2018平行四边形中考专题 30页

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  • 2021-05-10 发布

2018平行四边形中考专题

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2.(2017 浙江衢州第 9 题)如图,矩形纸片 ABCD 中,A B=4,BC=6,将△ABC 沿 AC 折叠,使点 B 落在点 E 处,CE 交 AD 于点 F,则 DF 的长等于( ) A. B. C. D. [来源:学。科。网] 【答案】B. 【解析】 试题解析:∵矩形 ABCD 沿对角线 AC 对折,使△ABC 落在△ACE 的位置, ∴AE=AB,∠E=∠B=90°, 又∵四边形 ABCD 为矩形, ∴AB=CD, ∴AE=DC, 而∠AFE=∠DFC, ∵在△AEF 与△CDF 中, , ∴△AEF≌△CDF(AAS), ∴EF=DF; 5 3 3 5 3 7 4 5 AFE CFD E D AE CD ∠ = ∠ ∠ = ∠  = ∵四边形 ABCD 为矩形, ∴AD=BC=6,CD=AB=4, ∵Rt△AEF≌Rt△CDF, ∴FC=FA, 设 FA=x,则 FC=x,FD=6﹣x, 在 Rt△CDF 中,CF2=CD2+DF2,即 x2=42+(6﹣x)2,解得 x= , 则 FD=6﹣x= . 故选 B. 考点:1.矩形的性质;2.折叠问题. 14.(2017 四川宜宾第 7 题)如图,在矩形 ABCD 中 BC=8,CD=6,将△ABE 沿 BE 折 叠,使点 A 恰好落在对角线 BD 上 F 处,则 DE 的长是(  ) A.3 B. C.5 D. 【答案】C. 【解析】 试题解析:∵矩形 ABCD, 13 3 5 3 24 5 89 16 ∴∠BAD=90°, 由折叠可得△BEF≌△BAE, ∴EF⊥BD,AE=EF,AB=BF, 在 Rt△ABD 中,AB=CD=6,BC=AD=8, 根据勾股定理得:BD=10,即 FD=10﹣6=4, 设 EF=AE=x,则有 ED=8﹣x, 根据勾股定理得:x2+42=(8﹣x)2, 解得:x=3(负值舍去), 则 DE=8﹣3=5, 故选 C. 考点:1. 翻折变换(折叠问题);2.矩形的性质. 38.(2017 湖南株洲第 9 题)如图,点 E、F、G、H 分别为四边形 ABCD 的四边 AB、 BC、CD、DA 的中点,则关于四边形 EFGH,下列说法正确的为(  ) A.一定不是平行四边形         B.一定不是中心对称图形 C.可能是轴对称图形           D.当 AC=BD 时它是矩形 【答案】C. 考点:中点四边形;平行四边形的判定;矩形的判定;轴对称图形 7. (2017 青海西宁第 7 题)如图,点 是矩形 的对角线 的中点, 交 于点 ,若 ,则 的长为( ) A. 5 B. 4 C. D. 【答案】D O ABCD AC / /OM AB AD M 3, 10OM BC= = OB 34 2 34 考点:矩形的性质. 9. (2017 海南第 11 题)如图,在菱形 ABCD 中,AC=8,BD=6,则△ABC 的周长是 ( ) A.14 B.16 C.18 D.20 【答案】C. 考点:菱形的性质,勾股定理. 3.(2017 贵州安顺第 17 题)如图所示,正方形 ABCD 的边长为 6,△ABE 是等边 三角形,点 E 在正方形 ABCD 内,在对角线 AC 上有一点 P,使 PD+PE 的和最 小,则这个最小值为   . 【答案】6. 【解析】设 BE 与 AC 交于点 P,连接 BD, ∵点 B 与 D 关于 AC 对称, ∴PD=PB, ∴PD+PE=PB+PE=BE 最小. 即 P 在 AC 与 BE 的交点上时,PD+PE 最小,为 BE 的长度; ∵正方形 ABCD 的边长为 6, ∴AB=6. 又∵△ABE 是等边三角形, ∴BE=AB=6. 故所求最小值为 6. 考点:轴对称﹣最短路线问题;等边三角形的性质;正方形的性质. 14..(2017 天津第 17 题)如图,正方形 和正方形 的边长分别为 3 和 1,点 分别在边 上, 为 的中点,连接 ,则 的长为 . ABCD EFCG GF, CDBC, P AE PG PG 【答案】 . 【解析】 试题分析:连结 AC,根据正方形的性质可得 A、E、C 三点共线,连结 FG 交 AC 于点 M, 因正方形 和正方形 的边长分别为 3 和 1,根据勾股定理可求得 EC=FG= ,AC=3 ,即可得 AE=2 ,因 为 的中点,可得 PE=AP= ,再由正方形的性质 可得 GM=EM= ,FG 垂直于 AC,在 Rt△PGM 中,PM= ,由勾股定理即可求得 PG= . 