- 370.50 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2014年上海市金山区中考数学二模试卷
一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)【四个选项中,有且只有一个是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸相应位置上】
1.(4分)(2014•金山区二模)下列各数中是有理数的是( )
A.
3.14
B.
C.
D.
2.(4分)(2014•金山区二模)将直线y=x+2向下平移2个单位后,所得直线的解析式为( )
A.
y=x+4
B.
y=x﹣2
C.
y=x
D.
y=x﹣4
3.(4分)(2014•金山区二模)下列一元二次方程中,有两个相等的实数根的是( )
A.
x2+2x﹣1=0
B.
x2﹣2x+1=0
C.
x2+2x+4=0
D.
x2﹣2x﹣4=0
4.(4分)(2014•金山区二模)在本学期的“献爱心”的捐款活动中,九(1)班学生捐款情况如图,那么捐款金额的众数和中位数分别是( )
A.
15和13.5
B.
8元和6.5元
C.
15和8元
D.
8元和8元
5.(4分)(2014•金山区二模)下列命题中,真命题是( )
A.
平行四边形是轴对称图形
B.
正多边形是中心对称图形
C.
正多边形都是轴对称图形
D.
是轴对称图形的四边形都是中心对称图形
6.(4分)(2014•金山区二模)在同一平面内,已知线段AO=2,⊙A的半径为r,将⊙A绕点O按逆时针方向旋转90°,得到的圆记作⊙B,如果⊙A与⊙B外切,那么r的值为( )
A.
1
B.
2
C.
D.
二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)
7.(4分)(2014•金山区二模)计算:(a3)2= _________ .
8.(4分)(2014•宝坻区二模)计算:(a+2)(a﹣2)= _________ .
9.(4分)(2014•金山区二模)方程=的解是 _________ .
10.(4分)(2014•金山区二模)计算:+2(+)= _________ .
11.(4分)(2014•金山区二模)已知函数f(x)=,那么f()= _________ .
12.(4分)(2014•金山区二模)已知反比例函数的图象经过点(﹣1,2),那么该反比例函数的图象的两个分支在第 _________ 象限.
13.(4分)菱形的两条对角线长分别为6和8,则这个菱形的周长为 _________ .
14.(4分)(2014•金山区二模)某班共有学生36人,在迎新年庆祝会上,随机抽取1名一等奖,3名二等奖,5名三等奖,以上统称为等第奖,该班每一名学生获得等第奖的概率是 _________ .
15.(4分)(2014•金山区二模)为了了解学生课外阅读的喜好,某校随机抽取部分学生进行问卷调查,调查时要求每人只选取一种喜欢的书籍,如果没有喜欢的书籍或者喜欢其他类型的书籍,则都选“其他”,图2是整理数据后绘制的不完整的统计图,如果还知道喜欢漫画的有60人,选“其他”的有30人,那么喜欢小说的人数为 _________ .
16.(4分)(2014•金山区二模)如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,BD是∠ABC的角平分线,DE∥BC.DE交AB于点E,那么DE的长为 _________ .
17.(4分)(2014•金山区二模)如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍,我们把这样的三角形成为“倍边三角形”.如果一个直角三角形是倍边三角形,那么这个直角三角形的较小的锐角的正切值为 _________ .
18.(4分)(2014•金山区二模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D是边AB上一点,联结CD,把△ACD沿CD所在的直线翻折,点A落在点E的位置,如果DE∥BC,那么AD的长为 _________ .
三、解答题:(本大题共7题,满分78分)第15题
19.(10分)(2014•金山区二模)计算:﹣cos30°﹣2﹣1+(π﹣)0.
20.(10分)(2014•金山区二模)解不等式组:,并把解集在数轴上表示出来.
21.(10分)(2014•金山区二模)某市为鼓励居民节约用水,制定了分阶梯收费制度,按每年用水量分成两个阶梯,即年用水量不超过200立方米的部分和200立方米以上的部分按不同的价格收取水费,每户居民每年的水费y(元)和用水量x(立方米)的如图1和图2,
(1)如果小张家年用水量为160立方米,那么小王家的年水费是多少?
(2)如果小王家年用水量为1500元,那么小王家的年用水量是多少?
22.(10分)(2014•金山区二模)已知:如图,C是线段BD上一点,AB⊥BD,ED⊥BD,∠ACE=90°,tan∠ACB=2,AB=4,ED=3.求:
(1)线段BD的长;
(2)∠AEC的正切值.
