平行四边形矩形菱形正方形解答题与答案中考必备 24页

平行四边形·矩形·菱形·正方形解答题(含答案)‎ ‎1. 以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．‎ ‎（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；‎ ‎（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=（0°＜＜90°），‎ ‎① 试用含的代数式表示∠HAE；② 求证：HE=HG；③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由． ‎ ‎2.正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、（＞0，＞0，＞0）．‎ ‎（1）求证：=；‎ ‎（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S=；‎ ‎（3）若，当变化时，说明正方形ABCD的面积S 随的变化情况．‎ ‎ ‎ ‎3.已知,矩形中,,,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.‎ ‎ (1)如图10-1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；‎ ‎(2)如图10-2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,‎ ①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.‎ ②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.‎ 图10-1‎ 图10-2‎ 备用图 ‎4. （ 如图4，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF． 求证：△ACE≌△ACF．‎ 图4‎ A B C D E F ‎（第5题图）‎ ‎5. 如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。‎ ‎6. （2011山东济宁，22，8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，为边延长线上的一点，为的中点，的垂直平分线交边于，交边的延长线于.当时，与的比值是多少？‎ 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过作直线平行于交，分别于，，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得与的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.‎ ‎(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.‎ ‎ 第6题图 ‎ ‎7. 如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．‎ ‎（1）若∠1=70°，求∠MNK的度数．‎ ‎（2）△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．‎ ‎（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你探究可能出现的情况，求出最大值．‎ A B C D E ‎8已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．‎ ‎（1）求证：AB＝BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．‎ ‎9.如图已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．‎ ‎(1) 求证：四边形AECF是平行四边形；‎ ‎(2) 若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长 ．‎ ‎ 第9题图 第10题图 第11题图 ‎10．如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G．‎ ‎（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G＝90，求证四边形DEBF是菱形．‎ ‎11. （2011浙江衢州，22,10分）如图，中，是边上的中线，过点作，过点作与分别交于点、点，连接 求证：（1）;‎ ‎（2）当时，求证：四边形是菱形；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若，求的值.‎ ‎13. （2011福建泉州，21，9分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1．‎ ‎(1)证明：△A1AD1≌△CC1B；‎ ‎(2)若∠ACB＝30°，试问当点C1在线段AC上的什么位置时，四边形ABC1D1是菱形. （直接写出答案）‎ A B C D E F O ‎ 第13题图 第14题图 ‎14. （2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。‎ ‎（1）求证：四边形AFCE是菱形；‎ ‎（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；‎ ‎（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。‎ ‎15. （2011广东株洲，23，8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.（1）求证： OP=OQ；‎ ‎（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．‎ ‎ ‎ ‎16. （2011江苏苏州，28,9分）（本题满分9分）如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）.‎ 小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和.‎ 小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：‎ 问题①：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；‎ 问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是π？‎ 请你解答上述两个问题.‎ ‎17. （2011江苏泰州，24，10分）如图，四边形ABCD是矩形，直线L垂直平分线段AC，垂足为O，直线L分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．