中考数学试题分类32 圆的有关性质 22页

‎2011年全国各地中考数学试卷试题分类汇编 第32章 圆的有关性质 一、选择题 ‎1. （2011广东湛江16,4分）如图，是上的三点，，则 A ‎ ‎ 度．‎ ‎【答案】60‎ ‎2. （2011安徽，7，4分）如图，⊙O的半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧的长是（ ）‎ A． B．π C．π D．π 图2‎ ‎【答案】B ‎ ‎3. （2011福建福州，9，4分）如图2,以为圆心的两个同心圆中,大圆的弦切小圆于点,若,则大圆半径与小圆半径之间满足（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎4. （2011山东泰安，10 ，3分）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=，则⊙O的半径为（ ）‎ A. B‎.2 C. D. ‎【答案】A ‎ ‎5. （2011四川南充市，9，3分）在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图，油面宽AB为6分米，‎ 如果再注入一些油 后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（ ）‎ ‎（A）6分米 （B）8分米 （C）10分米 （D）12分米 ‎【答案】C ‎6. （2011浙江衢州，1,3分）一个圆形人工湖如图所示，弦是湖上的一座桥，已知桥 ‎ 长‎100m，测得圆周角，则这个人工湖的直径为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎(第5题图)‎ ‎【答案】B ‎7. （2011浙江绍兴，4，4分）如图，的直径，点在上，若,则的度数是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎8. （2011浙江绍兴，6，4分）一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径，截面圆圆心到水面的距离是6，则水面宽是（ ）‎ ‎ A.16 B‎.10 ‎‎ C.8 D.6‎ ‎【答案】A ‎9. （2011浙江省，5，3分）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）‎ A. 12个单位 B. 10个单位 C.4个单位 D. 15个单位 ‎【答案】B ‎10．（2011四川重庆，6，4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°则∠A的度数等于( )A． 60° B． 50° C． 40° D． 30°‎ ‎【答案】B ‎（第6题）‎ ‎11. （2011浙江省嘉兴，6，4分）如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16‎ ‎，则这条弦的弦心距为（　　）（A）6 （B）8 （C）10 （D）12‎ ‎【答案】A ‎12. （2011台湾台北，16）如图(六)，为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，平分∠BAD且交于F点。若∠ADE＝，则∠AFB的度数为何？（ ）‎ A．97 B．‎104 C．116 D．142‎ ‎【答案】C ‎ ‎13. （2011台湾全区，24）如图(六)，△ABC的外接圆上，AB、BC、CA三弧的度数比为12：13：11．自BC上取一点D，过D分别作直线AC、直线AB的并行线，且交于E、F两点，则∠EDF的度数为何？（ ）‎ A． 55 B． ‎60 C． 65 D． 70‎ ‎【答案】Ｃ A B C O ‎14. （2011甘肃兰州，12，4分）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6。则⊙O的半径为（ ）‎ A．6 B．‎13 ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎15. （2011四川成都，7,3分）如图，若AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°， 则∠BCD=（ ）‎ ‎(A)116° (B)32° (C)58° （D)64°‎ ‎【答案】B ‎ ‎16. （2011四川内江，9，3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（ ）‎ ‎(第6题)‎ A B O P x y y=x A．1 B． C．2 D．2‎ ‎【答案】D ‎17. (2011江苏南京，6，2分)如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）(a＞2)，半径为2，函数y=x的图象被⊙P的弦AB的长为，则a的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B 1. ‎18. （2011江苏南通，8，3分）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ ）‎ A. ‎8 B. ‎2 ‎ C. 10 D. 5‎ ‎【答案】D ‎19. （2011山东临沂，6，3分）如图，⊙O的直径CD＝‎5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB 的长是（ ）‎ A．‎2cm B．3cm C．‎4cm D．‎2‎cm ‎【答案】C ‎20．（2011上海，6，4分）矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．‎ ‎(A) 点B、C均在圆P外； (B) 点B在圆P外、点C在圆P内；‎ ‎(C) 点B在圆P内、点C在圆P外； (D) 点B、C均在圆P内．‎ ‎【答案】C ‎21. （2011四川乐山6，3分）如图（3），CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，若∠BOC=40°，则∠ABD=‎ ‎ A．40° B．60° C．70° D．80°‎ ‎【答案】 C ‎22. （2011四川凉山州，9，4分）如图，，点C在上，且点C不与A、B重合，则的度数为（ ）‎ A B C D E A．　　 B．或 　　C．　　 D． 或 ‎【答案】D ‎23. （2011广东肇庆，7，3分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE的大小是 A． 115° B． 105° C． 100° D． 