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- 2021-05-10 发布
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2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编第32章圆的有关性质
一、选择题
1. (2011广东湛江16,4分)如图,是上的三点,,则 度.
【答案】60
2. (2011安徽,7,4分)如图,⊙O的半径是1,A、B、C是圆周上的三点,∠BAC=36°,则劣弧的长是( )
A. B.π C.π D.π
【答案】B
3. (2011福建福州,9,4分)如图2,以为圆心的两个同心圆中,大圆的弦切小圆于点,若,则大圆半径与小圆半径之间满足( )
A. B. C. D.
图2
【答案】C
4. (2011山东泰安,10 ,3分)如图,⊙O的弦AB垂直平分半径OC,若AB=,则⊙O的半径为( )
A. B.2 C. D.
【答案】A
5. (2011四川南充市,9,3分)在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图,油面宽AB为6分米,如果再注入一些油 后,油面AB上升1分米,油面宽变为8分米,圆柱形油槽直径MN为( )
(A)6分米 (B)8分米 (C)10分米 (D)12分米
【答案】C
6. (2011浙江衢州,1,3分)一个圆形人工湖如图所示,弦是湖上的一座桥,已知桥长100m,测得圆周角,则这个人工湖的直径为( )
A. B. C. D.
(第8题)
【答案】B
7. (2011浙江绍兴,4,4分)如图,的直径,点在上,若,则的度数是( )
A. B. C. D.
(第5题图)
【答案】C
8. (2011浙江绍兴,6,4分)一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径,截面圆圆心到水面的距离是6,则水面宽是( )
A.16 B.10 C.8 D.6
(第6题图)
【答案】A
9. (2011浙江省,5,3分)如图,小华同学设计了一个圆直径的测量器,标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把O点靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为( )
A. 12个单位 B. 10个单位 C.4个单位 D. 15个单位
【答案】B
10.(2011四川重庆,6,4分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠OCB=40°则∠A的度数等于( )
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
【答案】B
11. (2011浙江省嘉兴,6,4分)如图,半径为10的⊙O中,弦AB的长为16,则这条弦的弦心距为( )
(A)6 (B)8 (C)10 (D)12
(第6题)
【答案】A
12. (2011台湾台北,16)如图(六),为圆O的直径,直线ED为圆O的切线,A、C两点在圆上,平分∠BAD且交于F点。若∠ADE=,则∠AFB的度数为何?
A.97 B.104 C.116 D.142
【答案】C
13. (2011台湾全区,24)如图(六),△ABC的外接圆上,AB、BC、CA三弧的度数比为12:13:11.
自BC上取一点D,过D分别作直线AC、直线AB的并行线,且交于E、F两点,则∠EDF的度数
为何?
A. 55 B. 60 C. 65 D. 70
【答案】C
14. (2011甘肃兰州,12,4分)如图,⊙O过点B、C,圆心O在等腰Rt△ABC的内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6。则⊙O的半径为
A.6 B.13 C. D.
A
B
C
O
【答案】C
15. (2011四川成都,7,3分)如图,若AB是⊙0的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°, 则∠BCD=( B )
(A)116° (B)32° (C)58° (D)64°
【答案】B
16. (2011四川内江,9,3分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2,则弦BC的长为
A.1 B. C.2 D.2
【答案】D
17. (2011江苏南京,6,2分)如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)(a>2),半径为2,函数y=x的图象被⊙P的弦AB的长为,则a的值是
A. B. C. D.
(第6题)
A
B
O
P
x
y
y=x
【答案】B
1. 18. (2011江苏南通,8,3分)如图,⊙O的弦AB=8,M是AB的中点,且OM=3,则⊙O
的半径等于
A. 8 B. 2 C. 10 D. 5
【答案】D
19. (2011山东临沂,6,3分)如图,⊙O的直径CD=5cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OM:OD=3:5,则AB 的长是( )
A.2cm B.3cmC.4cm D.2cm
【答案】C
20.(2011上海,6,4分)矩形ABCD中,AB=8,,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是( ).
(A) 点B、C均在圆P外; (B) 点B在圆P外、点C在圆P内;
(C) 点B在圆P内、点C在圆P外; (D) 点B、C均在圆P内.
【答案】C
21. (2011四川乐山6,3分)如图(3),CD是⊙O的弦,直径AB过CD的中点M,若∠BOC=40°,则∠ABD=
A.40° B.60° C.70° D.80°
【答案】 C
22. (2011四川凉山州,9,4分)如图,,点C在上,且点C不与A、B重合,则的度数为( )
A. B.或 C. D. 或
【答案】D[来源:学*科*网Z*X*X*K]
23. (2011广东肇庆,7,3分)如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点,若∠BAD =105°,
则∠DCE的大小是
A
B
C
D
E
A. 115° B. 105° C. 100° D. 95°
【答案】B
24. (2011内蒙古乌兰察布,9,3分)如图, AB 为 ⊙ O 的直径, CD 为弦, AB ⊥ CD ,如果∠BOC = 70 ,那么∠A的度数为( )
A . B . C . D .
