广西河池市中考数学试卷及答案解析 28页

‎2017年广西河池市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．下列实数中，为无理数的是（　　）‎ A．﹣2 B． C．2 D．4‎ ‎2．如图，点O在直线AB上，若∠BOC=60°，则∠AOC的大小是（　　）‎ A．60° B．90° C．120° D．150°‎ ‎3．若函数y=有意义，则（　　）‎ A．x＞1 B．x＜1 C．x=1 D．x≠1‎ ‎4．如图是一个由三个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．下列计算正确的是（　　）‎ A．a3+a2=a5 B．a3•a2=a6 C．（a2）3=a6 D．a6÷a3=a2‎ ‎6．点P（﹣3，1）在双曲线y=上，则k的值是（　　）‎ A．﹣3 B．3 C． D．‎ ‎7．在《数据分析》章节测试中，“勇往直前”学习小组7位同学的成绩分别是92，88，95，93，96，95，94．这组数据的中位数和众数分别是（　　）‎ A．94，94 B．94，95 C．93，95 D．93，96‎ ‎8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（　　）‎ A．18° B．36° C．54° D．72°‎ ‎9．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（　　）‎ A．中线 B．角平分线 C．高 D．中位线 ‎10．若关于x的方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4‎ ‎11．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（　　）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎12．已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（　　）‎ A．3 B．4 C．8 D．9‎ ‎　‎ 二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．分解因式：x2﹣25=　 　．‎ ‎14．点A（2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标是　 　．‎ ‎15．在校园歌手大赛中，参赛歌手的成绩为5位评委所给分数的平均分．各位评委给某位歌手的分数分别是92，93，88，87，90，则这位歌手的成绩是　 　．‎ ‎16．如图，直线y=ax与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，2），则不等式ax＞的解集是　 　．‎ ‎17．圆锥的底面半径长为5，将其侧面展开后得到一个半圆，则该半圆的半径长是　 　．‎ ‎18．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎19．计算：|﹣1|﹣2sin45°+﹣20．‎ ‎20．解不等式组：．‎ ‎21．直线l的解析式为y=﹣2x+2，分别交x轴、y轴于点A，B．‎ ‎（1）写出A，B两点的坐标，并画出直线l的图象；‎ ‎（2）将直线l向上平移4个单位得到l1，l1交x轴于点C．作出l1的图象，l1的解析式是　 　．‎ ‎（3）将直线l绕点A顺时针旋转90°得到l2，l2交l1于点D．作出l2的图象，tan∠CAD=　 　．‎ ‎22．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；‎ ‎（2）如图2，将 （1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎23．九 （1）班48名学生参加学校举行的“珍惜生命，远离毒品”只是竞赛初赛，赛后，班长对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方图（未完成）．余下8名学生成绩尚未统计，这8名学生成绩如下：60，90，63，99，67，99，99，68．‎ ‎ 频数分布表 分数段 频数（人数）‎ ‎60≤x＜70‎ a ‎70≤x＜80‎ ‎16‎ ‎80≤x＜90‎ ‎24‎ ‎90≤x＜100‎ b 请解答下列问题：‎ ‎（1）完成频数分布表，a=　 　，b=　 　．‎ ‎（2）补全频数分布直方图；‎ ‎（3）全校共有600名学生参加初赛，估计该校成绩90≤x＜100范围内的学生有多少人？‎ ‎（4）九 （1）班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，现选两人参加决赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．‎ ‎24．某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等．‎ ‎（1）排球和足球的单价各是多少元？‎ ‎（2）若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？‎ ‎25．如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．‎ ‎（1）求证：∠FEB=∠ECF；‎ ‎（2）若BC=6，DE=4，求EF的长．‎ ‎26．抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求直线BC的解析式；‎ ‎（2）抛物线的对称轴上存在点P，使∠APB=∠ABC，利用图1求点P的坐标；‎ ‎（3）点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ与∠OCA的大小，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017年广西河池市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．下列实数中，为无理数的是（　　）‎ A．﹣2 B． C．2 D．