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  • 2021-05-10 发布

平行四边形矩形菱形正方形解答题与答案中考必备

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平行四边形·矩形·菱形·正方形解答题(含答案)‎ ‎1. 以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形EFGH.‎ ‎(1)如图1,当四边形ABCD为正方形时,我们发现四边形EFGH是正方形;如图2,当四边形ABCD 为矩形时,请判断:四边形EFGH的形状(不要求证明);‎ ‎(2)如图3,当四边形ABCD为一般平行四边形时,设∠ADC=(0°<<90°),‎ ‎① 试用含的代数式表示∠HAE;② 求证:HE=HG;③ 四边形EFGH是什么四边形?并说明理由. ‎ ‎2.正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线、、、上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、(>0,>0,>0).‎ ‎(1)求证:=;‎ ‎(2)设正方形ABCD的面积为S,求证:S=;‎ ‎(3)若,当变化时,说明正方形ABCD的面积S 随的变化情况.‎ ‎ ‎ ‎3.已知,矩形中,,,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.‎ ‎ (1)如图10-1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长;‎ ‎(2)如图10-2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,‎ ①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.‎ ②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.‎ 图10-1‎ 图10-2‎ 备用图 ‎4. ( 如图4,AC是菱形ABCD的对角线,点E、F分别在边AB、AD上,且AE=AF. 求证:△ACE≌△ACF.‎ 图4‎ A B C D E F ‎(第5题图)‎ ‎5. 如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,连接AE、AF。那么当点O运动到何下时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论。‎ ‎6. (2011山东济宁,22,8分)数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图,正方形的边长为,为边延长线上的一点,为的中点,的垂直平分线交边于,交边的延长线于.当时,与的比值是多少?‎ 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:过作直线平行于交,分别于,,如图,则可得:,因为,所以.可求出和的值,进而可求得与的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.‎ ‎(2) 小东又对此题作了进一步探究,得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗?如果正确,请给予证明;如果不正确,请说明理由.‎ ‎ 第6题图 ‎ ‎7. 如图,ABCD是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形ABCD的边AB上取一点M,在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠,使MB与DN交于点K,得到△MNK.‎ ‎(1)若∠1=70°,求∠MNK的度数.‎ ‎(2)△MNK的面积能否小于?若能,求出此时∠1的度数;若不能,试说明理由.‎ ‎(3)如何折叠能够使△MNK的面积最大?请你探究可能出现的情况,求出最大值.‎ A B C D E ‎8已知:如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2.‎ ‎(1)求证:AB=BC;(2)当BE⊥AD于E时,试证明:BE=AE+CD.‎ ‎9.如图已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点,且BE=DF.‎ ‎(1) 求证:四边形AECF是平行四边形;‎ ‎(2) 若BC=10,∠BAC=90°,且四边形AECF是菱形,求BE的长 .‎ ‎ 第9题图 第10题图 第11题图 ‎10.如图,在□ABCD中,E、F分别为边ABCD的中点,BD是对角线,过A点作AGDB交CB的延长线于点G.‎ ‎(1)求证:DE∥BF;(2)若∠G=90,求证四边形DEBF是菱形.‎ ‎11. (2011浙江衢州,22,10分)如图,中,是边上的中线,过点作,过点作与分别交于点、点,连接 求证:(1);‎ ‎(2)当时,求证:四边形是菱形;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若,求的值.‎ ‎13. (2011福建泉州,21,9分)如图,将矩形ABCD沿对角线AC剪开,再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1.‎ ‎(1)证明:△A1AD1≌△CC1B;‎ ‎(2)若∠ACB=30°,试问当点C1在线段AC上的什么位置时,四边形ABC1D1是菱形. (直接写出答案)‎ A B C D E F O ‎ 第13题图 第14题图 ‎14. (2011甘肃兰州,27,12分)已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连结AF和CE。‎ ‎(1)求证:四边形AFCE是菱形;‎ ‎(2)若AE=10cm,△ABF的面积为24cm2,求△ABF的周长;‎ ‎(3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=AC·AP?若存在,请说明点P的位置,并予以证明;若不存在,请说明理由。‎ ‎15. (2011广东株洲,23,8分)如图,矩形ABCD中,点P是线段AD上一动点,O为BD的中点, PO的延长线交BC于Q.