【答案】B
25. (2011重庆市潼南,3,4分)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,∠A=30°,则∠B
的度数为
A.15° B. 30° C. 45° D. 60°
【答案】D
26. (2011浙江省舟山,6,3分)如图,半径为10的⊙O中,弦AB的长为16,则这条弦的弦心距为( )
(A)6 (B)8 (C)10 (D)12
(第6题)
【答案】A
二、填空题
1. (2011浙江省舟山,15,4分)如图,AB是半圆直径,半径OC⊥AB于点O,AD平分∠CAB交弧BC于点D,连结CD、OD,给出以下四个结论:①AC∥OD;②;③△ODE∽△ADO;④.其中正确结论的序号是 .
(第16题)
【答案】①④
2. (2011安徽,13,5分)如图,⊙O的两条弦AB、CD互相垂直,垂足为E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,则⊙O的半径是 .
【答案】
3. (2011江苏扬州,15,3分)如图,⊙O的弦CD与直径AB相交,若∠BAD=50°,则∠ACD=
【答案】40°
4. (2011山东日照,14,4分)如图,在以AB为直径的半圆中,有一个边长为1的内接正方形CDEF,则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是 .
【答案】如:x2-x+1=0;
5. (2011山东泰安,23 ,3分)如图,PA与⊙O相切,切点为A,PO交⊙O于点C,点B是优弧CBA上一点,若∠ABC==320,则∠P的度数为 。
【答案】260
6. (2011山东威海,15,3分)如图,⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,若AE=5,BE=1,,则∠AED= .
【答案】 30°
7. (2011山东烟台,16,4分)如图,△ABC的外心坐标是__________.
O
x
y
B
C
A
【答案】(-2,-1)
8. (2011浙江杭州,14,4)如图,点A,B,C,D都在⊙O上,的度数等于84°,CA是∠OCD的平分线,则∠ABD十∠CAO= °.
【答案】53°
9. (2011浙江温州,14,5分)如图,AB是⊙O的直径,点C,D都在⊙O上,连结CA,CB,DC,DB.已知∠D=30°,BC=3,则AB的长是 .
【答案】6
10.(2011浙江省嘉兴,16,5分)如图,AB是半圆直径,半径OC⊥AB于点O,AD平分∠CAB分别交OC于点E,交弧BC于点D,连结CD、OD,给出以下四个结论:①S△AEC=2S△DEO;②AC=2CD;③线段OD是DE与DA的比例中项;④.其中正确结论的序号是 .
(第16题)
【答案】①④
11. (2011福建泉州,16,4分)已知三角形的三边长分别为3,4,5,则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是 .(写出符合的一种情况即可)
【答案】 2(符合答案即可)
12. (2011甘肃兰州,16,4分)如图,OB是⊙O的半径,点C、D在⊙O上,∠DCB=27°,则∠OBD=
度。
O
D
B
C
【答案】63°
13. (2011湖南常德,7,3分)如图2,已知⊙O是△ABC的外接圆,且∠C =70°,则∠OAB =__________.
【答案】20°
14. (2011江苏连云港,15,3分)如图,点D为边AC上一点,点O为边AB上一点,AD=DO.以O为圆心,OD长为半径作半圆,交AC于另一点E,交AB于点F,G,连接EF.若∠BAC=22º,则∠EFG=_____.
【答案】
15. (2011四川广安,19,3分)如图3所示,若⊙O的半径为13cm,点是弦上一动点,且到圆心的最短距离为5 cm,则弦的长为________cm
图3
【答案】24
16. ( 2011重庆江津, 16,4分)已知如图,在圆内接四边形ABCD中,∠B=30º,则∠D=____________.[来源:学.科.网Z.X.X.K]
A
B
C
D
第16题图
【答案】150°
17. (2011重庆綦江,13,4分) 如图,已知AB为⊙O的直径,∠CAB=30°,则∠D= .
【答案】:60°
18. (2011江西南昌,13,3分)如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB
= 度.
第13题图
【答案】90
19. (2011江苏南京,13,2分)如图,海边有两座灯塔A、B,暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内,∠AOB=80°,为了避免触礁,轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为______°.
A
B
O
P
(第13题)
【答案】40
20.(2011上海,17,4分)如图,AB、AC都是圆O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M、N,如果MN=3,那么BC=_________.
【答案】6
21. (2011江苏无锡,18,2分)如图,以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点,交y轴的正半轴于点C,D为第一象限内⊙O上的一点,若∠DAB = 20°,则∠OCD = _____________.
y
x
O
A
B
D
C
(第18题)
【答案】65
22. (2011湖北黄石,14,3分)如图(5),△ABC内接于圆O,若∠B=300.AC=,则⊙O的直径为 。
【答案】2
23. (2011湖南衡阳,16,3分)如图,⊙的直径过弦的中点G,∠EOD=40°,则∠FCD的度数为 .
【答案】 20
24. (2011湖南永州,8,3分)如图,在⊙O中,直径CD垂直弦AB于点E,连接OB,CB,已知⊙O的半径为2,AB=,则∠BCD=________度.
(第8题)
【答案】30
25. (20011江苏镇江,15,2分)如图,DE是⊙O的直径,弦AB⊥DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则OC=_____,CD=_____.
答案:4,9
26. (2011内蒙古乌兰察布,14,4分)如图,是半径为 6 的⊙D的圆周,C点是上的任意一点, △ABD是等边三角形,则四边形ABCD的周长P的取值范围是
【答案】
27. (2011河北,16,3分)如图7,点O为优弧ACB所在圆的圆心,∠AOC=108°,点D在AB的延长线上,BD=BC,则∠D=__°.
