形，∠ADB＝30°．‎ 方法二：以C为圆心，CA为半径作⊙C，则⊙C过A、B两点，若D为⊙C外，设CD交⊙C于D`，则∠ABD`＝∠ACD＝45°，则D、D`重合，若D在⊙O内，设CD交⊙C于D`，连接BD`，则∠ABD`＝∠ACD＝45°，则D、D`重合，∴D在⊙O上，∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝30°．‎ ‎6．四边形ABCD中，AB＝BC＝CA，AC⊥CD，若∠ADB＝30°，求∠ABD的度数．‎ A B C D 解：过A作AE⊥BD于E，以AD为直径作圆，则E、C在⊙O上，‎ 设∠ABD＝x，则∠CBE＝60°－x， ∠EAC＝x－30°，‎ ‎∵∠ADB＝30°，∴∠ACE＝∠BCE＝30°，EC＝ EC．‎ ‎∴△BCE≌△ACE，∴∠CBE＝∠CAE，∴60°－x＝x－30°，‎ ‎∴x＝45°，即ABD＝45°．‎ ‎7．四边形ABCD中，AB＝AD＝BD，∠BCD＝30°，△BCD的面积为12，求线段AC长的最小值．‎ A B C D 解：以CD为边向外作等边三角形CDE．AD＝BD，CD＝DE，∠ADC＝60°＋∠BDC＝∠BDE．‎ ‎∴△ADC≌△BDE，∴AC＝BE，又在△BCE中，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE＝30°＋60°＝90°，‎ ‎∴AC＝BE＋CE＝BC＋CD．过D作DF⊥BC于F，则2DF＝CD．‎ ‎∴S△BCD＝BC·(CD)＝BC·CD＝12，∴BC·CD＝48，‎ ‎∴AC＝BC＋CD≥2BC·CD＝2×48＝96，‎ ‎∴AC≥4，∴AC的最小值为4．‎ 案例4 圆与等腰三角形（1）‎ ‎【真题呈现】‎ 如图1，已知⊙O中，BC是直径，D点为OB上任意一点（异于O，B），过D点作AD⊥BC，交⊙O于A点，＝，连接BF交AD于E点．‎ ‎（1）探究AE与BE的大小关系并证明你的结论；‎ ‎（2）当D为OC上任意一点（异于O，C），其他条件不变时，（1）中的结论是否仍然成立，画出图形并证明你的结论．‎ O B C F A D E G ‎（图3）‎ O B C A D F G E ‎（图2）‎ O B C A F D E G ‎（图1）‎ ‎【真题解读】‎ 第一问：从条件BC为直径，AD⊥BC可联想到垂径定理，故延长AD交⊙O于G，则＝，‎ ‎∵＝，∴＝＝．从结论看到要探究AE与BE的大小，几何直观看AE＝BE，故可连接AB．证∠ABE＝∠BAE，显然，由＝可得到结论，请规范表述：‎ 延长AD交⊙O于G，连接AB，直径BC⊥AG，∴＝，‎ 又∵＝，∴＝．∴∠ABE＝∠BAE．‎ 第二问：能否运用第一问的方法？故仍然延长AD交⊙O于G，连接AB，其实证法与上一问做法一模一样，请规范表述：同上．‎ ‎【解后反思】‎ 其实第二问作出图形有两种情况，请试一试，如图3，但做法仍与图2一样．（回归双基）‎ ‎【真题变式】‎ ‎1．（回归双基）如图2，若OD＝5，AD＝12，则EC＝___________．‎ 解：连接OA，则OA＝＝13，BD＝5＋13＝18，设BE＝AE＝a，则DE＝a－12，‎ 在Rt△BDE中，a＝18＋(a－12) ，解得a＝．∴EG＝2AD－AE＝2×12－＝．‎ ‎2．如图3，已知OB＝5，CD＝2，则EG＝___________．‎ 解：CD＝2，半径为5，从而OD＝3，在Rt△ODG中，DG＝＝4，‎ 设CE＝x，则DE＝4＋x，BD＝AE＋8＝8＋x，‎ 在Rt△BDE中，8＋(4＋x)＝(8＋x)，解得x＝2．‎ ‎3．（回归双基）如图1，连AF、AC交BF于M，已知BD＝4，DE＝3，则 ‎（1）AF＝___________；‎ ‎（2）BC＝___________；‎ ‎（3）S△AMF＝___________．