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  • 2021-05-10 发布

4月松江区中考数学二模试卷及答案

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2017 年松江区初中毕业生学业模拟考试 初三数学 (满分 150 分,完卷时间 100 分钟) 2017.4 考生注意: 1.本试卷含三个大题,共 25 题; 2.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答 题一律无效; 3.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证 明或计算的主要步骤. 一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸 的相应位置上】 1. 8 的绝对值是( ) (A) 8 ; (B)8 ; (C) 8 1 ; (D) 8 1 . 2.下列运算中,计算结果正确的是( ) (A)3( 1) 3 1a a   ; (B) 2 2 2( )a b a b   ; (C) 6 3 2a a a  ; (D) 3 2 6(3 ) 9a a . 3.一组数据 2,4,5,2,3 的众数和中位数分别是( ) (A)2,5; (B)2,2; (C)2,3; (D)3,2. 4.对于二次函数   31 2  xy ,下列说法正确的是( ) (A)图像开口方向向下; (B)图像与 y 轴的交点坐标是(0,-3); (C)图像的顶点坐标为(1,-3); (D)抛物线在 x>-1 的部分是上升的. 5.一个正多边形内角和等于 540°,则这个正多边形的每一个外角等于( ) (A)72°; (B)60°; (C)108°; (D)90°. 6.下列说法中正确的是( ) (A)有一组邻边相等的梯形是等腰梯形; (B)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是等腰梯形; (C)有一组对角互补的梯形是等腰梯形; (D)有两组对角分别相等的四边形是等腰梯形. 二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7.计算: 12 =________. 8.函数 3 1  xy 的定义域是 . 9.方程 213 x 的根是 . 10.关于 x 的方程 022  kxx 有两个相等的实数根,那么 k 的值为 . 11.在一个袋中,装有除颜色外其它完全相同的 2 个红球、3 个白球和 4 个黑球,从中随机 摸出一个球,摸到的球是红球的概率是_________. 12.已知双曲线 x my  1 ,当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小,则 m 的取值范围为_________. 13.不等式组 3 0 1 0 x x      的解集是 . 14.为了解某校九年级学生体能情况,随机抽查了其中 35 名学生,测试 1 分钟仰卧起坐的 次数,并绘制成频数分布直方图(如图所示),那么仰卧起坐的次数在 40~45 的频率 是 . 15.某山路坡面坡度 i=1︰3,沿此山路向上前进了 100 米,升高了_________米. 16.如图,在□ABCD 中,E 是 AD 上一点,且 3AD AE ,设 aAB  , bBC  , BE =______________.(结果用 a 、 b  表示) 17.已知一个三角形各边的比为 2︰3︰4,联结各边中点所得的三角形的周长为 18cm,那么 原三角形最短的边的长为_______cm. 18.如图,已知在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=8,将△ABC 沿对角线 AC 翻折,点 B 落在点 E 处,联结 DE,则 DE 的长为______________. D CB A (第 18 题图)(第 16 题图) E D CB A9 4 2 30 35 40 45 50 次数(次) 人数(人) (每组可含最小值,不含最大值) (第14题图) (第 22 题图) B D O C EA 三、解答题:(本大题共 7 题,满分 78 分) 19.(本题满分 10 分) 先化简,再求值: 121 21 2 2        xx xx x ,其中 12 x . 20.(本题满分 10 分) 解方程组:      023 62 22 yxyx yx 21.(本题满分 10 分,每小题各 5 分) 如图,直线 1 22y x  与双曲线相交于点 A(2,m), 与 x 轴交于点 C. (1)求双曲线解析式; (2)点 P 在 x 轴上,如果 PA=PC,求点 P 的坐标. 22.(本题满分 10 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分) 如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图,已知真空集热管 AB 与支架 CD 所在直线相交于水箱横断面⊙O 的圆心,支架 CD 与水平面 AE 垂直,AB=110 厘米, ∠BAC=37°,垂直支架 CD=57 厘米,DE 是另一根辅助支架,且∠CED=60°. (1)求辅助支架 DE 长度;(结果保留根号) (2)求水箱半径 OD 的长度.