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- 2021-05-10 发布
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中考数学试题分类汇编:考点 34 图形的对称
一.选择题(共 36 小题)
1.(2018•新疆)如图,点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点,
点 M,N 分别是 AB,BC 边上的中点,则 MP+PN 的最小值是( )
A. B.1 C. D.2
【分析】先作点 M 关于 AC 的对称点 M′,连接 M′N 交 AC 于 P,此时 MP+NP 有
最小值.然后证明四边形 ABNM′为平行四边形,即可求出 MP+NP=M′N=AB=1.
【解答】解:如图 ,
作点 M 关于 AC 的对称点 M′,连接 M′N 交 AC 于 P,此时 MP+NP 有最小值,最
小值为 M′N 的长.
∵菱形 ABCD 关于 AC 对称,M 是 AB 边上的中点,
∴M′是 AD 的中点,
又∵N 是 BC 边上的中点,
∴AM′∥BN,AM′=BN,
∴四边形 ABNM′是平行四边形,
∴M′N=AB=1,
∴MP+NP=M′N=1,即 MP+NP 的最小值为 1,
故选:B.
2.(2018•资阳)下列图形具有两条对称轴的是( )
A.等边三角形 B.平行四边形 C.矩形 D.正方形
【分析】根据轴对称及对称轴的定义,结合所给图形即可作出判断.
【解答】解:A、等边三角形由 3 条对称轴,故本选项错误;
B、平行四边形无对称轴,故本选项错误;
C、矩形有 2 条对称轴,故本选项正确;
D、正方形有 4 条对称轴,故本选项错误;
故选:C.
3.(2018•苏州)下列四个图案中,不是轴对称图案的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解.
【解答】解:A、是轴对称图形,故本选项错误;
B、不是轴对称图形,故本选项正确;
C、是轴对称图形,故本选项错误;
D、是轴对称图形,故本选项错误.
故选:B.
4.(2018•湘潭)如图,点 A 的坐标(﹣1,2),点 A 关于 y 轴的对称点的坐
标为( )
A.(1,2) B.(﹣1,﹣2) C.(1,﹣2) D.(2,﹣1)
【分析】直接利用关于 y 轴对称点的性质分析得出答案.
【解答】解:点 A 的坐标(﹣1,2),点 A 关于 y 轴的对称点的坐标为:(1,
2).
故选:A.
5.(2018•永州)誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”,摩崖上铭刻着 500 多
方古今名家碑文,其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值,下面四个悬针
篆文文字明显不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可.
【解答】解:A、是轴对称图形,故此选项错误;
B、是轴对称图形,故此选项错误;
C、不是轴对称图形,故此选项正确;
D、是轴对称图形,故此选项错误;
故选:C.
6.(2018•重庆)下列图形中一定是轴对称图形的是( )
A.
直角三角形
B.
四边形
C.
平行四边形
D.
矩形
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项错误;
B、不是轴对称图形,故本选项错误;
C、不是轴对称图形,故本选项错误;
D、是轴对称图形,故本选项正确.
故选:D.
7.(2018•广州)如图所示的五角星是轴对称图形,它的对称轴共有( )
A.1 条 B.3 条 C.5 条 D.无数条
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这
个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
【解答】解:五角星的对称轴共有 5 条,
故选:C.
8.(2018•淄博)下列图形中,不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】观察四个选项图形,根据轴对称图形的概念即可得出结论.
【解答】解:根据轴对称图形的概念,可知:选项 C 中的图形不是轴对称图形.
故选:C.
9.(2018•河北)图中由“○”和“□”组成轴对称图形,该图形的对称轴是直线
( )
A.l1 B.l2 C.l3 D.l4
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这
个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
【解答】解:该图形的对称轴是直线 l3,
故选:C.
10.(2018•沈阳)在平面直角坐标系中,点 B 的坐标是(4,﹣1),点 A 与点
B 关于 x 轴对称,则点 A 的坐标是( )
A.(4,1) B.(﹣1,4) C.(﹣4,﹣1) D.(﹣1,﹣4)
【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质,横坐标不变纵坐标改变符号进而得出
答案.