95°‎ ‎【答案】B ‎24. （2011内蒙古乌兰察布，9，3分）如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，如果∠BOC = 70 ，那么∠A的度数为（ ）‎ ‎ A . B . C . D . ‎ ‎【答案】B ‎25. （2011重庆市潼南,3,4分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠A=30°,则∠B的度数为（ ） ‎ ‎（第6题）‎ A．15° B. 30° C. 45° D. 60°‎ ‎【答案】D ‎26. （2011浙江省舟山，6，3分）如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为（　 　）‎ ‎（A）6 （B）8 （C）10 （D）12‎ ‎（第16题）‎ ‎【答案】A 二、填空题 ‎1. （2011浙江省舟山，15，4分）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②；③△ODE∽△ADO；④．其中正确结论的序号是　 　．‎ ‎【答案】①④‎ ‎2. （2011安徽，13，5分）如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是 ．‎ ‎【答案】 ‎3. （2011江苏扬州，15,3分）如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD=50°，则∠ACD= ‎ ‎【答案】40°‎ ‎4. （2011山东日照，14，4分）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是 ．‎ ‎【答案】如：x2-x+1=0；‎ ‎5. （2011山东泰安，23 ，3分）如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC==320，则∠P的度数为 。‎ ‎【答案】260‎ O x y B C A ‎6. （2011山东威海，15，3分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,,则∠AED= . ‎ ‎【答案】 30°‎ ‎7. （2011山东烟台，16,4分）如图，△ABC的外心坐标是__________.‎ ‎【答案】（－2，－1）‎ ‎8. （2011浙江杭州，14，4）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，‎ 的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，‎ 则∠ABD十∠CAO= °．‎ ‎【答案】53°‎ ‎9. （2011浙江温州，14，5分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，连结CA，CB，DC，DB．已知∠D=30°，BC＝3，则AB的长是 ．‎ ‎（第16题）‎ ‎【答案】6‎ ‎10．（2011浙江省嘉兴，16，5分）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB分别交OC于点E，交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①S△AEC=2S△DEO；②AC=2CD；③线段OD是DE与DA的比例中项；④．其中正确结论 的序号是　 　．‎ O D B C ‎【答案】①④‎ ‎11. （2011福建泉州，16，4分）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是 .（写出符合的一种情况即可）‎ ‎【答案】 2（符合答案即可）‎ ‎12. （2011甘肃兰州，16，4分）如图，OB是⊙O的半径，点C、D在⊙O上，∠DCB=27°，则∠OBD= 度。‎ ‎【答案】63°‎ ‎13. （2011湖南常德，7，3分）如图2，已知⊙O是△ABC的外接圆，且∠C =70°，则∠OAB =__________.‎ ‎【答案】20°‎ ‎14. （2011江苏连云港，15，3分）如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD=DO.以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连接EF.若∠BAC=22º，则∠EFG=_____.‎ ‎【答案】‎ A B C D 第16题图 ‎15. （2011四川广安，19，3分）如图3所示，若⊙O的半径为‎13cm，点是弦上一动点，且到圆心的最短距离为‎5 cm，则弦的长为________cm ‎【答案】24‎ ‎16. （ 2011重庆江津， 16，4分）已知如图,在圆内接四边形ABCD中,∠B=30º,则 ‎∠D=____________.‎ ‎【答案】150°‎ ‎17. (2011重庆綦江，13，4分) 如图,已知AB为⊙O的直径，∠CAB＝30°,则∠D＝ .‎ ‎【答案】：60° ‎ ‎18. （2011江西南昌，13，3分）如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB ‎= 度.‎ ‎【答案】90‎ A B O P ‎(第13题)‎ ‎19. (2011江苏南京，13，2分)如图，海边有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°，为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为______°．‎ ‎【答案】40 ‎ y x O A B D C ‎（第18题）‎ ‎20．（2011上海，17，4分）如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝_________．‎ ‎【答案】6‎ ‎21. （2011江苏无锡，18，2分）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = _____________．‎ ‎【答案】65‎ ‎22. （2011湖北黄石，14，3分）如图（5），△ABC内接于圆O，若∠B＝300.AC＝，则⊙O的直径为 。‎ ‎【答案】2‎ ‎23. （2011湖南衡阳，16，3分）如图，⊙的直径过弦的中点G，∠EOD=40°，则∠FCD ‎（第8题）‎ ‎ 的度数为 ．‎ ‎【答案】 20‎ ‎24. （2011湖南永州，8，3分）如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB,CB，已知⊙O的半径为2，AB=,则∠BCD=________度．