23.(12分)(2014•金山区二模)已知:如图,线段AB∥CD,AC⊥CD,AC、BD相交于点P,E、F分别是线段BP和DP的中点.
(1)求证:AE∥CF;
(2)如果AE和DC的延长线相交于点Q,M、N分别是线段AP和DQ的中点,求证:MN=CE.
24.(12分)(2014•金山区二模)如图,在直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,B是这条直线在第一象限上的一点,过点B作x轴的垂线,垂足为点D,已知△ABD的面积为18.
(1)求点B的坐标;
(2)如果抛物线的图象经过点A和点B,求抛物线的解析式;
(3)已知(2)中的抛物线与y轴相交于点C,该抛物线对称轴与x轴交于点H,P是抛物线对称轴上一点,过点P作PQ∥AC交x轴交于点Q,如果点Q在线段AH上,并且AQ=CP,求点P的坐标.
25.(14分)(2014•金山区二模)如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=4,AD=3,sin∠DCB=,P是边CD上一点(点P与点C、D不重合),以PC为半径的⊙P与边BC相交于点C和点Q.
(1)如果BP⊥CD,求CP的长;
(2)如果PA=PB,试判断以AB为直径的⊙O与⊙P的位置关系;
(3)联结PQ,如果△ADP和△BQP相似,求CP的长.
2014年上海市金山区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)【四个选项中,有且只有一个是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸相应位置上】
1.(4分)(2014•金山区二模)下列各数中是有理数的是( )
A.
3.14
B.
C.
D.
考点:
实数.菁优网版权所有
分析:
根据有理数是有限小数或无限循环小,可得答案.
解答:
解:A、是有限小数,故A是有理数;
B、C、D是无限不循环小数,故B、C、D是无理数;
故选:A.
点评:
本题考查了有理数,有限小数或无限循环小数是有理数.
2.(4分)(2014•金山区二模)将直线y=x+2向下平移2个单位后,所得直线的解析式为( )
A.
y=x+4
B.
y=x﹣2
C.
y=x
D.
y=x﹣4
考点:
一次函数图象与几何变换.菁优网版权所有
分析:
根据平移k值不变,只有b只发生改变解答即可.
解答:
解:根据题意知,平移后的直线解析式为:y=x+2﹣2=x,即y=x.
故选:C.
点评:
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系,在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律是:横坐标左移加,右移减;纵坐标上移加,下移减.平移后解析式有这样一个规律“左加右减,上加下减”.关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系.
3.(4分)(2014•金山区二模)下列一元二次方程中,有两个相等的实数根的是( )
A.
x2+2x﹣1=0
B.
x2﹣2x+1=0
C.
x2+2x+4=0
D.
x2﹣2x﹣4=0
考点:
根的判别式.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
分别计算四个方程的根的判别式,然后根据判别式的意义进行判断.
解答:
解:A、△=22﹣4×(﹣1)=8>0,方程有两个不相等的实数根,所以A选项错误;
B、△=22﹣4×1=0,方程有两个相等的实数根,所以B选项正确;
C、△=22﹣4×4=﹣12<0,方程没有实数根,所以C选项错误;
D、△=22﹣4×(﹣4)=20>0,方程有两个不相等的实数根,所以D选项错误.
故选B.
点评:
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
4.(4分)(2014•金山区二模)在本学期的“献爱心”的捐款活动中,九(1)班学生捐款情况如图,那么捐款金额的众数和中位数分别是( )
A.
15和13.5
B.
8元和6.5元
C.
15和8元
D.
8元和8元
考点:
条形统计图;中位数;众数.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
根据条形统计图中的数据求出众数与中位数即可.
解答:
解:根据条形统计图得到捐8元的学生数最多,为15个,故捐款金额的众数为8元,
将捐款数按照从小到大顺序排列得到3,3,3,3,3,3,3,3,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,10,10,10,10,10,其中最中间的两个数为5和8,平均数为6.5,即中位数为6.5,
故选B
点评:
此题考查了条形统计图,众数,以及中位数,弄清题中的数据是解本题的关键.
5.(4分)(2014•金山区二模)下列命题中,真命题是( )
A.
平行四边形是轴对称图形
B.
正多边形是中心对称图形
C.
正多边形都是轴对称图形
D.
