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- 2021-05-10 发布
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2017 年松江区初中毕业生学业模拟考试
初三数学
(满分 150 分,完卷时间 100 分钟) 2017.4
考生注意:
1.本试卷含三个大题,共 25 题;
2.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答
题一律无效;
3.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证
明或计算的主要步骤.
一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分)
【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸
的相应位置上】
1. 8 的绝对值是( )
(A) 8 ; (B)8 ; (C)
8
1 ; (D)
8
1 .
2.下列运算中,计算结果正确的是( )
(A)3( 1) 3 1a a ; (B) 2 2 2( )a b a b ;
(C) 6 3 2a a a ; (D) 3 2 6(3 ) 9a a .
3.一组数据 2,4,5,2,3 的众数和中位数分别是( )
(A)2,5; (B)2,2; (C)2,3; (D)3,2.
4.对于二次函数 31 2 xy ,下列说法正确的是( )
(A)图像开口方向向下; (B)图像与 y 轴的交点坐标是(0,-3);
(C)图像的顶点坐标为(1,-3); (D)抛物线在 x>-1 的部分是上升的.
5.一个正多边形内角和等于 540°,则这个正多边形的每一个外角等于( )
(A)72°; (B)60°; (C)108°; (D)90°.
6.下列说法中正确的是( )
(A)有一组邻边相等的梯形是等腰梯形;
(B)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是等腰梯形;
(C)有一组对角互补的梯形是等腰梯形;
(D)有两组对角分别相等的四边形是等腰梯形.
二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分)
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7.计算: 12 =________.
8.函数
3
1
xy 的定义域是 .
9.方程 213 x 的根是 .
10.关于 x 的方程 022 kxx 有两个相等的实数根,那么 k 的值为 .
11.在一个袋中,装有除颜色外其它完全相同的 2 个红球、3 个白球和 4 个黑球,从中随机
摸出一个球,摸到的球是红球的概率是_________.
12.已知双曲线
x
my 1 ,当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小,则 m 的取值范围为_________.
13.不等式组 3 0
1 0
x
x
的解集是 .
14.为了解某校九年级学生体能情况,随机抽查了其中 35 名学生,测试 1 分钟仰卧起坐的
次数,并绘制成频数分布直方图(如图所示),那么仰卧起坐的次数在 40~45 的频率
是 .
15.某山路坡面坡度 i=1︰3,沿此山路向上前进了 100 米,升高了_________米.
16.如图,在□ABCD 中,E 是 AD 上一点,且 3AD AE ,设 aAB , bBC ,
BE =______________.(结果用 a 、 b
表示)
17.已知一个三角形各边的比为 2︰3︰4,联结各边中点所得的三角形的周长为 18cm,那么
原三角形最短的边的长为_______cm.
18.如图,已知在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=8,将△ABC 沿对角线 AC 翻折,点 B 落在点
E 处,联结 DE,则 DE 的长为______________.
D
CB
A
(第 18 题图)(第 16 题图)
E D
CB
A9
4
2
30 35 40 45 50 次数(次)
人数(人)
(每组可含最小值,不含最大值)
(第14题图)
(第 22 题图)
B
D
O
C EA
三、解答题:(本大题共 7 题,满分 78 分)
19.(本题满分 10 分)
先化简,再求值:
121
21 2
2
xx
xx
x
,其中 12 x .
20.(本题满分 10 分)
解方程组:
023
62
22 yxyx
yx
21.(本题满分 10 分,每小题各 5 分)
如图,直线 1 22y x 与双曲线相交于点 A(2,m),
与 x 轴交于点 C.
(1)求双曲线解析式;
(2)点 P 在 x 轴上,如果 PA=PC,求点 P 的坐标.
22.(本题满分 10 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分)
如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图,已知真空集热管 AB 与支架
CD 所在直线相交于水箱横断面⊙O 的圆心,支架 CD 与水平面 AE 垂直,AB=110 厘米,
∠BAC=37°,垂直支架 CD=57 厘米,DE 是另一根辅助支架,且∠CED=60°.
(1)求辅助支架 DE 长度;(结果保留根号)
(2)求水箱半径 OD 的长度.(结果精确到 1 厘米,参考数据:sin37°≈0.6,
cos37°≈0.8,tan37°≈0.75)
23.(本题满分 12 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 8 分)
如图,点 D、E 分别是△ABC 边 BC、AB 上的
点,AD、CE 相交于点 G,过点 E 作 EF∥AD 交 BC
于点 F,且 CBCDCF 2 ,联结 FG.