15.(2017 福建第 15 题)两个完全相同的正五边形都有一边在直线 上,且有一个公共 顶点 ,其摆放方式如图所示,则 等于 度. 8. (2017 黑龙江齐齐哈尔第 16 题)如图,在等腰三角形纸片 中, , ,沿底边 上的高 剪成两个三角形,用这两个三角形 拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是 . 5 ABCD EFCG 2 2 2 P AE 2 2 2 3 2 2 5 l O AOB∠ ABC 10AB AC= = 12BC = BC AD 【答案】10cm 或 2 cm 或 4 cm. 【解析】 试题分析:如图: , 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D, ∵△ABC 边 AB=AC=10cm,BC=12cm,∴BD=DC=6cm,∴AD=8cm, 如图①所示:可得四边形 ACBD 是矩形,则其对角线长为:10cm, 如图②所示:AD=8cm, 连接 BC,过点 C 作 CE⊥BD 于点 E,则 EC=8cm,BE=2BD=12cm,则 BC=4 cm, 如图③所示:BD=6cm, 由题意可得:AE=6cm,EC=2BE=16cm, 故 AC= =2 cm, 故答案为:10cm 或 2 cm 或 4 cm. 考点:图形的剪拼.. 73 13 13 2 26 16+ 73 73 13 14. (2017 湖南张家界第 14 题)如图,在正方形 ABCD 中,AD= ,把边 BC 绕点 B 逆时针旋转 30°得到线段 BP,连接 AP 并延长交 CD 于点 E,连接 PC,则三角形 PCE 的面积为 . 【答案】 . 考点:旋转的性质;正方形的性质;综合题. 4.(2017 甘肃庆阳第 26 题)如图,矩形 ABCD 中,AB=6,BC=4,过对角线 BD 中点 O 的直线分别交 AB,CD 边于点 E,F. (1)求证:四边形 BEDF 是平行四边形; (2)当四边形 BEDF 是菱形时,求 EF 的长. 2 3 9 5 3− 【答案】(1)证明见解析.(2) . 【解析】 试题分析:(1)根据平行四边形 ABCD 的性质,判定△BOE≌△DOF(ASA),得出 四边形 BEDF 的对角线互相平分,进而得出结论; (2)在 Rt△ADE 中,由勾股定理得出方程,解方程求出 BE,由勾股定理求出 BD,得 出 OB,再由勾股定理求出 EO,即可得出 EF 的长. (2)当四边形 BEDF 是菱形时,BE⊥EF, 设 BE=x,则 DE=x,AE=6﹣x, 在 Rt△ADE 中,DE2=AD2+AE2, 4 13 3 ∴x2=42+(6﹣x)2, 解得:x= , ∵BD= , ∴OB= BD= , ∵BD⊥EF, ∴EO= , ∴EF=2EO= . 考点:矩形的性质;平行四边形的判定与性质;菱形的性质. 6.(2017 贵州安顺第 21 题)如图,DB∥AC,且 DB= AC,E 是 AC 的中点, (1)求证:BC=DE; (2)连接 AD、BE,若要使四边形 DBEA 是矩形,则给△ABC 添加什么条件, 为什么? 【答案】(1)证明见解析;(2)添加 AB=BC. 13 3 2 2 2 13AD AB+ = 1 2 13 2 2 2 13 3BE OB− = 4 13 3 1 2 【解析】 试题分析:(1)要证明 BC=DE,只要证四边形 BCED 是平行四边形.通过给出的已 知条件便可. (2)矩形的判定方法有多种,可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决. 试题解析:(1)证明:∵E 是 AC 中点, ∴EC= AC. ∵DB= AC, ∴DB∥EC. 又∵DB∥EC, ∴四边形 DBCE 是平行四边形. ∴BC=DE. (2)添加 AB=BC. 理由:∵DB∥AE,DB=AE ∴四边形 DBEA 是平行四边形. ∵BC=DE,AB=BC, ∴AB=DE. ∴▭ADBE 是矩形. 考点:矩形的判定;平行四边形的判定与性质. 1 2 1 2 10.(2017 江苏盐城第 22 题)如图,矩形 ABCD 中,∠ABD、∠CDB 的平分线 BE、 DF 分别交边 AD、BC 于点 E、F. (1)求证:四边形 BEDF 是平行四边形; (2)当∠ABE 为多少度时,四边形 BEDF 是菱形?请说明理由. 【答案】(1)证明见解析;(2)当∠ABE=30°时,四边形 BEDF 是菱形,理由见解 析. 