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- 2021-05-10 发布
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山东省青岛市2013年中考数学试卷
一、选择题(本题满分24分,共有8道小题,每小题3分)
1.(3分)(2013•青岛)﹣6的相反数是( )
A.
﹣6
B.
6
C.
﹣
D.
2.(3分)(2013•青岛)下列四个图形中,是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
3.(3分)(2013•青岛)如图所示的几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.(3分)(2013•青岛)“十二五”以来,我国积极推进国家创新体系建设.国家统计局《2012年国民经济和社会发展统计公报》指出:截止2012年底,国内有效专利达8750000件,将8750000件用科学记数法表示为( )件.
A.
8.75×104
B.
8.75×105
C.
8.75×106
D.
8.75×107
5.(3分)(2013•青岛)一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球,在不允许将球倒出来数的前提下,小亮为了估计其中的红球数,采用如下方法:现将口袋中的球摇匀,再从口袋里随机摸出一球,记下颜色,然后把它放回口袋中,不断重复上述过程,小亮共摸了100次,其中有10次摸到白球.因此小亮估计口袋中的红球大约有( )个.
A.
45
B.
48
C.
50
D.
55
6.(3分)(2013•青岛)已知矩形的面积为36cm2,相邻的两条边长分别为xcm和ycm,则y与x之间的函数图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
7.(3分)直线l与半径为r的⊙O相交,且点O到直线l的距离为6,则r的取值范围是( )
A.
r<6
B.
r=6
C.
r>6
D.
r≥6
8.(3分)(2013•青岛)如图,△ABO缩小后变为△A′B′O,其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上.若线段AB上有一点P(m,n),则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为( )
A.
(,n)
B.
(m,n)
C.
(m,)
D.
()
二、填空题(本题满分18分共有6道题,每小题3分)
9.(3分)(2013•青岛)计算:2﹣1+= .
10.(3分)(2013•青岛)某校对甲、乙两名跳高运动员的近期调高成绩进行统计分析,结果如下:=1.69m,=1.69m,S2甲=0.0006,S2乙=0.00315,则这两名运动员中 的成绩更稳定.
11.(3分)(2013•青岛)某企业2010年底缴税40万元,2012年底缴税48.4万元.设这两年该企业交税的年平均增长率为x,根据题意,可得方程 .
12.(3分)(2013•青岛)如图,一个正比例函数图象与一次函数y=﹣x+1的图象相交于点P,则这个正比例函数的表达式是 .
13.(3分)(2013•青岛)如图,AB是⊙O的直径,弦AC=2,∠ABC=30°,则图中阴影部分的面积是 .
14.(3分)(2013•青岛)要把一个正方体分割成8个小正方体,至少需要切3刀,因为这8个小正方体都只有三个面是现成的.其他三个面必须用三刀切3次才能切出来.那么,要把一个正方体分割成27个小正方体,至少需用刀切 次;分割成64个小正方体,至少需要用刀切 次.
三、作图题(本题满分4分)用圆规、直尺作图,不写做法,但要保留作图痕迹。
15.(4分)(2013•青岛)已知:如图,直线AB与直线BC相交于点B,点D是直线BC上一点.
求作:点E,使直线DE∥AB,且点E到B,D两点的距离相等.(在题目的原图中完成作图)
四、解答题(本题满分74分,共有9道小题)
16.(8分)(2013•青岛)(1)解方程组:; (2)化简:(1+)•.
17.(6分)(2013•青岛)请根据所给信息,帮助小颖同学完成她的调查报告
2013年4月光明中学八年级学生每天干家务活平均时间的调查报告
调查目的
了解八年级学生每天干家务活的平均时间
光明中学八年级学生干家务活的平均时间
调查内容
调查方式
抽样调查
调查步骤
1.数据的收集
(1)在光明中学八年级每班随机调查5名学生
(2)统计这些学生2013年4月每天干家务活的平均时间(单位:min)结果如下(其中A表示10min,B表示20min,C表示30min)
B
A
A
B
B
B
B
A
C
B
B
A
B
B
C
A
B
A
A
C
A
B
B
C
B
A
B
B
A
C
2.数据的处理:
以频数分布直方图的形式呈现上述统计结果 请补全频数分布直方图
3.数据的分析:
列式计算所随机调查学生每天干家务活平均时间的平均数(结果保留整数)
调查结论
光明中学八年级共有240名学生,其中大约有 名学生每天干家务活的平均时间是20min
18.(6分)(2013•青岛)小明和小刚做摸纸牌游戏.如图,两组相同的纸牌,每组两张,牌面数字分别是2和3,将两组牌背面朝上洗匀后从每组牌中各摸出一张,称为一次游戏.当两张牌的牌面数字之积为奇数,小明的2分,否则小刚得1分.这个游戏对双方公平吗?请说明理由.
19.(6分)(2013•青岛)某校学生捐款支援地震灾区,第一次捐款总额为6600元,第二次捐款总额为7260元,第二次捐款人数比第一次多30人,而且两次人均捐款额恰好相等.求第一次的捐款人数.
