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- 2021-05-10 发布
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2.(2017 浙江衢州第 9 题)如图,矩形纸片 ABCD 中,A B=4,BC=6,将△ABC 沿 AC
折叠,使点 B 落在点 E 处,CE 交 AD 于点 F,则 DF 的长等于( )
A. B. C. D. [来源:学。科。网]
【答案】B.
【解析】
试题解析:∵矩形 ABCD 沿对角线 AC 对折,使△ABC 落在△ACE 的位置,
∴AE=AB,∠E=∠B=90°,
又∵四边形 ABCD 为矩形,
∴AB=CD,
∴AE=DC,
而∠AFE=∠DFC,
∵在△AEF 与△CDF 中,
,
∴△AEF≌△CDF(AAS),
∴EF=DF;
5
3
3
5
3
7
4
5
AFE CFD
E D
AE CD
∠ = ∠
∠ = ∠
=
∵四边形 ABCD 为矩形,
∴AD=BC=6,CD=AB=4,
∵Rt△AEF≌Rt△CDF,
∴FC=FA,
设 FA=x,则 FC=x,FD=6﹣x,
在 Rt△CDF 中,CF2=CD2+DF2,即 x2=42+(6﹣x)2,解得 x= ,
则 FD=6﹣x= .
故选 B.
考点:1.矩形的性质;2.折叠问题.
14.(2017 四川宜宾第 7 题)如图,在矩形 ABCD 中 BC=8,CD=6,将△ABE 沿 BE 折
叠,使点 A 恰好落在对角线 BD 上 F 处,则 DE 的长是( )
A.3 B. C.5 D.
【答案】C.
【解析】
试题解析:∵矩形 ABCD,
13
3
5
3
24
5
89
16
∴∠BAD=90°,
由折叠可得△BEF≌△BAE,
∴EF⊥BD,AE=EF,AB=BF,
在 Rt△ABD 中,AB=CD=6,BC=AD=8,
根据勾股定理得:BD=10,即 FD=10﹣6=4,
设 EF=AE=x,则有 ED=8﹣x,
根据勾股定理得:x2+42=(8﹣x)2,
解得:x=3(负值舍去),
则 DE=8﹣3=5,
故选 C.
考点:1. 翻折变换(折叠问题);2.矩形的性质.
38.(2017 湖南株洲第 9 题)如图,点 E、F、G、H 分别为四边形 ABCD 的四边 AB、
BC、CD、DA 的中点,则关于四边形 EFGH,下列说法正确的为( )
A.一定不是平行四边形 B.一定不是中心对称图形
C.可能是轴对称图形 D.当 AC=BD 时它是矩形
【答案】C.
考点:中点四边形;平行四边形的判定;矩形的判定;轴对称图形
7. (2017 青海西宁第 7 题)如图,点 是矩形 的对角线 的中点,
交 于点 ,若 ,则 的长为( )
A. 5 B. 4 C. D.
【答案】D
O ABCD AC
/ /OM AB AD M 3, 10OM BC= = OB
34
2 34
考点:矩形的性质.
9. (2017 海南第 11 题)如图,在菱形 ABCD 中,AC=8,BD=6,则△ABC 的周长是
( )
A.14 B.16 C.18 D.20
【答案】C.
考点:菱形的性质,勾股定理.
3.(2017 贵州安顺第 17 题)如图所示,正方形 ABCD 的边长为 6,△ABE 是等边
三角形,点 E 在正方形 ABCD 内,在对角线 AC 上有一点 P,使 PD+PE 的和最
小,则这个最小值为 .
【答案】6.
【解析】设 BE 与 AC 交于点 P,连接 BD,
∵点 B 与 D 关于 AC 对称,
∴PD=PB,
∴PD+PE=PB+PE=BE 最小.
即 P 在 AC 与 BE 的交点上时,PD+PE 最小,为 BE 的长度;
∵正方形 ABCD 的边长为 6,
∴AB=6.
又∵△ABE 是等边三角形,
∴BE=AB=6.
故所求最小值为 6.
考点:轴对称﹣最短路线问题;等边三角形的性质;正方形的性质.
14..(2017 天津第 17 题)如图,正方形 和正方形 的边长分别为 3 和 1,点
分别在边 上, 为 的中点,连接 ,则 的长为 .
ABCD EFCG
GF, CDBC, P AE PG PG
【答案】 .