‎ ‎（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？‎ ‎（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．‎ ‎ 第17题图 第18题图 ‎18. （在平面直角坐标系xoy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．‎ ‎（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标;‎ ‎(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；‎ ‎（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．‎ ‎19. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．‎ ‎20．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）．‎ ‎（1）当t＝1秒时，S的值是多少？‎ ‎（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围．‎ ‎（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ 第20题图 第21题图 ‎21. 已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.‎ ‎（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；‎ ‎（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值. ‎ ‎22. 如图5所示，在菱形ABCD中，∠ABC= 60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE ‎23. (如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．‎ ‎⑴求证：△ABF≌△ECF ‎⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．‎ A B C D E F ‎24. 已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△（如图2）.‎ （1） 探究AE′与BF'的数量关系，并给予证明；‎ （2） 当α＝30°时，求证：△AOE′为直角三角形.‎ ‎ ‎ ‎ 第24题图 底5题图 ‎25. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，＝2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F ‎（1）求证：AC＝AD；（2）若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形； ‎ ‎26. 如图1，奖三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．‎ ‎ （1）求证：EF＝EG；‎ ‎（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a,BC＝b，求的值．[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ ‎27. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．联结BF、CF、AC．‎ ‎（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）如果DE2＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形．‎ ‎28. 如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF。求证：BE=CF ‎ 第28题图 第29题图 第30题图 ‎29. 如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m(m＞4)，点P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．‎ ‎(1)当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在说明理由；‎ ‎(2)连结AC，若PQ∥AC,求线段BQ的长（用含m的代数式表示）‎ ‎(3)若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．‎ ‎30. 如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于点F．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△BCE；（5分）（2）求∠AFB的度数．（5分）‎ ‎31. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED．‎ ‎（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB ＝ 140°，求∠AFE的度数． ‎ A B C D E F A B C D E O ‎ 第310题图 第32题图 第33题图 ‎32. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；‎ ‎（2）若∠ACB＝30°，菱形OCED的面积为，求AC的长．‎ ‎33. 如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.‎ ‎（1）求证：∠ADP＝∠EPB；（2）求∠CBE的度数；3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由. ‎ ‎34.探究问题：⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．感悟解题方法，并完成下列填空：‎ 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：‎ AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，‎ 因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．‎ ‎∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠_________．又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_______．