(1)求证: OP=OQ;‎ ‎(2)若AD=8厘米,AB=6厘米,P从点A出发,以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合).设点P运动时间为t秒,请用t表示PD的长;并求t为何值时,四边形PBQD是菱形.‎ ‎ ‎ ‎16. (2011江苏苏州,28,9分)(本题满分9分)如图①,小慧同学吧一个正三角形纸片(即△OAB)放在直线l1上,OA边与直线l1重合,然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°,此时点O运动到了点O1处,点B运动到了点B1处;小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°,点A运动到了点A1处,点O1运动到了点O2处(即顶点O经过上述两次旋转到达O2处).‎ 小慧还发现:三角形纸片在上述两次旋转过程中,顶点O运动所形成的图形是两段圆弧,即弧OO1和弧O1O2,顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和,并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和.‎ 小慧进行类比研究:如图②,她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上,OA边与直线l2重合,然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°,此时点O运动到了点O1处(即点B处),点C运动到了点C1处,点B运动到了点B1处;小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°,……,按上述方法经过若干次旋转后,她提出了如下问题:‎ 问题①:若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转,求顶点O经过的路程,并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积;若正方形OABC按上述方法经过5次旋转,求顶点O经过的路程;‎ 问题②:正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转,顶点O经过的路程是π?‎ 请你解答上述两个问题.‎ ‎17. (2011江苏泰州,24,10分)如图,四边形ABCD是矩形,直线L垂直平分线段AC,垂足为O,直线L分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F.‎ ‎(1)△ABC与△FOA相似吗?为什么?‎ ‎(2)试判定四边形AFCE的形状,并说明理由.‎ ‎ 第17题图 第18题图 ‎18. (在平面直角坐标系xoy中,边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),顶点C、D都在第一象限.‎ ‎(1)当∠BAO=45°时,求点P的坐标;‎ ‎(2)求证:无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上;‎ ‎(3)设点P到x轴的距离为h,试确定h的取值范围,并说明理由.‎ ‎19. 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点O作直线EF⊥BD,分别交AD、BC于点E和点F,求证:四边形BEDF是菱形.‎ ‎20.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=8cm,点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s,当点F追上点G(即点F与点G重合)时,三个点随之停止移动.设移动开始后第t秒时,△EFG的面积为S(cm2).‎ ‎(1)当t=1秒时,S的值是多少?‎ ‎(2)写出S和t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围.‎ ‎(3)若点F在矩形的边BC上移动,当t为何值时,以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似?请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ 第20题图 第21题图 ‎21. 已知正方形ABCD的边长为a,两条对角线AC、BD相交于点O,P是射线AB上任意一点,过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF,垂足为E、F.‎ ‎(1)如图1,当P点在线段AB上时,求PE+PF的值;‎ ‎(2)如图2,当P点在线段AB的延长线上时,求PE-PF的值. ‎ ‎22. 如图5所示,在菱形ABCD中,∠ABC= 60°,DE∥AC交BC的延长线于点E.求证:DE=BE ‎23. (如图,将□ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.‎ ‎⑴求证:△ABF≌△ECF ‎⑵若∠AFC=2∠D,连接AC、BE.求证:四边形ABEC是矩形.‎ A B C D E F ‎24. 已知:如图1,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA到点F,OD到点E,使OF=2OA,OE=2OD,连结EF,将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△(如图2).‎ (1) 探究AE′与BF'的数量关系,并给予证明;‎ (2) 当α=30°时,求证:△AOE′为直角三角形.‎ ‎ ‎ ‎ 第24题图 底5题图 ‎25. 如图,△ABC中,AB=AC,AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,=2CD,对角线AC与BD相交于点O,线段OA,OB的中点分别为点E,F ‎(1)求证:AC=AD;(2)若∠B=60°,求证:四边形ABCD是菱形; ‎ ‎26. 如图1,奖三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角板的一边交CD于点F,另一边交CB的延长线于点G.