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- 2021-05-10 发布
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2016年山东省威海市中考数学试卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分
1.﹣的相反数是( )
A.3 B.﹣3 C. D.﹣
2.函数y=的自变量x的取值范围是( )
A.x≥﹣2 B.x≥﹣2且x≠0 C.x≠0 D.x>0且x≠﹣2
3.如图,AB∥CD,DA⊥AC,垂足为A,若∠ADC=35°,则∠1的度数为( )
A.65° B.55° C.45° D.35°
4.下列运算正确的是( )
A.x3+x2=x5 B.a3•a4=a12
C.(﹣x3)2÷x5=1 D.(﹣xy)3•(﹣xy)﹣2=﹣xy
5.已知x1,x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根,且x1+x2=﹣2,x1•x2=1,则ba的值是( )
A. B.﹣ C.4 D.﹣1
6.一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成,其左视图和俯视图如图所示,则搭成这个几何体的小正方体的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.若x2﹣3y﹣5=0,则6y﹣2x2﹣6的值为( )
A.4 B.﹣4 C.16 D.﹣16
8.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则|a|﹣|b|可化简为( )
A.a﹣b B.b﹣a C.a+b D.﹣a﹣b
9.某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划,对20位销售员本月的销售量进行了统计,绘制成如图所示的统计图,则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是( )
A.19,20,14 B.19,20,20 C.18.4,20,20 D.18.4,25,20
10.如图,在△ABC中,∠B=∠C=36°,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点H,AC的垂直平分线交BC于点E,交AC于点G,连接AD,AE,则下列结论错误的是( )
A. = B.AD,AE将∠BAC三等分
C.△ABE≌△ACD D.S△ADH=S△CEG
11.已知二次函数y=﹣(x﹣a)2﹣b的图象如图所示,则反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象可能是( )
A. B. C. D.
12.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分
13.蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料,其厚度约为0.000073米,将0.000073用科学记数法表示为 .
14.化简: = .
15.分解因式:(2a+b)2﹣(a+2b)2= .
16.如图,正方形ABCD内接于⊙O,其边长为4,则⊙O的内接正三角形EFG的边长为 .
17.如图,直线y=x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形,且相似比为1:3,则点B的对应点B′的坐标为 .
18.如图,点A1的坐标为(1,0),A2在y轴的正半轴上,且∠A1A2O=30°,过点A2作A2A3⊥A1A2,垂足为A2,交x轴于点A3;过点A3作A3A4⊥A2A3,垂足为A3,交y轴于点A4;过点A4作A4A5⊥A3A4,垂足为A4,交x轴于点A5;过点A5作A5A6⊥A4A5,垂足为A5,交y轴于点A6;…按此规律进行下去,则点A2016的纵坐标为 .
三、解答题:本大题共7小题,共66分
19.解不等式组,并把解集表示在数轴上.
.
20.某校进行期末体育达标测试,甲、乙两班的学生数相同,甲班有48人达标,乙班有45人达标,甲班的达标率比乙班高6%,求乙班的达标率.
21.一个盒子里有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个小球,这些小球除标号数字外都相同.
(1)从盒中随机摸出一个小球,求摸到标号数字为奇数的小球的概率;
(2)甲、乙两人用着六个小球玩摸球游戏,规则是:甲从盒中随机摸出一个小球,记下标号数字后放回盒里,充分摇匀后,乙再从盒中随机摸出一个小球,并记下标号数字.若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数,则判甲赢;若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶,则判乙赢.请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平.
22.如图,在△BCE中,点A时边BE上一点,以AB为直径的⊙O与CE相切于点D,AD∥OC,点F为OC与⊙O的交点,连接AF.
(1)求证:CB是⊙O的切线;
(2)若∠ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积.
23.如图,反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A,B两点,点A的坐标为(2,6),点B的坐标为(n,1).
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)点E为y轴上一个动点,若S△AEB=5,求点E的坐标.
24.如图,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长CA至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF.延长DB交EF于点N.
(1)求证:AD=AF;
(2)求证:BD=EF;
(3)试判断四边形ABNE的形状,并说明理由.