‎ ‎∴_________=EF，故DE+BF=EF． ‎ ‎（第25题）①‎ ‎（第25题）②‎ ‎（第25题）③‎ ‎⑵方法迁移：如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．‎ ‎⑶问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．‎ ‎35. 情境观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是 ，∠CAC′= °．‎ 图1 图2‎ 问题探究：如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.‎ 图3‎ 拓展延伸 如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ 第35题 （图4） 第36题 ‎ ‎36. 已知:如图,在梯形ABCD中AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点,‎ 求证:四边形BCDE是菱形.‎ ‎37. (20011江苏镇江,25,6分)已知:如图1,图形①满足:AD=AB,MD=MB, ∠A=72°, ∠M=144°.图形②与图形①恰好拼成一个菱形(如图2).记作AB的长度为a,BM的长度为b. ‎ ‎(1)图中①中∠B=___度,图中②中∠E=____度.[来源:学.科.网]‎ ‎(2)小明有两种纸片各若干张,其中一种纸片的形状及大小与图形①相同,这咱纸片称为“风筝一号”另一种纸片的形状及大小与图形②相同,这种纸片称为“飞镖一号”.‎ ‎①小明仅有“,风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形,需要这种纸片____张;‎ ‎②小明用若干张“风筝一号”和 “飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”(如图3),其中 ‎∠P=72°, ∠Q=144°,PI=PJ=a+b,IQ=JQ.庄股你在图穷匕见中画出拼接线并保留画图痕迹.(本题中均为无重叠、无缝隙拼接)‎ ‎ ‎ ‎38. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．‎ ‎⑴说明四边形ACEF是平行四边形；⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．‎ 第38题图 ‎39. 如图12，四边形ABCD是正方形，点E,K分别在BC,AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG.‎ ‎(1)求证：①DE=EG;②DE⊥EG；‎ ‎（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；‎ ‎（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；‎ ‎（4）当时，请直接写出的值.‎ ‎40. 两个全等的直角三角形重叠放在直线上，如图⑴，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，将Rt△ABC在直线上左右平移，如图⑵所示.⑴ 求证：四边形ACFD是平行四边形;‎ ‎⑵ 怎样移动Rt△ABC，使得四边形ACFD为菱形;⑶ 将Rt△ABC向左平移，求四边形DHCF的面积.‎ 图(1)‎ A(D)‎ B(E)‎ C(F)‎ D 图(2)‎ F E C B A H ‎41. 如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合，得到△PEA，连接EB，问△ABE是什么特殊三角形？请说明理由.‎ 矩形、菱形与正方形解答题 ‎1. 【答案】（1）四边形EFGH是正方形．　　　　(2) ①∠HAE=90°＋a．‎ 在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a；‎ ‎∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，‎ ‎∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a．‎ ‎②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE=AB，DG=CD，‎ 在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE．‎ ‎∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．[来源:学科网ZXXK]‎ ‎③四边形EFGH是正方形．‎ 由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已证），∴GH=GF=FG=FE，∴四边形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG=∠AHE，又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，∴四边形EFGH是正方形．‎ ‎2. 【答案】（1）过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CG⊥l3交l3于点G，‎ ‎∵l2∥l3，∴∠2 =∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC，∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，即=；‎ ‎（2）∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD =∠4，又∵∠AFD=∠DGC=90°, AD=DC，∴△AFD≌△DGC，∴DF=CG，∵AD2=AF2+FD2，∴S=；‎ ‎ (3)由题意，得， 所以 又，解得0＜h1＜‎ ‎∴当0＜h1＜时，S随h1的增大而减小； 当h1=时，S取得最小值；当＜h1＜时，S随h1的增大而增大.‎ ‎3. 【答案】(1)证明:①∵四边形是矩形∴∥∴,‎ ‎∵垂直平分,垂足为∴∴≌∴ ∴四边形为平行四边形 又∵∴四边形为菱形 ‎②设菱形的边长,则 在中,‎ 由勾股定理得,解得∴‎ ‎(2)①显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点 在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,‎ 才能构成平行四边形∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,‎ ‎∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒∴,‎ ‎∴,解得∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.‎ ②由题意得,以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.