‎ ‎【答案】30‎ ‎25. (20011江苏镇江,15,2分)如图,DE是⊙O的直径,弦AB⊥DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则OC=_____,CD=_____.‎ 答案：4，9‎ ‎26. （2011内蒙古乌兰察布，14，4分）如图，是半径为 6 的⊙D的圆周，C点是 上的任意一点， △ABD是等边三角形,则四边形ABCD的周长P的取值范围是 ‎ ‎【答案】‎ ‎27. （2011河北，16，3分）如图7，点O为优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB的延长线上，BD=BC,则∠D=__°．‎ ‎【答案】27‎ ‎28. （2011湖北荆州，12，4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是　　　.‎ ‎【答案】50°‎ 三、解答题 ‎1. （2011浙江金华，21，8分）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线 PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE.‎ ‎（1）求证：AP＝AO；‎ ‎（2）若弦AB＝12，求tan∠OPB的值；‎ ‎（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .‎ 证明：（1）∵PG平分∠EPF，‎ ‎∴∠DPO=∠BPO ， ‎ ‎∵OA//PE，‎ ‎∴∠DPO=∠POA ， ‎ ‎∴∠BPO=∠POA，‎ ‎∴PA=OA； ……2分 解：（2）过点O作OH⊥AB于点H，则AH=HB=AB，……1分 ‎∵ tan∠OPB=，∴PH=2OH， ……1分 设OH=，则PH=2，‎ 由（1）可知PA=OA= 10 ，∴AH=PH－PA=2－10，‎ ‎∵， ∴， ……1分 H P A B C O D E F G 解得（不合题意，舍去），，‎ ‎ ∴AH=6， ∴AB=2AH=12； ……1分 ‎（3）P、A、O、C；A、B、D、C 或 P、A、O、D 或P、C、O、B.……2分(写对1个、2个、3个得1分，写对4个得2分)‎ ‎2.（2011浙江金华，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.‎ ‎（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；‎ ‎（2）当DE＝8时，求线段EF的长；‎ ‎（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 解：（1）连结BC,‎ ‎∵A（10，0）, ∴OA=10 ,CA=5,‎ ‎∵∠AOB=30°,‎ ‎∴∠ACB=2∠AOB=60°,‎ ‎∴弧AB的长=; ……4分 O B D E C F x y A ‎（2）连结OD,‎ ‎∵OA是⊙C直径, ∴∠OBA=90°,‎ 又∵AB=BD,‎ ‎∴OB是AD的垂直平分线,‎ ‎∴OD=OA=10,‎ 在Rt△ODE中，‎ OE=,‎ ‎∴AE=AO－OE=10-6=4,‎ 由 ∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，‎ 得△OEF∽△DEA,‎ ‎∴,即，∴EF=3；……4分 ‎（3）设OE=x，‎ ‎①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=，‎ ‎∴E1（，0）；‎ 当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x, AE=10-x，‎ ‎∴CF∥AB,有CF=,‎ ‎∵△ECF∽△EAD,‎ ‎∴,即,解得：,‎ ‎∴E2（，0）;‎ ‎②当交点E在点C的右侧时，‎ ‎∵∠ECF＞∠BOA，‎ ‎∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，‎ O B D F C E A x y 连结BE，‎ O B D F C E A x y ‎∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，‎ ‎∴BE=AB=BD,‎ ‎∴∠BEA=∠BAO,‎ ‎∴∠BEA=∠ECF,‎ ‎∴CF∥BE, ∴,‎ ‎∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠， ‎ O B D F C E A x y ‎∴△CEF∽△AED, ∴,‎ 而AD=2BE, ∴,‎ 即, 解得, ＜0（舍去），‎ ‎∴E3（，0）;‎ ‎③当交点E在点O的左侧时，‎ ‎∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF .‎ ‎∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO O B D F C E A x y 连结BE，得BE==AB，∠BEA=∠BAO ‎∴∠ECF=∠BEA,‎ ‎∴CF∥BE,‎ ‎∴,‎ 又∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠， ‎ ‎∴△CEF∽△AED, ∴，‎ 而AD=2BE, ∴,‎ ‎∴, 解得, ＜0（舍去）,‎ ‎∵点E在x轴负半轴上, ∴E4（，0）,‎ 综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为：‎ ‎（，0）、（，0）、（，0）、（，0）．……4分 ‎3. （2011山东德州22,10分）●观察计算 当，时， 与的大小关系是_________________．‎ 当，时， 与的大小关系是_________________．‎ ‎●探究证明 如图所示，为圆O的内接三角形，为直径，过C作于D，设，BD=b．‎ A B C O D ‎（1）分别用表示线段OC，CD；‎ ‎（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系 ‎（用含a，b的式子表示）．‎ ‎●归纳结论 根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与的大小关系是：________________．‎ ‎●实践应用 要制作面积为‎1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．‎ ‎【答案】●观察计算:>， =. …………………2分 A B C O D ‎●探究证明：‎ ‎（1），‎ ‎∴…………………3分 AB为⊙O直径,‎ ‎∴.‎ ‎，，‎ ‎ ∴∠A=∠BCD.‎ ‎∴△∽△. …………………4分 ‎∴.