25.如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,作直线BC,连接AC,CD.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标;
(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线BC上,点P为第一象限内抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.
2016年山东省威海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分
1.﹣的相反数是( )
A.3 B.﹣3 C. D.﹣
【考点】相反数.
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号.
【解答】解:﹣的相反数是,
故选C
2.函数y=的自变量x的取值范围是( )
A.x≥﹣2 B.x≥﹣2且x≠0 C.x≠0 D.x>0且x≠﹣2
【考点】函数自变量的取值范围.
【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.
【解答】解:由题意得,x+2≥0且x≠0,
解得x≥﹣2且x≠0,
故选:B.
3.如图,AB∥CD,DA⊥AC,垂足为A,若∠ADC=35°,则∠1的度数为( )
A.65° B.55° C.45° D.35°
【考点】平行线的性质.
【分析】利用已知条件易求∠ACD的度数,再根据两线平行同位角相等即可求出∠1的度数.
【解答】解:
∵DA⊥AC,垂足为A,
∴∠CAD=90°,
∵∠ADC=35°,
∴∠ACD=55°,
∵AB∥CD,
∴∠1=∠ACD=55°,
故选B.
4.下列运算正确的是( )
A.x3+x2=x5 B.a3•a4=a12
C.(﹣x3)2÷x5=1 D.(﹣xy)3•(﹣xy)﹣2=﹣xy
【考点】整式的混合运算;负整数指数幂.
【分析】A、原式不能合并,即可作出判断;
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可作出判断;
C、原式利用幂的乘方及单项式除以单项式法则计算得到结果,即可作出判断;
D、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可作出判断.
【解答】解:A、原式不能合并,错误;
B、原式=a7,错误;
C、原式=x6÷x5=x,错误;
D、原式=﹣xy,正确.
故选D.
5.已知x1,x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根,且x1+x2=﹣2,x1•x2=1,则ba的值是( )
A. B.﹣ C.4 D.﹣1
【考点】根与系数的关系.
【分析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值,可求a、b的值,再代入求值即可.
【解答】解:∵x1,x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根,
∴x1+x2=﹣a=﹣2,x1•x2=﹣2b=1,
解得a=2,b=﹣,
∴ba=(﹣)2=.
故选:A.
6.一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成,其左视图和俯视图如图所示,则搭成这个几何体的小正方体的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【考点】由三视图判断几何体.
【分析】易得这个几何体共有2层,由俯视图可得第一层立方体的个数,由左视图可得第二层立方体的个数,相加即可.
【解答】解:由题中所给出的俯视图知,底层有3个小正方体;
由左视图可知,第2层有1个小正方体.
故则搭成这个几何体的小正方体的个数是3+1=4个.
故选:B.
7.若x2﹣3y﹣5=0,则6y﹣2x2﹣6的值为( )
A.4 B.﹣4 C.16 D.﹣16
【考点】代数式求值.
【分析】把(x2﹣3y)看作一个整体并求出其值,然后代入代数式进行计算即可得解.
【解答】解:∵x2﹣3y﹣5=0,
∴x2﹣3y=5,
则6y﹣2x2﹣6=﹣2(x2﹣3y)﹣6
=﹣2×5﹣6
=﹣16,
故选:D.
8.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则|a|﹣|b|可化简为( )
A.a﹣b B.b﹣a C.a+b D.﹣a﹣b
【考点】实数与数轴.
【分析】根据数轴可以判断a、b的正负,从而可以化简|a|﹣|b|,本题得以解决.
【解答】解:由数轴可得:a>0,b<0,
则|a|﹣|b|=a﹣(﹣b)=a+b.
故选C.
9.某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划,对20位销售员本月的销售量进行了统计,绘制成如图所示的统计图,则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是( )
A.19,20,14 B.19,20,20 C.18.4,20,20 D.18.4,25,20
【考点】众数;扇形统计图;加权平均数;中位数.
【分析】根据扇形统计图给出的数据,先求出销售各台的人数,再根据平均数、中位数和众数的定义分别进行求解即可.