‎ B O D A C F E M 解：（1）∵BD＝4，DE＝3，∴BE＝5＝AE，AF＝AB＝4；‎ ‎（2）连接OA交BF于点N，由圆的对称性知OA⊥BF，则△BDE≌△ANE；‎ ‎∴AN＝4，EN＝3，设圆的半径为r，(r－4)＋8＝r，解得r＝10，BC＝20；‎ ‎（3）易知ON＝CF＝10－4＝6，∴CF＝12，BF＝16，由＝，∴AC平分∠BCF，‎ 则＝＝＝，∴MF＝BF＝×6，S△AMF＝MF·AN＝×6×4＝12．‎ 案例5 圆与等腰三角形（2）‎ ‎【真题呈现】‎ 小明学习了垂径定理，做了下面的探究，根据题目要求帮小明完成探究．‎ ‎（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE．请证明此结论；‎ ‎（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE＝PE＋PB．请证明此结论；‎ ‎（3）如图3，PA、PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论．‎ C F A D B P O E ‎（图3）‎ A C P B D O E F ‎（图2）‎ O A C D B E ‎（图1）‎ ‎【真题解读】‎ 第一问：证△OAE≌△OBE即可；‎ 第二问：∵＝，∴AC＝BC，∵＝，∴∠CAP＝∠CBP，再从结论AE＝PE＋PB，可考虑截长法，即在AP上取AF＝BP，再证EF＝EP即可；‎ 第三问：用第二问的方法，可考虑补短法，即在PA的延长线上截取AF＝BP，连接CF、AC、CP、CB，先证△AFC≌△BPC；再证EF＝EP即可．‎ 解：（1）略；‎ ‎（2）连接AC，BC．∵C为AB的中点，∴AC＝BC，∵＝，∴∠CAP＝∠CBP，‎ 在AP上截取AF＝BP，连接CF、CP，∴△AFC≌△BPC，∴CF＝CP，‎ ‎∵CE⊥AP，∴EF＝EP，∴AE＝AF＋EF＝BP＋EF，即AE＝PE＋PB；‎ ‎（3）PE＝AE＋PB．证明：∵C是的中点，∴AC＝BC，‎ 延长PA到F使AF＝BP，连CF、CA、CP、CB，‎ ‎∵∠CAP＋∠B＝180°，∴∠FAC＋∠CAP＝180°，∴∠B＝∠FAC，‎ ‎∴△FAC≌△PBC，∴CF＝CP，‎ ‎∵CD⊥AP，∴PE＝EF，∴PE＝AE＋AF＝AE＋PB．‎ ‎【解后反思】‎ 从条件看弧的中点可得到等弧，运用旋转可完成一些图形的变换．在运用旋转时，等角、等边是关键，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角也是常见旋转的工具．‎ ‎【真题变式】‎ ‎1．BC为⊙O内一弦，A为优弧的中点，D为劣弧上任意一点，过A作AE⊥BD于E，AF⊥CD于F，则下列结论正确的有____________（填序号）．‎ ‎①∠ABD＝∠ACD，②∠EAF＝∠BAC，③∠BAC＝2∠DEF，④＝2．‎ E A B C O D F ‎【提示】∵＝，∴∠ABD＝∠ACD，故①对；‎ ‎∵AE⊥BD，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∵A为的中点，‎ ‎∴AB＝AC，∴△ABE≌△ACF，∴∠EAB＝∠FAC，‎ ‎∴∠EAF＝∠BAC，故②对；‎ ‎∵△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，连AD，则△AED≌△AFD，DE＝DF，‎ ‎∴∠DEF＝∠DFE，∠BDC＝∠DEF＋∠DFE＝2∠DEF．‎ ‎∵＝，∴∠BAC＝∠BDC＝2∠DEF，故③对；‎ ‎∵△ABE≌△ACF，∴BE＝CF．∵△AED≌△AFD，∴DE＝DF，‎ ‎∴＝＝＝＝2，故④对；‎ 故填①②③④．‎ ‎2．