‎ 即,‎ ‎∴. …………………5分 ‎（2）当时,, =；‎ 时,, >．…………………6分 ‎●结论归纳: ． ………………7分 ‎●实践应用 设长方形一边长为米,则另一边长为米,设镜框周长为l米，则 ‎ ≥ ． ……………9分 ‎(第19题)‎ 当,即（米）时,镜框周长最小．‎ 此时四边形为正方形时,周长最小为‎4 米. ………………10分 ‎4. （2011山东济宁，19，6分）如图，为外接圆的直径，，垂足为点，的平分线交于点，连接，.‎ ‎(1) 求证：； ‎ ‎ (2) 请判断，，三点是否在以为圆心，以为半径的圆上？并说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明：∵为直径，，‎ ‎∴.∴. 3分 ‎（2）答：，，三点在以为圆心，以为半径的圆上. 4分 理由：由（1）知：，∴.‎ ‎∵，，，‎ ‎∴.∴. 6分 由（1）知：.∴.‎ A B C D E F P ‎.‎ O G ‎（图1）‎ ‎∴，，三点在以为圆心，以为半径的圆上. ……………7分 ‎5. （2011山东烟台，25,12分）已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.‎ ‎（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r2‎ ‎（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.‎ ‎.‎ A B C D E ‎.‎ O G ‎（图2）‎ ‎【答案】（1）证明：连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ.‎ ‎∵FQ是⊙O直径，∴∠FDQ＝90°.‎ ‎∴∠QFD＋∠Q＝90°. ‎ ‎∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.‎ ‎∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.‎ ‎∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.‎ ‎∴.∴OE·OP＝OF2＝r2.‎ ‎（2）解：（1）中的结论成立.‎ 理由：如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM.‎ ‎∵FM是⊙O直径，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝90°.‎ ‎∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.‎ ‎∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E. ‎ ‎∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE.‎ ‎∴，∴OE·OP＝OF2＝r2.‎ ‎6. （2011宁波市，25，10分）阅读下面的情境对话，然后解答问题 ‎（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？‎ ‎（2）在RtABC 中， ∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtABC是奇异三角形，求a：b：c；‎ ‎（3）如图，AB是⊙O的直径，C是上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，CD在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE．‎ 求证：ACE是奇异三角形；‎ 当ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．‎ ‎【答案】解：（1）真命题 ‎（2）在RtABC 中a2＋b2＝ c2，‎ ‎∵c＞b＞a＞0‎ ‎∴‎2c2＞a2＋b2，‎2a2＜c2＋b2‎ ‎∴若RtABC是奇异三角形，一定有2b2＝c2＋ a2‎ ‎∴2b2＝a2＋（a2＋b2）‎ ‎∴b2＝‎2a2　得：b＝a ‎∵c2＝b2＋ a2＝‎3a2‎ ‎∴c＝a ‎∴a：b：c＝1：： ‎(3)∵AB是⊙O的直径ACBADB＝90°‎ 在RtABC 中，AC2＋BC2＝AB2‎ 在RtADB 中，AD2＋BD2＝AB2‎ ‎∵点D是半圆的中点 ‎∴＝ ‎∴AD＝BD ‎∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2‎ ‎∴AC2＋CB2＝2AD2‎ 又∵CB＝CE，AE＝AD ‎∴AC2＝CE2＝2AE2‎ ‎∴ACE是奇异三角形 由可得ACE是奇异三角形 ‎∴AC2＝CE2＝2AE2‎ 当ACE是直角三角形时 由（2）可得AC：AE：CE＝1：：或AC：AE：CE＝：： 1‎ ‎（Ⅰ）当AC：AE：CE＝1：：时 AC：CE＝1：即AC：CB＝1： ‎∵∠ACB＝90°‎ ‎∴∠ABC＝30°‎ ‎∴∠AOC＝2∠ABC ＝60°‎ ‎(Ⅱ)当AC：AE：CE＝：： 1时 AC：CE＝： 1即AC：CB＝： 1‎ ‎∵∠ACB＝90°‎ ‎∴∠ABC＝60°‎ ‎∴∠AOC＝2∠ABC ＝120°‎ ‎∴∠AOC＝2∠ABC ＝120°‎ ‎∴∠AOC的度数为60°或120°‎ ‎7. （2011浙江丽水，21，8分）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE.‎ ‎（1）求证：AP＝AO；‎ ‎（2）若弦AB＝12，求tan∠OPB的值；‎ ‎（3）若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .‎ ‎【解】（1）∵PG平分∠EPF，‎ ‎ ∴∠DPO=∠BPO，‎ ‎ ∵OA//PE，‎ ‎ ∴∠DPO=∠POA，‎ ‎ ∴∠BPO=∠POA，‎ ‎ ∴PA=OA；‎ ‎（2）过点O作OH⊥AB于点H，则AH=HB，‎ ‎ ∵AB=12，‎ ‎ ∴AH=6，‎ ‎ 由（1）可知PA=OA=10，‎ ‎ ∴PH=PA+AH=16，‎ ‎ OH==8，‎ ‎ ∴tan∠OPB==；‎ ‎（3）P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.‎ ‎8. （2011广东广州市，25，14分）‎ ‎ 如图7，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中，∠DCE是直角，点D在线段AC上．