【解答】解:根据题意得:
销售20台的人数是:20×40%=8(人),
销售30台的人数是:20×15%=3(人),
销售12台的人数是:20×20%=4(人),
销售14台的人数是:20×25%=5(人),
则这20位销售人员本月销售量的平均数是=18.4(台);
把这些数从小到大排列,最中间的数是第10、11个数的平均数,
则中位数是=20(台);
∵销售20台的人数最多,
∴这组数据的众数是20.
故选C.
10.如图,在△ABC中,∠B=∠C=36°,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点H,AC的垂直平分线交BC于点E,交AC于点G,连接AD,AE,则下列结论错误的是( )
A. = B.AD,AE将∠BAC三等分
C.△ABE≌△ACD D.S△ADH=S△CEG
【考点】黄金分割;全等三角形的判定;线段垂直平分线的性质.
【分析】由题意知AB=AC、∠BAC=108°,根据中垂线性质得∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°,从而知△BDA∽△BAC,得=,由∠ADC=∠DAC=72°得CD=CA=BA,进而根据黄金分割定义知==,可判断A;根据∠DAB=∠CAE=36°知∠DAE=36°可判断B;根据∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE=72°可得∠BAE=∠CAD,可证△BAE≌△CAD,即可判断C;由△BAE≌△CAD知S△BAD=S△CAE,根据DH垂直平分AB,EG垂直平分AC可得S△ADH=S△CEG,可判断D.
【解答】解:∵∠B=∠C=36°,
∴AB=AC,∠BAC=108°,
∵DH垂直平分AB,EG垂直平分AC,
∴DB=DA,EA=EC,
∴∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°,
∴△BDA∽△BAC,
∴=,
又∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°,∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=72°,
∴∠ADC=∠DAC,
∴CD=CA=BA,
∴BD=BC﹣CD=BC﹣AB,
则=,即==,故A错误;
∵∠BAC=108°,∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°,
∴∠DAE=∠BAC﹣∠DAB﹣∠CAE=36°,
即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36°,
∴AD,AE将∠BAC三等分,故B正确;
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=72°,∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°,
∴∠BAE=∠CAD,
在△BAE和△CAD中,
∵,
∴△BAE≌△CAD,故C正确;
由△BAE≌△CAD可得S△BAE=S△CAD,即S△BAD+S△ADE=S△CAE+S△ADE,
∴S△BAD=S△CAE,
又∵DH垂直平分AB,EG垂直平分AC,
∴S△ADH=S△ABD,S△CEG=S△CAE,
∴S△ADH=S△CEG,故D正确.
故选:A.
11.已知二次函数y=﹣(x﹣a)2﹣b的图象如图所示,则反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象可能是( )
A. B. C. D.
【考点】反比例函数的图象;一次函数的图象;二次函数的图象.
【分析】观察二次函数图象,找出a>0,b>0,再结合反比例(一次)函数图象与系数的关系,即可得出结论.
【解答】解:观察二次函数图象,发现:
图象与y轴交于负半轴,﹣b<0,b>0;
抛物线的对称轴a>0.
∵反比例函数y=中ab>0,
∴反比例函数图象在第一、三象限;
∵一次函数y=ax+b,a>0,b>0,
∴一次函数y=ax+b的图象过第一、二、三象限.
故选B.
12.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为( )
A. B. C. D.
【考点】矩形的性质;翻折变换(折叠问题).
【分析】连接BF,根据三角形的面积公式求出BH,得到BF,根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°,根据勾股定理求出答案.
【解答】解:连接BF,
∵BC=6,点E为BC的中点,
∴BE=3,
又∵AB=4,
∴AE==5,
∴BH=,
则BF=,
∵FE=BE=EC,
∴∠BFC=90°,
∴CF==.
故选:D.
二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分
13.蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料,其厚度约为0.000073米,将0.000073用科学记数法表示为 7.3×10﹣5 .
【考点】科学记数法—表示较小的数.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【解答】解:将0.000073用科学记数法表示为7.3×10﹣5.
故答案为:7.3×10﹣5.
14.化简: = .
【考点】二次根式的加减法.
【分析】先将二次根式化为最简,然后合并同类二次根式即可.