【答案】27
28. (2011湖北荆州,12,4分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,CD是直径,∠B=40°,则∠ACD的度数是 .
第12题图
【答案】50°
29.
30.
三、解答题
1. (2011浙江金华,21,8分)如图,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点,以O为圆心,10为半径作⊙O,分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D,连结OA,此时有OA∥PE.
(1)求证:AP=AO;
(2)若弦AB=12,求tan∠OPB的值;
(3)若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形,则能构成菱形的四个点为 ,能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .
证明:(1)∵PG平分∠EPF,
∴∠DPO=∠BPO ,
∵OA//PE,
∴∠DPO=∠POA ,
∴∠BPO=∠POA,
∴PA=OA; ……2分
解:(2)过点O作OH⊥AB于点H,则AH=HB=AB,……1分
∵ tan∠OPB=,∴PH=2OH, ……1分
设OH=,则PH=2,
由(1)可知PA=OA= 10 ,∴AH=PH-PA=2-10,
∵, ∴, ……1分
解得(不合题意,舍去),,
∴AH=6, ∴AB=2AH=12; ……1分
(3)P、A、O、C;A、B、D、C 或 P、A、O、D 或P、C、O、B.……2分(写对1个、2个、3个得1分,写对4个得2分)
H
P
A
B
C
O
D
E
F
G
2.(2011浙江金华,24,12分)如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA
为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点,连结OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连结CF.
(1)当∠AOB=30°时,求弧AB的长;
(2)当DE=8时,求线段EF的长;
(3)在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)连结BC,
∵A(10,0), ∴OA=10 ,CA=5,
∵∠AOB=30°,[来源:中.考.资.源.网]
∴∠ACB=2∠AOB=60°,
∴弧AB的长=; ……4分
O
B
D
E
C
F
x
y
A
(2)连结OD,
∵OA是⊙C直径, ∴∠OBA=90°,
又∵AB=BD,
∴OB是AD的垂直平分线,
∴OD=OA=10,
在Rt△ODE中,
OE=,
∴AE=AO-OE=10-6=4,
由 ∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB,∠OEF=∠DEA,
得△OEF∽△DEA,
∴,即,∴EF=3;……4分
(3)设OE=x,
①当交点E在O,C之间时,由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,当∠ECF=∠BOA时,此时△OCF为等腰三角形,点E为OC中点,即OE=,
∴E1(,0);
当∠ECF=∠OAB时,有CE=5-x, AE=10-x,
∴CF∥AB,有CF=,
∵△ECF∽△EAD,
∴,即,解得:,
∴E2(,0);
O
B
D
F
C
E
A
x
y
O
B
D
F
C
E
A
x
y
②当交点E在点C的右侧时,
∵∠ECF>∠BOA,
∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,
连结BE,
∵BE为Rt△ADE斜边上的中线,
∴BE=AB=BD,
∴∠BEA=∠BAO,
∴∠BEA=∠ECF,
∴CF∥BE, ∴,
∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠,
∴△CEF∽△AED, ∴,
而AD=2BE, ∴,
即, 解得, <0(舍去),
∴E3(,0);
O
B
D
F
C
E
A
x
y
③当交点E在点O的左侧时,
∵∠BOA=∠EOF>∠ECF .
∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO
连结BE,得BE==AB,∠BEA=∠BAO
∴∠ECF=∠BEA,
∴CF∥BE,
∴,
又∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠,
∴△CEF∽△AED, ∴,
而AD=2BE, ∴,
∴, 解得, <0(舍去),
∵点E在x轴负半轴上, ∴E4(,0),
综上所述:存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为:
(,0)、(,0)、(,0)、(,0).……4分
O
B
D
F
C
E
A
x
y
3. (2011山东德州22,10分)●观察计算
当,时, 与的大小关系是_________________.
当,时, 与的大小关系是_________________.
●探究证明
如图所示,为圆O的内接三角形,为直径,过C作于D,设,BD=b.
(1)分别用表示线段OC,CD;
(2)探求OC与CD表达式之间存在的关系
(用含a,b的式子表示).A
B
C
O
D
●归纳结论
根据上面的观察计算、探究证明,你能得出与的大小关系是:_________________________.
●实践应用
要制作面积为1平方米的长方形镜框,直接利用探究得出的结论,求出镜框周长的最小值.
【答案】●观察计算:>, =. …………………2分
A
B
C
O
D
●探究证明:
(1),
∴…………………3分
AB为⊙O直径,
∴.
,,
∴∠A=∠BCD.
∴△∽△. …………………4分
∴.
即,
∴. …………………5分
(2)当时,, =;
时,, >.…………………6分
●结论归纳: . ………………7分
●实践应用
设长方形一边长为米,则另一边长为米,设镜框周长为l米,则
≥ . ……………9分
当,即(米)时,镜框周长最小.
此时四边形为正方形时,周长最小为4 米. ………………10分
4. (2011山东济宁,19,6分)如图,为外接圆的直径,,垂足为点,的平分线交于点,连接,.[来源:学+科+网][来源:中.考.资.源.网WWW.ZK5U.COM]
(1) 求证:;
(2) 请判断,,三点是否在以为圆心,以为半径的圆上?并说明理由.[来源:Z。xx。k.Com]
(第19题)
【答案】(1)证明:∵为直径,,
∴.∴. 3分
(2)答:,,三点在以为圆心,以为半径的圆上. 4分
理由:由(1)知:,∴.