‎ ‎　（1）证明：B、C、E三点共线；‎ ‎ （2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；‎ A B C D E M N O 图7‎ ‎ （3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图8），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．‎ ‎【答案】（1）∵AB为⊙O直径 ‎∴∠ACB=90°‎ ‎∵△DCE为等腰直角三角形 ‎∴∠ACE=90°‎ A B C D1‎ E1‎ M1‎ O N1‎ 图8‎ ‎∴∠BCE=90°+90°=180°‎ ‎∴B、C、E三点共线．‎ ‎（2）连接BD，AE，ON．‎ ‎∵∠ACB=90°，∠ABC=45°‎ ‎∴AB=AC ‎∵DC=DE ‎∠ACB=∠ACE=90°‎ ‎∴△BCD≌△ACE ‎∴AE=BD，∠DBE=∠EAC ‎∴∠DBE+∠BEA=90°‎ ‎∴BD⊥AE ‎∵O，N为中点 ‎∴ON∥BD，ON=BD 同理OM∥AE，OM=AE ‎∴OM⊥ON，OM=ON ‎∴MN=OM ‎（3）成立 证明：同（2）旋转后∠BCD1=∠BCE1=90°－∠ACD1‎ 所以仍有△BCD1≌△ACE1，‎ 所以△ACE1是由△BCD1绕点C顺时针旋转90°而得到的，故BD1⊥AE1‎ 其余证明过程与（2）完全相同．‎ ‎9. （2011浙江丽水，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.‎ ‎（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；‎ ‎（2）当DE＝8时，求线段EF的长；‎ ‎（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【解】(1)连结BC，‎ ‎∵A(10，0)，∴OA=10，CA=5，‎ ‎ ∵∠AOB=30°，‎ ‎ ∴∠ACB=2∠AOB=60°，‎ ‎ ∴的长==；‎ ‎（2）连结OD，‎ ‎∵OA是⊙C的直径，∴∠OBA=90°，‎ ‎ 又∵AB= BD，‎ ‎ ∴OB是AD的垂直平分线，‎ ‎ ∴OD= OA=10，‎ ‎ 在Rt△ODE中，‎ ‎ OE===6，‎ ‎ ∴AE= AO－OE =10－6=4，‎ ‎ 由∠AOB=∠ADE= 90°－∠OAB，‎ ‎ ∠OEF=∠DEA，‎ ‎ 得△OEF∽△DEA，‎ ‎ ∴=，即=，∴EF=3；‎ ‎(3)设OE=x，‎ ‎ ①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，‎ ‎ 有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC的中点，即OE=，‎ ‎ ∴E1(，0)；‎ 当∠ECF=∠OAB时，有CE=5－x，AE=10－x，‎ ‎∴CF//AB，有CF=AB，‎ ‎ ∵△ECF∽△EAD，‎ ‎ ∴=，即=，解得x=，‎ ‎∴E2(，0)；‎ ‎②当交点E在C的右侧时，‎ ‎∵∠ECF>∠BOA ‎∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，‎ 连结BE，‎ ‎∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，‎ ‎∴BE=AB=BD，‎ ‎∴∠BEA=∠BAO，‎ ‎∴∠BEA=∠ECF，‎ ‎∵CF//BE，∴=，‎ ‎∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠，‎ ‎ ∴△CEF∽△AED，∴=，‎ ‎ 而AD=2BE，∴=，‎ 即=，‎ 解得x1=，x2=<0（舍去），‎ ‎∴E3(，0)；‎ ‎③当交点E在O的左侧时，‎ ‎∵∠BOA=∠EOF>∠ECF ‎∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，‎ 连结BE，得BE=AD=AB，‎ ‎ ∠BEA=∠BAO，‎ ‎∴∠ECF=∠BEA，‎ ‎∴CF//BE，‎ ‎∴=，‎ 又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠，‎ ‎ ∴△CEF∽△AED，∴=，‎ ‎ 而AD=2BE，∴=，‎ ‎∴=，解得x1=，x2=<0（舍去），‎ ‎∵点E在x轴负半轴上，∴E4(，0)，‎ 综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，此时点E坐标为：‎ ‎∴E1(，0)、E2(，0)、E3(，0)、E4(，0).‎ ‎10．（2011江西，21，8分）如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）。‎ ‎⑴求∠BAC的度数；‎ ‎⑵求△ABC面积的最大值.‎ ‎（参考数据：sin60°=，cos30°=，tan30°=.）‎ ‎【答案】（1）过点O作OD⊥BC于点D, 连接OA.‎ 因为BC=，所以CD==.‎ 又OC=2，所以=，即=，‎ 所以∠DOC=60°.‎ 又OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60°.‎ ‎（2）因为△ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC面积的最大值,即点A是的中点时，△ABC面积的最大值.‎ 因为∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形，‎ 在Rt△ADC中，AC=，DC=,‎ 所以AD===3.‎ 所以△ABC面积的最大值为×3×=3.‎ ‎11. （2011湖南常德，25，10分）已知 △ABC，分别以AC和BC为直径作半圆、P是AB的中点.‎ ‎（1）如图8，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分别取点E、F，使则有结论① ②四边形是菱形.请给出结论②的证明；‎ ‎（2）如图9，若（1）中△ABC是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；‎ ‎（3）如图10，若PC是的切线，求证：‎ B D ‎【答案】‎ （1） 证明：∵BC是⊙O2直径，则O2是BC的中点 又P是AB的中点.‎ ‎∴P O2是△ABC的中位线 ‎∴P O2 =AC 又AC是⊙O1直径 ‎∴P O2= O‎1C=AC 同理P O1= O‎2C =BC ‎∵AC =BC ‎∴P O2= O‎1C=P O1= O‎2C ‎∴四边形是菱形 （2） 结论①成立，结论②不成立 ‎ 证明：在（1）中已证PO2=AC，又O1E=AC ‎ ∴PO2=O1E ‎ 同理可得PO1=O‎2F ‎∵PO2是△ABC的中位线 ‎∴PO2∥AC ‎∴∠PO2B=∠ACB 同理∠P O‎1A=∠ACB ‎∴∠PO2B=∠P O‎1A ‎∵∠AO1E =∠BO‎2F ‎∴∠P O‎1A+∠AO1E =∠PO2B+∠BO‎2F 即∠P O1E =∠F O2 P （1） 证明：延长AC交⊙O2于点D，连接BD.