【解答】解:原式=3﹣2=.
故答案为:.
15.分解因式:(2a+b)2﹣(a+2b)2= 3(a+b)(a﹣b) .
【考点】因式分解-运用公式法.
【分析】原式利用平方差公式分解即可.
【解答】解:原式=(2a+b+a+2b)(2a+b﹣a﹣2b)
=3(a+b)(a﹣b).
故答案为:3(a+b)(a﹣b).
16.如图,正方形ABCD内接于⊙O,其边长为4,则⊙O的内接正三角形EFG的边长为 2 .
【考点】正多边形和圆.
【分析】连接AC、OE、OF,作OM⊥EF于M,先求出圆的半径,在RT△OEM中利用30度角的性质即可解决问题.
【解答】解;连接AC、OE、OF,作OM⊥EF于M,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=4,∠ABC=90°,
∴AC是直径,AC=4,
∴OE=OF=2,∵OM⊥EF,
∴EM=MF,
∵△EFG是等边三角形,
∴∠GEF=60°,
在RT△OME中,∵OE=2,∠OEM=∠CEF=30°,
∴OM=,EM=OM=,
∴EF=2.
故答案为2.
17.如图,直线y=x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形,且相似比为1:3,则点B的对应点B′的坐标为 (﹣8,﹣3)或(4,3) .
【考点】位似变换;一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】首先解得点A和点B的坐标,再利用位似变换可得结果.
【解答】解:∵直线y=x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,
令x=0可得y=1;
令y=0可得x=﹣2,
∴点A和点B的坐标分别为(﹣2,0);(0,1),
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形,且相似比为1:3,
∴==,
∴O′B′=3,AO′=6,
∴B′的坐标为(﹣8,﹣3)或(4,3).
故答案为:(﹣8,﹣3)或(4,3).
18.如图,点A1的坐标为(1,0),A2在y轴的正半轴上,且∠A1A2O=30°,过点A2作A2A3⊥A1A2,垂足为A2,交x轴于点A3;过点A3作A3A4⊥A2A3,垂足为A3,交y轴于点A4;过点A4作A4A5⊥A3A4,垂足为A4,交x轴于点A5;过点A5作A5A6⊥A4A5,垂足为A5,交y轴于点A6;…按此规律进行下去,则点A2016的纵坐标为 ﹣()2015 .
【考点】坐标与图形性质.
【分析】先求出A1、A2、A3、A4、A5坐标,探究规律,利用规律解决问题.
【解答】解:∵A1(1,0),A2[0,()1],A3[﹣()2,0].A4[0,﹣()3],A5[()4,0]…,
∴序号除以4整除的话在y轴的负半轴上,余数是1在x轴的正半轴上,余数是2在y轴的正半轴上,余数是3在x轴的负半轴上,
∵2016÷4=504,
∴A2016在y轴的负半轴上,纵坐标为﹣()2015.
故答案为﹣()2015.
三、解答题:本大题共7小题,共66分
19.解不等式组,并把解集表示在数轴上.
.
【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分即可.
【解答】解:由①得:x≥﹣1,
由②得:x<,
∴不等式组的解集为﹣1≤x<,
表示在数轴上,如图所示:
20.某校进行期末体育达标测试,甲、乙两班的学生数相同,甲班有48人达标,乙班有45人达标,甲班的达标率比乙班高6%,求乙班的达标率.
【考点】分式方程的应用.
【分析】设乙班的达标率是x,则甲班的达标率为(x+6%),根据“甲、乙两班的学生数相同”列出方程并解答.
【解答】解:设乙班的达标率是x,则甲班的达标率为(x+6%),
依题意得: =,
解这个方程,得x=0.9,
经检验,x=0.9是所列方程的根,并符合题意.
答:乙班的达标率为90%.
21.一个盒子里有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个小球,这些小球除标号数字外都相同.
(1)从盒中随机摸出一个小球,求摸到标号数字为奇数的小球的概率;
(2)甲、乙两人用着六个小球玩摸球游戏,规则是:甲从盒中随机摸出一个小球,记下标号数字后放回盒里,充分摇匀后,乙再从盒中随机摸出一个小球,并记下标号数字.若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数,则判甲赢;若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶,则判乙赢.请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平.