【解析】
试题分析:连结 AC,根据正方形的性质可得 A、E、C 三点共线,连结 FG 交 AC 于点 M,
因正方形 和正方形 的边长分别为 3 和 1,根据勾股定理可求得 EC=FG=
,AC=3 ,即可得 AE=2 ,因 为 的中点,可得 PE=AP= ,再由正方形的性质
可得 GM=EM= ,FG 垂直于 AC,在 Rt△PGM 中,PM= ,由勾股定理即可求得 PG=
.
15.(2017 福建第 15 题)两个完全相同的正五边形都有一边在直线 上,且有一个公共
顶点 ,其摆放方式如图所示,则 等于 度.
8. (2017 黑龙江齐齐哈尔第 16 题)如图,在等腰三角形纸片 中,
, ,沿底边 上的高 剪成两个三角形,用这两个三角形
拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是 .
5
ABCD EFCG
2 2 2 P AE 2
2
2
3 2
2
5
l
O AOB∠
ABC
10AB AC= = 12BC = BC AD
【答案】10cm 或 2 cm 或 4 cm.
【解析】
试题分析:如图:
,
过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,
∵△ABC 边 AB=AC=10cm,BC=12cm,∴BD=DC=6cm,∴AD=8cm,
如图①所示:可得四边形 ACBD 是矩形,则其对角线长为:10cm,
如图②所示:AD=8cm,
连接 BC,过点 C 作 CE⊥BD 于点 E,则 EC=8cm,BE=2BD=12cm,则 BC=4
cm,
如图③所示:BD=6cm,
由题意可得:AE=6cm,EC=2BE=16cm,
故 AC= =2 cm,
故答案为:10cm 或 2 cm 或 4 cm.
考点:图形的剪拼..
73 13
13
2 26 16+ 73
73 13
14. (2017 湖南张家界第 14 题)如图,在正方形 ABCD 中,AD= ,把边 BC 绕点
B 逆时针旋转 30°得到线段 BP,连接 AP 并延长交 CD 于点 E,连接 PC,则三角形 PCE
的面积为 .
【答案】 .
考点:旋转的性质;正方形的性质;综合题.
4.(2017 甘肃庆阳第 26 题)如图,矩形 ABCD 中,AB=6,BC=4,过对角线 BD 中点
O 的直线分别交 AB,CD 边于点 E,F.
(1)求证:四边形 BEDF 是平行四边形;
(2)当四边形 BEDF 是菱形时,求 EF 的长.
2 3
9 5 3−
【答案】(1)证明见解析.(2) .
【解析】
试题分析:(1)根据平行四边形 ABCD 的性质,判定△BOE≌△DOF(ASA),得出
四边形 BEDF 的对角线互相平分,进而得出结论;
(2)在 Rt△ADE 中,由勾股定理得出方程,解方程求出 BE,由勾股定理求出 BD,得
出 OB,再由勾股定理求出 EO,即可得出 EF 的长.
(2)当四边形 BEDF 是菱形时,BE⊥EF,
设 BE=x,则 DE=x,AE=6﹣x,
在 Rt△ADE 中,DE2=AD2+AE2,
4 13
3
∴x2=42+(6﹣x)2,
解得:x= ,
∵BD= ,
∴OB= BD= ,
∵BD⊥EF,
∴EO= ,
∴EF=2EO= .
考点:矩形的性质;平行四边形的判定与性质;菱形的性质.
6.(2017 贵州安顺第 21 题)如图,DB∥AC,且 DB= AC,E 是 AC 的中点,
(1)求证:BC=DE;
(2)连接 AD、BE,若要使四边形 DBEA 是矩形,则给△ABC 添加什么条件,
为什么?
【答案】(1)证明见解析;(2)添加 AB=BC.
13
3
2 2 2 13AD AB+ =
1
2 13
2 2 2 13
3BE OB− =
4 13
3
1
2
【解析】
试题分析:(1)要证明 BC=DE,只要证四边形 BCED 是平行四边形.通过给出的已
知条件便可.
(2)矩形的判定方法有多种,可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决.
试题解析:(1)证明:∵E 是 AC 中点,
∴EC= AC.
∵DB= AC,
∴DB∥EC.
又∵DB∥EC,
∴四边形 DBCE 是平行四边形.
∴BC=DE.
(2)添加 AB=BC.
理由:∵DB∥AE,DB=AE
∴四边形 DBEA 是平行四边形.
∵BC=DE,AB=BC,
∴AB=DE.
∴▭ADBE 是矩形.
考点:矩形的判定;平行四边形的判定与性质.
1
2
1
2
10.(2017 江苏盐城第 22 题)如图,矩形 ABCD 中,∠ABD、∠CDB 的平分线 BE、
DF 分别交边 AD、BC 于点 E、F.