‎ ‎ ∵BC是⊙O2的直径，则∠D=90°，‎ ‎ 又PC是的切线，则∠ACP=90°，‎ ‎ ∴∠ACP=∠D ‎ 又∠PAC=∠BAD，‎ ‎∴△APC∽△BAD 又P是AB的中点 ‎∴‎ ‎∴AC=CD ‎∴在Rt△BCD中，‎ 在Rt△ABD中，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎12. （2011江苏苏州，26,8分）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.‎ ‎（1）弦长AB=________（结果保留根号）；‎ ‎（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；‎ ‎（3）当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程.‎ ‎【答案】解：（1）2.‎ ‎（2）解法一：∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角，‎ ‎∴∠BOD=∠B+∠BCO，∠BCO=∠A+∠D.‎ ‎∴∠BOD=∠B+∠A+∠D.‎ 又∵∠BOD=2∠A，∠B=30°，∠D=20°，‎ ‎∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°，∠A=50°，‎ ‎∴∠BOD=2∠A=100°.‎ 解法二：如图，连接OA.‎ ‎∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，‎ ‎∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D.‎ 又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，‎ ‎∴∠BOD=2∠DAB=100°.‎ ‎（3）∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D.‎ ‎∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°.‎ 此时，∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°.‎ ‎∴△DAC∽△BOC.‎ ‎∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，∴AC=AB=.‎ ‎13. （2011江苏苏州，27,8分）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD.‎ ‎（1）如图①，当PA的长度等于______时，∠PAB=60°；‎ ‎ 当PA的长度等于______时，△PAD是等腰三角形；‎ ‎（2）如图②，以AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.设P点坐标为（a，b），试求2S1S3-S22的最大值，并求出此时a、b的值.‎ ‎【答案】解：（1）2；2或.‎ ‎（2）如图，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，延长FP交BC于点G，则PG⊥BC.‎ ‎∵P点坐标为（a，b），∴PE=b，PF=a，PG=4-a.‎ 在△PAD、△PAB及△PBC中，‎ S1=‎2a，S2=2b，S3=8‎-2a，‎ ‎∵AB是直径，∴∠APB=90°.‎ ‎∴PE2=AE·BE，即b2=a（4-a）.‎ ‎∴2S1S3-S22=‎4a（8‎-2a）-4b2=‎-4a2+‎16a=-4（a-2）2+16.‎ ‎∴当a=2时，b=2，2S1S3-S22有最大值16.‎ ‎14. （2011江苏泰州，26，10分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N．‎ ‎（1）点N是线段BC的中点吗？为什么？‎ ‎（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为‎6cm，AB=‎5cm，BC=‎10cm，求小圆的半径．‎ ‎【答案】解：(1)N是BC的中点。原因：∵AD与小圆相切于点M，‎ ‎∴OM⊥AD，又AD∥BC，∴ON⊥BC，∴在大圆O中，由垂径定理可得N是BC的中点．‎ ‎(2)连接OB，设小圆半径为r，则有ON=r+5,OB=r+6,BN=‎5cm,‎ 在Rt△OBN中，由勾股定理得OB2=BN2+ON2 ，即：（r+6）2=(r+5)2+52 ，解得r=‎7cm.‎ ‎∴小圆的半径为‎7cm.‎ ‎15. （2011四川成都，27,10分）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙0，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．‎ ‎(1)求证：AE=CK；‎ ‎ (2)如果AB=，AD= (为大于零的常数)，求BK的长；‎ ‎(3)若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．‎ ‎【答案】‎ 解：（1）∵DH∥KB，BK⊥AC，∴DE⊥AC，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠KCB，‎ ‎∴Rt△ADE≌Rt△CBK，∴AE=CK.‎ ‎（2）在Rt△ABC中，AB=，AD=BC=，∴==，‎ ‎∵S△ABC=AB×BC=AC×BK，∴BK===.‎ ‎（3）连线OG，∵AC⊥DG，AC是⊙O的直接，DE=6，∴DE=EG=6，又∵EF=FG，∴EF=3；∵Rt△ADE≌Rt△CBK，∴DE=BK=6，AE=CK，‎ 在△ABK中，EF=3，BK=6，EF∥BK，∴EF是△ABK的中位线，∴AF=BF，AE=EK=KC；在Rt△OEG中，设OG=，则OE=，EG=6，，∴，∴.‎ 在Rt△ADF≌Rt△BHF中，AF=BF，‎ ‎∵AD=BC，BF∥CD，∴HF=DF，‎ ‎∵FG=EF，∴HF-FG=DF-EF，∴HG=DE=6.‎ ‎16. （2011四川宜宾,23，10分）已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上到一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．