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  • 2021-05-10 发布

中考数学二轮复习时抛物线中的一个动点问题

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第19课时 抛物线中的一个动点问题 ‎(40分)‎ ‎ 图6-3-1‎ ‎1.(20分)[2017·酒泉]如图6-3-1,已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B(-2,0),点C(8,0),与y轴交于点A.‎ ‎(1)求二次函数y=ax2+bx+4的表达式;‎ ‎(2)连结AC,AB,若点N在线段BC上运动(不与点B,C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求N点的坐标;‎ ‎(3)连结OM,在(2)的结论下,求OM与AC的数量关系.‎ ‎【解析】 (1)用待定系数法,将点B,点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4,解得a,b,即可求出二次函数的表达式;‎ ‎(2)设点N的坐标为(n,0)(-2<n<8),则BN=n+2,CN=8-n.由题意可知,BC=10,OA=4,S△ABC=20,S△ABN=2(n+2),因MN∥AC,根据平行线分线段成比例定理可得==,由△AMN,△ABN是同高三角形,可得出===,从而得出△AMN的面积S与n的二次函数关系式,根据二次函数的顶点性质,即可求出当n=3时,即N(3,0)时,△AMN的面积最大;‎ ‎(3)当N(3,0)时,N为BC边中点,由NM∥AC推出M为AB边中点,根据直角三角形中线定理可得OM=AB,利用勾股定理,易得AB=2,AC=4,即可求出OM=AC.‎ 解:(1)将点B,点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4,得 解得a=-,b=.‎ ‎∴该二次函数的表达式为y=-x2+x+4;‎ ‎(2)设点N的坐标为(n,0)(-2<n<8);‎ 则BN=n+2,CN=8-n.‎ ‎∵B(-2,0),C(8,0),∴BC=10.‎ 令x=0,得y=4,∴A(0,4),OA=4,‎ ‎∵MN∥AC,∴==.‎ ‎∵OA=4,BC=10,∴S△ABC=BC·OA=20.‎ ‎ S△ABN=BN·OA=(n+2)×4=2(n+2),‎ 又∵==,‎ ‎∴S△AMN=S△ABN=(8-n)(n+2)=-(n-3)2+5.‎ ‎∴当n=3时,即N(3,0)时,△AMN的面积最大;‎ ‎(3)当N(3,0)时,N为BC边中点.∴M为AB边中点,‎ ‎∴OM=AB,∵AB===2,‎ AC===4,‎ ‎∴AB=AC,∴OM=AC.‎ 图6-3-2‎ ‎2.(20分)[2016·贵港]如图6-3-2,抛物线y=ax2+bx-5(a≠0)与x轴交于点A(-5,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.‎ ‎(1)求该抛物线的表达式;‎ ‎(2)若E为x轴下方抛物线上的一动点,当S△ABE=S△ABC时,求点E的坐标;‎ ‎(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使∠BAP=∠CAE?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)把A,B两点坐标代入表达式,可得 解得 ‎∴抛物线的表达式为y=x2+x-5;‎ ‎(2)在y=x2+x-5中,令x=0,可得y=-5,‎ ‎∴点C坐标为(0,-5),‎ ‎∵S△ABE=S△ABC,且点E在x轴下方,‎ ‎∴点E纵坐标和点C纵坐标相同,‎ 当y=-5时,代入可得x2+x-5=-5,‎ 解得x=-2或x=0(舍去),‎ ‎∴点E坐标为(-2,-5);‎ ‎(3)假设存在满足条件的P点,其坐标为,‎ 如答图,连结AP,CE,AE,过点E作ED⊥AC于点D,过点P作PQ⊥x轴于点Q,‎ 第2题答图 则AQ=AO+OQ=5+m,‎ PQ=,‎ 在Rt△AOC中,OA=OC=5,‎ 则AC=5,∠ACO=∠DCE=45°,‎ 由(2)可得EC=2,在Rt△EDC中,可得DE=DC=,‎ ‎∴AD=AC-DC=5-=4,‎ 当∠BAP=∠CAE时,则△EDA∽△PQA,‎ ‎∴=,即=,‎ ‎∴m2+m-5=(5+m)或m2+m-5=-(5+m),‎ 当m2+m-5=(5+m)时,整理可得4m2+5m-75=0,解得m=或m=-5(与点A重合,舍去),‎ 当m2+m-5=-(5+m)时,整理可得4m2+11m-45=0,解得m=或m=-5(与点A重合,舍去),‎ ‎∴存在满足条件的点P,其横坐标为或.‎ ‎(40分)‎ 图6-3-3‎ ‎3.(20分)[2016·南宁]如图6-3-3,已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=x-2交于B,C两点.‎ ‎(1)求抛物线的表达式及点C的坐标;‎ ‎(2)求证:△ABC是直角三角形;‎ ‎(3)若N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】 (1)∵顶点坐标为(1,1),‎ ‎∴设抛物线表达式为y=a(x-1)2+1,‎ 又∵抛物线过原点,∴0=a(0-1)2+1,解得a=-1,‎ ‎∴抛物线的表达式为y=-(x-1)2+1,即y=-x2+2x,‎ 联立抛物线和直线表达式,可得 解得或 ‎∴B(2,0),C(-1,-3);‎ ‎(2)证明:如答图,分别过A,C两点作x轴的垂线,交x轴于D,E两点,‎ 第3题答图 则AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,‎ EC=3.