试题解析:(1)∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AB∥DC、AD∥BC, ∴∠ABD=∠CDB, ∵BE 平分∠ABD、DF 平分∠BDC, ∴∠EBD= ∠ABD,∠FDB= ∠BDC,1 2 1 2 ∴∠EBD=∠FDB, ∴BE∥DF, 又∵AD∥BC, ∴四边形 BEDF 是平行四边形; (2)当∠ABE=30°时,四边形 BEDF 是菱形, ∵BE 平分∠ABD, ∴∠ABD=2∠ABE=60°,∠EBD=∠ABE=30°, ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠A=90°, ∴∠EDB=90°-∠ABD=30°, ∴∠EDB=∠EBD=30°, ∴EB=ED, 又∵四边形 BEDF 是平行四边形, ∴四边形 BEDF 是菱形. 考点:矩形的性质;平行四边形的判定与性质;菱形的判定. 11.(2017 甘肃兰州第 26 题)如图,1,将一张矩形纸片 沿着对角线 向上折 叠,顶点 落到点 处, 交 于点 . (1)求证: 是等腰三角形; ABCD BD C E BE AD F BDF△ (2)如图 2,过点 作 ,交 于点 ,连结 交 于点 . ①判断四边形 的形状,并说明理由; ②若 , ,求 的长. 【答案】(1)证明见解析;(2) . 【解析】 试题分析: (1)根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断; (2)①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断; ②根据折叠特性设未知边,构造勾股定理列方程求解. 试题解析:(1)证明:如图 1,根据折叠,∠DBC=∠DBE, 又 AD∥BC, ∴∠DBC=∠ADB, ∴∠DBE=∠ADB, D DG BE∥ BC G FG BD O BFDG 6AB = 8AD = FG 15 2 ∴DF=BF, ∴△BDF 是等腰三角形; (2)①∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD∥BC, ∴FD∥BG, 又∵FD∥BG, ∴四边形 BFDG 是平行四边形, ∵DF=BF, ∴四边形 BFDG 是菱形; ②∵AB=6,AD=8, ∴BD=10. ∴OB= BD=5. 假设 DF=BF=x,∴AF=AD﹣DF=8﹣x. ∴在直角△ABF 中,AB2+A2=BF2,即 62+(8﹣x)2=x2, 解得 x= , 即 BF= , ∴FO= = , 1 2 25 4 25 4 2 2252 2 ( ) 54BF OB− = − 15 4 ∴FG=2FO= . 考点:四边形综合题. 13.(2017 江苏徐州第 23 题)如图,在平行四边形 中,点 是边 的中 点,连接 并延长,交 延长线于点 连接 . (1)求证:四边形 是平行四边形; (2)若 ,则当 时,四边形 是矩形. 【答案】(1)证明见解析;(2)100° 【解析】 试题分析:(1)由 AAS 证明△BOE≌△COD,得出 OE=OD,即可得出结论; (2)由平行四边形的性质得出∠BCD=∠A=50°,由三角形的外角性质求出 ∠ODC=∠BCD,得出 OC=OD,证出 DE=BC,即可得出结论. 试题解析:(1)∵四边形 ABCD 为平行四边形, 15 2 ABCD O BC DO AB E ,BD EC BECD 50A∠ =  BOD∠ =  BECD ∴AB∥DC,AB=CD, ∴∠OEB=∠ODC, 又∵O 为 BC 的中点, ∴BO=CO, 在△BOE 和△COD 中, , ∴△BOE≌△COD(AAS); ∴OE=OD, ∴四边形 BECD 是平行四边形; (2)若∠A=50°,则当∠BOD=100°时,四边形 BECD 是矩形.理由如下: ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠BCD=∠A=50°, ∵∠BOD=∠BCD+∠ODC, ∴∠ODC=100°-50°=50°=∠BCD, ∴OC=OD, ∵BO=CO,OD=OE, ∴DE=BC, ∵四边形 BECD 是平行四边形, ∴四边形 BECD 是矩形; 16. (2017 北京第 22 题)如图,在四边形 中, 为一条对角线, , 为 的中点,连接 . OEB= ODC BOE= COD BO=CO ∠ ∠ ∠ ∠    ABCD BD 0/ / , 2 , 90AD BC AD BC ABD= ∠ = E AD BE (1)求证:四边形 为菱形; (2)连接 ,若 平分 ,求 的长. 【答案】(1)证明见解析.(2) . 【解析】 试题分析:(1)先证四边形是平行四边形,再证其为菱形;(2)利用等腰三角形的 性质,锐角三角函数,即可求解. 