是轴对称图形的四边形都是中心对称图形
考点:
命题与定理.菁优网版权所有
分析:
根据轴对称图形和中心对称图形的定义以及平行四边形、正多边形和等腰梯形的性质分别进行判断.
解答:
解:A、平行四边形是中心对称图形,不是轴对称图形,所以A选项错误;
B、当正多边形的边数为偶数时,它是中心对称图形,所以B选项错误;
C、正多边形都是轴对称图形,所以C选项正确;
D、等腰梯形是轴对称图形,但不是中心对称图形,所以D选项错误.
故选C.
点评:
本题考查了命题与定理:判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题;经过推理论证的真命题称为定理.
6.(4分)(2014•金山区二模)在同一平面内,已知线段AO=2,⊙A的半径为r,将⊙A绕点O按逆时针方向旋转90°,得到的圆记作⊙B,如果⊙A与⊙B外切,那么r的值为( )
A.
1
B.
2
C.
D.
考点:
圆与圆的位置关系.菁优网版权所有
分析:
根据旋转的性质得到△OAB为等腰直角三角形,则AB=OA=2,从而求得线段AB的长,然后利用两圆外切两圆的圆心距等于两圆的半径之和直接求解.
解答:
解:∵⊙A绕点O按逆时针方向旋转90°得到的⊙B,
∴△OAB为等腰直角三角形,
∵AO=2,
∴OB=OA=2,AB=2,
∵⊙A、⊙B外切,
∴AB等于两圆半径之和,
∴r=.
故选C.
点评:
本题考查了圆与圆的位置关系:两圆的半径分别为R、r,两圆的圆心距为d,若d=R+r,则两圆外切.也考查了旋转的性质.
二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)
7.(4分)(2014•金山区二模)计算:(a3)2= a6 .
考点:
幂的乘方与积的乘方.菁优网版权所有
分析:
按照幂的乘方法则:底数不变,指数相乘计算.即(am)n=amn(m,n是正整数)
解答:
解:(a3)2=a6.
故答案为:a6.
点评:
本题考查了幂的乘方法则:底数不变,指数相乘.(am)n=amn(m,n是正整数),牢记法则是关键.
8.(4分)(2014•宝坻区二模)计算:(a+2)(a﹣2)= a2﹣4 .
考点:
平方差公式.菁优网版权所有
分析:
利用平方差公式直接求解即可求得答案.
解答:
解:(a+2)(a﹣2)=a2﹣4.
故答案为:a2﹣4.
点评:
本题考查了平方差公式.注意运用平方差公式计算时,关键要找相同项和相反项,其结果是相同项的平方减去相反项的平方.
9.(4分)(2014•金山区二模)方程=的解是 x=﹣1 .
考点:
解分式方程.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
解答:
解:去分母得:x2=1,
解得:x=1或x=﹣1,
经检验x=1是增根,分式方程的解为x=﹣1.
故答案为:x=﹣1
点评:
此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
10.(4分)(2014•金山区二模)计算:+2(+)= 3+2 .
考点:
*平面向量.菁优网版权所有
分析:
先去掉括号,然后进行加法运算即可.
解答:
解:+2(+)
=+2+2
=3+2.
故答案为:3+2.
点评:
本题考查了平面向量,主要是向量的加法运算,是基础题.
11.(4分)(2014•金山区二模)已知函数f(x)=,那么f()= .
考点:
函数值.菁优网版权所有
分析:
把x=代入函数解析式进行计算即可得解.
解答:
解:f()==.
故答案为:.
点评:
本题考查了函数值求解,把自变量的值代入函数关系式计算即可,比较简单.
12.(4分)(2014•金山区二模)已知反比例函数的图象经过点(﹣1,2),那么该反比例函数的图象的两个分支在第 二、四 象限.
考点:
反比例函数的性质.菁优网版权所有
分析:
根据反比例函数图象在一、三象限或在二、四象限,根据(﹣1,2)所在象限即可作出判断.
解答:
解:点(﹣1,2)在第二象限,则该反比例函数的图象的两个分支在第二、四象限.
故答案是:二、四.
点评:
本题考查了反比例函数的性质,对于反比例函数(k≠0),(1)k>0,反比例函数图象在一、三象限;(2)k<0,反比例函数图象在第二、四象限内.
13.(4分)(2012•肇庆)菱形的两条对角线长分别为6和8,则这个菱形的周长为 20 .