【解答】解:∵点 B 的坐标是(4,﹣1),点 A 与点 B 关于 x 轴对称,
∴点 A 的坐标是:(4,1).
故选:A.
11.(2018•临安区)如图,正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4,点 E、F 分别是 AB、
BC 的中点,若沿左图中的虚线剪开,拼成如图的一座“小别墅”,则图中阴影部
分的面积是( )
A.2 B.4 C.8 D.10
【分析】本题考查空间想象能力.
【解答】解:阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成,
由第一个图形可知:阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一,
正方形的面积=4×4=16,
∴图中阴影部分的面积是 16÷4=4.
故选:B.
12.(2018•邵阳)下列图形中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可.
【解答】解:A、不是轴对称图形,故此选项错误;
B、是轴对称图形,故此选项正确;
C、不是轴对称图形,故此选项错误;
D、不是轴对称图形,故此选项错误;
故选:B.
13.(2018•重庆)下列图形中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项错误;
B、不是轴对称图形,故本选项错误;
C、不是轴对称图形,故本选项错误;
D、是轴对称图形,故本选项正确.
故选:D.
14.(2018•台湾)下列选项中的图形有一个为轴对称图形,判断此形为何?
( )
A. B. C. D.
【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分
完全重合,这样的图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.
【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项错误;
B、不是轴对称图形,故本选项错误;
C、不是轴对称图形,故本选项错误;
D、是轴对称图形,对称轴为两宽的中点的连线所在的直线,故本选项正确.
故选:D.
15.(2018•桂林)下列图形是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可.
【解答】解:A、是轴对称图形,本选项正确;
B、不是轴对称图形,本选项错误;
C、不是轴对称图形,本选项错误;
D、不是轴对称图形,本选项错误.
故选:A.
16.(2018•资阳)如图,将矩形 ABCD 的四个角向内翻折后,恰好拼成一个无
缝隙无重叠的四边形 EFGH,EH=12 厘米,EF=16 厘米,则边 AD 的长是( )
A.12 厘米 B.16 厘米 C.20 厘米 D.28 厘米
【分析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形 EFGH 为矩形,那么由折
叠可得 HF 的长即为边 AD 的长.
【解答】解:∵∠HEM=∠AEH,∠BEF=∠FEM,
∴∠HEF=∠HEM+∠FEM= ×180°=90°,
同理可得:∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°,
∴四边形 EFGH 为矩形,
AD=AH+HD=HM+MF=HF,
HF= = =20,
∴AD=20 厘米.
故选:C.
17.(2018•天津)如图,将一个三角形纸片 ABC 沿过点 B 的直线折叠,使点 C
落在 AB 边上的点 E 处,折痕为 BD,则下列结论一定正确的是( )
A.AD=BD B.AE=AC C.ED+EB=DB D.AE+CB=AB
【分析】先根据图形翻折变换的性质得出 BE=BC,根据线段的和差,可得
AE+BE=AB,根据等量代换,可得答案.
【解答】解:∵△BDE 由△BDC 翻折而成,
∴BE=BC.
∵AE+BE=AB,
∴AE+CB=AB,
故 D 正确,
故选:D.
18.(2018•宜昌)如下字体的四个汉字中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据轴对称图形的定义逐个判断即可.
【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项不符合题意;
B、不是轴对称图形,故本选项不符合题意;
C、不是轴对称图形,故本选项不符合题意;
D、是轴对称图形,故本选项符合题意;
故选:D.
19.(2018•无锡)下列图形中的五边形 ABCDE 都是正五边形,则这些图形中的
轴对称图形有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【分析】直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案.
【解答】解:如图所示:直线 l 即为各图形的对称轴.
,
故选:D.
20.(2018•湘西州)下列四个图形中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据轴对称图形的概念求解.
【解答】解:D 选项的图形是轴对称图形,A,B,C 选项的图形不是轴对称图形.