∵,,,
∴.∴. 6分
由(1)知:.∴.
∴,,三点在以为圆心,以为半径的圆上. …………………7分
5. (2011山东烟台,25,12分)已知:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,E是直线AB上一动点(不与点A、B、G重合),直线DE交⊙O于点F,直线CF交直线AB于点
P.设⊙O的半径为r.
(1)如图1,当点E在直径AB上时,试证明:OE·OP=r2
(2)当点E在AB(或BA)的延长线上时,以如图2点E的位置为例,请你画出符合题意的图形,标注上字母,(1)中的结论是否成立?请说明理由.
.
A
B
C
D
E
.
O
G
(图2)
A
B
C
D
E
F
P
.
O
G
(图1)
【答案】(1)证明:连接FO并延长交⊙O于Q,连接DQ.
∵FQ是⊙O直径,∴∠FDQ=90°.
∴∠QFD+∠Q=90°.
∵CD⊥AB,∴∠P+∠C=90°.
∵∠Q=∠C,∴∠QFD=∠P.
∵∠FOE=∠POF,∴△FOE∽△POF.
∴.∴OE·OP=OF2=r2.
(2)解:(1)中的结论成立.
理由:如图2,依题意画出图形,连接FO并延长交⊙O于M,连接CM.
∵FM是⊙O直径,∴∠FCM=90°,∴∠M+∠CFM=90°.
∵CD⊥AB,∴∠E+∠D=90°.
∵∠M=∠D,∴∠CFM=∠E.
∵∠POF=∠FOE,∴△POF∽△FOE.
∴,∴OE·OP=OF2=r2.
6. (2011宁波市,25,10分)阅读下面的情境对话,然后解答问题
(1)根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华提出的命题:“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题?
(2)在RtABC 中, ∠ACB=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若RtABC是奇异三角形,求a:b:c;
(3)如图,AB是⊙O的直径,C是上一点(不与点A、B重合),D是半圆的中点,CD在直径AB的两侧,若在⊙O内存在点E使得AE=AD,CB=CE.
求证:ACE是奇异三角形;
当ACE是直角三角形时,求∠AOC的度数.
【答案】解:(1)真命题
(2)在RtABC 中a2+b2= c2,
∵c>b>a>0
∴2c2>a2+b2,2a2<c2+b2
∴若RtABC是奇异三角形,一定有2b2=c2+ a2
∴2b2=a2+(a2+b2)
∴b2=2a2 得:b=a
∵c2=b2+ a2=3a2
∴c=a
∴a:b:c=1::
(3)∵AB是⊙O的直径ACBADB=90°
在RtABC 中,AC2+BC2=AB2
在RtADB 中,AD2+BD2=AB2
∵点D是半圆的中点
∴=
∴AD=BD
∴AB2=AD2+BD2=2AD2
∴AC2+CB2=2AD2
又∵CB=CE,AE=AD[来源:Z+xx+k.Com]
∴AC2=CE2=2AE2
∴ACE是奇异三角形
由可得ACE是奇异三角形
∴AC2=CE2=2AE2
当ACE是直角三角形时
由(2)可得AC:AE:CE=1::或AC:AE:CE=:: 1
(Ⅰ)当AC:AE:CE=1::时
AC:CE=1:即AC:CB=1:
∵∠ACB=90°
∴∠ABC=30°
∴∠AOC=2∠ABC =60°
(Ⅱ)当AC:AE:CE=:: 1时
AC:CE=: 1即AC:CB=: 1
∵∠ACB=90°
∴∠ABC=60°
∴∠AOC=2∠ABC =120°
∴∠AOC=2∠ABC =120°
∴∠AOC的度数为60°或120°
7. (2011浙江丽水,21,8分)如图,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点,以O
为圆心,10为半径作⊙O,分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D,连结OA,此时有OA∥PE.
(1)求证:AP=AO;
(2)若弦AB=12,求tan∠OPB的值;
(3)若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形,则能构成菱形的四个点为 ,能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .
【解】(1)∵PG平分∠EPF,
∴∠DPO=∠BPO,
∵OA//PE,
∴∠DPO=∠POA,
∴∠BPO=∠POA,
∴PA=OA;
(2)过点O作OH⊥AB于点H,则AH=HB,
∵AB=12,
∴AH=6,
由(1)可知PA=OA=10,
∴PH=PA+AH=16,
OH==8,
∴tan∠OPB==;
(3)P、A、O、C;A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.
8. (2011广东广州市,25,14分)
如图7,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中 ∠DCE是直角,点D在线段AC上.
(1)证明:B、C、E三点共线;
(2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明:MN=OM;
(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)后,记为△D1CE1(图8),若M1是线段BE1的中点,N1是线段AD1的中点,M1N1=OM1是否成立?若是,请证明;若不是,说明理由.
A
B
C
D
E
M
N
O
图7
A
B
C
D1
E1
M1
O
N1
图8
【答案】(1)∵AB为⊙O直径
∴∠ACB=90°
∵△DCE为等腰直角三角形
∴∠ACE=90°
∴∠BCE=90°+90°=180°
∴B、C、E三点共线.