考点:
菱形的性质;勾股定理.菁优网版权所有
分析:
根据菱形的对角线互相垂直平分的性质,利用对角线的一半,根据勾股定理求出菱形的边长,再根据菱形的四条边相等求出周长即可.
解答:
解:如图所示,
根据题意得AO=×8=4,BO=×6=3,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,
∴△AOB是直角三角形,
∴AB===5,
∴此菱形的周长为:5×4=20.
故答案为:20.
点评:
本题主要考查了菱形的性质,利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键,同学们也要熟练掌握菱形的性质:①菱形的四条边都相等;②菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
14.(4分)(2014•金山区二模)某班共有学生36人,在迎新年庆祝会上,随机抽取1名一等奖,3名二等奖,5名三等奖,以上统称为等第奖,该班每一名学生获得等第奖的概率是 .
考点:
概率公式.菁优网版权所有
分析:
共36人,其中有1+3+5=9个等第奖,利用概率公式直接求解即可.
解答:
解:∵共36人,其中有1+3+5=9个等第奖,
∴该班每一名学生获得等第奖的概率是=,
故答案为:.
点评:
综合考查了概率的求法.如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.
15.(4分)(2014•金山区二模)为了了解学生课外阅读的喜好,某校随机抽取部分学生进行问卷调查,调查时要求每人只选取一种喜欢的书籍,如果没有喜欢的书籍或者喜欢其他类型的书籍,则都选“其他”,图2是整理数据后绘制的不完整的统计图,如果还知道喜欢漫画的有60人,选“其他”的有30人,那么喜欢小说的人数为 120 .
考点:
扇形统计图.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
根据扇形统计图,列出算式,计算即可得到结果.
解答:
解:根据题意得:(30÷10%)﹣60﹣30﹣(30÷10%)×30%=300﹣60﹣30﹣90=120(人),
则喜欢小说的人数为120人.
故答案为:120.
点评:
此题考查了扇形统计图,弄清题中的数据是解本题的关键.
16.(4分)(2014•金山区二模)如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,BD是∠ABC的角平分线,DE∥BC.DE交AB于点E,那么DE的长为 2.4 .
考点:
相似三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质.菁优网版权所有
分析:
根据平行线的性质和角平分线定义求出∠EDB=∠EBD,推出DE=BE,设DE=BE=x,证相似,得出比例式,代入求出即可.
解答:
解:∵DE∥BC,
∴∠EDB=∠CBD,
∵BD是∠ABC的角平分线,
∴∠CBD=∠ABD,
∴∠EDB=∠EBD,
∴DE=BE,
设DE=BE=x,
∵DE∥BC,
∴△AED∽△ABC,
∴=,
∴=,
解得:x=2.4,
∴DE=2.4,
故答案为:2.4.
点评:
本题考查了等腰三角形的性质和判定,平行线的性质,相似三角形的性质和判定的应用,解此题的关键是求出BE=DE和求出△AED∽△ABC.
17.(4分)(2014•金山区二模)如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍,我们把这样的三角形成为“倍边三角形”.如果一个直角三角形是倍边三角形,那么这个直角三角形的较小的锐角的正切值为 或 .
考点:
勾股定理;锐角三角函数的定义.菁优网版权所有
专题:
分类讨论.
分析:
分两种情况考虑,当斜边为直角边2倍时,当直角边为直角边2倍时,求出最小角的正切值即可.
解答:
解:如图1所示,AC=2AB,
∴最小角为∠C,根据勾股定理得:BC==AB,
则tanC===;
如图2所示,BC=2AB,
∴tanC==,
综上,这个直角三角形的较小的锐角的正切值为或.
故答案为:或.
点评:
此题考查了勾股定理,锐角三角函数定义,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.
18.(4分)(2014•金山区二模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D是边AB上一点,联结CD,把△ACD沿CD所在的直线翻折,点A落在点E的位置,如果DE∥BC,那么AD的长为 2 .
考点:
翻折变换(折叠问题).菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
连结CE交AB于F点,根据勾股定理得AB=5,再根据折叠的性质得CE=CA=4,DE=AD,∠E=∠A,有DE∥BC得到∠1=∠B,则∠1+∠E=90°,得到CE⊥AB,于是可根据面积法计算出CF=,所以EF=CE﹣CF=,然后证明△DEF∽△BCF,利用相似比可计算出DE=2,于是得到AD=2.