故选:D.
21.(2018•天门)如图,正方形 ABCD 中,AB=6,G 是 BC 的中点.将△ABG 沿
AG 对折至△AFG,延长 GF 交 DC 于点 E,则 DE 的长是( )
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证 Rt△AFE≌Rt△ADE;在直角
△ECG 中,根据勾股定理即可求出 DE 的长.
【解答】解:∵AB=AD=AF,∠D=∠AFE=90°,
在 Rt△ABG 和 Rt△AFG 中,
∵ ,
∴Rt△AFE≌Rt△ADE,
∴EF=DE,
设 DE=FE=x,则 EC=6﹣x.
∵G 为 BC 中点,BC=6,
∴CG=3,
在 Rt△ECG 中,根据勾股定理,得:(6﹣x)2+9=(x+3)2,
解得 x=2.
则 DE=2.
故选:C.
22.(2018•烟台)对角线长分别为 6 和 8 的菱形 ABCD 如图所示,点 O 为对角
线的交点,过点 O 折叠菱形,使 B,B′两点重合,MN 是折痕.若 B'M=1,则 CN
的长为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
【分析】连接 AC、BD,如图,利用菱形的性质得 OC= AC=3,OD= BD=4,∠
COD=90°,再利用勾股定理计算出 CD=5,接着证明△OBM≌△ODN 得到 DN=BM,
然后根据折叠的性质得 BM=B'M=1,从而有 DN=1,于是计算 CD﹣DN 即可.
【解答】解:连接 AC、BD,如图,
∵点 O 为菱形 ABCD 的对角线的交点,
∴OC= AC=3,OD= BD=4,∠COD=90°,
在 Rt△COD 中,CD= =5,
∵AB∥CD,
∴∠MBO=∠NDO,
在△OBM 和△ODN 中
,
∴△OBM≌△ODN,
∴DN=BM,
∵过点 O 折叠菱形,使 B,B′两点重合,MN 是折痕,
∴BM=B'M=1,
∴DN=1,
∴CN=CD﹣DN=5﹣1=4.
故选:D.
23.(2018•武汉)如图,在⊙O 中,点 C 在优弧 上,将弧 沿 BC 折叠后刚
好经过 AB 的中点 D.若⊙O 的半径为 ,AB=4,则 BC 的长是( )
A. B. C. D.
【分析】连接 OD、AC、DC、OB、OC,作 CE⊥AB 于 E,OF⊥CE 于 F,如图,利
用垂径定理得到 OD⊥AB,则 AD=BD= AB=2,于是根据勾股定理可计算出 OD=1,
再利用折叠的性质可判断弧 AC 和弧 CD 所在的圆为等圆,则根据圆周角定理得
到 = ,所以 AC=DC,利用等腰三角形的性质得 AE=DE=1,接着证明四边形 ODEF
为正方形得到 OF=EF=1,然后计算出 CF 后得到 CE=BE=3,于是得到 BC=3 .
【解答】解:连接 OD、AC、DC、OB、OC,作 CE⊥AB 于 E,OF⊥CE 于 F,如图,
∵D 为 AB 的中点,
∴OD⊥AB,
∴AD=BD= AB=2,
在 Rt△OBD 中,OD= =1,
∵将弧 沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D.
∴弧 AC 和弧 CD 所在的圆为等圆,
∴ = ,
∴AC=DC,
∴AE=DE=1,
易得四边形 ODEF 为正方形,
∴OF=EF=1,
在 Rt△OCF 中,CF= =2,
∴CE=CF+EF=2+1=3,
而 BE=BD+DE=2+1=3,
∴BC=3 .
故选:B.
24.(2018•吉林)如图,将△ABC 折叠,使点 A 与 BC 边中点 D 重合,折痕为
MN,若 AB=9,BC=6,则△DNB 的周长为( )
A.12 B.13 C.14 D.15
【分析】由 D 为 BC 中点知 BD=3,再由折叠性质得 ND=NA,从而根据△DNB 的
周长=ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD 可得答案.
