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- 2021-05-10 发布
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第19课时 抛物线中的一个动点问题
(40分)
图6-3-1
1.(20分)[2017·酒泉]如图6-3-1,已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B(-2,0),点C(8,0),与y轴交于点A.
(1)求二次函数y=ax2+bx+4的表达式;
(2)连结AC,AB,若点N在线段BC上运动(不与点B,C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求N点的坐标;
(3)连结OM,在(2)的结论下,求OM与AC的数量关系.
【解析】 (1)用待定系数法,将点B,点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4,解得a,b,即可求出二次函数的表达式;
(2)设点N的坐标为(n,0)(-2<n<8),则BN=n+2,CN=8-n.由题意可知,BC=10,OA=4,S△ABC=20,S△ABN=2(n+2),因MN∥AC,根据平行线分线段成比例定理可得==,由△AMN,△ABN是同高三角形,可得出===,从而得出△AMN的面积S与n的二次函数关系式,根据二次函数的顶点性质,即可求出当n=3时,即N(3,0)时,△AMN的面积最大;
(3)当N(3,0)时,N为BC边中点,由NM∥AC推出M为AB边中点,根据直角三角形中线定理可得OM=AB,利用勾股定理,易得AB=2,AC=4,即可求出OM=AC.
解:(1)将点B,点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4,得
解得a=-,b=.
∴该二次函数的表达式为y=-x2+x+4;
(2)设点N的坐标为(n,0)(-2<n<8);
则BN=n+2,CN=8-n.
∵B(-2,0),C(8,0),∴BC=10.
令x=0,得y=4,∴A(0,4),OA=4,
∵MN∥AC,∴==.
∵OA=4,BC=10,∴S△ABC=BC·OA=20.
S△ABN=BN·OA=(n+2)×4=2(n+2),
又∵==,
∴S△AMN=S△ABN=(8-n)(n+2)=-(n-3)2+5.
∴当n=3时,即N(3,0)时,△AMN的面积最大;
(3)当N(3,0)时,N为BC边中点.∴M为AB边中点,
∴OM=AB,∵AB===2,
AC===4,
∴AB=AC,∴OM=AC.
图6-3-2
2.(20分)[2016·贵港]如图6-3-2,抛物线y=ax2+bx-5(a≠0)与x轴交于点A(-5,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)若E为x轴下方抛物线上的一动点,当S△ABE=S△ABC时,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使∠BAP=∠CAE?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)把A,B两点坐标代入表达式,可得
解得
∴抛物线的表达式为y=x2+x-5;
(2)在y=x2+x-5中,令x=0,可得y=-5,
∴点C坐标为(0,-5),
∵S△ABE=S△ABC,且点E在x轴下方,
∴点E纵坐标和点C纵坐标相同,
当y=-5时,代入可得x2+x-5=-5,
解得x=-2或x=0(舍去),
∴点E坐标为(-2,-5);
(3)假设存在满足条件的P点,其坐标为,
如答图,连结AP,CE,AE,过点E作ED⊥AC于点D,过点P作PQ⊥x轴于点Q,
第2题答图
则AQ=AO+OQ=5+m,
PQ=,
在Rt△AOC中,OA=OC=5,
则AC=5,∠ACO=∠DCE=45°,
由(2)可得EC=2,在Rt△EDC中,可得DE=DC=,
∴AD=AC-DC=5-=4,
当∠BAP=∠CAE时,则△EDA∽△PQA,
∴=,即=,
∴m2+m-5=(5+m)或m2+m-5=-(5+m),
当m2+m-5=(5+m)时,整理可得4m2+5m-75=0,解得m=或m=-5(与点A重合,舍去),
当m2+m-5=-(5+m)时,整理可得4m2+11m-45=0,解得m=或m=-5(与点A重合,舍去),
∴存在满足条件的点P,其横坐标为或.
(40分)
图6-3-3
3.(20分)[2016·南宁]如图6-3-3,已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=x-2交于B,C两点.
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标;
(2)求证:△ABC是直角三角形;
(3)若N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】 (1)∵顶点坐标为(1,1),
∴设抛物线表达式为y=a(x-1)2+1,
又∵抛物线过原点,∴0=a(0-1)2+1,解得a=-1,
∴抛物线的表达式为y=-(x-1)2+1,即y=-x2+2x,
联立抛物线和直线表达式,可得
解得或
∴B(2,0),C(-1,-3);
(2)证明:如答图,分别过A,C两点作x轴的垂线,交x轴于D,E两点,
第3题答图
则AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,
EC=3.