本题解析:(1)证明:∵E 为 AD 中点,AD=2BC,∴BC=ED, ∵AD∥BC, ∴四边形 ABCD 是平 行四边形,∵AD=2BE, ∠ABD=90°,AE=DE∴BE=ED, ∴四边形 ABCD 是菱形. (2)∵AD∥BC,AC 平分∠BAD ∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴BA=BC=1, ∵AD=2BC=2, ∴sin∠ADB= ,∠ADB=30°, ∴∠DAC=30°, ∠ADC=60°.在 RT△ACD 中,AD=2,CD=1, AC= . 考点:平行线性质,菱形判定,直角三角形斜边中线定理. 考点:1.矩形的判定;2.平行四边形的判定与性质. BCDE AC AC , 1BAD BC∠ = AC 3 1 2 3 17.(2017 天津第 24 题)将一个直角三角形纸片 放置在平面直角坐标系中,点 ,点 ,点 . 是边 上的一点(点 不与点 重合),沿 着 折叠该纸片,得点 的对应点 . (1)如图①,当点 在第一象限,且满足 时,求点 的坐标; (2)如图②,当 为 中点时,求 的长; (3)当 时,求点 的坐标(直接写出结果即可). 【答案】(1)点 A’的坐标为( ,1);(2)1;(3) 或 . 【解析】 试题分析:(1)因点 ,点 ,可得 OA= ,OB=1,根据折叠的性质 可得△A’OP≌△AOP,由全等三角形的性质可得 OA’=OA= ,在 Rt△A’OB 中,根据 勾股定理求得 的长,即可求得点 A 的坐标;(2)在 Rt△AOB 中,根据勾股定理 求得 AB=2,再证△BOP 是等边三角形,从而得∠OPA =120°.在判定四边形 OPA’B 是平 行四边形,根据平行四边形的性质即可得 的长; 试题解析:(1)因点 ,点 , ABO )0,3(A )1,0(B )0,0(O P AB P BA, OP A 'A 'A OBBA ⊥' 'A P AB BA' 030'=∠BPA P 2 3 3 3 3( , )2 2 − − 2 3 3 3( , )2 2 − )0,3(A )1,0(B 3 3 'A B BA' )0,3(A )1,0(B ∴OA= ,OB=1. 根据题意,由折叠的性质可得△A’OP≌△AOP. ∴OA’=OA= , 由 ,得∠A’BO=90°. 在 Rt△A’OB 中, , ∴点 A’的坐标为( ,1). (2) 在 Rt△AOB 中,OA= ,OB=1, ∴ ∵当 为 中点, ∴AP=BP=1,OP= AB=1. ∴OP=OB=BP, ∴△BOP 是等边三角形 ∴∠BOP=∠BPO=60°, ∴∠OPA=180°-∠BPO=120°. 由(1)知,△A’OP≌△AOP, ∴∠OPA’=∠OPA=120°,P’A=PA=1, 又 OB=PA’=1, ∴四边形 OPA’B 是平行四边形. ∴A’B=OP=1. 3 3 OBBA ⊥' 2 2' ' 2A B OA OB= − = 2 3 2 2 2AB OA OB= + = P AB 1 2 (3) 或 . 21.(2017 山东青岛第 21 题)(本小题满分 8 分) 已知:如图,在菱形 ABCD 中,点 E,O,F 分别是边 AB,AC,AD 的中点,连接 CE、CF、OF. (1)求证:△ BCE≌△DCF; (2)当 AB 与 BC 满足什么条件时,四边形 AEOF 正方形?请说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)四边形 AEOF 是正方形 【解析】 试题分析:(1)利用 SAS 证明△ BCE≌△DCF; (2)先证明 AEOF 为菱形,当 BC⊥AB,得∠BAD=90°,再利用知识点:有一个角是 90°的菱形是正方形。 试题解析:(1)∵四边形 ABCD 为菱形 ∴AB=BC=CD=DA,∠B=∠D 又 E、F 分别是 AB、AD 中点,∴BE=DF ∴△ABE≌△CDF(SAS) 3 3 3 3( , )2 2 − − 2 3 3 3( , )2 2 − 考点:1、菱形,2、全等三角形,3、正方形 29.(2017 四川省达州市)如图,在△ABC 中,点 O 是边 AC 上一个动点,过点 O 作 直线 EF∥BC 分别交∠ACB、外角∠ACD 的平分线于点 E、F. (1)若 CE=8,CF=6,求 OC 的长; (2)连接 AE、AF.问:当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时,四边形 AECF 是矩形? 并说明理由. 【答案】(1)5;(2)当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时,四边形 AECF 是矩形. 