【解答】解:∵D 为 BC 的中点,且 BC=6,
∴BD= BC=3,
由折叠性质知 NA=ND,
则△DNB 的周长=ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD=3+9=12,
故选:A.
25.(2018•嘉兴)将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后
沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是( )
A. B. C. D.
【分析】对于此类问题,学生只要亲自动手操作,答案就会很直观地呈现.
【解答】解:由于得到的图形的中间是正方形,且顶点在原来的正方形的对角线
上,
故选:A.
26.(2018•贵港)如图,在菱形 ABCD 中,AC=6 ,BD=6,E 是 BC 边的中点,
P,M 分别是 AC,AB 上的动点,连接 PE,PM,则 PE+PM 的最小值是( )
A.6 B.3 C.2 D.4.5
【分析】作点 E 关于 AC 的对称点 E′,过点 E′作 E′M⊥AB 于点 M,交 AC 于点 P,
由 PE+PM=PE′+PM=E′M 知点 P、M 即为使 PE+PM 取得最小值的点,利用 S 菱形
ABCD= AC•BD=AB•E′M 求二级可得答案.
【解答】解:如图,作点 E 关于 AC 的对称点 E′,过点 E′作 E′M⊥AB 于点 M,交
AC 于点 P,
则点 P、M 即为使 PE+PM 取得最小值,
其 PE+PM=PE′+PM=E′M,
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴点 E′在 CD 上,
∵AC=6 ,BD=6,
∴AB= =3 ,
由 S 菱形 ABCD= AC•BD=AB•E′M 得 ×6 ×6=3 •E′M,
解得:E′M=2 ,
即 PE+PM 的最小值是 2 ,
故选:C.
27.(2018•滨州)如图,∠AOB=60°,点 P 是∠AOB 内的定点且 OP= ,若点
M、N 分别是射线 OA、OB 上异于点 O 的动点,则△PMN 周长的最小值是( )
A. B. C.6 D.3
【分析】作 P 点分别关于 OA、OB 的对称点 C、D,连接 CD 分别交 OA、OB 于 M、
N,如图,利用轴对称的性质得 MP=MC,NP=ND,OP=OD=OC= ,∠BOP=∠BOD,
∠AOP=∠AOC,所以∠COD=2∠AOB=120°,利用两点之间线段最短判断此时△
PMN 周长最小,作 OH⊥CD 于 H,则 CH=DH,然后利用含 30 度的直角三角形三
边的关系计算出 CD 即可.
【解答】解:作 P 点分别关于 OA、OB 的对称点 C、D,连接 CD 分别交 OA、OB
于 M、N,如图,
则 MP=MC,NP=ND,OP=OD=OC= ,∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC,
∴ PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC , ∠ COD= ∠ BOP+ ∠ BOD+ ∠ AOP+ ∠ AOC=2 ∠
AOB=120°,
∴此时△PMN 周长最小,
作 OH⊥CD 于 H,则 CH=DH,
∵∠OCH=30°,
∴OH= OC= ,
CH= OH= ,
∴CD=2CH=3.
故选:D.
28.(2018•广西)如图,矩形纸片 ABCD,AB=4,BC=3,点 P 在 BC 边上,将△
CDP 沿 DP 折叠,点 C 落在点 E 处,PE、DE 分别交 AB 于点 O、F,且 OP=OF,则
cos∠ADF 的值为( )
A. B. C. D.
【分析】根据折叠的性质可得出 DC=DE、CP=EP,由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF
可得出△OEF≌△OBP(AAS),根据全等三角形的性质可得出 OE=OB、EF=BP,
设 EF=x,则 BP=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x,进而可得出 AF=1+x,在 Rt△DAF 中,
利用勾股定理可求出 x 的值,再利用余弦的定义即可求出 cos∠ADF 的值.
【解答】解:根据折叠,可知:△DCP≌△DEP,
∴DC=DE=4,CP=EP.
在△OEF 和△OBP 中, ,
∴△OEF≌△OBP(AAS),
∴OE=OB,EF=BP.