(1)求证:四边形 BEDF 是平行四边形;
(2)当∠ABE 为多少度时,四边形 BEDF 是菱形?请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)当∠ABE=30°时,四边形 BEDF 是菱形,理由见解
析.
试题解析:(1)∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AB∥DC、AD∥BC,
∴∠ABD=∠CDB,
∵BE 平分∠ABD、DF 平分∠BDC,
∴∠EBD= ∠ABD,∠FDB= ∠BDC,1
2
1
2
∴∠EBD=∠FDB,
∴BE∥DF,
又∵AD∥BC,
∴四边形 BEDF 是平行四边形;
(2)当∠ABE=30°时,四边形 BEDF 是菱形,
∵BE 平分∠ABD,
∴∠ABD=2∠ABE=60°,∠EBD=∠ABE=30°,
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠A=90°,
∴∠EDB=90°-∠ABD=30°,
∴∠EDB=∠EBD=30°,
∴EB=ED,
又∵四边形 BEDF 是平行四边形,
∴四边形 BEDF 是菱形.
考点:矩形的性质;平行四边形的判定与性质;菱形的判定.
11.(2017 甘肃兰州第 26 题)如图,1,将一张矩形纸片 沿着对角线 向上折
叠,顶点 落到点 处, 交 于点 .
(1)求证: 是等腰三角形;
ABCD BD
C E BE AD F
BDF△
(2)如图 2,过点 作 ,交 于点 ,连结 交 于点 .
①判断四边形 的形状,并说明理由;
②若 , ,求 的长.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】
试题分析: (1)根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断;
(2)①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断;
②根据折叠特性设未知边,构造勾股定理列方程求解.
试题解析:(1)证明:如图 1,根据折叠,∠DBC=∠DBE,
又 AD∥BC,
∴∠DBC=∠ADB,
∴∠DBE=∠ADB,
D DG BE∥ BC G FG BD O
BFDG
6AB = 8AD = FG
15
2
∴DF=BF,
∴△BDF 是等腰三角形;
(2)①∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD∥BC,
∴FD∥BG,
又∵FD∥BG,
∴四边形 BFDG 是平行四边形,
∵DF=BF,
∴四边形 BFDG 是菱形;
②∵AB=6,AD=8,
∴BD=10.
∴OB= BD=5.
假设 DF=BF=x,∴AF=AD﹣DF=8﹣x.
∴在直角△ABF 中,AB2+A2=BF2,即 62+(8﹣x)2=x2,
解得 x= ,
即 BF= ,
∴FO= = ,
1
2
25
4
25
4
2 2252 2 ( ) 54BF OB− = − 15
4
∴FG=2FO= .
考点:四边形综合题.
13.(2017 江苏徐州第 23 题)如图,在平行四边形 中,点 是边 的中
点,连接 并延长,交 延长线于点 连接 .
(1)求证:四边形 是平行四边形;
(2)若 ,则当 时,四边形 是矩形.
【答案】(1)证明见解析;(2)100°
【解析】
试题分析:(1)由 AAS 证明△BOE≌△COD,得出 OE=OD,即可得出结论;
(2)由平行四边形的性质得出∠BCD=∠A=50°,由三角形的外角性质求出
∠ODC=∠BCD,得出 OC=OD,证出 DE=BC,即可得出结论.
试题解析:(1)∵四边形 ABCD 为平行四边形,
15
2
ABCD O BC
DO AB E ,BD EC
BECD
50A∠ = BOD∠ = BECD
∴AB∥DC,AB=CD,
∴∠OEB=∠ODC,
又∵O 为 BC 的中点,
∴BO=CO,
在△BOE 和△COD 中,
,
∴△BOE≌△COD(AAS);
∴OE=OD,
∴四边形 BECD 是平行四边形;
(2)若∠A=50°,则当∠BOD=100°时,四边形 BECD 是矩形.理由如下:
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴∠BCD=∠A=50°,
∵∠BOD=∠BCD+∠ODC,
∴∠ODC=100°-50°=50°=∠BCD,
∴OC=OD,
∵BO=CO,OD=OE,
∴DE=BC,
∵四边形 BECD 是平行四边形,
∴四边形 BECD 是矩形;
16. (2017 北京第 22 题)如图,在四边形 中, 为一条对角线,
, 为 的中点,连接 .
OEB= ODC
BOE= COD
BO=CO
∠ ∠
∠ ∠
ABCD BD
0/ / , 2 , 90AD BC AD BC ABD= ∠ = E AD BE
(1)求证:四边形 为菱形;
(2)连接 ,若 平分 ,求 的长.