【解析】 试题分析:(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE, ∠OFC=∠OCF,证出 OE=OC=OF,∠ECF=90°,由勾股定理求出 EF,即可得出答案; (2)解:当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时,四边形 AECF 是矩形.理由如下: 连接 AE、AF,如图所示: 当 O 为 AC 的中点时,AO=CO,∵EO=FO,∴四边形 AECF 是平行四边形, ∵∠ECF=90°,∴平行四边形 AECF 是矩形. 考点:1.矩形的判定;2.平行线的性质;3.等腰三角形的判定与性质;4.探究 型;5.动点型. 31.(2017 山东省济宁市)实验探究: (1)如图 1,对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合,得到折痕 EF,把纸片展开; 再一次折叠纸片,使点 A 落在 EF 上,并使折痕经过点 B,得到折痕 BM,同时得到线 段 BN,MN.请你观察图 1,猜想∠MBN 的度数是多少,并证明你的结论. (2)将图 1 中的三角形纸片 BMN 剪下,如图 2,折叠该纸片,探究 MN 与 BM 的数量 关系,写出折叠方案,并结合方案证明你的结论. 【答案】(1)∠MBN=30°;(2)MN= BM. 【解析】 试题分析:(1)猜想:∠MBN=30°.只要证明△ABN 是等边三角形即可; (2)结论:MN= BM. 折纸方案:如图 2 中,折叠△BMN,使得点 N 落在 BM 上 O 处,折痕为 MP,连接 OP. 理由:由折叠可知△MOP≌△MNP,∴MN=OM,∠OMP=∠NMP= ∠OMN=30°=∠B, ∠MOP=∠MNP=90°,∴∠BOP=∠MOP=90°,∵OP=OP,∴△MOP≌△BOP,∴MO=BO= BM,∴MN= BM. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 考点:1.翻折变换(折叠问题);2.矩形的性质;3.剪纸问题. 32.(2017 广东省)如图所示,已知四边形 ABCD,ADEF 都是菱形,∠BAD=∠FAD, ∠BAD 为锐角. (1)求证:AD⊥BF; (2)若 BF=BC,求∠ADC 的度数. 【答案】(1)证明见解析;(2)150°. 【解析】 试题分析:(1)连结 DB、DF.根据菱形四边相等得出 AB=AD=FA,再利用 SAS 证明 △BAD≌△FAD,得出 DB=DF,那么 D 在线段 BF 的垂直平分线上,又 AB=AF,即 A 在 线段 BF 的垂直平分线上,进而证明 AD⊥BF; (2)如图,设 AD⊥BF 于 H,作 DG⊥BC 于 G,则四边形 BGDH 是矩形,∴DG=BH= BF.∵BF=BC,BC=CD,∴DG= CD.在直角△CDG 中,∵∠CGD=90°,DG= CD, ∴∠C=30°,∵BC∥AD,∴∠ADC=180°﹣∠C=150°. 考点:菱形的性质. 5. (2017 广西百色第 22 题)矩形 中, 分别是 的中点, 分别交 于 两点. 求证:(1)四边形 是平行四边形; (2) 1 2 1 2 1 2 ABCD ,E F ,AD BC ,CE AF BD ,G H AFCE .EG FH= 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 考点:1.矩形的性质;2.平行四边形的判定与性质. 12. (2017 上海第 23 题)已知:如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=CD,E 是对角 线 BD 上一点,且 EA=EC. (1)求证:四边形 ABCD 是菱形; (2)如果 BE=BC,且∠CBE:∠BCE=2:3,求证:四边形 ABCD 是正方形. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 考点:1.正方形的判定与性质;2.菱形的判定及性质. 13. (2017 湖南张家界第 17 题)如图,在平行四边形 ABCD 中,边 AB 的垂直平分线 交 AD 于点 E,交 CB 的延长线于点 F,连接 AF,BE. (1)求证:△AGE≌△BGF; (2)试判断四边形 AFBE 的形状,并说明理由. 【答案】(1)证明见解析;(2)四边形 AFBE 是菱形. 考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;探究 型.