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，点P是上任一点，作AM⊥DP延长线于M，则＝____．‎ A B C D P O M N ‎【提示】连接AD、AC，过A作AN⊥CP于N．‎ ‎∵直径AB⊥CD，∴＝，∴AC＝AD．‎ ‎∵＝，∠ACP＝∠ADP，AM⊥MD，AN⊥CP，‎ ‎∴△AMD≌△ANC，∴DM＝CN，AM＝AN，∵AP＝AP，‎ ‎∴△AMP≌△ANP，∴MP＝PN，‎ ‎∴＝＝＝＝2．‎ ‎3．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，点D为弧AC上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，则△BDE的周长是________．‎ A B C D O E ‎【提示】运用真题结论：BE＝ED＋CD，∴△BDC的周长＝BC＋BD＋CD＝BC＋BE＋ED＋CD＝BC＋2BE＝2＋2×AB＝2＋2．‎ 案例6 看不见的圆——路径问题 ‎【真题呈现】‎ 如图，扇形OAB的圆心角的度数为120°，半径长为4，P为上的动点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N，D是△PMN的外心．当点P运动的过程中，点M、N分别在半径上作相应运动，从点N 离开点O时起，到点M到达点O时止，点D运动的路径长为 （ ）‎ A O B P M N D A．π B．π C．2 D．2 ‎ 【真题解读】‎ ‎①当点N与点O重合时，作出△P1M1O，外心D1为P1O的中点．‎ ‎②当点M与点O重合时，作出△P2M2O，外心D2为P2O的中点．‎ ‎③当P在上运动时，取OP中点为D，则于是DM＝DN＝DP，‎ 从而点D为△PMN的外心．‎ ‎④点P运动时，OP＝4，从而DO＝2，点D在以O为圆心半径为2的上运动从而所求得的路径长即为的长．又的圆心角为∠D1OD2＝60°，从而弧长为，故选择A．‎ ‎【真题分解】‎ ‎1．如图，扇形AOB的半径为R，P为上的动点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，△PMN外接圆半径为r．则的值 ．‎ 解：连OP，取OP中点Q，由题意可知OQ＝QP＝QM＝QN．从而点M、O、N、P在以Q为圆心，OQ长为半径的圆上．于是△PMN的外接圆为⊙Q，从而r＝OQ，R＝OP，于是 ‎2．如图，扇形AOB的圆心角的度数为120°，半径长为6，P为上的动点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．则线段MN的长为 ． ‎ 解：连OP，由∠OMP＝90°，∠ONP＝90°知M、N在以OP为直径的圆上，则∠MPN＝60°，设OP的中点为Q，从而∠MQN＝120°．由于OA＝6，从而OP＝6，QM＝QN＝3，有垂径定理可知 ‎3．如图，扇形AOB的圆心角的度数为120°，半径长为8，P为上的动点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．则四边形PMON的最大值为 ． ‎ 解：连OP、MN，运用上一题的方法，由OA＝8，可知OP＝8．由∠AOB＝120°，可知，于是 ‎4．（武汉四调）如图，直径AB、CD的夹角为60°，P为⊙O上的一个动点（不与点A，B，C，D重合），PM、PN分别垂直于CD，AB，垂足分别为M、N．若⊙O的半径长为2，则MN的长（ B ） ‎ A．随P点运动而变化，最大值为 B．等于 C．随P点运动而变化，最小值为 D．随P点运动而变化，没有最值 ‎【真题变式】‎ ‎1．如图，四边形ABCD为正方形，边长为，E在CD边上，CE＝，点P在线段CE上运动，DH⊥直线BP于H．