解答:
解:连结CE交AB于F点,如图,
∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB==5,
∵△ACD沿CD所在的直线翻折,点A落在点E的位置,
∴CE=CA=4,DE=AD,∠E=∠A,
∵DE∥BC,
∴∠1=∠B,
而∠A+∠B=90°,
∴∠1+∠E=90°,
∴∠DFE=90°,
∴CE⊥AB,
∵CF•AB=AC•BC,
∴CF==,
∴EF=CE﹣CF=4﹣=,
∵DE∥BC,
∴△DEF∽△BCF,
∴DE:BC=EF:CF,即DE:3=:,
∴DE=2,
∴AD=2.
故答案为2.
点评:
本题考查了折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质.
三、解答题:(本大题共7题,满分78分)第15题
19.(10分)(2014•金山区二模)计算:﹣cos30°﹣2﹣1+(π﹣)0.
考点:
二次根式的混合运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=﹣﹣+1,然后合并即可.
解答:
解:原式=﹣﹣+1
=0.
点评:
本题考查了二次根式的混合运算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式.也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值.
20.(10分)(2014•金山区二模)解不等式组:,并把解集在数轴上表示出来.
考点:
解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.菁优网版权所有
分析:
求出每个不等式的解集,再找出不等式组的解集即可.
解答:
解:∵解不等式x﹣2>﹣3得:x>﹣1,
解不等式3﹣x≥得:x≤4,
∴不等式组的解集为﹣1<x≤4,
在数轴上表示为:.
点评:
本题考查了解一元一次不等式,在数轴上表示不等式组的解集的应用,关键是能求出不等式组的解集.
21.(10分)(2014•金山区二模)某市为鼓励居民节约用水,制定了分阶梯收费制度,按每年用水量分成两个阶梯,即年用水量不超过200立方米的部分和200立方米以上的部分按不同的价格收取水费,每户居民每年的水费y(元)和用水量x(立方米)的如图1和图2,
(1)如果小张家年用水量为160立方米,那么小王家的年水费是多少?
(2)如果小王家年用水量为1500元,那么小王家的年用水量是多少?
考点:
一次函数的应用.菁优网版权所有
分析:
(1)根据图象可得当x≤200时,水价与水费成正比例函数关系,设y=kx,再把(200,700)代入可得k的值,进而得到函数解析式,然后再代入x=160,算出y即可;
(2)根据函数图象可得x≥200时,水价与水费成一次函数关系,设y=ax+b,再把(200,700),(300,1200),代入算出a、b的值,进而得到函数解析式,然后再把y=1500代入算出x即可.
解答:
解:(1)当x≤200时,水价与水费成正比例函数关系,
设y=kx,
∵图象经过(200,700),
∴700=200k,
解得:k=3.5,
∴y=3.5x,
把x=160代入:y=160×3.5=560(元),
答:小王家的年水费是560元;
(2)当x≥200时,水价与水费成一次函数关系,
设y=ax+b,
∵图象经过(200,700),(300,1200),
∴,
解得:,
∴y=5x﹣300,
把y=1500代入:1500=5x﹣300,
解得:x=360,
答:小王家的年用水量是360立方米.
点评:
此题主要考查了一次函数的应用,关键是正确掌握待定系数法求一次函数解析式.
22.(10分)(2014•金山区二模)已知:如图,C是线段BD上一点,AB⊥BD,ED⊥BD,∠ACE=90°,tan∠ACB=2,AB=4,ED=3.求:
(1)线段BD的长;
(2)∠AEC的正切值.
考点:
解直角三角形.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
(1)利用同角的余角相等得到一对角相等,再由一对直角相等,得到三角形ABC与三角形DCE相似,由相似得比例,根据锐角三角函数定义及tan∠ACB的值,求出BC与CD的值,根据BC+CD求出BD的值即可;
(2)由三角形ABC与三角形DCE相似,根据AB与CD长求出相似比,进而求出AC与CE的比值,即为∠AEC的正切值.
解答:
解:(1)∵∠ACE=90°,AB⊥BD,ED⊥BD,
∴∠ACB+∠ECD=90°,∠ACB+∠BAC=90°,∠B=∠D=90°,
∴∠BAC=∠ECD,
∴△ABC∽△CDE,
∴=,
∵tan∠ACB==2,AB=4,ED=3,
∴=2,即BC=2,CD=6,
则BD=BC+CD=2+6=8;
(2)∵△ABC∽△CDE,
∴===,
则tan∠AEC==.