设 EF=x,则 BP=x,DF=DE﹣EF=4﹣x,
又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC,PC=BC﹣BP=3﹣x,
∴AF=AB﹣BF=1+x.
在 Rt△DAF 中,AF2+AD2=DF2,即(1+x)2+32=(4﹣x)2,
解得:x= ,
∴DF=4﹣x= ,
∴cos∠ADF= = .
故选:C.
29.(2018•新疆)如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=6cm,BC=8cm.现将其沿 AE
对折,使得点 B 落在边 AD 上的点 B1 处,折痕与边 BC 交于点 E,则 CE 的长为( )
A.6cm B.4cm C.3cm D.2cm
【分析】根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°,AB=AB1,然后求出四边形 ABEB1
是正方形,再根据正方形的性质可得 BE=AB,然后根据 CE=BC﹣BE,代入数据进
行计算即可得解.
【解答】解:∵沿 AE 对折点 B 落在边 AD 上的点 B1 处,
∴∠B=∠AB1E=90°,AB=AB1,
又∵∠BAD=90°,
∴四边形 ABEB1 是正方形,
∴BE=AB=6cm,
∴CE=BC﹣BE=8﹣6=2cm.
故选:D.
30.(2018•青岛)如图,三角形纸片 ABC,AB=AC,∠BAC=90°,点 E 为 AB 中
点.沿过点 E 的直线折叠,使点 B 与点 A 重合,折痕相交于点 F.已知 EF= ,
则 BC 的长是( )
A. B. C.3 D.
【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°,所以可求出∠AFB=90°,再直角三角
形的性质可知 EF= AB,所以 AB=AC 的长可求,再利用勾股定理即可求出 BC 的
长.
【解答】解:
∵沿过点 E 的直线折叠,使点 B 与点 A 重合,
∴∠B=∠EAF=45°,
∴∠AFB=90°,
∵点 E 为 AB 中点,
∴EF= AB,EF= ,
∴AB=AC=3,
∵∠BAC=90°,
∴BC= =3 ,
故选:B.
31.(2018•天津)如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别为 AD,BC 的中点,P
为对角线 BD 上的一个动点,则下列线段的长等于 AP+EP 最小值的是( )
A.AB B.DE C.BD D.AF
【分析】连接 CP,当点 E,P,C 在同一直线上时,AP+PE 的最小值为 CE 长,依
据△ABF≌△CDE,即可得到 AP+EP 最小值等于线段 AF 的长.
【解答】解:如图,连接 CP,
由 AD=CD,∠ADP=∠CDP=45°,DP=DP,可得△ADP≌△CDP,
∴AP=CP,
∴AP+PE=CP+PE,
∴当点 E,P,C 在同一直线上时,AP+PE 的最小值为 CE 长,
此时,由 AB=CD,∠ABF=∠CDE,BF=DE,可得△ABF≌△CDE,
∴AF=CE,
∴AP+EP 最小值等于线段 AF 的长,
故选:D.
32.(2018•贵港)若点 A(1+m,1﹣n)与点 B(﹣3,2)关于 y 轴对称,则
m+n 的值是( )
A.﹣5 B.﹣3 C.3 D.1
【分析】根据关于 y 轴的对称点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变,
据此求出 m、n 的值,代入计算可得.
【解答】解:∵点 A(1+m,1﹣n)与点 B(﹣3,2)关于 y 轴对称,
∴1+m=3、1﹣n=2,
解得:m=2、n=﹣1,
所以 m+n=2﹣1=1,
故选:D.
33.(2018•湖州)如图,已知在△ABC 中,∠BAC>90°,点 D 为 BC 的中点,
点 E 在 AC 上,将△CDE 沿 DE 折叠,使得点 C 恰好落在 BA 的延长线上的点 F 处,
连结 AD,则下列结论不一定正确的是( )
A.AE=EF B.AB=2DE
C.△ADF 和△ADE 的面积相等 D.△ADE 和△FDE 的面积相等
【分析】先判断出△BFC 是直角三角形,再利用三角形的外角判断出 A 正确,进
而判断出 AE=CE,得出 DE 是△ABC 的中位线判断出 B 正确,利用等式的性质判
断出 D 正确.