(结果精确到 1 厘米,参考数据:sin37°≈0.6, cos37°≈0.8,tan37°≈0.75) 23.(本题满分 12 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 8 分) 如图,点 D、E 分别是△ABC 边 BC、AB 上的 点,AD、CE 相交于点 G,过点 E 作 EF∥AD 交 BC 于点 F,且 CBCDCF 2 ,联结 FG. (1)求证:GF∥AB; (2)如果∠CAG=∠CFG,求证:四边形 AEFG 是菱形. ② ① (第 21 题图) C A y xO (第 23 题图) F E G D CB A 24.(本题满分 12 分,第(1)小题 3 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 5 分) 已知抛物线 cbxxy  2 与 x 轴交于点 A 和点 B(3,0),与 y 轴交于点 C(0, 3),P 是线段 BC 上一点,过点 P 作 PN∥ y 轴交 x 轴于点 N,交抛物线于点 M. (1)求该抛物线的表达式; (2)如果点 P 的横坐标为 2,点 Q 是第一象限抛物线上的一点,且△QMC 和△PMC 的面积相等,求点 Q 的坐标; (3)如果 PNPM 2 3 ,求 tan∠CMN 的值. 25.(本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 5 分) 如图,已知在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,cosB= 3 5 ,BC=3,P 是射线 AB 上的一个 动点,以 P 为圆心,PA 为半径的⊙P 与射线 AC 的另一个交点为 D,直线 PD 交直线 BC 于点 E. (1)当 PA=1 时,求 CE 的长; (2)如果点 P 在边 AB 的上,当⊙P 与以点 C 为圆心,CE 为半径的⊙C 内切时, 求⊙P 的半径; (3)设线段 BE 的中点为 Q,射线 PQ 与⊙P 相交于点 F,点 P 在运动过程中,当 PE∥CF 时,求 AP 的长. (第 24 题图) A B x y C O (第 25 题图) E A D B C P A B C (备用图 1) A B C (备用图 2) 2017 年松江区初中毕业生学业模拟考试 数学参考答案及评分标准 2017.4 一、选择题 1.B; 2.D; 3.C; 4.D; 5.A; 6.C. 二、填空题 7. 2 1 ; 8. 3x ; 9. 3 5x ; 10. 1 ; 11. 9 2 ; 12. 1m ; 13. 31  x ;14. 7 4 ;15. 1010 ;16. ba 3 1 ; 17.8;18. 55 12 . 三、解答题 19.解:原式= )1( )1( 1 1 2    xx x x x ………………………………………………………………(4 分) =  x x 1 …………………………………………………………………………(2 分) 当 12 x 时,原式= 22)12(2 12 2   ………………………………(4 分) 20.解:由②得, 02  yx , 2 yx ………………………………………………(2 分) 原方程组化为      02 62 yx yx ,      0 62 yx yx ………………………………………(2 分) 得      2 3 3 2 2 y x      2 2 1 1 y x …………………………………………………………………(6 分) ∴原方程组的解是      2 3 3 1 1 y x      2 2 2 2 y x 21.解:(1)把 myx  ,2 代入直线 22 1  xy 解得 3m …………………………(1 分) ∴点 A 的坐标为(2,3)……………………………………………………………………(1 分) 设双曲线的函数关系式为 )0(  kx ky …………………………………………………(1 分) 把 3,2  yx 代入解得 6k ……………………………………………………………(1 分) ∴双曲线的解析式为 xy 6 …………………………………………………………………(1 分) (2)设点 P 的坐标为 )0,(x …………………………………………………………………(1 分) ∵C(-4,0),PA=PC…………………………………………………………………………(1 分) ∴ 49)2( 2  xx ,解得 4 1x …………………………………………………(2 分) 经检验: 4 1x 是原方程的根,∴点 P 的坐标为      0,4 1 ……………………………(1 分) 22.解:(1)在 Rt△ DCE 中,sin∠E= DE DC ……………………………………………(2 分) ∴DE= E DC sin = 33860sin 57 0  (厘米)…………………………………………………(2 分) 答:辅助支架 DE 长度 338 厘米 (2)设圆 O 的半径为 x 厘米,在 Rt△AOC 中 sin∠A= OA OC ,即 sin37 0 = x x   110 57 ……(2 分) ∴ 5 3 110 57   x x ,解得 x=22.5≈23(厘米)………………………………………………(4 分) 答:水箱半径 OD 的长度为 23 厘米. 23.