4‎ ‎【考点】26：无理数．‎ ‎【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．‎ ‎【解答】解：A、﹣2是整数，是有理数，选项不符合题意；‎ B、是无理数，选项符合题意；‎ C、2是整数，是有理数，选项不符合题意；‎ D、4是整数，是有理数，选项不符合题意．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．如图，点O在直线AB上，若∠BOC=60°，则∠AOC的大小是（　　）‎ A．60° B．90° C．120° D．150°‎ ‎【考点】IF：角的概念．‎ ‎【分析】根据点O在直线AB上，∠BOC=60°，即可得出∠AOC的度数．‎ ‎【解答】解：∵点O在直线AB上，‎ ‎∴∠AOB=180°，‎ 又∵∠BOC=60°，‎ ‎∴∠AOC=120°，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．若函数y=有意义，则（　　）‎ A．x＞1 B．x＜1 C．x=1 D．x≠1‎ ‎【考点】E4：函数自变量的取值范围．‎ ‎【分析】根据分母不能为零，可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意，得 x﹣1≠0，‎ 解得x≠1，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．如图是一个由三个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】U2：简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】根据主视图是从正面看得到的视图解答．‎ ‎【解答】解：从正面看，从左向右共有2列，第一列是1个正方形，第二列是1个正方形，且下齐．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．下列计算正确的是（　　）‎ A．a3+a2=a5 B．a3•a2=a6 C．（a2）3=a6 D．a6÷a3=a2‎ ‎【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】‎ 依据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方、同底数幂的除法法则进行判断即可．‎ ‎【解答】解：A．a3与a2不是同类项不能合并，故A错误；‎ B．a3•a2=a5，故B错误；‎ C．（a2）3=a6，故C正确；‎ D．a6÷a3=a2，故D错误．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．点P（﹣3，1）在双曲线y=上，则k的值是（　　）‎ A．﹣3 B．3 C． D．‎ ‎【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】根据反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k可得答案．‎ ‎【解答】解：∵点P（﹣3，1）在双曲线y=上，‎ ‎∴k=﹣3×1=﹣3，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．在《数据分析》章节测试中，“勇往直前”学习小组7位同学的成绩分别是92，88，95，93，96，95，94．这组数据的中位数和众数分别是（　　）‎ A．94，94 B．94，95 C．93，95 D．93，96‎ ‎【考点】W5：众数；W4：中位数．‎ ‎【分析】先将数据重新排列，再根据中位数、众数的定义就可以求解．‎ ‎【解答】解：这组数据重新排列为：88、92、93、94、95、95、96，‎ ‎∴这组数据的中位数为94，众数为95，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（　　）‎ A．18° B．36° C．54° D．72°‎ ‎【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理．‎ ‎【分析】根据垂径定理推出=，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由∠BCD=∠BAD即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵AB是直径，AB⊥CD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠CAB=∠BAD=36°，‎ ‎∵∠BCD=∠BAD，‎ ‎∴∠BCD=36°，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（　　）‎ A．中线 B．角平分线 C．高 D．中位线 ‎【考点】K3：三角形的面积；K2：三角形的角平分线、中线和高．‎ ‎【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答．‎ ‎【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，‎ ‎∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．若关于x的方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4‎ ‎【考点】AA：根的判别式．‎ ‎【分析】根据方程的系数结合根的判别式可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△=22﹣4×1×（﹣a）=4+4a=0，‎ 解得：a=﹣1．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（　　）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎【考点】N2：作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．