点评:
此题属于解直角三角形题型,涉及的知识有:锐角三角函数定义,相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.
23.(12分)(2014•金山区二模)已知:如图,线段AB∥CD,AC⊥CD,AC、BD相交于点P,E、F分别是线段BP和DP的中点.
(1)求证:AE∥CF;
(2)如果AE和DC的延长线相交于点Q,M、N分别是线段AP和DQ的中点,求证:MN=CE.
考点:
相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有
分析:
(1)根据直角三角形斜边上中线性质求出AE=BE=PE,CF=PF,推出∠EAP=∠EPA,∠CPF=∠FCP,求出∠EAP=∠FCP,根据平行线的判定推出即可;
(2)求出ME∥CN,EN∥CM,得出矩形MCNE,根据矩形的判定推出即可.
解答:
(1)证明:∵AB∥CD,AC⊥CD,
∴∠BAP=∠DCP=90°,
∵E、F分别是线段BP和DP的中点,
∴AE=PE=BE,CF=PF,
∴∠EAP=∠EPA,∠CPF=∠FCP,
∵∠EPA=∠CPF,
∴∠EAP=∠FCP,
∴AE∥CF;
(2)证明:连接EM、EN,
∵M、E分别为AP、BP的中点,
∴EM∥AB,
∵AB∥CD,
∴ME∥DC,即EM∥CN,
∵AB∥CD,
∴△AEB∽△QED,
∴=,
∵AE=BE,
∴DE=EQ,
∵N为DQ的中点,
∴EN⊥AQ,
∵∠ACD=90°,
∴EN∥MC,
∴四边形MCNE是矩形,
∴MN=CE.
点评:
本题考查了直角三角形斜边上中线性质,矩形的性质和判定,相似三角形的性质和判定的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理的能力,题目比较好,难度适中.
24.(12分)(2014•金山区二模)如图,在直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,B是这条直线在第一象限上的一点,过点B作x轴的垂线,垂足为点D,已知△ABD的面积为18.
(1)求点B的坐标;
(2)如果抛物线的图象经过点A和点B,求抛物线的解析式;
(3)已知(2)中的抛物线与y轴相交于点C,该抛物线对称轴与x轴交于点H,P是抛物线对称轴上一点,过点P作PQ∥AC交x轴交于点Q,如果点Q在线段AH上,并且AQ=CP,求点P的坐标.
考点:
二次函数综合题.菁优网版权所有
分析:
(1)由直线y=x+2可知斜率为1,则AD=BD,然后根据三角形的面积求得B点的纵坐标,因为直线与x轴交点是(2,0)求得OA的长,从而求得OD的长,最后求得P点的坐标.
(2)用待定系数法把A、B的坐标代入即可.
(3)由A、C点的坐标可得AC的斜率为3,设PQ直线为y=3x+b,可解出b值以及Q点的x坐标,AQ可得,CP可用勾股定理获得,然后AQ=CP,求出点P的坐标.
解答:
解:(1)∵直线y=x+2的斜率为1,
∴AD=BD,
∴S△ABC=AD•BD=BD2,
∴18=BD2,解得BD=6,
∴AD=BD=6,
∵直线y=x+2与x轴的交点A的坐标为(﹣2,0),
∴OD=4,
∴点B的坐标为(4,6).
(2)把A、B点的坐标代入得:
,
解得:,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+6.
(3)可设P点为(a,),可得AC的斜率为3,设PQ直线为y=3x+b,可解出b值以及Q点的x坐标,AQ可得,CP可用勾股定理获得,然后AQ=CP,求出点P的坐标
∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+6与y轴的交点C为(0,6),对称轴为x=2.
∴直线AC的斜率为3,
∵PQ∥AC,
∴直线PQ的斜率也为3,
设直线PQ的解析式为y=3x+b,则Q(﹣,0),
∴AQ=2﹣,
当x=2时,y=3x+b=6+b,
∴P(2,6+b),
∴PC2=22+【6﹣(6+b)】2=4+b2,
当y=0时,y=3x+b的x=﹣,
∴AQ=2﹣,
∵AQ=CP,
∴(2﹣)2=4+b2,
解得:b=﹣,
∴P(2,)
点评:
本题考查了二次函数的综合运用,考查用待定系数法求二次函数解析式以及勾股定理的应用;
25.(14分)(2014•金山区二模)如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=4,AD=3,sin∠DCB=,P是边CD上一点(点P与点C、D不重合),以PC为半径的⊙P与边BC相交于点C和点Q.