【考点】游戏公平性;列表法与树状图法.
【分析】(1)直接利用概率公式进而得出答案;
(2)画出树状图,得出所有等可能的情况数,找出两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的情况数,即可求出所求的概率.
【解答】解:(1)∵1,2,3,4,5,6六个小球,
∴摸到标号数字为奇数的小球的概率为: =;
(2)画树状图:
如图所示,共有36种等可能的情况,两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有18种,
摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有18种,
∴P(甲)==,P(乙)==,
∴这个游戏对甲、乙两人是公平的.
22.如图,在△BCE中,点A时边BE上一点,以AB为直径的⊙O与CE相切于点D,AD∥OC,点F为OC与⊙O的交点,连接AF.
(1)求证:CB是⊙O的切线;
(2)若∠ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积.
【考点】切线的判定与性质;扇形面积的计算.
【分析】(1)欲证明CB是⊙O的切线,只要证明BC⊥OB,可以证明△CDO≌△CBO解决问题.
(2)首先证明S阴=S扇形ODF,然后利用扇形面积公式计算即可.
【解答】(1)证明:连接OD,与AF相交于点G,
∵CE与⊙O相切于点D,
∴OD⊥CE,
∴∠CDO=90°,
∵AD∥OC,
∴∠ADO=∠1,∠DAO=∠2,
∵OA=OD,
∴∠ADO=∠DAO,
∴∠1=∠2,
在△CDO和△CBO中,
,
∴△CDO≌△CBO,
∴∠CBO=∠CDO=90°,
∴CB是⊙O的切线.
(2)由(1)可知∠3=∠BCO,∠1=∠2,
∵∠ECB=60°,
∴∠3=∠ECB=30°,
∴∠1=∠2=60°,
∴∠4=60°,
∵OA=OD,
∴△OAD是等边三角形,
∴AD=OD=OF,∵∠1=∠ADO,
在△ADG和△FOG中,
,
∴△ADG≌△FOG,
∴S△ADG=S△FOG,
∵AB=6,
∴⊙O的半径r=3,
∴S阴=S扇形ODF==π.
23.如图,反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A,B两点,点A的坐标为(2,6),点B的坐标为(n,1).
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)点E为y轴上一个动点,若S△AEB=5,求点E的坐标.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)把点A的坐标代入y=,求出反比例函数的解析式,把点B的坐标代入y=,得出n的值,得出点B的坐标,再把A、B的坐标代入直线y=kx+b,求出k、b的值,从而得出一次函数的解析式;
(2)设点E的坐标为(0,m),连接AE,BE,先求出点P的坐标(0,7),得出PE=|m﹣7|,根据S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5,求出m的值,从而得出点E的坐标.
【解答】解:(1)把点A(2,6)代入y=,得m=12,
则y=.
把点B(n,1)代入y=,得n=12,
则点B的坐标为(12,1).
由直线y=kx+b过点A(2,6),点B(12,1)得,
解得,
则所求一次函数的表达式为y=﹣x+7.
(2)如图,直线AB与y轴的交点为P,设点E的坐标为(0,m),连接AE,BE,
则点P的坐标为(0,7).
∴PE=|m﹣7|.
∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5,
∴×|m﹣7|×(12﹣2)=5.
∴|m﹣7|=1.
∴m1=6,m2=8.
∴点E的坐标为(0,6)或(0,8).
24.如图,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长CA至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF.延长DB交EF于点N.
(1)求证:AD=AF;
(2)求证:BD=EF;
(3)试判断四边形ABNE的形状,并说明理由.
【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的判定.
【分析】(1)由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=45°,求出∠ABF=135°,∠ABF=∠ACD,证出BF=CD,由SAS证明△ABF≌△ACD,即可得出AD=AF;
(2)由(1)知AF=AD,△ABF≌△ACD,得出∠FAB=∠DAC,证出∠EAF=∠BAD,由SAS证明△AEF≌△ABD,得出对应边相等即可;
(3)由全等三角形的性质得出得出∠AEF=∠ABD=90°,证出四边形ABNE是矩形,由AE=AB,即可得出四边形ABNE是正方形.