【解答】解:如图,连接 CF,
∵点 D 是 BC 中点,
∴BD=CD,
由折叠知,∠ACB=∠DFE,CD=DF,
∴BD=CD=DF,
∴△BFC 是直角三角形,
∴∠BFC=90°,
∵BD=DF,
∴∠B=∠BFD,
∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE,
∴AE=EF,故 A 正确,
由折叠知,EF=CE,
∴AE=CE,
∵BD=CD,
∴DE 是△ABC 的中位线,
∴AB=2DE,故 B 正确,
∵AE=CE,
∴S△ADE=S△CDE,
由折叠知,△CDE≌△△FDE,
∴S△CDE=S△FDE,
∴S△ADE=S△FDE,故 D 正确,
当 AD= AC 时,△ADF 和△ADE 的面积相等
∴C 选项不一定正确,
故选:C.
34.(2018•枣庄)在平面直角坐标系中,将点 A(﹣1,﹣2)向右平移 3 个单
位长度得到点 B,则点 B 关于 x 轴的对称点 B′的坐标为( )
A.(﹣3,﹣2) B.(2,2) C.(﹣2,2) D.(2,﹣2)
【分析】首先根据横坐标右移加,左移减可得 B 点坐标,然后再根据关于 x 轴对
称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标符号改变可得答案.
【解答】解:点 A(﹣1,﹣2)向右平移 3 个单位长度得到的 B 的坐标为(﹣1+3,
﹣2),即(2,﹣2),
则点 B 关于 x 轴的对称点 B′的坐标是(2,2),
故选:B.
35.(2018•江西)小军同学在网络纸上将某些图形进行平移操作,他发现平移
前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形、如图所示,现在他将正方形
ABCD 从当前位置开始进行一次平移操作,平移后的正方形顶点也在格点上,则
使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有( )
A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.无数个
【分析】直接利用平移的性质结合轴对称图形的性质得出答案.
【解答】解:如图所示:正方形 ABCD 可以向上、下、向右以及沿 AC 所在直线,
沿 BD 所在直线平移,
所组成的两个正方形组成轴对称图形.
故选:C.
36.(2018•台湾)如图 1 的矩形 ABCD 中,有一点 E 在 AD 上,今以 BE 为折线
将 A 点往右折,如图 2 所示,再作过 A 点且与 CD 垂直的直线,交 CD 于 F 点,
如图 3 所示,若 AB=6 ,BC=13,∠BEA=60°,则图 3 中 AF 的长度为何?( )
A.2 B.4 C.2 D.4
【分析】作 AH⊥BC 于 H.则四边形 AFCH 是矩形,AF=CH,AH=CF=3 .在 Rt
△ABH 中,解直角三角形即可解决问题;
【解答】解:作 AH⊥BC 于 H.则四边形 AFCH 是矩形,AF=CH,AH=CF=3 .
在 Rt△AHB 中,∠ABH=30°,
∴BH=AB•cos30°=9,
∴CH=BC﹣BH=13﹣9=4,
∴AF=CH=4,
故选:B.
二.填空题(共 9 小题)
37.(2018•南京)在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是(﹣1,2),作点 A 关
于 y 轴的对称点,得到点 A',再将点 A'向下平移 4 个单位,得到点 A″,则点 A″
的坐标是( 1 , ﹣2 ).
【分析】直接利用关于 y 轴对称点的性质得出点 A'坐标,再利用平移的性质得出
答案.
【解答】解:∵点 A 的坐标是(﹣1,2),作点 A 关于 y 轴的对称点,得到点
A',
∴A′(1,2),
∵将点 A'向下平移 4 个单位,得到点 A″,
∴点 A″的坐标是:(1,﹣2).
故答案为:1,﹣2.
