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  • 2021-05-10 发布

中考数学分类汇编二次函数压轴题

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中考数学与二次函数有关的压轴题 纵观2016年全国各省市中考数学试卷其中与二次函数有关的压轴题,其考点涉及:一次函数、二次函数的性质,函数图像上点的坐标与方程的关系;轴对称和等腰三角形的性质;特殊平行四边形性质;图形的旋转变换;相似三角形的性质;锐角三角函数应用;圆的性质;阅读理解,等.129数学思想涉及:分类讨论;数形结合;转化,等.现选取部分省市的2016年中考题展示,以飨读者.‎ 一、与特殊平行四边形性质的有关综合题 ‎【题1】‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=a(x+1)2﹣3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,﹣),顶点为D,对称轴与x轴交于点H,过点H的直线l交抛物线于P,Q两点,点Q在y轴的右侧.‎ ‎(1)求a的值及点A,B的坐标;‎ ‎(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3:7的两部分时,求直线l的函数表达式;‎ ‎(3)当点P位于第二象限时,设PQ的中点为M,点N在抛物线上,则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形?若能,求出点N的坐标;若不能,请说明理由.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【题2】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,9),与y轴交于点A(0,5),与x轴交于点E、B. ‎ ‎(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式; ‎ ‎(2)过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点(点P在AC上方),作PD平行与y轴交AB于点D,问当点P在何位置时,四边形APCD的面积最大?并求出最大面积; ‎ ‎(3)若点M在抛物线上,点N在其对称轴上,使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形,且AE为其一边,求点M、N的坐标. ‎ ‎ ‎ ‎【题2】‎ ‎【题3】如图1,二次函数的图像过点A(-1,3),顶点B的横坐标为1.‎ ‎(1)求这个二次函数的表达式;‎ ‎(2)点P在该二次函数的图像上,点Q在x轴上,若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标;‎ ‎(3)如图3,一次函数(k>0)的图像与该二次函数的图像交于O、C两点,点T为该二次函数图像上位于直线OC下方的动点,过点T作直线TM⊥OC,垂足为点M,且M在线段OC上(不与O、C重合),过点T作直线TN∥y轴交OC于点N。若在点T运动的过程中,为常数,试确定k的值。‎ 二、与轴对称和等腰三角形性质有关的综合题 ‎【题4】如图,顶点为的抛物线经过坐标原点O,与轴交于点B.‎ ‎(1)求抛物线对应的二次函数的表达式;‎ ‎(2)过B作OA的平行线交轴于点C,交抛物线于点,求证:△OCD≌△OAB;‎ ‎(3)在轴上找一点,使得△PCD的周长最小,求出P点的坐标.‎ ‎【题5】如图,二次函数y=ax 2+bx(a≠0)的图象经过点A(1,4),对称轴是直线x=- ,线段AD平行于x轴,交抛物线于点D.在y轴上取一点C(0,2),直线AC交抛物线于点B,连结OA,OB,OD,‎ BD. ‎ ‎(1)求该二次函数的解析式;‎ ‎(2)设点F是BD的中点,点P是线段DO上的动点,将△BPF沿边PF翻折,得到△B′PF,使△B′PF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的 ,若点B′在OD上方,求线段PD的长度;‎ x y A D C B O x y A D C B O x y A D C B O ‎(3)在(2)的条件下,过B′作B′H⊥PF于H,点Q在OD下方的抛物线上,连接AQ与B′H交于点M,点G在线段AM上,使∠HPN+∠DAQ =135°,延长PG交AD于N.若AN+ B′M=,求点Q的坐标.‎ ‎【题6】如图,在平面直角坐标系中,直线y=—2x+10与x轴、y轴相交于A、B两点.点C的坐标是(8,4),连接AC、BC.‎ ‎(1)求过O、A、C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;‎ ‎(2)动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动;同时,动点Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,PA=QA?‎ ‎(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。‎ 三、与图形的平移与旋转变换性质有关的综合题 ‎【题8】如图1,二次函数的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于A,B两点,点A的坐标为(0,1),点B在第一象限内,点C是二次函数图象的顶点,点M是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点,过点B作x轴的垂线,垂足为N,且S△AMO︰S四边形AONB=1︰48。‎ ‎(1)求直线AB和直线BC的解析式;‎ ‎(2)点P是线段AB上一点,点D是线段BC上一点,PD//x轴,射线PD与抛物线交于点G,过点P作PE⊥x轴于点E,PF⊥BC于点F,当PF与PE的乘积最大时,在线段AB上找一点H(不与点A,点B重合),使GH+BH的值最小,求点H的坐标和GH+BH的最小值;‎ ‎(3)如图2,直线AB上有一点K(3,4),将二次函数沿直线BC平移,平移的距离是t(t≥0),平移后抛物线上点A,点C的对应点分别为点A/,点C/;当△A/C/K是直角三角形时,求t的值。‎ ‎【题9】如图,直线与轴、轴分别相交于A、B两点,抛物线 经过点B.‎ ‎ (1)求该地物线的函数表达式;‎ ‎ (2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM.设点M的横坐标为,△ABM的面积为S.求S与的函数表达式,并求出S的最大值;‎ ‎ (3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,动点M相应的位置记为点.