(2)连接BD,AE,ON.
∵∠ACB=90°,∠ABC=45°
∴AB=AC
∵DC=DE
∠ACB=∠ACE=90°
∴△BCD≌△ACE
∴AE=BD,∠DBE=∠EAC
∴∠DBE+∠BEA=90°
∴BD⊥AE
∵O,N为中点
∴ON∥BD,ON=BD
同理OM∥AE,OM=AE
∴OM⊥ON,OM=ON
∴MN=OM
(3)成立
证明:同(2)旋转后∠BCD1=∠BCE1=90°-∠ACD1
所以仍有△BCD1≌△ACE1,
所以△ACE1是由△BCD1绕点C顺时针旋转90°而得到的,故BD1⊥AE1
其余证明过程与(2)完全相同.
9. (2011浙江丽水,24,12分)如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点,连结OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连结CF.
(1)当∠AOB=30°时,求弧AB的长;
(2)当DE=8时,求线段EF的长;
(3)在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【解】(1)连结BC,
∵A(10,0),∴OA=10,CA=5,
∵∠AOB=30°,
∴∠ACB=2∠AOB=60°,
∴的长==;
(2)连结OD,
∵OA是⊙C的直径,∴∠OBA=90°,
又∵AB= BD,
∴OB是AD的垂直平分线,
∴OD= OA=10,
在Rt△ODE中,
OE===6,
∴AE= AO-OE =10-6=4,
由∠AOB=∠ADE= 90°-∠OAB,
∠OEF=∠DEA,
得△OEF∽△DEA,
∴=,即=,∴EF=3;
(3)设OE=x,
①当交点E在O,C之间时,由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,
有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,当∠ECF=∠BOA时,此时△OCF为等腰三角形,
点E为OC的中点,即OE=,
∴E1(,0);
当∠ECF=∠OAB时,有CE=5-x,AE=10-x,
∴CF//AB,有CF=AB,
∵△ECF∽△EAD,
∴=,即=,解得x=,
∴E2(,0);
②当交点E在C的右侧时,
∵∠ECF>∠BOA
∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,
连结BE,
∵BE为Rt△ADE斜边上的中线,
∴BE=AB=BD,
∴∠BEA=∠BAO,
∴∠BEA=∠ECF,
∵CF//BE,∴=,
∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,
∴△CEF∽△AED,∴=,
而AD=2BE,∴=,
即=,
解得x1=,x2=<0(舍去),
∴E3(,0);
③当交点E在O的左侧时,
∵∠BOA=∠EOF>∠ECF
∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,
连结BE,得BE=AD=AB,
∠BEA=∠BAO,
∴∠ECF=∠BEA,
∴CF//BE,
∴=,
又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,
∴△CEF∽△AED,∴=,
而AD=2BE,∴=,
∴=,解得x1=,x2=<0(舍去),
∵点E在x轴负半轴上,∴E4(,0),
综上所述:存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为:
∴E1(,0)、E2(,0)、E3(,0)、E4(,0).
10.(2011江西,21,8分)如图,已知⊙O的半径为2,弦BC的长为,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外)。
⑴求∠BAC的度数;
⑵求△ABC面积的最大值.
(参考数据:sin60°=,cos30°=,tan30°=.)
【答案】(1)过点O作OD⊥BC于点D, 连接OA.
因为BC=,所以CD==.
又OC=2,所以=,即=,
所以∠DOC=60°.
又OD⊥BC,所以∠BAC=∠DOC=60°.
(2)因为△ABC中的边BC的长不变,所以底边上的高最大时,△ABC面积的最大值,即点A是的中点时,△ABC面积的最大值.
因为∠BAC=60°,所以△ABC是等边三角形,
在Rt△ADC中,AC=,DC=,
所以AD===3.
所以△ABC面积的最大值为×3×=3.
11. (2011湖南常德,25,10分)已知 △ABC,分别以AC和BC为直径作半圆、P是AB的中点.
(1)如图8,若△ABC是等腰三角形,且AC=BC,在上分别取点E、F,使则有结论① ②四边形是菱形.请给出结论②的证明;
(2)如图9,若(1)中△ABC是任意三角形,其它条件不变,则(1)中的两个结论还成立吗?若成立,请给出证明;
(3)如图10,若PC是的切线,求证:
B
D
【答案】
(1) 证明:∵BC是⊙O2直径,则O2是BC的中点
又P是AB的中点.
∴P O2是△ABC的中位线
∴P O2 =AC
又AC是⊙O1直径
∴P O2= O1C=AC
同理P O1= O2C =BC
∵AC =BC
∴P O2= O1C=P O1= O2C
∴四边形是菱形
(2) 结论①成立,结论②不成立
证明:在(1)中已证PO2=AC,又O1E=AC
∴PO2=O1E
同理可得PO1=O2F
∵PO2是△ABC的中位线
∴PO2∥AC
∴∠PO2B=∠ACB
同理∠P O1A=∠ACB
∴∠PO2B=∠P O1A
∵∠AO1E =∠BO2F
∴∠P O1A+∠AO1E =∠PO2B+∠BO2F
即∠P O1E =∠F O2 P
∴
(1) 证明:延长AC交⊙O2于点D,连接BD.