‎ 分三种情况:i)如图1,当点在上、点在上时,,即,得 ii)如图2,当点在上、点在上时,, 即,得 iii)如图3,当点在上、点在上时,,即,得 综上所述,与满足的数量关系式是 ‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎4. 【答案】∵四边形ABCD为菱形∴∠BAC=∠DAC又∵AE=AF，AC=AC∴△ACE≌△ACF（SAS）‎ ‎5. 【答案】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形 证明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO.‎ 同理，FO=CO6分∴EO=FO又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形 又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4.又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°分 ‎∴四边形AECF是矩形 ‎6. （1）解：过作直线平行于交，分别于点，， ‎ 则，，.∵，∴.∴，.∴. ‎ ‎（2）证明：作∥交于点， ‎ 则，.∵，‎ ‎∴.∵，，‎ ‎∴.∴.∴.‎ ‎7. ∴AM∥DN，∴∠KNM=∠1．∵∠KMN=∠1，∴∠KNM=∠KMN．‎ ‎∵∠1=70°，∴∠KNM=∠KMN=70°．∴∠MNK=40°．‎ ‎ （2）不能．过M点作ME⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1,由（1）知∠KNM=∠KMN．∴MK=NK．又MK≥ME,∴NK≥1．∴．∴△MNK的面积最小值为，不可能小于．‎ ‎（3）分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合．‎ 设MK=MD=x，则AM=5-x，由勾股定理，得,‎ 解得，．即．‎ ‎∴．（情况一）‎ 情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC．‎ 设MK=AK= CK=x，则DK=5-x，同理可得 即．∴．‎ ‎∴△MNK的面积最大值为1.3． （情况二）‎ ‎8.（1）证明：连接AC，∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2.∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2，∴AB＝BC.（2）证明：过C作CF⊥BE于F.∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形.∴CD＝EF.∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF.‎ ‎∴AE＝BF.∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD.‎ ‎9.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，‎ ‎∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形.‎ ‎（2）∵四边形AECF是，∴AE＝CE，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90°，∴∠3＝∠90°－∠2，∠4＝∠90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE＝BC＝5.‎ ‎10． 解：（1）□ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD ‎∵E、F分别为AB、CD的中点∴DF＝DC，BE＝AB∴DF∥BE，DF＝BE ‎∴四边形DEBF为平行四边形∴DE∥BF ‎(2)证明：∵AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴DBC 为直角三角形 又∵F为边CD的中点．∴BF＝DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形 ‎11.证明：（1）解法1∵DE∥AB，AE∥BC， ∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD，且AE=BD ‎ 又∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD ∴AE∥CD，且AE=CD∴四边形ADCE是平行四边形 ∴AD=CE 解法2 证明：∵DE∥AB，AE∥BC ∴四边形ABDE是平行四边形，∠B=∠EDC ∴AB=DE ‎ 又∵AD是BC边上的中线∴BD=CD∴△ABD≌△EDC(SAS) ∴AD=EC ‎ (2)解法1∵∠BAC=Rt∠，AD上斜边BC上的中线，∴AD=BD=CD又∵四边形ADCE是平行四边形 ‎∴四边形ADCE是菱形 解法2∵DE∥AB，∠BAC=Rt∠，∴DE⊥AC又∵四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是菱形 解法3∵∠BAC=Rt∠，AD是斜边BC上的中线，∴AD=BD=CD又∵AD=EC ∴AD=CD=CE=AE ‎ ‎ ∴四边形ADCE是菱形 ‎ (3)解法1∵四边形ADCE是菱形∴AO=CO，∠ADO=90°,又∵BD=CD∴OD是△ABC的中位线，‎ 则 ∵AB=AO ∴∴在Rt△AOD中，‎ 解法2∵四边形ADCE是菱形∴AO=CO=，AD=CD，∠AOD=90°，∵AB=AO∴AB=‎ ‎∴在Rt△ABC中， ∵AD=CD， ∴∠DAC=∠DCA ‎ ∴ ‎ ‎13. 【答案】∵矩形ABCD ∴BC=AD,BC∥AD∴∠DAC=∠ACB ‎∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1．∴∠A1=∠DAC,A1D1=AD,AA1=CC1‎ ‎∴∠A1=∠ACB，A1D1=CB。∴△A1AD1≌△CC1B（SAS）。当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形，‎ ‎ ‎ ‎ 第9题图 第13题图 第14题图 ‎14. 【答案】（1）由折叠可知EF⊥AC，AO=CO∵AD∥BC∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO ‎∴△AOE≌△COF∴EO=FO∴四边形AFCE是菱形。‎ ‎（2）由（1）得AF=AE=10设AB=a，BF=b，得a2+b2=100 ①，ab=48 ②‎ ‎①+2×②得 (a+b)2=196，得a+b=14（另一负值舍去）∴△ABF的周长为24cm ‎（3）存在，过点E作AD的垂线交AC于点P，则点P符合题意。‎ 证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE∴△AOE∽△AEP ‎∴，得AE2=AO·AP即2AE2=2AO·AP又AC=2AO∴2AE2=AC·AP ‎15. 