20.(8分)(2013•青岛)如图,马路的两边CF,DE互相平行,线段CD为人行横道,马路两侧的A,B两点分别表示车站和超市.CD与AB所在直线互相平行,且都与马路的两边垂直,马路宽20米,A,B相距62米,∠A=67°,∠B=37°.
(1)求CD与AB之间的距离;
(2)某人从车站A出发,沿折线A→D→C→B去超市B.求他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米.
(参考数据:sin67°≈,cos67°≈,tan67°≈,sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈)
21.(8分)(2013•青岛)已知:如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD、BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的中点.
(1)求证:△ABM≌△DCM;
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论;
(3)当AD:AB= 时,四边形MENF是正方形(只写结论,不需证明)
22.(10分)(2013•青岛)某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元/件.试营销阶段发现:当销售单价是25元时,每天的销售量为250件;销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件.
(1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大;
(3)商场的营销部结合上述情况,提出了A、B两种营销方案:
方案A:该文具的销售单价高于进价且不超过30元;
方案B:每天销售量不少于10件,且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由.
23.(10分)(2013•青岛)在前面的学习中,我们通过对同一面积的不同表达和比较,根据图1和图2发现并验证了平方差公式和完全平方公式.
这种利用面积关系解决问题的方法,使抽象的数量关系因几何直观而形象化.
【研究速算】
提出问题:47×43,56×54,79×71,…是一些十位数字相同,且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式,是否可以找到一种速算方法?
几何建模:
用矩形的面积表示两个正数的乘积,以47×43为例:
(1)画长为47,宽为43的矩形,如图3,将这个47×43的矩形从右边切下长40,宽3的一条,拼接到原矩形上面.
(2)分析:原矩形面积可以有两种不同的表达方式:47×43的矩形面积或(40+7+3)×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和,即47×43=(40+10)×40+3×7=5×4×100+3×7=2021.
用文字表述47×43的速算方法是:十位数字4加1的和与4相乘,再乘以100,加上个位数字3与7的积,构成运算结果.
归纳提炼:
两个十位数字相同,并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是(用文字表述) .
【研究方程】
提出问题:怎样图解一元二次方程x2+2x﹣35=0(x>0)?
几何建模:
(1)变形:x(x+2)=35.
(2)画四个长为x+2,宽为x的矩形,构造图4
(3)分析:图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式,(x+x+2)2或四个长x+2,宽x的矩形面积之和,加上中间边长为2的小正方形面积.
即(x+x+2)2=4x(x+2)+22
∵x(x+2)=35
∴(x+x+2)2=4×35+22
∴(2x+2)2=144
∵x>0
∴x=5
归纳提炼:求关于x的一元二次方程x(x+b)=c(x>0,b>0,c>0)的解.
要求参照上述研究方法,画出示意图,并写出几何建模步骤(用钢笔或圆珠笔画图,并注明相关线段的长)
【研究不等关系】
提出问题:怎样运用矩形面积表示(y+3)(y+2)与2y+5的大小关系(其中y>0)?
几何建模:
(1)画长y+3,宽y+2的矩形,按图5方式分割
(2)变形:2y+5=(y+3)+(y+2)
(3)分析:图5中大矩形的面积可以表示为(y+3)(y+2);阴影部分面积可以表示为(y+3)×1,画点部分部分的面积可表示为y+2,由图形的部分与整体的关系可知(y+3)(y+2)>(y+3)+(y+2),即(y+3)(y+2)>2y+5
归纳提炼:
当a>2,b>2时,表示ab与a+b的大小关系.
根据题意,设a=2+m,b=2+n(m>0,n>0),要求参照上述研究方法,画出示意图,并写出几何建模步骤(用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长)
24.(12分)(2013•青岛)已知:如图,▱ABCD中,AD=3cm,CD=1cm,∠B=45°,点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为3cm/s;点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s,连接并延长QP交BA的延长线于点M,过M作MN⊥BC,垂足是N,设运动时间为t(s)(0<t<1)
解答下列问题:
(1)当t为何值时,四边形AQDM是平行四边形?
(2)设四边形ANPM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式:
(3)是否存在某一时刻t,使四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半?若存在,求出相应的t值;若不存在,说明理由.
(4)连接AC,是否存在某一时刻t,使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分?若存在,求出相应的t值;若不存在,说明理由.
山东省青岛市2013年中考数学试卷
一、选择题(本题满分24分,共有8道小题,每小题3分)
1.B.2.D.3.A.4.C.5.A.6.A.7.C.8.D.
二、填空题(本题满分18分共有6道题,每小题3分)
9.5 10.甲.11.40(1+x)2=48.4.12.k=﹣2
13.﹣ .
14.6;9.