当点P从C运动到E时，求点H运动的路径长为 ．‎ 解：以BD为直径画圆，圆心为O，由，知直径DB＝6，从而半径为R＝3，连BE，延长后交⊙O于F，则点H的运动轨迹为弧CF，又,∴∠EBC＝30°，于是∠FOC＝2∠EBC＝60°,从而弧CF的长为 ‎2．已知半圆O的直径AB长为8，点C在上，且＝2，点P在上运动，Q为弦AP的中点．当点P从B运动到C时，点Q运动的路径长为 ．‎ 解：连AC，取AC中点D，取AO中点E，连DE，则∠ADO＝90°，以E为圆心，ED为半径，在直线AB上方画圆，可知点Q的轨迹为弧DO，由于，从而∠BOC＝120°．由DE∥OC知∠DEO＝120°，又AB＝8，从而AO＝4，于是OE＝2，于是弧DO的长为．‎ ‎3．如图所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，E为OB的中点，BE＝，点P在上运动，连AP，DF⊥AP于F，当点P从C运动到点B时，则点F的运动路径的长为 ．‎ 解：由知，，从而，，连AD、AC，从而，AC＝6，可知△ACD为等边三角形，取AD中点为M，AC中点为G，以M为圆心，3为半径作圆M，则点F在M上运动，当P在C点时，F在G点，当P在B时，F在点E；当P在弧CB上运动时，F在弧GE上运动，所求路径长为弧GE的长，又可知∠GME＝60°，从而弧GE的长为 ‎4．如图所示，⊙O的半径为6，弦AB//CD，且AB＝，CD＝，点P在上运动，连PA、PB，BE⊥PA于E，AF⊥PB于F，BE交AF于G，当点P从C运动到D时，求点G运动路径的长．‎ 解：有R＝6，，，可知圆心角∠AOB＝120°，∠COD＝120°，从而∠APB＝60°，于是∠AGB＝120°，当P在C点时，G在A点，当P在D点时，G在B点，做弧AB关于直线AB的对称图形，得弧AOB，当P在弧CD上运动时，G在弧AOB上运动，从而弧AOB的长＝弧AB 的长＝‎ ‎5．如图所示，⊙O的直径AB长为，点C、D在上，＝＝，点P在上运动，连PA、PB，I为△PAB的内心，当点P从C运动到D时，则点I运动路径的长为 ．‎ 解：连AI、IB，则∠AIB＝135°，取下半圆弧AB的中点Q，Q与P在直线AB异侧，则QA＝6，QB＝6，QI＝6，连QC、QD，则∠COD＝60°，∠CQD＝30°，以Q为圆心，6为半径，作圆Q，设圆Q与QC交于M，与QD交于N，当P在C点时，I在点M，当P在D点时，I在N，当P在弧CD，I在弧MN，从而点I运动的路径长为 ‎6．如图所示，△BAC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D在BC边上，BD＝2DC．点P在线段BD上运动，△APC的外接圆的圆心为O，当点P从B运动到D时，则点O运动路径的长为 ．‎ 解：由题意可知，，BD＝4，，．作线段AC的垂直平分线，则△APC外接圆的圆心在直线上运动，过点A作BC的垂线与交于M，作AD的垂直平分线交于N，当P在B点时，O在M点，当P在D点时，O在N点；点P从B运动到D时，点O从M运动到N，所求路径MN的长为4．‎ ‎7．如图所示，平面直角坐标系中，点A(0，2)，B(－2，0)，C(6，0)，点P在x轴正半轴上运动．以AP为直角边作等腰直角三角形，∠APQ＝90°，M为BQ的中点，点Q与B在直线AP异侧，当点P从原点O出发运动到C时，则点M运动路径的长为 ．‎ 解：设P为（t，0），则Q为（2＋t，t），从而M为，点M在直线上，当P在O点时，，M为（0，0）；当P在C时，t＝6，M为（3，3），从而点M运动路径长为．‎ 案例7 几何定值问题 ‎【真题呈现】‎ 如图，扇形AOD中，∠AOD＝90°，OA＝6，点P为上任意一点（不与点A和D重合），PQ⊥OD于Q，点I为△OPQ的内心，过O，I和D三点的圆的半径为． 