【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC， ‎ ‎∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB， ∴△POD≌△QOB ∴OP=OQ。 ‎ ‎（2）解法一： PD=8-t ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，‎ ‎∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm. ‎ 当四边形PBQD是菱形时， PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB，‎ ‎∴△ODP∽△ADB，∴，即，解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形. ‎ 解法二：PD=8-t 当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=(8-t)cm， ‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在RT△ABP中，AB=6cm， ‎ ‎∴， ∴， 解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形. ‎ ‎16. 【答案】解问题①：如图，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，∴顶点O运动过程中经过的路程为.‎ ‎ 顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为 ‎=1+π.‎ 正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为.‎ 问题②：∵方形OABC经过4次旋转，顶点O经过的路程为 ‎∴π=20×π+π.‎ ‎∴正方形纸片OABC经过了81次旋转.‎ ‎17. 【答案】(1)相似.由直线L垂直平分线段AC，所以AF=FC，∴∠FAC=∠ACF，又∵∠ABC=∠AOF=90°，∴△ABC∽FOA．‎ ‎（2）四边形AFCE是菱形。理由：∵AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO，又∵AO＝CO，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF，∴四边形AFCE为平行四边形，又AF=FC，所以平行四边形AFCE为菱形．‎ ‎18. 【答案】解：（1）当∠BAO=45°时，∠PAO=90°，在Rt⊿AOB中，OA＝AB＝，在Rt⊿APB中，PA＝AB＝。∴点P的坐标为（，）‎ ‎（2）过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°，∴∠MPA=∠NPB，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴PM=PN，于是，点P都在∠AOB的平分线上；‎ ‎（3）＜h≤。当点B与点O重合时，点P到AB的距离为，然后顶点A在x轴正半轴上向左运动，顶点B在y轴正半轴上向上运动时，点P到AB的距离逐渐增大，当∠BAO=45°时，PA⊥x轴，这时点P到AB的距离最大为，然后又逐渐减小到，∵x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O ，∴点P到x轴的距离的取值范围是＜h≤。‎ ‎19. 【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AD∥BC，OB=OD，∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB，‎ ‎∴DE=BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形． ‎ ‎20．【答案】（1）如图甲，当t＝1秒时，AE＝2，EB＝10，BF＝4，FC＝4，CG＝2，由S＝S梯形EGCG－SEBF－SFCG＝(10＋2)×8－×10×4－×4×2＝24‎ ‎(2)如图（甲），当0≤t≤2时，点E、F、G分别在AB、BC、CD上移动，此时AE＝2t，EB＝12－2t，BF＝4t，FC＝8－4t，S＝8t2－32t＋48（0≤t≤2）‎ ‎（3）如图乙，当点F追上点G时，4t＝2t＝8，解得t＝4，当2＜t≤4时，CF＝4t－8，CG＝2t，FG＝CG－CF＝8－2t，即S＝－8t＋32(2＜t≤4)，‎ ‎(3)如图（甲），当点F在矩形的边BC上移动时，0≤t≤2，在EFF和FCG中，B＝C＝90，，①若，即，解得t＝，又t＝满足0≤t≤2，所以当t＝时△EBF∽△GCF②若，即，解得t＝，又t＝满足0≤t≤2，所以当t＝时△EBF∽△GCF，综上知，当t＝或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似 ‎21.【解】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.‎ ‎∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.‎ ‎∴PE+PF=OF+FB=OB=.‎ ‎（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.‎ ‎∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.‎ ‎∴PE－PF=OF－BF= OB=.‎ ‎22.证明：∵ABCD是菱形，∠ABC= 60°∴BC=AC=AD又∵DE∥AC ∴ACED为平行四边形 ‎∴CE=AD=BC DE=AC∴DE=CE=BC ∴DE=BE ‎23. 【答案】证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF.‎ ‎∵EC=DC, ∴AB=EC．‎ 在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，‎ ‎∴⊿ABF≌⊿ECF．‎ ‎（2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF， BF=CF．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．‎ ‎∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB． ‎ ‎∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴□ABEC是矩形．‎ 解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．