‎ ‎ (1)求证:EF=EG;‎ ‎(2)如图2,移动三角板,使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变.(1)中的结论是否仍然成立?若成立,情给予证明;若不成立,请说明理由;‎ ‎(3)如图3,将(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,且使三角板的一边经过点B,其他条件不变,若AB=a,BC=b,求的值.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ ‎27. 如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,过点D作DE⊥BC,垂足为E,并延长DE至F,使EF=DE.联结BF、CF、AC.‎ ‎(1)求证:四边形ABFC是平行四边形;(2)如果DE2=BE·CE,求证四边形ABFC是矩形.‎ ‎28. 如图,E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点,且AE=DF。求证:BE=CF ‎ 第28题图 第29题图 第30题图 ‎29. 如图,在矩形ABCD中,AD=4,AB=m(m>4),点P是AB边上的任意一点(不与A、B重合),连结PD,过点P作PQ⊥PD,交直线BC于点Q.‎ ‎(1)当m=10时,是否存在点P使得点Q与点C重合?若存在,求出此时AP的长;若不存在说明理由;‎ ‎(2)连结AC,若PQ∥AC,求线段BQ的长(用含m的代数式表示)‎ ‎(3)若△PQD为等腰三角形,求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围.‎ ‎30. 如图,点E是正方形ABCD内一点,△CDE是等边三角形,连接EB、EA,延长BE交边AD于点F.‎ ‎(1)求证:△ADE≌△BCE;(5分)(2)求∠AFB的度数.(5分)‎ ‎31. 如图,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,连接EB、ED.‎ ‎(1)求证:△BEC≌△DEC;(2)延长BE交AD于点F,若∠DEB = 140°,求∠AFE的度数. ‎ A B C D E F A B C D E O ‎ 第310题图 第32题图 第33题图 ‎32. 如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.(1)求证:四边形OCED是菱形;‎ ‎(2)若∠ACB=30°,菱形OCED的面积为,求AC的长.‎ ‎33. 如图9,点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A,B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE,PE交边BC于点F,连接BE,DF.‎ ‎(1)求证:∠ADP=∠EPB;(2)求∠CBE的度数;3)当的值等于多少时,△PFD∽△BFP?并说明理由. ‎ ‎34.探究问题:⑴方法感悟:如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,且满足∠EAF=45°,连接EF,求证DE+BF=EF.感悟解题方法,并完成下列填空:‎ 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,此时AB与AD重合,由旋转可得:‎ AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°,‎ 因此,点G,B,F在同一条直线上.∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°.‎ ‎∵∠1=∠2, ∴∠1+∠3=45°.即∠GAF=∠_________.又AG=AE,AF=AF∴△GAF≌_______.‎ ‎∴_________=EF,故DE+BF=EF. ‎ ‎(第25题)①‎ ‎(第25题)②‎ ‎(第25题)③‎ ‎⑵方法迁移:如图②,将沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF=∠DAB.试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系,并证明你的猜想.‎ ‎⑶问题拓展:如图③,在四边形ABCD中,AB=AD,E,F分别为DC,BC上的点,满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时,可使得DE+BF=EF.请直接写出你的猜想(不必说明理由).‎ ‎35. 情境观察:将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A(A′)、B在同一条直线上,如图2所示.观察图2可知:与BC相等的线段是 ,∠CAC′= °.‎ 图1 图2‎ 问题探究:如图3,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.‎ 图3‎ 拓展延伸 如图4,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H. 若AB= k AE,AC= k AF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ 第35题 (图4) 第36题 ‎ ‎36. 已知:如图,在梯形ABCD中AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点,‎ 求证:四边形BCDE是菱形.‎ ‎37. (20011江苏镇江,25,6分)已知:如图1,图形①满足:AD=AB,MD=MB, ∠A=72°, ∠M=144°.图形②与图形①恰好拼成一个菱形(如图2).记作AB的长度为a,BM的长度为b. ‎ ‎(1)图中①中∠B=___度,图中②中∠E=____度.[来源:学.科.网]‎ ‎(2)小明有两种纸片各若干张,其中一种纸片的形状及大小与图形①相同,这咱纸片称为“风筝一号”另一种纸片的形状及大小与图形②相同,这种纸片称为“飞镖一号”.‎ ‎①小明仅有“,风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形,需要这种纸片____张;‎ ‎②小明用若干张“风筝一号”和 “飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”(如图3),其中 ‎∠P=72°, ∠Q=144°,PI=PJ=a+b,IQ=JQ.