(1)如果BP⊥CD,求CP的长;
(2)如果PA=PB,试判断以AB为直径的⊙O与⊙P的位置关系;
(3)联结PQ,如果△ADP和△BQP相似,求CP的长.
考点:
圆的综合题.菁优网版权所有
专题:
综合题.
分析:
(1)作DH⊥BC于H,如图1,利用矩形的性质得DH=4,BH=3,在Rt△DHC中,利用正弦的定义可计算出DC=5,再利用勾股定理计算出CH=3,则BC=BH+CH=6,然后证明Rt△DCH∽Rt△BCP,利用相似比可计算出PC=;
(2)作PE⊥AB于E,如图2,由于PA=PB,根据等腰三角形的性质得AE=BE=AB=2,也可判断PE为梯形ABCD的中位线,所以PD=PC=,PE=(AD+BC)=,于是得到EA+PC=PE,根据两圆外切的判定方法得到以AB为直径的⊙O与⊙P外切;
(3)如图1,作PF⊥BC于F,根据垂径定理得CF=QF,设PC=x,则DP=5﹣x,先证明△CPF∽△CDH,利用相似比可计算出CF=,则CQ=2CF=,BQ=BC﹣CQ=6﹣,由PQ=PC得∠PQC=∠PCQ,而∠ADP+∠PCQ=180°,∠PQC+∠PQB=180°,所以∠ADP=∠PQB,然后讨论:当△ADP∽△BQP,根据相似的性质得,解得x1=,x2=10(舍去),得到PC=;当△ADP∽△PQB,利用相似的性质得=,解得x1=,x2=5(舍去),得到PC=.
解答:
解:(1)作DH⊥BC于H,如图1,
∵AD∥BC,AB⊥BC,AB=4,AD=3,
∴DH=4,BH=3,
在Rt△DHC中,sin∠DCH==,
∴DC=5,
∴CH==3,
∴BC=BH+CH=6,
∵BP⊥CD,
∴∠BPC=90°,
而∠DCH=∠BCP,
∴Rt△DCH∽Rt△BCP,
∴=,即=,
∴PC=;
(2)作PE⊥AB于E,如图2,
∵PA=PB,
∴AE=BE=AB=2,
∵PE∥AD∥BC,
∴PE为梯形ABCD的中位线,
∴PD=PC,PE=(AD+BC)=(3+6)=,
∴PC=BC=,
∴EA+PC=PE,
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切;
(3)如图1,作PF⊥BC于F,则CF=QF,
设PC=x,则DP=5﹣x,
∵PF∥DH,
∴△CPF∽△CDH,
∴=,即=,解得CF=,
∴CQ=2CF=,
∴BQ=BC﹣CQ=6﹣,
∵PQ=PC,
∴∠PQC=∠PCQ,
∵AD∥BC,
∴∠ADP+∠PCQ=180°,
而∠PQC+∠PQB=180°,
∴∠ADP=∠PQB,
当△ADP∽△BQP,
∴=,即=,
整理得2x2﹣25x+50=0,解得x1=,x2=10(舍去),
经检验x=是原分式方程的解.
∴PC=;
当△ADP∽△PQB,
∴=,即=
整理得5x2﹣43x+90=0,解得x1=,x2=5(舍去),
经检验x=是原分式方程的解.
∴PC=,
∴如果△ADP和△BQP相似,CP的长为或.
点评:
本题考查了圆的综合题:熟练掌握垂径定理、圆与圆的位置关系和梯形的性质;会运用勾股定理和相似比进行几何计算.
相关文档
- 2008年广东省梅州市初中毕业生学业2021-05-1010页
- 人教中考英语首字母填空强化训练篇2021-05-1011页
- 20182019中考数学试题分类汇编考点2021-05-1017页
- 2014北京市中考数学分类汇编方程与2021-05-1010页
- 中考英语常考易错题汇编形容词和副2021-05-1015页
- 20172018中考语文模拟试卷带答案312021-05-105页
- 中考英语语法考点专题总复习32021-05-1014页
- 苏州市相城区中考英语第一次模拟考2021-05-109页
- 中考数学专题复习系列精华版2021-05-1015页
- 中考数学专题复习卷方程组与不等式2021-05-1011页