【解答】(1)证明:∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠ABF=135°,
∵∠BCD=90°,
∴∠ABF=∠ACD,
∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD,
在△ABF和△ACD中,
,
∴△ABF≌△ACD(SAS),
∴AD=AF;
(2)证明:由(1)知,AF=AD,△ABF≌△ACD,
∴∠FAB=∠DAC,
∵∠BAC=90°,
∴∠EAB=∠BAC=90°,
∴∠EAF=∠BAD,
在△AEF和△ABD中,
,
∴△AEF≌△ABD(SAS),
∴BD=EF;
(3)解:四边形ABNE是正方形;理由如下:
∵CD=CB,∠BCD=90°,
∴∠CBD=45°,
由(2)知,∠EAB=90°,△AEF≌△ABD,
∴∠AEF=∠ABD=90°,
∴四边形ABNE是矩形,
又∵AE=AB,
∴四边形ABNE是正方形.
25.如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,作直线BC,连接AC,CD.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标;
(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线BC上,点P为第一象限内抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可.
(2)分①点E在直线CD上方的抛物线上和②点E在直线CD下方的抛物线上两种情况,用三角函数求解即可;
(3)分①CM为菱形的边和②CM为菱形的对角线,用菱形的性质进行计算;
【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),
∴设抛物线解析式为y=a(x+2)(x﹣4),
∴﹣8a=4,
∴a=﹣,
∴抛物线解析式为y=﹣(x+2)(x﹣4)=﹣x2+x+4;
(2)如图1,
①点E在直线CD上方的抛物线上,记E′,
连接CE′,过E′作E′F′⊥CD,垂足为F′,
由(1)知,OC=4,
∵∠ACO=∠E′CF′,
∴tan∠ACO=tan∠E′CF′,
∴=,
设线段E′F′=h,则CF′=2h,
∴点E′(2h,h+4)
∵点E′在抛物线上,
∴﹣(2h)2+2h+4=h+4,
∴h=0(舍)h=
∴E′(1,),
②点E在直线CD下方的抛物线上,记E,
同①的方法得,E(3,),
点E的坐标为(1,),(3,)
(3)①CM为菱形的边,如图2,
在第一象限内取点P′,过点
P′作P′N′∥y轴,交BC于N′,过点P′作P′M′∥BC,
交y轴于M′,
∴四边形CM′P′N′是平行四边形,
∵四边形CM′P′N′是菱形,
∴P′M′=P′N′,
过点P′作P′Q′⊥y轴,垂足为Q′,
∵OC=OB,∠BOC=90°,
∴∠OCB=45°,
∴∠P′M′C=45°,
设点P′(m,﹣ m2+m+4),
在Rt△P′M′Q′中,P′Q′=m,P′M′=m,
∵B(4,0),C(0,4),
∴直线BC的解析式为y=﹣x+4,
∵P′N′∥y轴,
∴N′(m,﹣m+4),
∴P′N′=﹣m2+m+4﹣(﹣m+4)=﹣m2+2m,
∴m=﹣m2+2m,
∴m=0(舍)或m=4﹣2,
菱形CM′P′N′的边长为(4﹣2)=4﹣4.
②CM为菱形的对角线,如图3,
在第一象限内抛物线上取点P,过点P作PM∥BC,
交y轴于点M,连接CP,过点M作MN∥CP,交BC于N,
∴四边形CPMN是平行四边形,连接PN交CM于点Q,
∵四边形CPMN是菱形,
∴PQ⊥CM,∠PCQ=∠NCQ,
∵∠OCB=45°,
∴∠NCQ=45°,
∴∠PCQ=45°,
∴∠CPQ=∠PCQ=45°,
∴PQ=CQ,
设点P(n,﹣ n2+n+4),
∴CQ=n,OQ=n+2,
∴n+4=﹣n2+n+4,
∴n=0(舍),
∴此种情况不存在.
∴菱形的边长为4﹣4.
2016年6月23日