庄股你在图穷匕见中画出拼接线并保留画图痕迹.(本题中均为无重叠、无缝隙拼接)‎ ‎ ‎ ‎38. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,且AF=CE=AE.‎ ‎⑴说明四边形ACEF是平行四边形;⑵当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由.‎ 第38题图 ‎39. 如图12,四边形ABCD是正方形,点E,K分别在BC,AB上,点G在BA的延长线上,且CE=BK=AG.‎ ‎(1)求证:①DE=EG;②DE⊥EG;‎ ‎(2)尺规作图:以线段DE,DG为边作出正方形DEFG(要求:只保留作图痕迹,不写作法和证明);‎ ‎(3)连接(2)中的KF,猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想;‎ ‎(4)当时,请直接写出的值.‎ ‎40. 两个全等的直角三角形重叠放在直线上,如图⑴,AB=6cm,BC=8cm,∠ABC=90°,将Rt△ABC在直线上左右平移,如图⑵所示.⑴ 求证:四边形ACFD是平行四边形;‎ ‎⑵ 怎样移动Rt△ABC,使得四边形ACFD为菱形;⑶ 将Rt△ABC向左平移,求四边形DHCF的面积.‎ 图(1)‎ A(D)‎ B(E)‎ C(F)‎ D 图(2)‎ F E C B A H ‎41. 如图,P是矩形ABCD下方一点,将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合,得到△PEA,连接EB,问△ABE是什么特殊三角形?请说明理由.‎ 矩形、菱形与正方形解答题 ‎1. 【答案】(1)四边形EFGH是正方形.    (2) ①∠HAE=90°+a.‎ 在□ABCD中,AB∥CD,∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-a;‎ ‎∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形,∴∠HAD=∠EAB=45°,‎ ‎∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°-(180°-a)=90°+a.‎ ‎②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形,∴AE=AB,DG=CD,‎ 在□ABCD中,AB=CD,∴AE=DG,∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠DHA=∠CDG= 45°,∴∠HDG=∠HAD+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE.‎ ‎∵△HAD是等腰直角三角形,∴HA=HD,∴△HAE≌△HDG,∴HE=HG.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎③四边形EFGH是正方形.‎ 由②同理可得:GH=GF,FG=FE,∵HE=HG(已证),∴GH=GF=FG=FE,∴四边形EFGH是菱形;∵△HAE≌△HDG(已证),∴∠DHG=∠AHE,又∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°,∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°,∴四边形EFGH是正方形.‎ ‎2. 【答案】(1)过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F,过C点作CG⊥l3交l3于点G,‎ ‎∵l2∥l3,∴∠2 =∠3,∵∠1+∠2=90°,∠4+∠3=90°,∴∠1=∠4,又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC,∴△BEA≌△DGC,∴AE=CG,即=;‎ ‎(2)∵∠FAD+∠3=90°,∠4+∠3=90°,∴∠FAD =∠4,又∵∠AFD=∠DGC=90°, AD=DC,∴△AFD≌△DGC,∴DF=CG,∵AD2=AF2+FD2,∴S=;‎ ‎ (3)由题意,得, 所以 又,解得0<h1<‎ ‎∴当0<h1<时,S随h1的增大而减小; 当h1=时,S取得最小值;当<h1<时,S随h1的增大而增大.‎ ‎3. 【答案】(1)证明:①∵四边形是矩形∴∥∴,‎ ‎∵垂直平分,垂足为∴∴≌∴ ∴四边形为平行四边形 又∵∴四边形为菱形 ‎②设菱形的边长,则 在中,‎ 由勾股定理得,解得∴‎ ‎(2)①显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点 在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,‎ 才能构成平行四边形∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,‎ ‎∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒∴,‎ ‎∴,解得∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.‎ ②由题意得,以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.‎ 分三种情况:i)如图1,当点在上、点在上时,,即,得 ii)如图2,当点在上、点在上时,, 即,得 iii)如图3,当点在上、点在上时,,即,得 综上所述,与满足的数量关系式是 ‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎4. 【答案】∵四边形ABCD为菱形∴∠BAC=∠DAC又∵AE=AF,AC=AC∴△ACE≌△ACF(SAS)‎ ‎5. 【答案】当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,四边形AECF是矩形 证明:∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2,又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3,∴∠3=∠2,∴EO=CO.