(1)求证:GF∥AB;
(2)如果∠CAG=∠CFG,求证:四边形 AEFG
是菱形.
②
①
(第 21 题图)
C
A
y
xO
(第 23 题图)
F
E
G
D CB
A
24.(本题满分 12 分,第(1)小题 3 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 5 分)
已知抛物线 cbxxy 2 与 x 轴交于点 A 和点 B(3,0),与 y 轴交于点 C(0,
3),P 是线段 BC 上一点,过点 P 作 PN∥ y 轴交 x 轴于点 N,交抛物线于点 M.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)如果点 P 的横坐标为 2,点 Q 是第一象限抛物线上的一点,且△QMC 和△PMC
的面积相等,求点 Q 的坐标;
(3)如果 PNPM 2
3 ,求 tan∠CMN 的值.
25.(本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 5 分)
如图,已知在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,cosB= 3
5
,BC=3,P 是射线 AB 上的一个
动点,以 P 为圆心,PA 为半径的⊙P 与射线 AC 的另一个交点为 D,直线 PD 交直线 BC
于点 E.
(1)当 PA=1 时,求 CE 的长;
(2)如果点 P 在边 AB 的上,当⊙P 与以点 C 为圆心,CE 为半径的⊙C 内切时,
求⊙P 的半径;
(3)设线段 BE 的中点为 Q,射线 PQ 与⊙P 相交于点 F,点 P 在运动过程中,当
PE∥CF 时,求 AP 的长.
(第 24 题图)
A B
x
y
C
O
(第 25 题图)
E
A D
B
C
P
A
B
C
(备用图 1)
A
B
C
(备用图 2)
2017 年松江区初中毕业生学业模拟考试
数学参考答案及评分标准
2017.4
一、选择题
1.B; 2.D; 3.C; 4.D; 5.A; 6.C.
二、填空题
7.
2
1 ; 8. 3x ; 9.
3
5x ; 10. 1 ; 11.
9
2 ; 12. 1m ;
13. 31 x ;14.
7
4 ;15. 1010 ;16. ba 3
1 ; 17.8;18. 55
12 .
三、解答题
19.解:原式=
)1(
)1(
1
1 2
xx
x
x
x ………………………………………………………………(4 分)
=
x
x 1 …………………………………………………………………………(2 分)
当 12 x 时,原式= 22)12(2
12
2
………………………………(4 分)
20.解:由②得, 02 yx , 2 yx ………………………………………………(2 分)
原方程组化为
02
62
yx
yx ,
0
62
yx
yx ………………………………………(2 分)
得
2
3
3
2
2
y
x
2
2
1
1
y
x …………………………………………………………………(6 分)
∴原方程组的解是
2
3
3
1
1
y
x
2
2
2
2
y
x
21.解:(1)把 myx ,2 代入直线 22
1 xy 解得 3m …………………………(1 分)
∴点 A 的坐标为(2,3)……………………………………………………………………(1 分)
设双曲线的函数关系式为 )0( kx
ky …………………………………………………(1 分)
把 3,2 yx 代入解得 6k ……………………………………………………………(1 分)
∴双曲线的解析式为
xy 6 …………………………………………………………………(1 分)
(2)设点 P 的坐标为 )0,(x …………………………………………………………………(1 分)
∵C(-4,0),PA=PC…………………………………………………………………………(1 分)
∴ 49)2( 2 xx ,解得
4
1x …………………………………………………(2 分)
经检验:
4
1x 是原方程的根,∴点 P 的坐标为
0,4
1 ……………………………(1 分)
22.解:(1)在 Rt△ DCE 中,sin∠E= DE
DC ……………………………………………(2 分)
∴DE= E
DC
sin = 33860sin
57
0 (厘米)…………………………………………………(2 分)
答:辅助支架 DE 长度 338 厘米
(2)设圆 O 的半径为 x 厘米,在 Rt△AOC 中 sin∠A= OA
OC ,即 sin37 0 = x
x
110
57 ……(2 分)
∴
5
3
110
57
x
x ,解得 x=22.5≈23(厘米)………………………………………………(4 分)
答:水箱半径 OD 的长度为 23 厘米.