‎ ‎【分析】连接EG，由作图可知AD=AE，根据等腰三角形的性质可知AG是DE的垂直平分线，由平行四边形的性质可得出CD∥AB，故可得出∠2=∠3，据此可知AD=DG，由等腰三角形的性质可知OA=AG，利用勾股定理求出OA的长即可．‎ ‎【解答】解：连接EG，‎ ‎∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∴AG⊥DE，OD=DE=3．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴CD∥AB，‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∴AD=DG．‎ ‎∵AG⊥DE，‎ ‎∴OA=AG．‎ 在Rt△AOD中，OA===4，‎ ‎∴AG=2AO=8．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（　　）‎ A．3 B．4 C．8 D．9‎ ‎【考点】KK：等边三角形的性质；KO：含30度角的直角三角形．‎ ‎【分析】设AD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论．‎ ‎【解答】解：设AD=x，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠A=∠B=∠C=60°，‎ ‎∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，‎ ‎∴∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，‎ ‎∴AF=2x，‎ ‎∴CF=12﹣2x，‎ ‎∴CE=2CF=24﹣4x，‎ ‎∴BE=12﹣CE=4x﹣12，‎ ‎∴BD=2BE=8x﹣24，‎ ‎∵AD+BD=AB，‎ ‎∴x+8x﹣24=12，‎ ‎∴x=4，‎ ‎∴AD=4．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．分解因式：x2﹣25=　（x+5）（x﹣5）　．‎ ‎【考点】54：因式分解﹣运用公式法．‎ ‎【分析】直接利用平方差公式分解即可．‎ ‎【解答】解：x2﹣25=（x+5）（x﹣5）．‎ 故答案为：（x+5）（x﹣5）．‎ ‎　‎ ‎14．点A（2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标是　（﹣2，﹣1）　．‎ ‎【考点】R6：关于原点对称的点的坐标．‎ ‎【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．‎ ‎【解答】解：∵点A（2，1）与点B关于原点对称，‎ ‎∴点B的坐标是（﹣2，﹣1），‎ 故答案为：（﹣2，﹣1）．‎ ‎　‎ ‎15．在校园歌手大赛中，参赛歌手的成绩为5位评委所给分数的平均分．各位评委给某位歌手的分数分别是92，93，88，87，90，则这位歌手的成绩是　90　．‎ ‎【考点】W1：算术平均数．‎ ‎【分析】根据算术平均数的计算公式，把这5个分数加起来，再除以5，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：这位参赛选手在这次比赛中获得的平均分为：‎ ‎（92+93+88+87+90）÷5=90（分）；‎ 故答案为：90．‎ ‎　‎ ‎16．如图，直线y=ax与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，2），则不等式ax＞的解集是　x＞1　．‎ ‎【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】根据函数的图象即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵直线y=ax与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，2），‎ ‎∴不等式ax＞的解集是x＞1，‎ 故答案为：x＞1．‎ ‎　‎ ‎17．圆锥的底面半径长为5，将其侧面展开后得到一个半圆，则该半圆的半径长是　10　．‎ ‎【考点】MP：圆锥的计算．‎ ‎【分析】侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长．依此列出方程即可．‎ ‎【解答】解：设该半圆的半径长为x，根据题意得：‎ ‎2πx÷2=2π×5，‎ 解得x=10．‎ 故答案为：10．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是　　．‎ ‎【考点】LB：矩形的性质．‎ ‎【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE==，BD==，根据三角形的面积公式得到BF==，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ABE=∠BAD=90°，‎ ‎∵AE⊥BD，‎ ‎∴∠AFB=90°，‎ ‎∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，‎ ‎∴∠BAE=∠ADB，‎ ‎∴△ABE∽△ADB，‎ ‎∴，‎ ‎∵E是BC的中点，‎ ‎∴AD=2BE，‎ ‎∴2BE2=AB2=2，‎ ‎∴BE=1，‎ ‎∴BC=2，‎ ‎∴AE==，BD==，‎ ‎∴BF==，‎ 过F作FG⊥BC于G，‎ ‎∴FG∥CD，‎ ‎∴△BFG∽△BDC，‎ ‎∴==，‎ ‎∴FG=，BG=，‎ ‎∴CG=，‎ ‎∴CF==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎19．计算：|﹣1|﹣2sin45°+﹣20．‎ ‎【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．‎ ‎【解答】解：|﹣1|﹣2sin45°+﹣20‎ ‎=1﹣2×+2﹣1‎ ‎=‎ ‎　‎ ‎20．解不等式组：．‎ ‎【考点】CB：解一元一次不等式组．