费马点及其在中考中的应用 4页

费马点及其在中考中的应用 一、费马点的由来 ‎ ‎　　费马(Pierre de Fermat，1601—1665)是法国数学家、物理学家．费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好． 然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌．他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承17世纪数论天地的人． 一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家． 尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年．费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在△ABC内求一点P，使 PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点”． ‎ ‎　　‎ 二、探索费马点 ‎ ‎　　1． 当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，则费马点就是这个内角的顶点． ‎ 下面来验证这个结论： 如图1，对三角形内任意一点P，延长BA至点C′，使得AC′=AC，‎ 作∠C′AP′=∠CAP，并且使得AP′=AP． 即把△APC以A为中心做旋转变换． ‎ ‎　　则△APC≌△AP′C′， ‎ ‎　　∵∠BAC≥120°，∴∠PAP′≤60°． ‎ ‎　　∴在等腰三角形PAP′中，AP≥PP′， ‎ ‎∴PA+PB+PC≥PP′+PB+ P′C′>BC′=AB+AC．‎ 所以A是费马点． ‎ ‎     ‎ ‎             图1                                     图2‎ ‎2． 如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为 ‎120°的点． ‎ 如图2，以B点为中心，将△APB旋转60°到△A′BP′． 因为旋转60°，且PB=P′B，所以△P′PB为正三角形． ‎ ‎　　因此，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC． ‎ ‎　　由此可知当A′，P′，P，C四点共线时，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC为最小． ‎ ‎　　当A′，P′，P共线时，∵∠BP′P=60°，∴∠A′P′B=∠APB=120°． ‎ ‎　　同理，若P′，P，C共线时，则∵∠BPP′=60°， ∴∠BPC=120°． ‎ 所以点P为满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点． ‎ ‎ ‎ ‎　　三、费马点的简单应用 ‎ ‎　　近几年，在全国各地的中考中，时常可以看见费马点的影子． ‎ 例1(2009浙江湖州--25) ‎ 若P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点． ‎ ‎(1)若点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，‎ 则PB的值为________； ‎ ‎(2)如图3，在锐角△ABC外侧作等边△ACB，连结BB′．‎ 求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC． ‎ ‎ ‎ ‎　　解：(1)∵∠PBA+∠PBC=∠PBC+∠PCB=60°，∴∠PBA=∠PCB． ‎ ‎　　又∠APB=∠BPC=120°， ‎ ‎∴△PBA∽△PCB，则PB2=PA×PC=12， 　　即PB=2‎ ‎． ‎ ‎(2)证明：在BB′上取点P，使∠BPC=120°，连结AP，再在PB′上 截取PE=PC，连结CE． ‎ ‎　　∵PC=CE，AC=CB′，∠PCA=∠ECB′， ‎ ‎　　∴△ACP≌△B′CE． ‎ ‎　　∴∠APC=∠B′EC=120°，PA=EB′． ‎ ‎　　∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°， ‎ ‎　　∴P为△ABC的费马点，且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC． ‎ ‎　‎ 例2 (2009北京) 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个点的坐标分别为A(-6，0)，B(6，0)， ‎ ‎　　C(0，4)，延长AC到点D，使CD=AC，过点D作DE∥AB，交BC的延长线于点E． ‎ ‎　　(1)求D点的坐标； ‎ ‎　　(2)作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF，EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，试确定此直线的解析式； ‎ ‎　　(3)设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．(要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明) ‎ ‎ ‎ ‎【析】本题第三问要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明．如果不知原理，比较难找，用常规数学的方法，会涉及到一元二次方程的判别式的问题，并不容易想到．而用费马点的知识就能轻松找出这个G点． ‎ 由于直线y=kx+b与y轴的交点坐标在第二问当中可求出M(0，6)，所以，本题第三问便可以转化为：AO⊥OM于点O，AO=6，MO=6，G点从M出发，向O点运动到达G点后，再沿GA到达A点．若G点在MO上运动的速度是它在GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置．‎ ‎(如图5，G点按照上述要求到达A点所用的时间为t) ‎ 解法一： 方程解法 ‎ ‎　　设GO=x，则MG=6-x，AG=， ‎ ‎　　则t=， ‎ ‎　　移项平方得：3x2+(12-4t)x +36+24t-4t2=0， ‎ ‎　　∵方程有解， ‎ ‎　　Δ=(12-4t)2-12(36+24t-4t2)≥0  解得t≥6， ‎ ‎　　将t=6代回方程，求出x=2时，t最小． ‎ ‎ ‎ 解法二：费马点解法 ‎ ‎　　如图6，要使MG+AG最小，即使MG+2AG最小． ‎ ‎　　作A关于MO的对称点A'， ‎ ‎　　则MG+2AG=MG+AG+A'G， ‎ 即MG+AG+A'G最小．故G为△AA'M的费尔马点．作∠GAO=30°，交MO于G点，则∠AGM=∠A'GM=∠AG A'=120°，故G点为所求． OG=2． ‎ ‎　　由此利用费马点的解法可以看出： ‎ 当动点G在OM上的运动速度是在AG上的2倍的时候，动点的位置与MO的长度无关，与AO的长度有关，GO长是AO长的倍．‎ ‎2009北京中考25题最后一问不需证明其实证明也很简单！（仅供参考）‎ 其中为与轴的交点，由前两个问题容易得知为等边三角形， 为轴上的任意一点，作,,∴,故速度为走完所用的时间等于速度为走完所用的时间，即，故以速度走完和以走完的时间和，其实就是以速度走完路程,由速度一定，路程最短，时间最少！再由垂线段最短,最短路程就是,此时点就是点。求该点坐标就不难了！‎