‎ ‎∴∠ABO=∠CBO=45°,即∠ABC=90°,‎ ‎∴△ABC是直角三角形;‎ ‎(3)假设存在满足条件的点N,设N(x,0),则M(x,‎ ‎-x2+2x),‎ ‎∴ON=|x|,MN=|-x2+2x|,‎ 由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中,可分别求得AB=,BC=3,‎ ‎∵MN⊥x轴于点N,∴∠ABC=∠MNO=90°,‎ ‎∴当△ABC和△MNO相似时有=或=,‎ ‎①当=时,则有=,‎ 即|x|·|-x+2|=|x|,‎ ‎∵当x=0时M,O,N不能构成三角形,∴x≠0,‎ ‎∴|-x+2|=,即-x+2=±,‎ 解得x1=,x2=,‎ 此时点N坐标为或;‎ ‎②当=时,则有=,‎ 即|x|·|-x+2|=3|x|,‎ ‎∴|-x+2|=3,即-x+2=±3,‎ 解得x=5或-1,‎ 此时点N坐标为(-1,0)或(5,0),‎ 综上可知,存在满足条件的点N,其坐标为或或(-1,0)或(5,0).‎ 图6-3-4‎ ‎4.(20分)[2017·泸州]如图6-3-4,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点.‎ ‎(1)求该二次函数的表达式;‎ ‎(2)点D是该二次函数图象上的一点,且满足∠DBA=∠CAO(O是坐标原点),求点D的坐标;‎ ‎(3)点P是该二次函数图象上位于第一象限内的一个动点,连结PA分别交BC,y轴于点E,F,若△PEB,△CEF的面积分别为S1,S2,求S1-S2的最大值.‎ ‎【解析】 (1)根据待定系数法求解;‎ ‎(2)设直线BD与y轴的交点为M(0,t).根据tan∠MBA=tan∠CAO列关于t的方程求解t,从而可确定直线BD表达式,再求直线BD与抛物线交点坐标即可,注意分类讨论;‎ ‎(3)过点P作PH∥y轴交直线BC于点H,设P(t,at2+bt+c),根据直线BC 表达式点H的坐标,计算线段PH长度;用t表示直线AP表达式,解出点E,F坐标从而可表示出线段CF,将S1-S2用t表示,根据二次函数性质求最值.‎ 解:(1)设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-4),∵抛物线图象过点C(0,2),∴-4a=2,解得a=-.‎ ‎∴抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-4),‎ 即y=-x2+x+2;‎ ‎(2)设直线BD与y轴的交点为M(0,t).‎ ‎∵∠DBA=∠CAO,∴∠MBA=∠CAO,‎ ‎∴tan∠MBA=tan∠CAO=2,∴=2,即t=±8.‎ 当t=8时,直线BD表达式为y=-2x+8.‎ 联立解得 ‎∴D(3,2).‎ 当t=-8时,直线BD表达式为y=2x-8.‎ 联立 解得 ∴D(-5,-18).‎ 综上:点D的坐标为(3,2)或(-5,-18);‎ 第4题答图 ‎(3)如答图,过点P作PH∥y轴交直线BC于点H,设P, 直线BC的表达式为y=-x+2,则H,‎ ‎∴PH=yP-yH=-t2+2t;‎ 直线AP的表达式为y=(x+1),取x=0,得y=2-t;‎ 故F,CF=2-=t;‎ 联立解得xE=,‎ ‎∴S1=(yP-yH)(xB-xE)‎ ‎=,‎ S2=··.‎ ‎∴S1-S2=-··=-t2+4x=-+.‎ ‎∴当t=时,S1-S2有最大值,最大值为.‎ ‎(20分)‎ ‎5.(20分)[2016·金华]在平面直角坐标系中,O为原点,平行于x轴的直线与抛物线L:y=ax2相交于A,B两点(点B在第一象限),点D在AB的延长线上.‎ ‎(1)已知a=1,点B的纵坐标为2.‎ ‎①如图6-3-5①,向右平移抛物线L使该抛物线过点B,与AB的延长线交于点C,求AC的长;‎ ‎②如图②,若BD=AB,过点B,D的抛物线L2,其顶点M在x轴上,求该抛物线的函数表达式;‎ ‎(2)如图③,若BD=AB,过O,B,D三点的抛物线L3的顶点为P,对应函数的二次项系数为a3,过点P作PE∥x轴交抛物线L于E,F两点,求的值,并直接写出的值.‎ 图6-3-5‎ 解:(1)①对于二次函数y=x2,当y=2时,2=x2,解得x1=,x2=-,∴AB=2.‎ ‎∵平移得到的抛物线L1经过点B,∴BC=AB=2,‎ ‎∴AC=4;‎ ‎②如答图①,记抛物线L2的对称轴与AD相交于点N.‎ 根据抛物线的轴对称性,得BN=DB=,‎ ‎∴OM=.‎ 设抛物线L2的函数表达式为y=a2·.‎ 由①得,点B的坐标为,‎ ‎∴2=a2·,解得a2=4.‎ ‎∴抛物线L2的函数表达式为y=4;‎ 即y=4x2-12x+18.‎ ‎ ‎ ‎①    ②‎ 第5题答图 ‎(2)如答图②,设抛物线L3与x轴交于点G,其对称轴与x轴交于点Q,过点 B作BK⊥x轴于点K.‎ 设OK=t,则AB=BD=2t,点B的坐标为(t,at2),‎ 根据抛物线的轴对称性,得OQ=2t,OG=2OQ=4t.‎ 设抛物线L3的函数表达式为y=a3x(x-4t),‎ ‎∵该抛物线过点B(t,at2),∴at2=a3t(t-4t),‎ 又∵t≠0,∴=-,‎ 由题意得,点P的坐标为(2t,-4a3t2),则-4a3t2=ax2,‎ 解得x1=t,x2=-t,EF=t,∴=.‎