‎ ‎（1）求证：AC⊥BH；‎ ‎（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．‎ ‎（23题图）‎ ‎【答案】证明：⑴连接AD ‎ ∵∠DAC=∠DEC ∠EBC=∠DEC ‎∴∠DAC=∠EBC 又∵AC是⊙O的直径 ‎∴∠ADC=90°‎ ‎∴∠DCA+∠DAC=90°‎ ‎∴∠EBC+∠DCA=90°‎ ‎∴∠BGC=180°-(∠EBC+∠DCA)=180°-90°=90°‎ ‎∴AC⊥BH ‎⑵∵∠BDA=180°-∠ADC=90°∠ABC=45°‎ ‎∴∠BAD=45°‎ ‎∴BD=AD ‎∵BD=8‎ ‎∴AD=8‎ 又∵∠ADC=90° AC=10‎ ‎（第23题解答图）‎ ‎∴由勾股定理，得.‎ ‎∴BC=BD+DC=8+6=14‎ 又∵∠BGC=∠ADC=90° ∠BCG=∠ACD ‎ ‎∴△BCG∽△ACD ‎∴‎ ‎∴ ∴‎ 连接AE，∵AC是直径 ∴∠AEC=90°‎ 又∵EG⊥AC ‎∴△CEG∽△CAE ∴ ∴‎ ‎∴.‎ ‎17. （2011江西南昌，21，8分）如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）。‎ ‎⑴求∠BAC的度数；‎ ‎⑵求△ABC面积的最大值.‎ ‎（参考数据：sin60°=，cos30°=，tan30°=.）‎ ‎【答案】（1）过点O作OD⊥BC于点D, 连接OA.‎ 因为BC=，所以CD==.‎ 又OC=2，所以=，即=，‎ 所以∠DOC=60°.‎ 又OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60°.‎ ‎（2）因为△ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC面积的最大值,即点A是的中点时，△ABC面积的最大值.‎ 因为∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形，‎ 在Rt△ADC中，AC=，DC=,‎ 所以AD===3.‎ 所以△ABC面积的最大值为×3×=3.‎ ‎18. （2011上海，21，10分）如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．‎ ‎（1）求线段OD的长；‎ ‎（2）若，求弦MN的长．‎ ‎【答案】（1）∵CD∥AB，‎ ‎ ∴∠OAB=∠C，∠OBA=∠D．‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴∠OAB=∠OBA．‎ ‎∴∠C=∠D．‎ ‎∴OC=OD．‎ ‎∵OA=3，AC=2，‎ ‎∴OC=5．‎ ‎∴OD=5．‎ ‎（2）过点O作OE⊥CD，E为垂足，连接OM．‎ 在Rt△OCE中，OC=5，，设OE=x，则CE=2x．由勾股定理得，解得x1=，x2=（舍去）．∴OE=．‎ 在Rt△OME中，OM=OA=3，ME===2。∴MN=2ME=4．‎ ‎19. （2011湖北黄冈，22，8分）在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．‎ ‎ 第22题图 B A F E D C M ‎⑴求证△ABD为等腰三角形．‎ ‎⑵求证AC•AF=DF•FE ‎【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=∠DAB，故△ABD为等腰三角形．‎ ‎⑵∵∠DBA=∠DAB ‎∴弧AD=弧BD 又∵BC=AF ‎∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA ‎∴弧CD=弧DF ‎∴CD=DF 再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知 ‎∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE ‎∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE ‎∴AC：FE=CD：AF ‎∴AC•AF= CD •FE 而CD=DF，‎ ‎∴AC•AF=DF•FE ‎20．（2011广东茂名，24，8分）如图，⊙P与轴相切于坐标原点O(0，0)，与轴相交于点A(5，0)，过点A的直线AB与轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．‎ ‎(1)已知AC＝3，求点Ｂ的坐标； (4分)‎ χ ‎(2)若AC＝, D是OＢ的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为，函数的图象经过点，求的值(用含的代数式表示)。(4分)‎ ‎【答案】解：(1)解法一：连接OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB，‎ 在Rt△AOC中，‎ 在 Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO＝∠OAB ‎ ∴Rt△AOC∽Rt△ABO，·‎ ‎ ∴，即，‎ ‎ ∴ ， ∴‎ ‎ 解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径， ∴∠ACO＝90°‎ 备用图 χ 在Rt△AOC中，AO＝5，AC＝3，∴OC＝4，‎ 过C作CE⊥OA于点E，则：，‎ 即：，∴，‎ ‎∴ ∴，‎ 设经过A、C两点的直线解析式为：．‎ 把点A(5，0)、代入上式得：‎ ‎ ， 解得：，‎ ‎ ∴ ， ∴点 ．‎ ‎(2)点O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下：‎ 连接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D为OB上的中点， ‎ ‎∴，‎ ‎∴∠3＝∠4，又∵OP＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，‎ ‎∴PC ⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，‎ ‎∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上；‎ 由上可知，经过点O、P、C、D的圆心是DP的中点，圆心，‎ 由(1)知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴，求得：AB＝，在Rt△ABO中，‎ ‎，OD＝，‎ ‎∴，点在函数的图象上，‎ ‎∴， ∴．