23.(1)证明:∵ CBCDCF 2 ,∴
CB
CF
CF
CD ………………………………………(1 分)
∵EF∥AD,∴
CF
CD
CE
CG ………………………………………………………………(1 分)
∴
CE
CG
CB
CF ………………………………………………………………………………(1 分)
∴GF∥AB …………………………………………………………………………………(1 分)
(2) 联结 AF ,∵GF∥AB ∴ BCFG
∵ CFGCAG ,∴ BCAG …………………………………………………(1 分)
∵ ACBACD ,∴ CAD ∽ CBA …………………………………………………(1 分)
∴
CA
CD
CB
CA ,即 CBCDCA 2 ………………………………………………………(1 分)
∵ CBCDCF 2 ,∴ CFCA …………………………………………………………(1 分)
∴ CFACAF …………………………………………………………………………(1 分)
∵ CFGCAG ,∴ GFAGAF ,∴ GFGA ………………………………(1 分)
∵GF∥AB,EF∥AD,∴四边形 AEFG 是平行四边形…………………………………(1 分)
∴四边形 AEFG 是菱形……………………………………………………………………(1 分)
24.解:(1)将 )0,3(B , )30( ,C 代入 cbxxy 2 ,得
3
039
c
cb 解得
3
2
c
b ………………………………………………………(2 分)
∴抛物线的表达式为 322 xxy …………………………………………………(1 分)
(2)设直线 BC 的解析式为 )0( kbkxy ,把点 C(0,3),B(3,0)代入得
03
3
bk
b ,解得
3
1
b
k ∴直线 BC 的解析式为 3 xy …………………………(1 分)
∴P(2,1),M(2,3) …………………………………………………………………(1 分)
∴ 2PCMS ,设△QCM 的边 CM 上的高为 h,则 222
1 hS QCM
∴ 2h ………………………………………………………………………………………(1 分)
∴Q 点的纵坐标为 1,∴ 1322 xx 解得 舍)(31,31 21 xx
∴点 Q 的坐标为( )1,31 …………………………………………………………………(1 分)
(3)过点 C 作 MNCH ,垂足为 H
设 M )32,( 2 mmm ,则 P )3,( mm ………………………………………………(1 分)
∵ PNPM 2
3 ,∴ MNPN 5
2 ,∴ )32(5
23 2 mmm …………………(1 分)
解得
2
3m ,∴点 P 的坐标为( )2
3,2
3 ……………………………………………………(1 分)
∴M )4
15,2
3( …………………………………………………………………………………(1 分)
∴
4
3MH ,∴ 2tan
MH
CHCMN …………………………………………………(1 分)
25.解:(1)作 PH⊥AC,垂足为 H,∵PH 过圆心,∴AH=DH………………………(1 分)
∵∠ACB=90°,∴PH∥BC, ∵cosB= 5
3 ,BC=3,∴AB=5,AC=4
∵PH∥BC,∴
AB
PA
BC
PH
,
∴
5
1
3
PH
,
∴
5
3PH …………………………………(1 分)
∴
5
4 DHAH ……………………………………………………………………………(1 分)
∴DC=
5
12 ,又∵
DC
DH
CE
PH
,
∴
5
12
5
4
5
3
CE ,
∴
5
9CE ……………………………(1 分)
(2)当⊙P 与⊙C 内切时,点 C 在⊙P 内,∴点 D 在 AC 的延长线上
过点 P 作 PG⊥AC,垂足为 G,设 PA= x ,则 xPG 5
3 , xDGAG 5
4 …………(1 分)
45
8 xCD , xCG 5
44 ,∵
DG
DC
PG
CE
, x
x
x
CE
5
4
45
8
5
3
,
35
6 xCE …(1 分)
∵⊙P 与⊙C 内切,∴ PCCEPA ………………………………………………………(1 分)
∴ 22 )5
44()5
3()35
6( xxxx ……………………………………………………(1 分)
∴ 017513024 2 xx ,∴
12
35
1 x ,
2
5
2 x (舍去)………………………………(1 分)
∴当⊙P 与⊙C 内切时,⊙P 的半径为
12
35 .
(3)∵∠ABC+∠A=90 ゜,∠PEC+∠CDE=90 ゜,∵∠A=∠PDA,∴∠ABC=∠PEC
∵∠ABC=∠EBP,∴∠PEC=∠EBP,∴PB=PE…………………………………………(1 分)
∵点 Q 为线段 BE 的中点,∴PQ⊥BC,∴PQ∥AC
∴当 PE∥CF 时,四边形 PDCF 是平行四边形,∴PF=CD………………………………(1 分)
当点 P 在边 AB 的上时, xx 5
84 ,
13
20x …………………………………………(1 分)
当点 P 在边 AB 的延长线上时, 45
8 xx ,
3
20x …………………………………(2 分)
综上所述,当 PE∥CF 时,AP 的长为
13
20 或
3
20 .