‎ 同理,FO=CO6分∴EO=FO又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形 又∵∠1=∠2,∠4=∠5,∴∠1+∠5=∠2+∠4.又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°分 ‎∴四边形AECF是矩形 ‎6. (1)解:过作直线平行于交,分别于点,, ‎ 则,,.∵,∴.∴,.∴. ‎ ‎(2)证明:作∥交于点, ‎ 则,.∵,‎ ‎∴.∵,,‎ ‎∴.∴.∴.‎ ‎7. ∴AM∥DN,∴∠KNM=∠1.∵∠KMN=∠1,∴∠KNM=∠KMN.‎ ‎∵∠1=70°,∴∠KNM=∠KMN=70°.∴∠MNK=40°.‎ ‎ (2)不能.过M点作ME⊥DN,垂足为点E,则ME=AD=1,由(1)知∠KNM=∠KMN.∴MK=NK.又MK≥ME,∴NK≥1.∴.∴△MNK的面积最小值为,不可能小于.‎ ‎(3)分两种情况:情况一:将矩形纸片对折,使点B与点D重合,此时点K也与点D重合.‎ 设MK=MD=x,则AM=5-x,由勾股定理,得,‎ 解得,.即.‎ ‎∴.(情况一)‎ 情况二:将矩形纸片沿对角线AC对折,此时折痕为AC.‎ 设MK=AK= CK=x,则DK=5-x,同理可得 即.∴.‎ ‎∴△MNK的面积最大值为1.3. (情况二)‎ ‎8.(1)证明:连接AC,∵∠ABC=90°,∴AB2+BC2=AC2.∵CD⊥AD,∴AD2+CD2=AC2.∵AD2+CD2=2AB2,∴AB2+BC2=2AB2,∴AB=BC.(2)证明:过C作CF⊥BE于F.∵BE⊥AD,∴四边形CDEF是矩形.∴CD=EF.∵∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF,∴△BAE≌△CBF.‎ ‎∴AE=BF.∴BE=BF+EF =AE+CD.‎ ‎9.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∴AF∥EC,∵BE=DF,‎ ‎∴AF=EC,∴四边形AECF是平行四边形.‎ ‎(2)∵四边形AECF是,∴AE=CE,∴∠1=∠2,∵∠BAC=90°,∴∠3=∠90°-∠2,∠4=∠90°-∠1,∴∠3=∠4,∴AE=BE,∴BE=AE=CE=BC=5.‎ ‎10. 解:(1)□ABCD 中,AB∥CD,AB=CD ‎∵E、F分别为AB、CD的中点∴DF=DC,BE=AB∴DF∥BE,DF=BE ‎∴四边形DEBF为平行四边形∴DE∥BF ‎(2)证明:∵AG∥BD∴∠G=∠DBC=90°∴DBC 为直角三角形 又∵F为边CD的中点.∴BF=DC=DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形 ‎11.证明:(1)解法1∵DE∥AB,AE∥BC, ∴四边形ABDE是平行四边形,∴AE∥BD,且AE=BD ‎ 又∵AD是BC边上的中线, ∴BD=CD ∴AE∥CD,且AE=CD∴四边形ADCE是平行四边形 ∴AD=CE 解法2 证明:∵DE∥AB,AE∥BC ∴四边形ABDE是平行四边形,∠B=∠EDC ∴AB=DE ‎ 又∵AD是BC边上的中线∴BD=CD∴△ABD≌△EDC(SAS) ∴AD=EC ‎ (2)解法1∵∠BAC=Rt∠,AD上斜边BC上的中线,∴AD=BD=CD又∵四边形ADCE是平行四边形 ‎∴四边形ADCE是菱形 解法2∵DE∥AB,∠BAC=Rt∠,∴DE⊥AC又∵四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是菱形 解法3∵∠BAC=Rt∠,AD是斜边BC上的中线,∴AD=BD=CD又∵AD=EC ∴AD=CD=CE=AE ‎ ‎ ∴四边形ADCE是菱形 ‎ (3)解法1∵四边形ADCE是菱形∴AO=CO,∠ADO=90°,又∵BD=CD∴OD是△ABC的中位线,‎ 则 ∵AB=AO ∴∴在Rt△AOD中,‎ 解法2∵四边形ADCE是菱形∴AO=CO=,AD=CD,∠AOD=90°,∵AB=AO∴AB=‎ ‎∴在Rt△ABC中, ∵AD=CD, ∴∠DAC=∠DCA ‎ ∴ ‎ ‎13. 【答案】∵矩形ABCD ∴BC=AD,BC∥AD∴∠DAC=∠ACB ‎∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1.∴∠A1=∠DAC,A1D1=AD,AA1=CC1‎ ‎∴∠A1=∠ACB,A1D1=CB。∴△A1AD1≌△CC1B(SAS)。当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形,‎ ‎ ‎ ‎ 第9题图 第13题图 第14题图 ‎14. 【答案】(1)由折叠可知EF⊥AC,AO=CO∵AD∥BC∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO ‎∴△AOE≌△COF∴EO=FO∴四边形AFCE是菱形。‎ ‎(2)由(1)得AF=AE=10设AB=a,BF=b,得a2+b2=100 ①,ab=48 ②‎ ‎①+2×②得 (a+b)2=196,得a+b=14(另一负值舍去)∴△ABF的周长为24cm ‎(3)存在,过点E作AD的垂线交AC于点P,则点P符合题意。‎ 证明:∵∠AEP=∠AOE=90°,∠EAP=∠OAE∴△AOE∽△AEP ‎∴,得AE2=AO·AP即2AE2=2AO·AP又AC=2AO∴2AE2=AC·AP ‎15. 【答案】(1)证明:四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC, ‎ ‎∴∠PDO=∠QBO,又OB=OD,∠POD=∠QOB, ∴△POD≌△QOB ∴OP=OQ。 ‎ ‎(2)解法一: PD=8-t ∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,‎ ‎∵AD=8cm,AB=6cm,∴BD=10cm,∴OD=5cm. ‎ 当四边形PBQD是菱形时, PQ⊥BD,∴∠POD=∠A,又∠ODP=∠ADB,‎ ‎∴△ODP∽△ADB,∴,即,解得,即运动时间为秒时,四边形PBQD是菱形. ‎ 解法二:PD=8-t 当四边形PBQD是菱形时,PB=PD=(8-t)cm, ‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,在RT△ABP中,AB=6cm, ‎ ‎∴, ∴, 解得,即运动时间为秒时,四边形PBQD是菱形. ‎ ‎16. 