‎ · A B C D E O F P ‎21. （2011广东肇庆，24，10分）已知：如图，DABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交 ‎⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD． ‎ ‎（1）求证：∠DAC ＝∠DBA；‎ ‎（2）求证：是线段AF的中点；‎ ‎（3）若⊙O 的半径为5，AF ＝ ，求tan∠ABF的值．‎ ‎ 【答案】(1）∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA ‎ ‎∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD ‎ ‎∴∠DAC ＝∠DBA ‎ ‎(2）∵AB为直径，∴∠ADB＝90° ‎ 又∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB＝90° ∴∠ADE +∠EDB＝∠ABD +∠EDB＝90°‎ ‎∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP ‎ ‎∴PD＝PA ‎ 又∵∠DFA +∠DAC＝∠ADE +∠PD F＝90°且∠ADE＝∠DAC ‎∴∠PDF＝∠PFD ‎ ‎∴PD＝PF ∴PA＝ PF 即P是线段AF的中点 ‎ ‎(3）∵∠DAF ＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°∴△FDA ∽△ADB ‎ ‎∴ ‎ ‎∴在Rt△ABD 中，tan∠ABD＝，即tan∠ABF＝ ‎ ‎22. （2011内蒙古乌兰察布，21，10分） ‎ 如图，在 Rt△ABC中,∠ACB＝90°，D是AB 边上的一点，以BD为直径的 ⊙0与边 AC 相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点 F . ‎ ‎( 1 ）求证： BD = BF ;( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长．‎ ‎【答案】⑴连结OE，‎ 则OE⊥AC,‎ 所以∠AEO=90°，‎ ‎∠AED=∠CEF,‎ ‎∠ACB＝90°‎ ‎∠CEF+∠F＝90°‎ ‎∠AED +∠OED＝90°‎ ‎∠OED=∠F 又因为OD=OE 所以∠OED=∠ODE ‎∠ODE=∠F BD=BF ‎⑵Rt△ABC和Rt△AOE中，∠A是公共角 ‎ 所以Rt△ABC ∽Rt△AOE ‎，设⊙0的半径是r，则有 求出r=8,所以BF=BD=16‎ ‎ 第22题图 B A F E D C M ‎23. （2011湖北鄂州，22，8分）在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．‎ ‎⑴求证△ABD为等腰三角形．‎ ‎⑵求证AC•AF=DF•FE ‎【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=∠DAB，故△ABD为等腰三角形．‎ ‎⑵∵∠DBA=∠DAB ‎∴弧AD=弧BD 又∵BC=AF ‎∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA ‎∴弧CD=弧DF ‎∴CD=DF 再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知 ‎∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE ‎∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE ‎∴AC：FE=CD：AF ‎∴AC•AF= CD •FE 而CD=DF，‎ ‎∴AC•AF=DF•FE ‎24. （2010湖北孝感，23，10分）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合）.连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M.‎ ‎（1）填空：∠APC＝ 度，∠BPC＝ 度；（2分）‎ ‎（2）求证：△ACM∽△BCP；（4分）‎ ‎（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积. （4分）‎ ‎【答案】解：（1）60,60；‎ ‎（2）∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC=60.‎ ‎∴∠M=180°－∠BPM=180－（∠APC+∠BPC）=180°－120°=60°.‎ ‎∴∠M=∠BPC=60°.‎ ‎（3）∵ACM≌BCP，∴CM=CP，AM=BP.‎ 又∠M=60°，∴△PCM为等边三角形.‎ ‎∴CM=CP=PM=1+2=3.‎ 作PH⊥CM于H.‎ 在Rt△PMH中，∠MPH=30°.‎ ‎∴PH=.‎ ‎∴S梯形PBCM=.‎ ‎25. （2011湖北宜昌，21，8分）如图D是△ABC 的边BC 的中点，过AD 延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB 的延长线相交于点F，点0 在AD 上，AO = CO，BC//EF.‎ ‎(1)证明:AB=AC； ‎ ‎(2)证明:点0 是AABC 的外接圆的圆心；‎ ‎(3)当AB=5,BC=6时，连接BE若∠ABE=90°，求AE的长.‎ ‎【答案】‎ 解:(1)∵AE⊥EF， EF∥BC，∴AD⊥BC．(1分 在△ABD和△ACD中，∵BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，‎ ‎∴△ABD≌△ACD．(或者：又∵BD＝CD，∴AE是BC的中垂线．) (2分)‎ ‎∴AB＝AC． (3分)‎ ‎(2)连BO，∵AD是BC的中垂线，∴BO＝CO．(或者：证全等也可得到BO＝CO．)‎ 又AO＝CO，∴AO＝BO＝CO．(4分)∴点O是△ABC外接圆的圆心． (5分)‎ （1） 解法1：∵∠ABE＝∠ADB=90°，‎ ‎∴∠ABD+∠BAD=∠AEB+∠BAE=90°，∴∠ABD=∠AEB．‎ ‎ 又∵∠BAD=∠EAB，∴△ABD∽△AEB．∴（6分）‎ 在Rt△ABD中，∵AB=5，BD=1，2BC=3，∴AD=4．（7分）‎ ‎∴AE= (8分)‎ 解法2：∵AO＝BO， ∴∠ABO＝∠BAO．∵∠ABE＝90°，‎ ‎∴∠ABO＋∠OBE＝∠BAO＋∠AEB＝90°．‎ ‎∴∠OBE＝∠OEB，∴OB＝OE．(6分)‎ 在 Rt△ABD中，∵AB=5，BD=1，2BC=3，‎ ‎∴AD=4． 设 OB＝x， 则 OD＝4－x，‎ 由32+（4-x)2=x2,解得x=(7分)‎ ‎∴AE＝2OB＝. ‎