‎ ‎ ①写出点的坐标;‎ ‎ ②将直线绕点A按顺时针方向旋转得到直线,当直线与直线重合时停止旋转.在旋转过程中,直线与线段交于点C.设点B、到直线的距离分别为 ‎、,当最大时,求直线旋转的角度(即∠BAC的度数).‎ 四、与直角三角形性质有关的综合题 ‎【题10】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且经过A(1,0),C(0,3‎ ‎)两点,与x轴的另一个交点为B.‎ ‎⑴若直线y=mx+n经过B,C两点,求直线BC和抛物线的解析式;‎ ‎⑵在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求点M的坐标;‎ ‎⑶设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.‎ 第25题图 ‎【题11】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(3,0),B(0,3)两点.‎ ‎(1)求此抛物线的解析式和直线AB的解析式;‎ ‎(2)如图①,动点E从O点出发,沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动,同时,动点F从A点出发,沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动,当E,F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动,连接EF,设运动时间为t秒,当t为何值时,△AEF为直角三角形?‎ ‎(3)如图②,取一根橡皮筋,两端点分别固定在A,B处,用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动,动点P与A,B两点构成无数个三角形,在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在,求出最大面积,并指出此时点P的坐标;如果不存在,请简要说明理由.‎ 五、与相似三角形性质有关的综合题 ‎【题12】‎ ‎【题13】如图,直线l:y=-x+1与x轴,y轴分别交于A,B两点,点P,Q是直线l上的两个动点,且点P在第二象限,点Q在第四象限,∠POQ=135°.‎ ‎ (1) 求△AOB的周长;‎ ‎(2) 设AQ=t>0.试用含t的代数式表示点P的坐标;‎ ‎(3) 当动点P,Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时,记作∠AOQ=m,若过点A的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件:‎ ‎ ① 6a+3b+2c=0;‎ ‎② 当m≤x≤m+2时,函数y的最大值等于,求二次项系数a的值.‎ 六、与圆的性质有关的综合题 ‎【题14】‎ 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=mx2+4mx﹣5m(m<0)与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),该抛物线的对称轴与直线y=x相交于点E,与x轴相交于点D,点P在直线y=x上(不与原点重合),连接PD,过点P作PF⊥PD交y轴于点F,连接DF.‎ ‎(1)如图①所示,若抛物线顶点的纵坐标为6,求抛物线的解析式;‎ ‎(2)求A、B两点的坐标;‎ ‎(3)如图②所示,小红在探究点P的位置发现:当点P与点E重合时,∠PDF的大小为定值,进而猜想:对于直线y=x上任意一点P(不与原点重合),∠PDF的大小为定值.请你判断该猜想是否正确,并说明理由.‎ 七、与阅读理解有关的综合题 ‎【题15】若抛物线L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P,且抛物线L与顶点Q在直线l上,则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系,此时,直线l叫做抛物线L 的“带线”,抛物线L叫做直线l的“路线”.‎ ‎ (1) 若直线y=mx+1与抛物线y=x2-2x+n具有“一带一路”关系,求m,n的值;‎ ‎(2) 若某“路线”L的顶点在反比例函数的图像上,它的“带线” l的解析式为y=2x-4,求此“路线”L的解析式;‎ ‎ (3) 当常数k满足≤k≤2时,求抛物线L: y=ax2+(3k2-2k+1)x+ k的“带线” l与x轴,y轴所围成的三角形面积的取值范围.‎ ‎【题16】如图1,地面BD上两根等长立柱AB,CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子.‎ ‎(1)求绳子最低点离地面的距离;‎ ‎(2)因实际需要,在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子(如图2),使左边抛物线F1的最低点距MN为1米,离地面1.8米,求MN的长;‎ ‎(3)将立柱MN的长度提升为3米,通过调整MN的位置,使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为,设MN离AB的距离为m,抛物线F2的顶点离地面距离为k,当2≤k≤2.5时,求m的取值范围.‎ 八、与方程根和关系的关系、函数值大小比较有关的综合题 ‎【题17】‎ 已知抛物线与x轴相交于不同的两点,‎ (1) 求的取值范围 (2) 证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点,并求出点的坐标;‎ (3) 当时,由(2)求出的点和点构成的的面积是否有最值,若有,求出最值及相对应的值;若没有,请说明理由.‎ ‎【题18】已知二次函数 ‎(1)当时,求这个二次函数的顶点坐标;‎ ‎(2)求证:关于的一元次方程有两个不相等的实数根;‎ ‎(3)如图,该二次函数与轴交于A、B两点(A点在B点的左侧),与轴交于C点,P是轴负半轴上一点,且OP=1,直线AP交BC于点Q,求证:‎ ‎【题19】已知函数.在同一平面直角坐标系中.‎ ‎ (1)若函数的图像过点(-1,0),函数的图像过点(1,2),求a,b的值.‎ ‎ (2)若函数的图像经过的顶点.①求证:;②当时,比较,的大小. ‎ ‎【题20】已知两个二次函数和.对于函数,当x=2时,该函数取最小值.‎ (1) 求b的值; ‎ (2) 若函数y1的图像与坐标轴只有2个不同的公共点,求这两个公共点间的距离;‎ (3) 若函数y1、y2的图像都经过点(1,-2),过点(0,a-3)(a为实数)作x轴的平行线,与函数y1、y2的图像共有4个不同的交点,这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4,且x1