∵BC是⊙O2的直径,则∠D=90°,
又PC是的切线,则∠ACP=90°,
∴∠ACP=∠D
又∠PAC=∠BAD,
∴△APC∽△BAD
又P是AB的中点
∴
∴AC=CD
∴在Rt△BCD中,
在Rt△ABD中,
∴
∴
12. (2011江苏苏州,26,8分)如图,已知AB是⊙O的弦,OB=2,∠B=30°,C是弦AB上任意一点(不与点A、B重合),连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD.
(1)弦长AB=________(结果保留根号);
(2)当∠D=20°时,求∠BOD的度数;
(3)当AC的长度为多少时,以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似?请写出解答过程.
【答案】解:(1)2.
(2)解法一:∵∠BOD是△BOC的外角,∠BCO是△ACD的外角,
∴∠BOD=∠B+∠BCO,∠BCO=∠A+∠D.
∴∠BOD=∠B+∠A+∠D.
又∵∠BOD=2∠A,∠B=30°,∠D=20°,
∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°,∠A=50°,
∴∠BOD=2∠A=100°.
解法二:如图,连接OA.
∵OA=OB,OA=OD,∴∠BAO=∠B,∠DAO=∠D,
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D.
又∵∠B=30°,∠D=20°,∴∠DAB=50°,
∴∠BOD=2∠DAB=100°.
(3)∵∠BCO=∠A+∠D,∴∠BCO>∠A,∠BCO>∠D.
∴要使△DAC与△BOC相似,只能∠DCA=∠BCO=90°.
此时,∠BOC=60°,∠BOD=120°,∴∠DAC=60°.
∴△DAC∽△BOC.
∵∠BCO=90°,即OC⊥AB,∴AC=AB=.
13. (2011江苏苏州,27,8分)已知四边形ABCD是边长为4的正方形,以AB为直径在正方形内作半圆,P是半圆上的动点(不与点A、B重合),连接PA、PB、PC、PD.
(1)如图①,当PA的长度等于______时,∠PAB=60°;
当PA的长度等于______时,△PAD是等腰三角形;
(2)如图②,以AB边所在的直线为x轴,AD边所在的直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系(点A即为原点O),把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.设P点坐标为(a,b),试求2S1S3-S22的最大值,并求出此时a、b的值.
【答案】解:(1)2;2或.
(2)如图,过点P分别作PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分别为E、F,延长FP交BC于点G,则PG⊥BC.[来源:中.考.资.源.网WWW.ZK5U.COM]
∵P点坐标为(a,b),∴PE=b,PF=a,PG=4-a.
在△PAD、△PAB及△PBC中,
S1=2a,S2=2b,S3=8-2a,
∵AB是直径,∴∠APB=90°.
∴PE2=AE·BE,即b2=a(4-a).
∴2S1S3-S22=4a(8-2a)-4b2=-4a2+16a=-4(a-2)2+16.
∴当a=2时,b=2,2S1S3-S22有最大值16.
14. (2011江苏泰州,26,10分)如图,以点O为圆心的两个同心圆中,矩形ABCD的边BC为大圆的弦,边AD与小圆相切于点M,OM的延长线与BC相交于点N.
(1)点N是线段BC的中点吗?为什么?
(2)若圆环的宽度(两圆半径之差)为6cm,AB=5cm,BC=10cm,求小圆的半径.
【答案】解:(1)N是BC的中点。原因:∵AD与小圆相切于点M,
∴OM⊥AD,又AD∥BC,∴ON⊥BC,∴在大圆O中,由垂径定理可得N是BC的中点.
(2)连接OB,设小圆半径为r,则有ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm,
在Rt△OBN中,由勾股定理得OB2=BN2+ON2 ,即:(r+6)2=(r+5)2+52 ,解得r=7cm.
∴小圆的半径为7cm.
15. (2011四川成都,27,10分)已知:如图,以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心,OA长为半径作⊙0,⊙O经过B、D两点,过点B作BK⊥AC,垂足为K.过D作DH∥KB,DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H.
(1)求证:AE=CK;
(2)如果AB=,AD= (为大于零的常数),求BK的长;
(3)若F是EG的中点,且DE=6,求⊙O的半径和GH的长.
【答案】
解:(1)∵DH∥KB,BK⊥AC,∴DE⊥AC,
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠EAD=∠KCB,
∴Rt△ADE≌Rt△CBK,∴AE=CK.
(2)在Rt△ABC中,AB=,AD=BC=,∴==,
∵S△ABC=AB×BC=AC×BK,∴BK===.
(3)连线OG,∵AC⊥DG,AC是⊙O的直接,DE=6,∴DE=EG=6,又∵EF=FG,∴EF=3;∵Rt△ADE≌Rt△CBK,∴DE=BK=6,AE=CK,
在△ABK中,EF=3,BK=6,EF∥BK,∴EF是△ABK的中位线,∴AF=BF,AE=EK=KC;在Rt△OEG中,设OG=,则OE=,EG=6,,∴,∴.
在Rt△ADF≌Rt△BHF中,AF=BF,
∵AD=BC,BF∥CD,∴HF=DF,
∵FG=EF,∴HF-FG=DF-EF,∴HG=DE=6.
16. (2011四川宜宾,23,10分)已知:在△ABC中,以AC边为直径的⊙O交BC于点D,在劣弧上到一点E使∠EBC=∠DEC,延长BE依次交AC于G,交⊙O于H.