【答案】(1)证明见解析.(2) .
【解析】
试题分析:(1)先证四边形是平行四边形,再证其为菱形;(2)利用等腰三角形的
性质,锐角三角函数,即可求解.
本题解析:(1)证明:∵E 为 AD 中点,AD=2BC,∴BC=ED, ∵AD∥BC, ∴四边形 ABCD 是平
行四边形,∵AD=2BE, ∠ABD=90°,AE=DE∴BE=ED, ∴四边形 ABCD 是菱形.
(2)∵AD∥BC,AC 平分∠BAD ∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴BA=BC=1, ∵AD=2BC=2,
∴sin∠ADB= ,∠ADB=30°, ∴∠DAC=30°, ∠ADC=60°.在 RT△ACD 中,AD=2,CD=1,
AC= .
考点:平行线性质,菱形判定,直角三角形斜边中线定理.
考点:1.矩形的判定;2.平行四边形的判定与性质.
BCDE
AC AC , 1BAD BC∠ = AC
3
1
2
3
17.(2017 天津第 24 题)将一个直角三角形纸片 放置在平面直角坐标系中,点
,点 ,点 . 是边 上的一点(点 不与点 重合),沿
着 折叠该纸片,得点 的对应点 .
(1)如图①,当点 在第一象限,且满足 时,求点 的坐标;
(2)如图②,当 为 中点时,求 的长;
(3)当 时,求点 的坐标(直接写出结果即可).
【答案】(1)点 A’的坐标为( ,1);(2)1;(3) 或
.
【解析】
试题分析:(1)因点 ,点 ,可得 OA= ,OB=1,根据折叠的性质
可得△A’OP≌△AOP,由全等三角形的性质可得 OA’=OA= ,在 Rt△A’OB 中,根据
勾股定理求得 的长,即可求得点 A 的坐标;(2)在 Rt△AOB 中,根据勾股定理
求得 AB=2,再证△BOP 是等边三角形,从而得∠OPA =120°.在判定四边形 OPA’B 是平
行四边形,根据平行四边形的性质即可得 的长;
试题解析:(1)因点 ,点 ,
ABO
)0,3(A )1,0(B )0,0(O P AB P BA,
OP A 'A
'A OBBA ⊥' 'A
P AB BA'
030'=∠BPA P
2 3 3 3 3( , )2 2
− −
2 3 3 3( , )2 2
−
)0,3(A )1,0(B 3
3
'A B
BA'
)0,3(A )1,0(B
∴OA= ,OB=1.
根据题意,由折叠的性质可得△A’OP≌△AOP.
∴OA’=OA= ,
由 ,得∠A’BO=90°.
在 Rt△A’OB 中, ,
∴点 A’的坐标为( ,1).
(2) 在 Rt△AOB 中,OA= ,OB=1,
∴
∵当 为 中点,
∴AP=BP=1,OP= AB=1.
∴OP=OB=BP,
∴△BOP 是等边三角形
∴∠BOP=∠BPO=60°,
∴∠OPA=180°-∠BPO=120°.
由(1)知,△A’OP≌△AOP,
∴∠OPA’=∠OPA=120°,P’A=PA=1,
又 OB=PA’=1,
∴四边形 OPA’B 是平行四边形.
∴A’B=OP=1.
3
3
OBBA ⊥'
2 2' ' 2A B OA OB= − =
2
3
2 2 2AB OA OB= + =
P AB
1
2
(3) 或 .
21.(2017 山东青岛第 21 题)(本小题满分 8 分)
已知:如图,在菱形 ABCD 中,点 E,O,F 分别是边 AB,AC,AD 的中点,连接
CE、CF、OF.
(1)求证:△ BCE≌△DCF;
(2)当 AB 与 BC 满足什么条件时,四边形 AEOF 正方形?请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)四边形 AEOF 是正方形
【解析】
试题分析:(1)利用 SAS 证明△ BCE≌△DCF;
(2)先证明 AEOF 为菱形,当 BC⊥AB,得∠BAD=90°,再利用知识点:有一个角是
90°的菱形是正方形。
试题解析:(1)∵四边形 ABCD 为菱形
∴AB=BC=CD=DA,∠B=∠D
又 E、F 分别是 AB、AD 中点,∴BE=DF
∴△ABE≌△CDF(SAS)
3 3 3 3( , )2 2
− − 2 3 3 3( , )2 2
−
考点:1、菱形,2、全等三角形,3、正方形
29.(2017 四川省达州市)如图,在△ABC 中,点 O 是边 AC 上一个动点,过点 O 作
直线 EF∥BC 分别交∠ACB、外角∠ACD 的平分线于点 E、F.