(1)证明:∵ CBCDCF 2 ,∴ CB CF CF CD  ………………………………………(1 分) ∵EF∥AD,∴ CF CD CE CG  ………………………………………………………………(1 分) ∴ CE CG CB CF  ………………………………………………………………………………(1 分) ∴GF∥AB …………………………………………………………………………………(1 分) (2) 联结 AF ,∵GF∥AB ∴ BCFG  ∵ CFGCAG  ,∴ BCAG  …………………………………………………(1 分) ∵ ACBACD  ,∴ CAD ∽ CBA …………………………………………………(1 分) ∴ CA CD CB CA  ,即 CBCDCA 2 ………………………………………………………(1 分) ∵ CBCDCF 2 ,∴ CFCA  …………………………………………………………(1 分) ∴ CFACAF  …………………………………………………………………………(1 分) ∵ CFGCAG  ,∴ GFAGAF  ,∴ GFGA  ………………………………(1 分) ∵GF∥AB,EF∥AD,∴四边形 AEFG 是平行四边形…………………………………(1 分) ∴四边形 AEFG 是菱形……………………………………………………………………(1 分) 24.解:(1)将 )0,3(B , )30( ,C 代入 cbxxy  2 ,得      3 039 c cb 解得      3 2 c b ………………………………………………………(2 分) ∴抛物线的表达式为 322  xxy …………………………………………………(1 分) (2)设直线 BC 的解析式为 )0(  kbkxy ,把点 C(0,3),B(3,0)代入得      03 3 bk b ,解得      3 1 b k ∴直线 BC 的解析式为 3 xy …………………………(1 分) ∴P(2,1),M(2,3) …………………………………………………………………(1 分) ∴ 2PCMS ,设△QCM 的边 CM 上的高为 h,则 222 1  hS QCM ∴ 2h ………………………………………………………………………………………(1 分) ∴Q 点的纵坐标为 1,∴ 1322  xx 解得 舍)(31,31 21  xx ∴点 Q 的坐标为( )1,31 …………………………………………………………………(1 分) (3)过点 C 作 MNCH  ,垂足为 H 设 M )32,( 2  mmm ,则 P )3,( mm ………………………………………………(1 分) ∵ PNPM 2 3 ,∴ MNPN 5 2 ,∴ )32(5 23 2  mmm …………………(1 分) 解得 2 3m ,∴点 P 的坐标为( )2 3,2 3 ……………………………………………………(1 分) ∴M )4 15,2 3( …………………………………………………………………………………(1 分) ∴ 4 3MH ,∴ 2tan  MH CHCMN …………………………………………………(1 分) 25.解:(1)作 PH⊥AC,垂足为 H,∵PH 过圆心,∴AH=DH………………………(1 分) ∵∠ACB=90°,∴PH∥BC, ∵cosB= 5 3 ,BC=3,∴AB=5,AC=4 ∵PH∥BC,∴ AB PA BC PH  , ∴ 5 1 3 PH , ∴ 5 3PH …………………………………(1 分) ∴ 5 4 DHAH ……………………………………………………………………………(1 分) ∴DC= 5 12 ,又∵ DC DH CE PH  , ∴ 5 12 5 4 5 3  CE , ∴ 5 9CE ……………………………(1 分) (2)当⊙P 与⊙C 内切时,点 C 在⊙P 内,∴点 D 在 AC 的延长线上 过点 P 作 PG⊥AC,垂足为 G,设 PA= x ,则 xPG 5 3 , xDGAG 5 4 …………(1 分) 45 8  xCD , xCG 5 44  ,∵ DG DC PG CE  , x x x CE 5 4 45 8 5 3   , 35 6  xCE …(1 分) ∵⊙P 与⊙C 内切,∴ PCCEPA  ………………………………………………………(1 分) ∴ 22 )5 44()5 3()35 6( xxxx  ……………………………………………………(1 分) ∴ 017513024 2  xx ,∴ 12 35 1 x , 2 5 2 x (舍去)………………………………(1 分) ∴当⊙P 与⊙C 内切时,⊙P 的半径为 12 35 . (3)∵∠ABC+∠A=90 ゜,∠PEC+∠CDE=90 ゜,∵∠A=∠PDA,∴∠ABC=∠PEC ∵∠ABC=∠EBP,∴∠PEC=∠EBP,∴PB=PE…………………………………………(1 分) ∵点 Q 为线段 BE 的中点,∴PQ⊥BC,∴PQ∥AC ∴当 PE∥CF 时,四边形 PDCF 是平行四边形,∴PF=CD………………………………(1 分) 当点 P 在边 AB 的上时, xx 5 84  , 13 20x …………………………………………(1 分) 当点 P 在边 AB 的延长线上时, 45 8  xx , 3 20x …………………………………(2 分) 综上所述,当 PE∥CF 时,AP 的长为 13 20 或 3 20 .