【答案】解问题①:如图,正方形纸片OABC经过3次旋转,顶点O运动所形成的图形是三段弧,即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3,∴顶点O运动过程中经过的路程为.‎ ‎ 顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为 ‎=1+π.‎ 正方形OABC经过5次旋转,顶点O经过的路程为.‎ 问题②:∵方形OABC经过4次旋转,顶点O经过的路程为 ‎∴π=20×π+π.‎ ‎∴正方形纸片OABC经过了81次旋转.‎ ‎17. 【答案】(1)相似.由直线L垂直平分线段AC,所以AF=FC,∴∠FAC=∠ACF,又∵∠ABC=∠AOF=90°,∴△ABC∽FOA.‎ ‎(2)四边形AFCE是菱形。理由:∵AE∥CF,∴∠EAO=∠FCO,又∵AO=CO,∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF,∴AE=CF,又AE∥CF,∴四边形AFCE为平行四边形,又AF=FC,所以平行四边形AFCE为菱形.‎ ‎18. 【答案】解:(1)当∠BAO=45°时,∠PAO=90°,在Rt⊿AOB中,OA=AB=,在Rt⊿APB中,PA=AB=。∴点P的坐标为(,)‎ ‎(2)过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N,则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°,∴∠MPA=∠NPB,又PA=PB,∴△PAM≌△PBN,∴PM=PN,于是,点P都在∠AOB的平分线上;‎ ‎(3)<h≤。当点B与点O重合时,点P到AB的距离为,然后顶点A在x轴正半轴上向左运动,顶点B在y轴正半轴上向上运动时,点P到AB的距离逐渐增大,当∠BAO=45°时,PA⊥x轴,这时点P到AB的距离最大为,然后又逐渐减小到,∵x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O ,∴点P到x轴的距离的取值范围是<h≤。‎ ‎19. 【答案】证明:∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AD∥BC,OB=OD,∴∠EDO=∠FBO,∠OED=∠OFB,∴△OED≌△OFB,‎ ‎∴DE=BF,又∵DE∥BF,∴四边形BEDF是平行四边形,∵EF⊥BD,∴四边形BEDF是菱形. ‎ ‎20.【答案】(1)如图甲,当t=1秒时,AE=2,EB=10,BF=4,FC=4,CG=2,由S=S梯形EGCG-SEBF-SFCG=(10+2)×8-×10×4-×4×2=24‎ ‎(2)如图(甲),当0≤t≤2时,点E、F、G分别在AB、BC、CD上移动,此时AE=2t,EB=12-2t,BF=4t,FC=8-4t,S=8t2-32t+48(0≤t≤2)‎ ‎(3)如图乙,当点F追上点G时,4t=2t=8,解得t=4,当2<t≤4时,CF=4t-8,CG=2t,FG=CG-CF=8-2t,即S=-8t+32(2<t≤4),‎ ‎(3)如图(甲),当点F在矩形的边BC上移动时,0≤t≤2,在EFF和FCG中,B=C=90,,①若,即,解得t=,又t=满足0≤t≤2,所以当t=时△EBF∽△GCF②若,即,解得t=,又t=满足0≤t≤2,所以当t=时△EBF∽△GCF,综上知,当t=或时,以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似 ‎21.【解】(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD.∵PF⊥BD,∴PF//AC,同理PE//BD.‎ ‎∴四边形PFOE为矩形,故PE=OF.又∵∠PBF=45°,∴PF=BF.‎ ‎∴PE+PF=OF+FB=OB=.‎ ‎(2)∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD.∵PF⊥BD,∴PF//AC,同理PE//BD.‎ ‎∴四边形PFOE为矩形,故PE=OF.又∵∠PBF=45°,∴PF=BF.‎ ‎∴PE-PF=OF-BF= OB=.‎ ‎22.证明:∵ABCD是菱形,∠ABC= 60°∴BC=AC=AD又∵DE∥AC ∴ACED为平行四边形 ‎∴CE=AD=BC DE=AC∴DE=CE=BC ∴DE=BE ‎23. 【答案】证明:⑴∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABF=∠ECF.‎ ‎∵EC=DC, ∴AB=EC.‎ 在△ABF和△ECF中,∵∠ABF=∠ECF,∠AFB=∠EFC,AB=EC,‎ ‎∴⊿ABF≌⊿ECF.‎ ‎(2)解法一:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.∴AF=EF, BF=CF.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠D,又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠ABC.‎ ‎∵∠AFC=∠ABF+∠BAF,∴∠ABF=∠BAF.∴FA=FB. ‎ ‎∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC.∴□ABEC是矩形.‎ 解法二:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠D=∠BCE.‎ 又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠BCE,‎ ‎∵∠AFC=∠FCE+∠FEC,∴∠FCE=∠FEC.∴∠D=∠FEC.∴AE=AD.‎ 又∵CE=DC,∴AC⊥DE.即∠ACE=90°.‎ ‎∴□ABEC是矩形.‎ ‎24. 【答案】(1)AE′=BF 证明:如图2,∵在正方形ABCD中, AC⊥BD∴∠=∠AOD=∠AOB=90°‎ 即∠AOE′+∠AOF′=∠BOF′+∠AOF′∴∠AOE′=∠BOF′‎ 又∵OA=OB=OD,OE′=2OD,OF′=2OA∴OE′=OF′∴△OAE′≌△OBF′∴AE′=BF ‎(2)作△AOE′的中线AM,如图3. 