(1)若 CE=8,CF=6,求 OC 的长;
(2)连接 AE、AF.问:当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时,四边形 AECF 是矩形?
并说明理由.
【答案】(1)5;(2)当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时,四边形 AECF 是矩形.
【解析】
试题分析:(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE,
∠OFC=∠OCF,证出 OE=OC=OF,∠ECF=90°,由勾股定理求出 EF,即可得出答案;
(2)解:当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时,四边形 AECF 是矩形.理由如下:
连接 AE、AF,如图所示:
当 O 为 AC 的中点时,AO=CO,∵EO=FO,∴四边形 AECF 是平行四边形,
∵∠ECF=90°,∴平行四边形 AECF 是矩形.
考点:1.矩形的判定;2.平行线的性质;3.等腰三角形的判定与性质;4.探究
型;5.动点型.
31.(2017 山东省济宁市)实验探究:
(1)如图 1,对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合,得到折痕 EF,把纸片展开;
再一次折叠纸片,使点 A 落在 EF 上,并使折痕经过点 B,得到折痕 BM,同时得到线
段 BN,MN.请你观察图 1,猜想∠MBN 的度数是多少,并证明你的结论.
(2)将图 1 中的三角形纸片 BMN 剪下,如图 2,折叠该纸片,探究 MN 与 BM 的数量
关系,写出折叠方案,并结合方案证明你的结论.
【答案】(1)∠MBN=30°;(2)MN= BM.
【解析】
试题分析:(1)猜想:∠MBN=30°.只要证明△ABN 是等边三角形即可;
(2)结论:MN= BM.
折纸方案:如图 2 中,折叠△BMN,使得点 N 落在 BM 上 O 处,折痕为 MP,连接
OP.
理由:由折叠可知△MOP≌△MNP,∴MN=OM,∠OMP=∠NMP= ∠OMN=30°=∠B,
∠MOP=∠MNP=90°,∴∠BOP=∠MOP=90°,∵OP=OP,∴△MOP≌△BOP,∴MO=BO=
BM,∴MN= BM.
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
考点:1.翻折变换(折叠问题);2.矩形的性质;3.剪纸问题.
32.(2017 广东省)如图所示,已知四边形 ABCD,ADEF 都是菱形,∠BAD=∠FAD,
∠BAD 为锐角.
(1)求证:AD⊥BF;
(2)若 BF=BC,求∠ADC 的度数.
【答案】(1)证明见解析;(2)150°.
【解析】
试题分析:(1)连结 DB、DF.根据菱形四边相等得出 AB=AD=FA,再利用 SAS 证明
△BAD≌△FAD,得出 DB=DF,那么 D 在线段 BF 的垂直平分线上,又 AB=AF,即 A 在
线段 BF 的垂直平分线上,进而证明 AD⊥BF;
(2)如图,设 AD⊥BF 于 H,作 DG⊥BC 于 G,则四边形 BGDH 是矩形,∴DG=BH=
BF.∵BF=BC,BC=CD,∴DG= CD.在直角△CDG 中,∵∠CGD=90°,DG= CD,
∴∠C=30°,∵BC∥AD,∴∠ADC=180°﹣∠C=150°.
考点:菱形的性质.
5. (2017 广西百色第 22 题)矩形 中, 分别是 的中点,
分别交 于 两点.
求证:(1)四边形 是平行四边形;
(2)
1
2
1
2
1
2
ABCD ,E F ,AD BC
,CE AF BD ,G H
AFCE
.EG FH=
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
考点:1.矩形的性质;2.平行四边形的判定与性质.
12. (2017 上海第 23 题)已知:如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=CD,E 是对角
线 BD 上一点,且 EA=EC.
(1)求证:四边形 ABCD 是菱形;
(2)如果 BE=BC,且∠CBE:∠BCE=2:3,求证:四边形 ABCD 是正方形.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
考点:1.正方形的判定与性质;2.菱形的判定及性质.
13. (2017 湖南张家界第 17 题)如图,在平行四边形 ABCD 中,边 AB 的垂直平分线
交 AD 于点 E,交 CB 的延长线于点 F,连接 AF,BE.
(1)求证:△AGE≌△BGF;
(2)试判断四边形 AFBE 的形状,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)四边形 AFBE 是菱形.
考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;探究
型.