则当点P在上运动时，的值满足（ D ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【真题解读】‎ ‎ 分析四个选项，我们看到B和D意味着r为定值，我们作出△OID的外接圆⊙E，又作出直径DF，此时∠DOF＝90°，由OA＝6，知OD＝6，从而r为定值等价于∠F为定角，由于圆内接四边形OFDI中，∠F＋∠OID＝180°，这要求∠OID为定角，我们注意到△OIP和△OID关于OI轴对称，从而要求∠OIP为定角，这一点恰好成立，易知∠OIP＝135°，详细推理过程，请同学们自己给出．‎ 由∠OQP＝90°，可知∠OIP＝135°，从而∠OID＝135°，于是∠OFD＝180°－∠OID＝45°，‎ 从而△OFD为等腰直角三角形，于是,又，从而，故而选择D．‎ ‎【解后反思】‎ ‎ 如图△ABP中，AB为定长线段，P为动点，若保持∠APB＝θ(为定角)，则△APB的外接圆半径R为定值．这个结论，我们称为“定线定角定半径”．‎ ‎【真题分解】‎ ‎1．△ABC中，I为内心，∠BAC＝a，则∠BIC＝ (用含a的式子表示)．‎ 解：，从而，‎ 于是，‎ 从而 ‎2．如图，四边形ABCD，内接于⊙O，CD为直径，∠BAD＝135°，AB＝，AD＝1，则CD＝ ．‎ 解：作BE⊥直线AD于E，连BD，由∠BAD＝135°，知△BEA和△BCD为等腰直角三角形，由AB＝知AE＝3，BE＝3，又AD＝1，从而ED＝EA＋AD＝4，于是Rt△BED中，，Rt△BCD中，．‎ ‎3．△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，I为△ABC的内心，求△IBC的外接圆的半径．‎ 解：由题1中结论知，∠BIC＝135°，由AB＝6，AC＝8，∠A＝90°，知，作出△BIC的外接圆O，又作出直径CD，连BD，从而∠BDC＝45°，△BDC为等腰直角三角形，于是，从而△IBC的外接圆的半径为．‎ ‎4．如图，△ABC中，∠BAC＝60°， AB＝2，AC＝，I为△ABC的内心，则△IBC的外接圆的半径R＝________．‎ 解：由∠BAC＝60°知，∠BIC＝120°，作CE⊥AB于E，又作出△IBC的外接圆⊙O，再作出直径CD，连BD，△AEC中，AC＝，AE＝，EC＝，从而BE＝AB－AE＝，于是BC＝＝3，△BDC中，∠D＝60°，∠BCD＝30°，从而DC＝2R，BD＝R，于是BC＝R，从而R＝3，R＝．‎ ‎5．如图，扇形AOB中，∠AOA＝30°，AC⊥OB于C，△AOC的内心为I，以I，O，B为顶点的三角形的外接圆直径为8，则AC的长为________．‎ 解：由∠ACO＝90°，可知∠AIO＝135°，易知△AIO≌△BIO，从而∠BIO＝135°，作出△BIO的外接圆⊙E，又作⊙E的直径BD，连OD，∠D＝180°－∠BIO＝45°，从而，BOD为等腰直角三角形，于是BD＝BO，从而BO＝4，△AOC中，AC＝AO＝BO＝2．‎ ‎【真题变式】‎ ‎1．（回归教材）如图，点P在线段AB上运动，△APM和△PBN为等边三角形，点M，N在直线AB同侧，AN和BM相交于点H，已知AB＝3，△AHB外接圆半径为R，求R的值．‎ 解：先证△APN≌△MPB，由此可知∠AHB＝120°，‎ 作出△AHB的外接圆O，又作出直径BC，连AC，‎ 则∠ACB＝60°，∠ABC＝30°，从而BC＝2R，AC＝R，‎ 于是ABC△中，R2＋（3）2＝（2R）2，从而R＝3．‎ ‎2．如图，点P在线段AB上运动，△APM和△PBN为等边三角形，点M，N在直线AB同侧，AN和BM相交于点H，已知AB＝6，求△AHB的面积的最大值．‎ 解：与上题相同的辅助线，可求出△AHB的外接圆半径R＝2，‎ 点H的运动轨迹为劣弧AB（去掉A、B两端点），易知当H为弧AB的中点时，‎ ‎△AHB的面积最大，此时S△AHB＝×6×＝3．