‎ ‎【分析】先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵解不等式①得：x＞0.5，‎ 解不等式②得：x＜2，‎ ‎∴不等式组的解集为0.5＜x＜2．‎ ‎　‎ ‎21．直线l的解析式为y=﹣2x+2，分别交x轴、y轴于点A，B．‎ ‎（1）写出A，B两点的坐标，并画出直线l的图象；‎ ‎（2）将直线l向上平移4个单位得到l1，l1交x轴于点C．作出l1的图象，l1的解析式是　y=﹣2x+6　．‎ ‎（3）将直线l绕点A顺时针旋转90°得到l2，l2交l1于点D．作出l2的图象，tan∠CAD=　　．‎ ‎【考点】F9：一次函数图象与几何变换；F3：一次函数的图象．‎ ‎【分析】（1）分别令x=0求得y、令y=0求得x，即可得出A、B的坐标，从而得出直线l的解析式；‎ ‎（2）将直线向上平移4个单位可得直线l1，根据“上加下减”的原则求解即可得出其解析式；‎ ‎（3）由旋转得出其函数图象及点B的对应点坐标，待定系数法求得直线l2的解析式，继而求得其与y轴的交点，根据tan∠CAD=tan∠EAO=可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）当y=0时，﹣2x+2=0，解得：x=1，即点A（1，0），‎ 当x=0时，y=2，即点B（0，2），‎ 如图，直线AB即为所求；‎ ‎（2）如图，直线l1即为所求，‎ 直线l1的解析式为y=﹣2x+2+4=﹣2x+6，‎ 故答案为：y=﹣2x+6；‎ ‎（3）如图，直线l2即为所求，‎ ‎∵直线l绕点A顺时针旋转90°得到l2，‎ ‎∴由图可知，点B（0，2）的对应点坐标为（3，1），‎ 设直线l2解析式为y=kx+b，‎ 将点A（1，0）、（3，1）代入，得：，‎ 解得：，‎ ‎∴直线l2的解析式为y=x﹣，‎ 当x=0时，y=﹣，‎ ‎∴直线l2与y轴的交点E（0，﹣），‎ ‎∴tan∠CAD=tan∠EAO===，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎22．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥‎ BF于点M，求证：AE=BF；‎ ‎（2）如图2，将 （1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．‎ ‎【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABM与∠BAM的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAM与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；‎ ‎（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ABC=∠C，AB=BC．‎ ‎∵AE⊥BF，‎ ‎∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，‎ ‎∵∠ABM+∠CBF=90°，‎ ‎∴∠BAM=∠CBF．‎ 在△ABE和△BCF中，，‎ ‎∴△ABE≌△BCF（ASA），‎ ‎∴AE=BF；‎ ‎（2）解：AB=BC，‎ 理由：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ABC=∠C，‎ ‎∵AE⊥BF，‎ ‎∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，‎ ‎∵∠ABM+∠CBF=90°，‎ ‎∴∠BAM=∠CBF，‎ ‎∴△ABE∽△BCF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AB=BC．‎ ‎　‎ ‎23．九 （1）班48名学生参加学校举行的“珍惜生命，远离毒品”只是竞赛初赛，赛后，班长对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方图（未完成）．余下8名学生成绩尚未统计，这8名学生成绩如下：60，90，63，99，67，99，99，68．‎ ‎ 频数分布表 分数段 频数（人数）‎ ‎60≤x＜70‎ a ‎70≤x＜80‎ ‎16‎ ‎80≤x＜90‎ ‎24‎ ‎90≤x＜100‎ b 请解答下列问题：‎ ‎（1）完成频数分布表，a=　4　，b=　4　．‎ ‎（2）补全频数分布直方图；‎ ‎（3）全校共有600名学生参加初赛，估计该校成绩90≤x＜100范围内的学生有多少人？‎ ‎（4）九 （1）班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，现选两人参加决赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．‎ ‎【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图．‎ ‎【分析】（1）将余下的8位同学按60≤x＜70、90≤x＜100分组可得a、b的值；‎ ‎（2）根据（1）中所得结果补全即可得；‎ ‎（3）将样本中成绩90≤x＜100范围内的学生所占比例乘以总人数600可得答案；‎ ‎（4）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，60≤x＜70的有60、63、67、68这4个数，90≤x＜100的有90、99、99、99这4个，‎ 即a=4、b=4，‎ 故答案为：4，4；‎ ‎（2）补全频数分布直方图如下：‎ ‎（3）600×=50（人），‎ 故答案为：估计该校成绩90≤x＜100范围内的学生有50人．‎ ‎（4）画树状图得：‎ ‎∵共有6种等可能的结果，甲、乙被选中的有2种情况，‎ ‎∴甲、乙被选中的概率为=．‎ ‎　‎ ‎24．某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等．‎ ‎（1）排球和足球的单价各是多少元？‎ ‎（2）若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？