‎ 又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，‎ ‎∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．‎ 又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．‎ ‎∴□ABEC是矩形．‎ ‎24. 【答案】（1）AE′＝BF 证明：如图2，∵在正方形ABCD中， AC⊥BD∴∠＝∠AOD＝∠AOB＝90°‎ 即∠AOE′＋∠AOF′＝∠BOF′＋∠AOF′∴∠AOE′＝∠BOF′‎ 又∵OA＝OB＝OD，OE′＝2OD，OF′＝2OA∴OE′＝OF′∴△OAE′≌△OBF′∴AE′＝BF ‎（2）作△AOE′的中线AM，如图3. 则OE′＝2OM＝2OD＝2OA ∴OA＝OM ‎ ∵α＝30° ∴∠AOM＝60° ∴△AOM为等边三角形∴ MA＝MO＝ME′，∠＝∠‎ 又∵∠＋∠＝∠AMO即2∠＝60°∴∠＝30°∴∠＋∠AOE′＝30°＋60°＝90°∴△AOE′为直角三角形.‎ ‎25. 【解】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠BCA，∴∠EAC＝∠B＋∠BCA＝2∠B，‎ ‎∵AD平分∠FAC，∴∠FAD＝∠B，∴AD∥BC，∴∠D＝∠DCE，∵CD平分∠ACE，‎ ‎∴∠ACD＝∠DCE，∴∠D＝∠ACD， ∴AC＝AD；‎ ‎（2）证明：∵∠B＝60°，∴∠ACB＝60°，∠FAC＝∠ACE＝120°，‎ ‎∴∠DCE＝∠B＝60°，∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形， ‎ 又由（1）知AC＝AD，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．‎ ‎26.（1）证明：∵∠GEB＋∠BEF＝90°，∠DEF＋∠BEF＝90°，∴∠DEF＝GEB，‎ 又∵ED＝BE，∴Rt△FED≌Rt△GEB， ∴EF＝EG． ‎ ‎(2)成立． 证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，‎ 则EH＝EI，∠HEI＝90°， ∵∠GEH＋∠HEF＝90°，∠IEF＋∠HEF＝90°，‎ ‎∴∠IEF＝∠GEH，∴Rt△FEI≌Rt△GEH,∴EF＝EG． ‎ ‎ ‎ ‎ (3)解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N ，‎ 则∠MEN＝90°，EM∥AB，EN∥AD, ∴＝＝，‎ ‎ ∴＝＝, ∵∠GEM＋∠MEF＝90°，∠FEN＋∠MEF＝90°，‎ ‎ ∴∠FEN＝∠GEM，∴Rt△FEN∽Rt△GEM, ∴＝＝．‎ ‎27. 【答案】（1）连接BD．∵DE⊥BC，EF=DE，∴BD=BF，CD=CF．‎ ‎∵在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，∴四边形ABCD是等腰梯形．∴BD=AC．‎ ‎∴AC=BF，AB=CF．∴四边形ABFC是平行四边形．‎ ‎（2）∵DE2 =BE·CE，EF=DE，∴EF2 =BE·CE．∴．‎ 又∵DE⊥BC，∴∠CEF=∠FEB=90°．∴△CEF∽△FEB．∴∠CFE=∠FBE．‎ ‎∵∠FBE+∠BFE=90°，∴∠CFE +∠BFE=90°．即∠BFC=90°．‎ 由（1）知四边形ABFC是平行四边形，∴证四边形ABFC是矩形．‎ ‎28. 【答案】‎ 证明：∵四边形ABCD为矩形 ∴OA=OB=OC=OD AB=CD ∵AE=DF∴OE=OF ‎ 在ΔBOE与ΔCOF中， ∴ΔBOE≌ΔCOF(SAS) ∴BE=CF ‎29. 【解】(1) 假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如下图），‎ ‎∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°，∴∠APD＋∠BPC=90°，‎ 又∠ADP＋∠APD=90°，∴∠BPC=∠ADP，‎ 又∠B=∠A=90°，∴△PBC∽△DAP，∴，‎ ‎∴，∴或8，∴存在点P使得点Q与点C重合，出此时AP的长2 或8．‎ ‎(2) 如下图，∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠BPQ=∠ADP，∴∠BAC=∠ADP，又∠B=∠DAP=90°，∴△ABC∽△DAP，∴，即，∴．‎ ‎∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠B=∠B，∴△PBQ∽△ABC，，即，‎ ‎∴．‎ ‎(3)由已知 PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形（如图），‎ ‎∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，∴△PBQ≌△DAP，∴PB=DA=4，AP=BQ=，‎ ‎∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为：S四边形PQCD= S矩形ABCD－S△DAP－S△QBP===16（4＜≤8）．‎ ‎30.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC．‎ ‎∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE=∠DCE=60°，DE=CE． ‎ ‎∵∠ADC=∠BCD=90°，∠CDE=∠DCE=60°，∴∠ADE=∠BCE=30°．‎ ‎∵AD=BC，∠ADE=∠BCE，DE=CE，∴△ADE≌△BCE．‎ ‎（2）∵△ADE≌△BCE，∴AE=BE，∴∠BAE=∠ABE．‎ ‎∵∠BAE+∠DAE=90°，∠ABE+∠AFB=90°，∠BAE=∠ABE，‎ ‎∴∠DAE=∠AFB．∵AD=CD=DE，∴∠DAE=∠DEA．∵∠ADE=30°，∴∠DAE=75°，∴∠AFB=75°．‎ ‎31. 【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴CD＝CB， ‎ ‎∵AC是正方形的对角线 ∴∠DCA＝∠BCA 又 CE ＝ CE ∴△BEC≌△DEC ‎ ‎(2）∵∠DEB ＝ 140°由△BEC≌△DEC可得∠DEC ＝∠BEC＝140°¸2＝70°， ‎ ‎∴∠AEF ＝∠BEC＝70°，又∵AC是正方形的对角线， ∠DAB＝90° ∴∠DAC ＝∠BAC＝90°¸2＝45°， ‎ 在△AEF中，∠AFE＝180°— 70°— 45°＝65° ‎ ‎32. 【答案】解：（1）证明：∵DE∥OC ，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形． ‎ ‎∵四边形ABCD是矩形 ∴ AO＝OC＝BO＝OD ∴四边形OCED是菱形． ‎ ‎ ‎A B C D E O 图8‎ F ‎（2）∵∠ACB＝30° ∴∠DCO ＝ 90°— 30°＝ 60°又∵OD＝ OC， ∴△OCD是等边三角形 ‎ 过D作DF⊥OC于F，则CF＝OC，设CF＝，则OC＝ 2，AC＝4‎ 在Rt△DFC中，tan 60°＝ ∴DF＝FC× tan 60° ‎ 由已知菱形OCED的面积为得OC× DF＝，即 ， ‎ ‎ 解得 ＝2， ∴ AC＝4´2＝8 ‎ ‎33. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP＋∠APD＝90°∵∠DPE＝90° ∴∠APD＋∠EPB＝90°∴∠ADP＝∠EPB.‎ ‎（2）过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠EGP＝∠A＝90° 3分 ‎（第34题）②解得图 又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP 第35题图 ‎∴EG＝AP，AD＝AB＝PG，∴AP＝EG＝BG∴∠CBE＝∠EBG＝45°.‎ ‎（3）方法一：当时，△PFE∽△BFP. ‎ ‎∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF ‎ 设AD＝AB＝a，则AP＝PB＝，∴BF＝BP·‎ ‎∴，∴‎ 又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△ADP∽△BFP 方法二：假设△ADP∽△BFP，则.∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF ‎∴，∴∴PB＝AP， ∴当时，△PFE∽△BFP. 10分 ‎34.【答案】⑴EAF、△EAF、GF．⑵DE+BF=EF，理由如下：‎ 假设∠BAD的度数为，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，‎ 因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF= ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=‎ ‎∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=．即∠GAF=∠EAF又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌△EAF．‎ ‎∴GF=EF，又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF． ‎ ‎⑶当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF．‎ ‎35.情境观察AD（或A′D），90 ‎ 问题探究结论：EP=FQ. ‎ 证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.‎ ‎∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.‎ ‎∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.‎ 同理AG=FQ. ∴EP=FQ. 拓展延伸结论： HE=HF. ‎ 理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.‎ ‎∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，‎ ‎∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴ = . ‎ 同理△ACG∽△FAQ，∴ = . ∵AB= k AE，AC= k AF，∴ = = k，∴ = . ∴EP=FQ. ‎ ‎∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF.‎ ‎36.证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°。又E为AB中点，∴DE=AB,BE=AB, ∴DE=BE ‎∴∠ DBE =∠EDB又AB∥CD, ∴∠ BDC =∠EDB∵BC=CD, ∴∠DBC =∠DBC ‎∴BC∥DE.∵EB∥CD∴四边形BCDE是平行四边形∵BC=CD∴四边形BCDE是菱形。‎ ‎37. 【答案】（1）∠B=72°，∠E=36°（2）5个；（3）图略 ‎38. 【答案】（1）证明：由题意知∠FDC =∠DCA = 90°．∴EF∥CA ∴∠AEF =∠EAC ‎∵AF = CE = AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE = EA ‎∴△AEC≌△EAF，∴EF = CA，∴四边形ACEF是平行四边形 ．‎ ‎（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形 ．‎ 理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=，∵DE垂直平分BC，∴ BE=CE 又∵AE=CE，∴CE=，∴AC=CE，∴四边形ACEF是菱形．‎ ‎39. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°，又∵CE=AG，∴△DCE≌△DAG,∴∠EDC=∠GDA,DE=DG.又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°,∴DE⊥DG.‎ ‎（2）如图 ‎(3)四边形CEFK为平行四边形。‎ 证明：设CK,DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥DG;∵BK=AG,∴KG=AB=CD,∴四边形CKGD为平行四边形。∴CK=DG=EF,CK∥DG.∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°.∴∠KME+∠DEF=180°,∴CK∥EF,∴四边形CKEF为平行四边形。‎ ‎（4）=‎ ‎40. （1）证明：∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF,∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF，‎ ‎∴四边形ACFD是平行四边形；‎ ‎（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=10cm，要使四边形ACFD为菱形，则AC=CF，‎ ‎∴可将Rt△ABC向左平移10cm或向右平移10cm；‎ ‎（3）在Rt△ABC中，．∴当Rt△ABC向左平移时，EC=BC-BE=8-4=4（cm），‎ 在Rt△HEC中，．∴四边形DHCF的面积为：cm2．‎ ‎41. 【答案】△ABE是等边三角形，理由如下：‎ 因为△PEA是将△PCD绕P点顺时针旋转60°后得到的，所以△PEA≌△PCD，且AE与DC所夹的锐角为60°所以AE＝DC又因为四边形ABCD是矩形所以DC＝AB且DC∥AB所以AE＝AB且∠EAB＝60°‎ 所以△ABE是等边三角形.‎