∴∠ABO=∠CBO=45°,即∠ABC=90°,
∴△ABC是直角三角形;
(3)假设存在满足条件的点N,设N(x,0),则M(x,
-x2+2x),
∴ON=|x|,MN=|-x2+2x|,
由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中,可分别求得AB=,BC=3,
∵MN⊥x轴于点N,∴∠ABC=∠MNO=90°,
∴当△ABC和△MNO相似时有=或=,
①当=时,则有=,
即|x|·|-x+2|=|x|,
∵当x=0时M,O,N不能构成三角形,∴x≠0,
∴|-x+2|=,即-x+2=±,
解得x1=,x2=,
此时点N坐标为或;
②当=时,则有=,
即|x|·|-x+2|=3|x|,
∴|-x+2|=3,即-x+2=±3,
解得x=5或-1,
此时点N坐标为(-1,0)或(5,0),
综上可知,存在满足条件的点N,其坐标为或或(-1,0)或(5,0).
图6-3-4
4.(20分)[2017·泸州]如图6-3-4,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)点D是该二次函数图象上的一点,且满足∠DBA=∠CAO(O是坐标原点),求点D的坐标;
(3)点P是该二次函数图象上位于第一象限内的一个动点,连结PA分别交BC,y轴于点E,F,若△PEB,△CEF的面积分别为S1,S2,求S1-S2的最大值.
【解析】 (1)根据待定系数法求解;
(2)设直线BD与y轴的交点为M(0,t).根据tan∠MBA=tan∠CAO列关于t的方程求解t,从而可确定直线BD表达式,再求直线BD与抛物线交点坐标即可,注意分类讨论;
(3)过点P作PH∥y轴交直线BC于点H,设P(t,at2+bt+c),根据直线BC
表达式点H的坐标,计算线段PH长度;用t表示直线AP表达式,解出点E,F坐标从而可表示出线段CF,将S1-S2用t表示,根据二次函数性质求最值.
解:(1)设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-4),∵抛物线图象过点C(0,2),∴-4a=2,解得a=-.
∴抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-4),
即y=-x2+x+2;
(2)设直线BD与y轴的交点为M(0,t).
∵∠DBA=∠CAO,∴∠MBA=∠CAO,
∴tan∠MBA=tan∠CAO=2,∴=2,即t=±8.
当t=8时,直线BD表达式为y=-2x+8.
联立解得
∴D(3,2).
当t=-8时,直线BD表达式为y=2x-8.
联立
解得 ∴D(-5,-18).
综上:点D的坐标为(3,2)或(-5,-18);
第4题答图
(3)如答图,过点P作PH∥y轴交直线BC于点H,设P, 直线BC的表达式为y=-x+2,则H,
∴PH=yP-yH=-t2+2t;
直线AP的表达式为y=(x+1),取x=0,得y=2-t;
故F,CF=2-=t;
联立解得xE=,
∴S1=(yP-yH)(xB-xE)
=,
S2=··.
∴S1-S2=-··=-t2+4x=-+.
∴当t=时,S1-S2有最大值,最大值为.
(20分)
5.(20分)[2016·金华]在平面直角坐标系中,O为原点,平行于x轴的直线与抛物线L:y=ax2相交于A,B两点(点B在第一象限),点D在AB的延长线上.
(1)已知a=1,点B的纵坐标为2.
①如图6-3-5①,向右平移抛物线L使该抛物线过点B,与AB的延长线交于点C,求AC的长;
②如图②,若BD=AB,过点B,D的抛物线L2,其顶点M在x轴上,求该抛物线的函数表达式;
(2)如图③,若BD=AB,过O,B,D三点的抛物线L3的顶点为P,对应函数的二次项系数为a3,过点P作PE∥x轴交抛物线L于E,F两点,求的值,并直接写出的值.
图6-3-5
解:(1)①对于二次函数y=x2,当y=2时,2=x2,解得x1=,x2=-,∴AB=2.
∵平移得到的抛物线L1经过点B,∴BC=AB=2,
∴AC=4;
②如答图①,记抛物线L2的对称轴与AD相交于点N.
根据抛物线的轴对称性,得BN=DB=,
∴OM=.
设抛物线L2的函数表达式为y=a2·.
由①得,点B的坐标为,
∴2=a2·,解得a2=4.
∴抛物线L2的函数表达式为y=4;
即y=4x2-12x+18.
① ②
第5题答图
(2)如答图②,设抛物线L3与x轴交于点G,其对称轴与x轴交于点Q,过点
B作BK⊥x轴于点K.
设OK=t,则AB=BD=2t,点B的坐标为(t,at2),
根据抛物线的轴对称性,得OQ=2t,OG=2OQ=4t.
设抛物线L3的函数表达式为y=a3x(x-4t),
∵该抛物线过点B(t,at2),∴at2=a3t(t-4t),
又∵t≠0,∴=-,
由题意得,点P的坐标为(2t,-4a3t2),则-4a3t2=ax2,
解得x1=t,x2=-t,EF=t,∴=.