‎ ‎【考点】B7：分式方程的应用；95：二元一次方程的应用．‎ ‎【分析】（1）设排球单价是x元，则足球单价是（x+30）元，根据题意可得等量关系：500元购得的排球数量=800元购得的足球数量，由等量关系可得方程，再求解即可；‎ ‎（2）设恰好用完1200元，可购买排球m个和购买足球n个，根据题意可得排球的单价×排球的个数m+足球的单价×足球的个数n=1200，再求出整数解即可得出答案．‎ ‎【解答】解：设排球单价为x元，则足球单价为（x+30）元，由题意得：‎ ‎=，‎ 解得：x=50，‎ 经检验：x=50是原分式方程的解，‎ 则x+30=80．‎ 答：排球单价是50元，则足球单价是80元；‎ ‎（2）设设恰好用完1200元，可购买排球m个和购买足球n个，‎ 由题意得：50m+80n=1200，‎ 整理得：m=24﹣n，‎ ‎∵m、n都是正整数，‎ ‎∴①n=5时，m=16，②n=10时，m=8；‎ ‎∴有两种方案：‎ ‎①购买排球5个，购买足球16个；‎ ‎②购买排球10个，购买足球8个．‎ ‎　‎ ‎25．如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．‎ ‎（1）求证：∠FEB=∠ECF；‎ ‎（2）若BC=6，DE=4，求EF的长．‎ ‎【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．‎ ‎【分析】（1）利用切线长定理得到OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，利用切线的性质得OB⊥BC，则∠BCO+∠COB=90°，由于∠FEB+∠FOE=90°，∠COB=∠FOE，所以∠FEB=∠ECF；‎ ‎（2）连接OD，如图，利用切线长定理和切线的性质得到CD=CB=6，OD⊥CE，则CE=10，利用勾股定理可计算出BE=8，设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=8﹣r，在Rt△ODE中，根据勾股定理得r2+42=（8﹣r）2，解得r=3，所以OE=5，OC=3，然后证明△OEF∽△OCB，利用相似比可计算出EF的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，‎ ‎∴OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，OB⊥BC，‎ ‎∴∠BCO+∠COB=90°，‎ ‎∵EF⊥OG，‎ ‎∴∠FEB+∠FOE=90°，‎ 而∠COB=∠FOE，‎ ‎∴∠FEB=∠ECF；‎ ‎（2）解：连接OD，如图，‎ ‎∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，‎ ‎∴CD=CB=6，OD⊥CE，‎ ‎∴CE=CD+DE=6+4=10，‎ 在Rt△BCE中，BE==8，‎ 设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=8﹣r，‎ 在Rt△ODE中，r2+42=（8﹣r）2，解得r=3，‎ ‎∴OE=8﹣3=5，‎ 在Rt△OBC中，OC==3，‎ ‎∵∠COB=∠FOE，‎ ‎∴△OEF∽△OCB，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴EF=2．‎ ‎　‎ ‎26．抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求直线BC的解析式；‎ ‎（2）抛物线的对称轴上存在点P，使∠APB=∠ABC，利用图1求点P的坐标；‎ ‎（3）点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ与∠OCA的大小，并说明理由．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）由抛物线解析式可求得B、C的坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式；‎ ‎（2）由直线BC解析式可知∠APB=∠ABC=45°，设抛物线对称轴交直线BC于点D，交x轴于点E，结合二次函数的对称性可求得PD=BD，在Rt△BDE中可求得BD，则可求得PE的长，可求得P点坐标；‎ ‎（3）设Q（x，﹣x2+2x+3），当∠OCQ=∠OCA时，利用两角的正切值相等可得到关于x的方程，可求得Q点的横坐标，再结合图形可比较两角的大小．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，令x=0可得y=3，‎ ‎∴B（3，0），C（0，3），‎ ‎∴可设直线BC的解析式为y=kx+3，‎ 把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，‎ ‎∴直线BC解析式为y=﹣x+3；‎ ‎（2）∵OB=OC，‎ ‎∴∠ABC=45°，‎ ‎∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，‎ ‎∴抛物线对称轴为x=1，‎ 设抛物线对称轴交直线BC于点D，交x轴于点E，当点P在x轴上方时，如图1，‎ ‎∵∠APB=∠ABC=45°，且PA=PB，‎ ‎∴∠PBA==67.5°，∠DPB=∠APB=22.5°，‎ ‎∴∠PBD=67.5°﹣45°=22.5°，‎ ‎∴∠DPB=∠DBP，‎ ‎∴DP=DB，‎ 在Rt△BDE中，BE=DE=2，由勾股定理可求得BD=2，‎ ‎∴PE=2+2，‎ ‎∴P（1，2+2）；‎ 当点P在x轴下方时，由对称性可知P点坐标为（1，﹣2﹣2）；‎ 综上可知P点坐标为（1，2+2）或（1，﹣2﹣2）；‎ ‎（3）设Q（x，﹣x2+2x+3），当点Q在x轴下方时，如图2，过Q作QF⊥y轴于点F，‎ 当∠OCA=∠OCQ时，则△QEC∽△AOC，‎ ‎∴==，即=，解得x=0（舍去）或x=5，‎ ‎∴当Q点横坐标为5时，∠OCA=∠OCQ；‎ 当Q点横坐标大于5时，则∠OCQ逐渐变小，故∠OCA＞∠OCQ；‎ 当Q点横坐标小于5且大于0时，则∠OCQ逐渐变大，故∠OCA＜∠OCQ．‎ ‎　‎ ‎2017年7月8日