(1)求证:AC⊥BH;
(2)若∠ABC=45°,⊙O的直径等于10,BD=8,求CE的长.
(23题图)
【答案】证明:⑴连接AD
∵∠DAC=∠DEC ∠EBC=∠DEC
∴∠DAC=∠EBC
又∵AC是⊙O的直径
∴∠ADC=90°
∴∠DCA+∠DAC=90°
∴∠EBC+∠DCA=90°
∴∠BGC=180°-(∠EBC+∠DCA)=180°-90°=90°
∴AC⊥BH
⑵∵∠BDA=180°-∠ADC=90°∠ABC=45°
∴∠BAD=45°
∴BD=AD
∵BD=8
∴AD=8
又∵∠ADC=90° AC=10
(第23题解答图)
∴由勾股定理,得.
∴BC=BD+DC=8+6=14
又∵∠BGC=∠ADC=90° ∠BCG=∠ACD
∴△BCG∽△ACD
∴
∴ ∴
连接AE,∵AC是直径 ∴∠AEC=90°
又∵EG⊥AC
∴△CEG∽△CAE ∴ ∴
∴.
17. (2011江西南昌,21,8分)如图,已知⊙O的半径为2,弦BC的长为
,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外)。
⑴求∠BAC的度数;
⑵求△ABC面积的最大值.
(参考数据:sin60°=,cos30°=,tan30°=.)
【答案】(1)过点O作OD⊥BC于点D, 连接OA.
因为BC=,所以CD==.
又OC=2,所以=,即=,
所以∠DOC=60°.
又OD⊥BC,所以∠BAC=∠DOC=60°.
(2)因为△ABC中的边BC的长不变,所以底边上的高最大时,△ABC面积的最大值,即点A是的中点时,△ABC面积的最大值.
因为∠BAC=60°,所以△ABC是等边三角形,
在Rt△ADC中,AC=,DC=,
所以AD===3.
所以△ABC面积的最大值为×3×=3.
18. (2011上海,21,10分)如图,点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上,且OA=3,AC=2,CD平行于AB,并与弧AB相交于点M、N.
(1)求线段OD的长;
(2)若,求弦MN的长.
【答案】(1)∵CD∥AB,
∴∠OAB=∠C,∠OBA=∠D.
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA.
∴∠C=∠D.
∴OC=OD.
∵OA=3,AC=2,
∴OC=5.
∴OD=5.
(2)过点O作OE⊥CD,E为垂足,连接OM.
在Rt△OCE中,OC=5,,设OE=x,则CE=2x.由勾股定理得,解得x1=,x2=(舍去).∴OE=.
在Rt△OME中,OM=OA=3,ME===2。∴MN=2ME=4.
19. (2011湖北黄冈,22,8分)在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.
⑴求证△ABD为等腰三角形.
⑵求证AC•AF=DF•FE
第22题图
B
A
F
E
D
C
M
【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA,而∠MCD=∠DCA,所以∠DBA=∠DAB,故△ABD为等腰三角形.
⑵∵∠DBA=∠DAB
∴弧AD=弧BD
又∵BC=AF
∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA
∴弧CD=弧DF
∴CD=DF
再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知[来源:Z_xx_k.Com]
∠AFE=∠DBA=∠DCA①,∠FAE=∠BDE
∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE
∴AC:FE=CD:AF
∴AC•AF= CD •FE
而CD=DF,
∴AC•AF=DF•FE
20.(2011广东茂名,24,8分)如图,⊙P与轴相切于坐标原点O(0,0),与轴相交于点A(5,0),过点A的直线AB与轴的正半轴交于点B,与⊙P交于点C.
(1)已知AC=3,求点B的坐标; (4分)
(2)若AC=, D是OB的中点.问:点O、P、C、D四点是否在同一圆上?请说明理由.如果这四点在同一圆上,记这个圆的圆心为,函数的图象经过点,求的值(用含的代数式表示). (4分)
χ
备用图
χ
【答案】解:(1)解法一:连接OC,∵OA是⊙P的直径,∴OC⊥AB,
在Rt△AOC中,
在 Rt△AOC和Rt△ABO中,∵∠CAO=∠OAB
∴Rt△AOC∽Rt△ABO,·
∴,即,
∴ , ∴
解法二:连接OC,因为OA是⊙P的直径, ∴∠ACO=90°
在Rt△AOC中,AO=5,AC=3,∴OC=4,
过C作CE⊥OA于点E,则:,
即:,∴,
∴ ∴,
设经过A、C两点的直线解析式为:.
把点A(5,0)、代入上式得:
, 解得:,
∴ , ∴点 .
(2)点O、P、C、D四点在同一个圆上,理由如下:
连接CP、CD、DP,∵OC⊥AB,D为OB上的中点,
∴,
∴∠3=∠4,又∵OP=CP,∴∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°,
∴PC ⊥CD,又∵DO⊥OP,∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形,∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等,
∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上;
由上可知,经过点O、P、C、D的圆心是DP的中点,圆心,
由(1)知:Rt△AOC∽Rt△ABO,∴,求得:AB=,在Rt△ABO中,
,OD=,
∴,点在函数的图象上,
∴, ∴.
21. (2011广东肇庆,24,10分)已知:如图,DABC内接于⊙O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交
⊙O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连结AD.