则OE′=2OM=2OD=2OA ∴OA=OM ‎ ∵α=30° ∴∠AOM=60° ∴△AOM为等边三角形∴ MA=MO=ME′,∠=∠‎ 又∵∠+∠=∠AMO即2∠=60°∴∠=30°∴∠+∠AOE′=30°+60°=90°∴△AOE′为直角三角形.‎ ‎25. 【解】(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠BCA,∴∠EAC=∠B+∠BCA=2∠B,‎ ‎∵AD平分∠FAC,∴∠FAD=∠B,∴AD∥BC,∴∠D=∠DCE,∵CD平分∠ACE,‎ ‎∴∠ACD=∠DCE,∴∠D=∠ACD, ∴AC=AD;‎ ‎(2)证明:∵∠B=60°,∴∠ACB=60°,∠FAC=∠ACE=120°,‎ ‎∴∠DCE=∠B=60°,∵AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形, ‎ 又由(1)知AC=AD,∴AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.‎ ‎26.(1)证明:∵∠GEB+∠BEF=90°,∠DEF+∠BEF=90°,∴∠DEF=GEB,‎ 又∵ED=BE,∴Rt△FED≌Rt△GEB, ∴EF=EG. ‎ ‎(2)成立. 证明:如图,过点E分别作BC、CD的垂线,垂足分别为H、I,‎ 则EH=EI,∠HEI=90°, ∵∠GEH+∠HEF=90°,∠IEF+∠HEF=90°,‎ ‎∴∠IEF=∠GEH,∴Rt△FEI≌Rt△GEH,∴EF=EG. ‎ ‎ ‎ ‎ (3)解:如图,过点E分别作BC、CD的垂线,垂足分别为M、N ,‎ 则∠MEN=90°,EM∥AB,EN∥AD, ∴==,‎ ‎ ∴==, ∵∠GEM+∠MEF=90°,∠FEN+∠MEF=90°,‎ ‎ ∴∠FEN=∠GEM,∴Rt△FEN∽Rt△GEM, ∴==.‎ ‎27. 【答案】(1)连接BD.∵DE⊥BC,EF=DE,∴BD=BF,CD=CF.‎ ‎∵在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,∴四边形ABCD是等腰梯形.∴BD=AC.‎ ‎∴AC=BF,AB=CF.∴四边形ABFC是平行四边形.‎ ‎(2)∵DE2 =BE·CE,EF=DE,∴EF2 =BE·CE.∴.‎ 又∵DE⊥BC,∴∠CEF=∠FEB=90°.∴△CEF∽△FEB.∴∠CFE=∠FBE.‎ ‎∵∠FBE+∠BFE=90°,∴∠CFE +∠BFE=90°.即∠BFC=90°.‎ 由(1)知四边形ABFC是平行四边形,∴证四边形ABFC是矩形.‎ ‎28. 【答案】‎ 证明:∵四边形ABCD为矩形 ∴OA=OB=OC=OD AB=CD ∵AE=DF∴OE=OF ‎ 在ΔBOE与ΔCOF中, ∴ΔBOE≌ΔCOF(SAS) ∴BE=CF ‎29. 【解】(1) 假设当m=10时,存在点P使得点Q与点C重合(如下图),‎ ‎∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°,∴∠APD+∠BPC=90°,‎ 又∠ADP+∠APD=90°,∴∠BPC=∠ADP,‎ 又∠B=∠A=90°,∴△PBC∽△DAP,∴,‎ ‎∴,∴或8,∴存在点P使得点Q与点C重合,出此时AP的长2 或8.‎ ‎(2) 如下图,∵PQ∥AC,∴∠BPQ=∠BAC,∵∠BPQ=∠ADP,∴∠BAC=∠ADP,又∠B=∠DAP=90°,∴△ABC∽△DAP,∴,即,∴.‎ ‎∵PQ∥AC,∴∠BPQ=∠BAC,∵∠B=∠B,∴△PBQ∽△ABC,,即,‎ ‎∴.‎ ‎(3)由已知 PQ⊥PD,所以只有当DP=PQ时,△PQD为等腰三角形(如图),‎ ‎∴∠BPQ=∠ADP,又∠B=∠A=90°,∴△PBQ≌△DAP,∴PB=DA=4,AP=BQ=,‎ ‎∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为:S四边形PQCD= S矩形ABCD-S△DAP-S△QBP===16(4<≤8).‎ ‎30.【答案】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADC=∠BCD=90°,AD=BC.‎ ‎∵△CDE是等边三角形,∴∠CDE=∠DCE=60°,DE=CE. ‎ ‎∵∠ADC=∠BCD=90°,∠CDE=∠DCE=60°,∴∠ADE=∠BCE=30°.‎ ‎∵AD=BC,∠ADE=∠BCE,DE=CE,∴△ADE≌△BCE.‎ ‎(2)∵△ADE≌△BCE,∴AE=BE,∴∠BAE=∠ABE.‎ ‎∵∠BAE+∠DAE=90°,∠ABE+∠AFB=90°,∠BAE=∠ABE,‎ ‎∴∠DAE=∠AFB.∵AD=CD=DE,∴∠DAE=∠DEA.∵∠ADE=30°,∴∠DAE=75°,∴∠AFB=75°.‎ ‎31. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形 ∴CD=CB, ‎ ‎∵AC是正方形的对角线 ∴∠DCA=∠BCA 又 CE = CE ∴△BEC≌△DEC ‎ ‎(2)∵∠DEB = 140°由△BEC≌△DEC可得∠DEC =∠BEC=140°¸2=70°, ‎ ‎∴∠AEF =∠BEC=70°,又∵AC是正方形的对角线, ∠DAB=90° ∴∠DAC =∠BAC=90°¸2=45°, ‎ 在△AEF中,∠AFE=180°— 70°— 45°=65° ‎ ‎32. 【答案】解:(1)证明:∵DE∥OC ,CE∥OD,∴四边形OCED是平行四边形. ‎ ‎∵四边形ABCD是矩形 ∴ AO=OC=BO=OD ∴四边形OCED是菱形. ‎ ‎ ‎A B C D E O 图8‎ F ‎(2)∵∠ACB=30° ∴∠DCO = 90°— 30°= 60°又∵OD= OC, ∴△OCD是等边三角形 ‎ 过D作DF⊥OC于F,则CF=OC,设CF=,则OC= 2,AC=4‎ 在Rt△DFC中,tan 60°= ∴DF=FC× tan 60° ‎ 由已知菱形OCED的面积为得OC× DF=,即 , ‎ ‎ 解得 =2, ∴ AC=4´2=8 ‎ ‎33. 【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠PBC=90°,AB=AD,∴∠ADP+∠APD=90°∵∠DPE=90° ∴∠APD+∠EPB=90°∴∠ADP=∠EPB.