‎ ‎3．如图，线段AB长为8，点P在AB上运动，以AP为直径作⊙O，BD⊥AB，且BD＝BP，AD交⊙O于点E，求△ABE外接圆半径R的长．‎ 解：连PE、PD，从而∠AEP＝90°，于是B、E在以PD为直径的圆上，作出此圆，‎ 从而＝，∠BPD＝∠BDP＝45°，于是∠AEB＝135°，再作出△AEB的外接圆F，‎ 又作出F的直径AG，从而AG＝AB＝8，又AG＝2R，于是R＝4．‎ 案例8 几何最值问题 ‎【真题呈现】‎ 如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧上的一动点，等腰△ABC的底边所在直线经过点D，若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为（　　）A A．2－ B．－1 C．2 D．＋1‎ ‎【真题解读】‎ 连AO，DO，则△AOD为等边三角形，从而∠AOD＝60°，于是∠ABD＝30°，∠ACB＝30°，此时，△ACD中，AD为定线段，C为动点，而∠ACD为定角．作出△ACD的外接圆⊙M，则∠AMD＝2∠ACD＝60°，可知△AMD为等边三角形，从而⊙M的半径r＝1，OM的长d＝，于是d－r≤OC≤d＋r，即－1≤OC≤＋1，故选A．‎ ‎【解后反思】‎ 动点P对定线段AB的张角∠APB为定角，则△APB的外接圆⊙O为定圆，‎ 若∠APB＝α，则∠AOB＝2α，∠OAB＝∠OBA＝90°－α，从而△AOB为定三角形．‎ ‎【真题分解】‎ ‎1．同例题条件，设∠ADB＝θ，请同学个在以下条件中，分别求出OC的长．‎ ‎（1）如图1，θ＝90°，OC＝________；‎ ‎（2）如图2，θ＝60°，OC＝________；‎ ‎（3）如图3，θ＝30°，此时C与D重合，OC＝________；‎ ‎（4）如图4，θ＝105°，OC＝________；‎ ‎（5）如图5，θ＝15°，OC＝________；‎ 解：（1）作OE⊥BD于E，则OE＝，CE＝，从而OC＝＝；‎ ‎（2）OC＝2；（3）OC＝1；（4）OC＝＋1；（5）OC＝－1．‎ ‎【真题变式】‎ ‎1．AB是⊙O的直径， 点P在上运动，以PB为边向外作等边△PBQ，点Q与O在直线PB异侧．已知AB＝6，求OQ长的最大值．‎ 解：连PO，以PO为边作等边三角形△POC，其中C与Q在直线PO异侧，连BC，则△POQ≌△PCB，从而OQ＝BC≤OC＋OB＝3＋3＝6，当∠POB＝120°时，OQ＝6．‎ ‎2．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB上，且AC＝3CB，点P在上运动，且不与A、B重合．以PC为边向外作等边△PCQ，点Q与O在直线PC异侧，已知⊙O的半径为6，求OQ长的最大值．‎ 解：连PO，以PO为边作正三角形△POD，其中D与Q在直线PO异侧，连DC，则△POQ≌△PDC，由⊙O半径为6知AB＝12，从而CB＝3，OC＝3，于是OQ＝DC≤OD＋OC＝OP＋OC＝6＋3＝9，当∠POC＝120°时，OQ最大＝9．‎ ‎3．△ABC中，AB＝AC，AB⊥AC，点D在CA边上运动，点E在AB边上运动，保持CD＝AE，AF⊥DE于F，交BC于G，若BC＝8，求四边形AEGD面积的最小值．‎ 解：延长DA到H，使AH＝AE，连接HE，则DH＝AD＋AH＝AD＋AE＝AD＋DC＝AC＝AB，从而△ABG≌△DHE，于是AG＝DE，又BC＝8，从而AB＝8，A C＝8，设A E＝x，则CD＝x，A D＝8－x，于是D E2＝A E2＋A D2＝x 2＋（8－x）2＝2 x 2－16 x＋64＝2（x－4）2＋32，从而有S四边形A E G D＝AG·DE＝ D E2＝（x－4）2＋16，当x＝4时，四边形取最小值16．‎