(1)求证:∠DAC =∠DBA;
(2)求证:是线段AF的中点;
(3)若⊙O 的半径为5,AF = ,求tan∠ABF的值.
·
A
B
C
D
E
O
F
P
【答案】(1)∵BD平分∠CBA,∴∠CBD=∠DBA
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角,∴∠DAC=∠CBD
∴∠DAC =∠DBA
(2)∵AB为直径,∴∠ADB=90°
又∵DE⊥AB于点E,∴∠DEB=90° ∴∠ADE +∠EDB=∠ABD +∠EDB=90°
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP
∴PD=PA
又∵∠DFA +∠DAC=∠ADE +∠PD F=90°且∠ADE=∠DAC
∴∠PDF=∠PFD
∴PD=PF ∴PA= PF 即P是线段AF的中点
(3)∵∠DAF =∠DBA,∠ADB=∠FDA=90°∴△FDA ∽△ADB
∴
∴在Rt△ABD 中,tan∠ABD=,即tan∠ABF=
22. (2011内蒙古乌兰察布,21,10分)
如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB 边上的一点,以BD为直径的 ⊙0与边 AC 相切于点E,连结DE并延长,与BC的延长线交于点 F .
( 1 )求证: BD = BF ;
( 2 )若 BC = 12 , AD = 8 ,求 BF 的长.
【答案】⑴连结OE,
则OE⊥AC,
所以∠AEO=90°,
∠AED=∠CEF,
∠ACB=90°
∠CEF+∠F=90°
∠AED +∠OED=90°
∠OED=∠F
又因为OD=OE
所以∠OED=∠ODE
∠ODE=∠F
BD=BF
⑵Rt△ABC和Rt△AOE中,∠A是公共角
所以Rt△ABC ∽Rt△AOE
,设⊙0的半径是r,则有
求出r=8,所以BF=BD=16
23. (2011湖北鄂州,22,8分)在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.
⑴求证△ABD为等腰三角形.
⑵求证AC•AF=DF•FE
第22题图
B
A
F
E
D
C
M
【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA,而∠MCD=∠DCA,所以∠DBA=∠DAB,故△ABD为等腰三角形.
⑵∵∠DBA=∠DAB
∴弧AD=弧BD
又∵BC=AF
∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA
∴弧CD=弧DF
∴CD=DF
再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知
∠AFE=∠DBA=∠DCA①,∠FAE=∠BDE
∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE
∴AC:FE=CD:AF
∴AC•AF= CD •FE
而CD=DF,
∴AC•AF=DF•FE
24. (2010湖北孝感,23,10分)如图,等边△ABC内接于⊙O,P是上任一点(点P不与点A、B重合).连AP、BP,过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M.
(1)填空:∠APC= 度,∠BPC= 度;(2分)
(2)求证:△ACM∽△BCP;(4分)
(3)若PA=1,PB=2,求梯形PBCM的面积. (4分)
【答案】解:(1)60,60;
(2)∵CM∥BP,∴∠BPM+∠M=180°,∠PCM=∠BPC=60.[来源:Www.zk5u.com]
∴∠M=180°-∠BPM=180-(∠APC+∠BPC)=180°-120°=60°.
∴∠M=∠BPC=60°.
(3)∵ACM≌BCP,∴CM=CP,AM=BP.
又∠M=60°,∴△PCM为等边三角形.
∴CM=CP=PM=1+2=3.
作PH⊥CM于H.
在Rt△PMH中,∠MPH=30°.
∴PH=.
∴S梯形PBCM=.
25. (2011湖北宜昌,21,8分)如图D是△ABC 的边BC 的中点,过AD 延长线上的点E作AD的垂线EF,E为垂足,EF与AB 的延长线相交于点F,点0 在AD 上,AO = CO,BC//EF.
(1)证明:AB=AC;
(2)证明:点0 是AABC 的外接圆的圆心;
(3)当AB=5,BC=6时,连接BE若∠ABE=90°,求AE的长.
(第21题图)
【答案】解:(1)∵AE⊥EF, EF∥BC,∴AD⊥BC.(1分)在△ABD和△ACD中,∵BD=CD,∠ADB=∠ADC,AD=AD,∴△ABD≌△ACD.(或者:又∵BD=CD,∴AE是BC的中垂线.) (2分)∴AB=AC. (3分)
(2)连BO,∵AD是BC的中垂线,∴BO=CO.(或者:证全等也可得到BO=CO.)又AO=CO,∴AO=BO=CO.(4分)∴点O是△ABC外接圆的圆心. (5分)
(3)解法1:∵∠ABE=∠ADB=90°,∴∠ABD+∠BAD=∠AEB+∠BAE=90°,∴∠ABD=∠AEB. 又∵∠BAD=∠EAB,∴△ABD∽△AEB.∴(6分)在Rt△ABD中,∵AB=5,BD=1,2BC=3,∴AD=4.(7分)∴AE= (8分)解法2:∵AO=BO, ∴∠ABO=∠BAO.∵∠ABE=90°,∴∠ABO+∠OBE=∠BAO+∠AEB=90°.∴∠OBE=∠OEB,∴OB=OE.(6分)在 Rt△ABD中,∵AB=5,BD=1,2BC=3,∴AD=4. 设 OB=x, 则 OD=4-x,由32+(4-x)2=x2,解得x=(7分)∴AE=2OB=