‎ ‎(2)过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G,则∠EGP=∠A=90° 3分 ‎(第34题)②解得图 又∵∠ADP=∠EPB,PD=PE,∴△PAD≌△EGP 第35题图 ‎∴EG=AP,AD=AB=PG,∴AP=EG=BG∴∠CBE=∠EBG=45°.‎ ‎(3)方法一:当时,△PFE∽△BFP. ‎ ‎∵∠ADP=∠FPB,∠A=∠PBF,∴△ADP∽△BPF ‎ 设AD=AB=a,则AP=PB=,∴BF=BP·‎ ‎∴,∴‎ 又∵∠DPF=∠PBF=90°,∴△ADP∽△BFP 方法二:假设△ADP∽△BFP,则.∵∠ADP=∠FPB,∠A=∠PBF,∴△ADP∽△BPF ‎∴,∴∴PB=AP, ∴当时,△PFE∽△BFP. 10分 ‎34.【答案】⑴EAF、△EAF、GF.⑵DE+BF=EF,理由如下:‎ 假设∠BAD的度数为,将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG,此时AB与AD重合,由旋转可得:AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°,‎ 因此,点G,B,F在同一条直线上.∵∠EAF= ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=‎ ‎∵∠1=∠2, ∴∠1+∠3=.即∠GAF=∠EAF又AG=AE,AF=AF∴△GAF≌△EAF.‎ ‎∴GF=EF,又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF. ‎ ‎⑶当∠B与∠D互补时,可使得DE+BF=EF.‎ ‎35.情境观察AD(或A′D),90 ‎ 问题探究结论:EP=FQ. ‎ 证明:∵△ABE是等腰三角形,∴AB=AE,∠BAE=90°.‎ ‎∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°,∴∠ABG=∠EAP.‎ ‎∵EP⊥AG,∴∠AGB=∠EPA=90°,∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.‎ 同理AG=FQ. ∴EP=FQ. 拓展延伸结论: HE=HF. ‎ 理由:过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q.‎ ‎∵四边形ABME是矩形,∴∠BAE=90°,∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°,‎ ‎∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°,∴△ABG∽△EAP,∴ = . ‎ 同理△ACG∽△FAQ,∴ = . ∵AB= k AE,AC= k AF,∴ = = k,∴ = . ∴EP=FQ. ‎ ‎∵∠EHP=∠FHQ,∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF.‎ ‎36.证明:∵AD⊥BD,∴∠ADB=90°。又E为AB中点,∴DE=AB,BE=AB, ∴DE=BE ‎∴∠ DBE =∠EDB又AB∥CD, ∴∠ BDC =∠EDB∵BC=CD, ∴∠DBC =∠DBC ‎∴BC∥DE.∵EB∥CD∴四边形BCDE是平行四边形∵BC=CD∴四边形BCDE是菱形。‎ ‎37. 【答案】(1)∠B=72°,∠E=36°(2)5个;(3)图略 ‎38. 【答案】(1)证明:由题意知∠FDC =∠DCA = 90°.∴EF∥CA ∴∠AEF =∠EAC ‎∵AF = CE = AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE = EA ‎∴△AEC≌△EAF,∴EF = CA,∴四边形ACEF是平行四边形 .‎ ‎(2)当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形 .‎ 理由是:∵∠B=30°,∠ACB=90°,∴AC=,∵DE垂直平分BC,∴ BE=CE 又∵AE=CE,∴CE=,∴AC=CE,∴四边形ACEF是菱形.‎ ‎39. 【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠DCE=∠DAG=90°,又∵CE=AG,∴△DCE≌△DAG,∴∠EDC=∠GDA,DE=DG.又∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠ADE+∠GDA=90°,∴DE⊥DG.‎ ‎(2)如图 ‎(3)四边形CEFK为平行四边形。‎ 证明:设CK,DE相交于M点,∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,∴AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥DG;∵BK=AG,∴KG=AB=CD,∴四边形CKGD为平行四边形。∴CK=DG=EF,CK∥DG.∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°.∴∠KME+∠DEF=180°,∴CK∥EF,∴四边形CKEF为平行四边形。‎ ‎(4)=‎ ‎40. (1)证明:∵△ABC≌△DEF,∴AC=DF,∠ACB=∠DFE,∴AC∥DF,‎ ‎∴四边形ACFD是平行四边形;‎ ‎(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=10cm,要使四边形ACFD为菱形,则AC=CF,‎ ‎∴可将Rt△ABC向左平移10cm或向右平移10cm;‎ ‎(3)在Rt△ABC中,.∴当Rt△ABC向左平移时,EC=BC-BE=8-4=4(cm),‎ 在Rt△HEC中,.∴四边形DHCF的面积为:cm2.‎ ‎41. 【答案】△ABE是等边三角形,理由如下:‎ 因为△PEA是将△PCD绕P点顺时针旋转60°后得到的,所以△PEA≌△PCD,且AE与DC所夹的锐角为60°所以AE=DC又因为四边形ABCD是矩形所以DC=AB且DC∥AB所以AE=AB且∠EAB=60°‎ 所以△ABE是等边三角形.‎