四、解答题(本题满分74分,共有9道小题)
17.解:从图表中可以看出C的学生数是5人,
如图:
每天干家务活平均时间是:(10×10+15×20+5×30)÷30≈18(min);
根据题意得:240×=120(人),
光明中学八年级共有240名学生,其中大约有120名学生每天干家务活的平均时间是20min;
故答案为:120.
18.解:根据题意,画出树状图如下:
一共有4种情况,积是偶数的有3种情况,积是奇数的有1种情况,
所以,P(小明胜)=×2=,
P(小刚胜)=×1=,
∵≠,
∴这个游戏对双方不公平.
19.解:设第一次的捐款人数是x人,根据题意得:
=,
解得:x=300,
经检验x=300是原方程的解,
20.解:(1)CD与AB之间的距离为x,
则在Rt△BCF和Rt△ADE中,
∵=tan37°,=tan67°,
∴BF==x,AE==x,
又∵AB=62,CD=20,
∴x+x+20=62,
解得:x=24,
答:CD与AB之间的距离为24米;
(2)在Rt△BCF和Rt△ADE中,
∵BC===40,
AD===26,
∴AD+DC+CB﹣AB=40+20+26﹣62=24(米),
答:他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走24米.
21.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠A=∠D=90°,
∵M为AD中点,
∴AM=DM,
在△ABM和△DCM,
∴△ABM≌△DCM(SAS);
(2)答:四边形MENF是菱形.
证明:∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点,
∴NE∥CM,NE=CM,MF=CM,
∴NE=FM,NE∥FM,
∴四边形MENF是平行四边形,
∵△ABM≌△DCM,
∴BM=CM,
∵E、F分别是BM、CM的中点,
∴ME=MF,
∴平行四边形MENF是菱形;
(3)解:当AD:AB=2:1时,四边形MENF是正方形.
理由是:∵M为AD中点,
∴AD=2AM,
∵AD:AB=2:1,
∴AM=AB,
∵∠A=90∴∠ABM=∠AMB=45°,
同理∠DMC=45°,
∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°,
∵四边形MENF是菱形,
∴菱形MENF是正方形,
故答案为:2:1.
22.解:(1)由题意得,销售量=250﹣10(x﹣25)=﹣10x+500,
则w=(x﹣20)(﹣10x+500)
=﹣10x2+700x﹣10000;
(2)w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10(x﹣35)2+2250.
∵﹣10<0,
∴函数图象开口向下,w有最大值,
当x=35时,wmax=2250,
故当单价为35元时,该文具每天的利润最大;
(3)甲方案利润高.理由如下:
甲方案中:20<x≤30,
故当x=30时,w有最大值,
此时w甲=2000;
乙方案中:,
故x的取值范围为:45≤x≤49,
∵函数w=﹣10(x﹣35)2+2250,对称轴为x=35,
∴当x=45时,w有最大值,
此时w乙=1250,
∵w甲>w乙,
∴甲方案利润更高.
23.
归纳提炼:
十位数字加1的和与十位数字相乘,再乘以100,加上两个个位数字的积,构成运算结果.
【研究方程】
归纳提炼:
画四个长为x+b,宽为x的矩形,构造答图1,则图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式:(x+x+b)2或四个长为x+b,宽为x的矩形面积之和,加上中间边长为b的小正方形面积.
即:(x+x+b)2=4x(x+b)+b2
∵x(x+b)=c,
∴(x+x+b)2=4c+b2
∴(2x+b)2=4c+b2
∵x>0,
∴x=.
【研究不等关系】
归纳提炼:
(1)画长为2+m,宽为2+n的矩形,并按答图2方式分割.
(2)变形:a+b=(2+m)+(2+n)
(3)分析:图中大矩形面积可表示为(2+m)(2+n),阴影部分面积可表示为2+m与2+n的和.由图形的部分与整体的关系可知,(2+m)(2+n)>(2+m)+(2+n),即ab>a+b.
24
解答:
解:(1)∵当AP=PD时,四边形AQDM是平行四边形,
即3t=3﹣3t,
t=,
∴当t=s时,四边形AQDM是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴△AMP∽△DQP,
∴=,
∴=,
∴AM=t,
∵MN⊥BC,
∴∠MNB=90°,
∵∠B=45°,
∴∠BMN=45°=∠B,
∴BN=MN,
∵BM=1+t,
在Rt△BMN中,由勾股定理得:BN=MN=(1+t),
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∵MN⊥BC,
∴MN⊥AD,
∴y=×AP×MN
=•3t•(1+t)
即y与t之间的函数关系式为y=t2+t(0<t<1).
(3)假设存在某一时刻t,四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半.
此时t2+t=×3×,
整理得:t2+t﹣1=0,
解得t1=,t2=(舍去)
∴当t=s时,四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半.
(4)存在某一时刻t,使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分,
理由是:假设存在某一时刻t,使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴△APW∽△CNW,
∴=,
即=或=,
∴t=或,
∵两数都在0<t<1范围内,即都符合题意,
∴当t=s或s时,NP与AC的交点把线段AC分成的两部分.