38.(2018•邵阳)如图所示,在等腰△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,将△ABC 中
的∠A 沿 DE 向下翻折,使点 A 落在点 C 处.若 AE= ,则 BC 的长是 .
【分析】由折叠的性质可知 AE=CE,再证明△BCE 是等腰三角形即可得到 BC=CE,
问题得解.
【解答】解:
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠B=∠ACB= =72°,
∵将△ABC 中的∠A 沿 DE 向下翻折,使点 A 落在点 C 处,
∴AE=CE,∠A=∠ECA=36°,
∴∠CEB=72°,
∴BC=CE=AE= ,
故答案为: .
39.(2018•杭州)折叠矩形纸片 ABCD 时,发现可以进行如下操作:①把△ADE
翻折,点 A 落在 DC 边上的点 F 处,折痕为 DE,点 E 在 AB 边上;②把纸片展开
并铺平;③把△CDG 翻折,点 C 落在线段 AE 上的点 H 处,折痕为 DG,点 G 在
BC 边上,若 AB=AD+2,EH=1,则 AD= 3+2 .
【分析】设 AD=x,则 AB=x+2,利用折叠的性质得 DF=AD,EA=EF,∠DFE=∠A=90°,
则 可 判 断 四 边 形 AEFD 为 正 方 形 , 所 以 AE=AD=x , 再 根 据 折 叠 的 性 质 得
DH=DC=x+2,则 AH=AE﹣HE=x﹣1,然后根据勾股定理得到 x2+(x﹣1)2=(x+2)
2,再解方程求出 x 即可.
【解答】解:设 AD=x,则 AB=x+2,
∵把△ADE 翻折,点 A 落在 DC 边上的点 F 处,
∴DF=AD,EA=EF,∠DFE=∠A=90°,
∴四边形 AEFD 为正方形,
∴AE=AD=x,
∵把△CDG 翻折,点 C 落在线段 AE 上的点 H 处,折痕为 DG,点 G 在 BC 边上,
∴DH=DC=x+2,
∵HE=1,
∴AH=AE﹣HE=x﹣1,
在 Rt△ADH 中,∵AD2+AH2=DH2,
∴x2+(x﹣1)2=(x+2)2,
整理得 x2﹣6x﹣3=0,解得 x1=3+2 ,x2=3﹣2 (舍去),
即 AD 的长为 3+2 .
故答案为 3+2 .
40.(2018•自贡)如图,在△ABC 中,AC=BC=2,AB=1,将它沿 AB 翻折得到△
ABD,则四边形 ADBC 的形状是 菱 形,点 P、E、F 分别为线段 AB、AD、DB
的任意点,则 PE+PF 的最小值是 .
【分析】根据题意证明四边相等即可得出菱形;作出 F 关于 AB 的对称点 M,再
过 M 作 ME⊥AD,交 ABA 于点 P,此时 PE+PF 最小,求出 ME 即可.
【解答】解:∵△ABC 沿 AB 翻折得到△ABD,
∴AC=AD,BC=BD,
∵AC=BC,
∴AC=AD=BC=BD,
∴四边形 ADBC 是菱形,
故答案为菱;
如图
作出 F 关于 AB 的对称点 M,再过 M 作 ME⊥AD,交 ABA 于点 P,此时 PE+PF 最
小,此时 PE+PF=ME,
过点 A 作 AN⊥BC,
∵AD∥BC,
∴ME=AN,
作 CH⊥AB,
∵AC=BC,
∴AH= ,
由勾股定理可得,CH= ,
∵ ,
可得,AN= ,
∴ME=AN= ,
∴PE+PF 最小为 ,
故答案为 .
41.(2018•成都)如图,在菱形 ABCD 中,tanA= ,M,N 分别在边 AD,BC
上,将四边形 AMNB 沿 MN 翻折,使 AB 的对应线段 EF 经过顶点 D,当 EF⊥AD
时, 的值为 .
【分析】首先延长 NF 与 DC 交于点 H,进而利用翻折变换的性质得出 NH⊥DC,
再利用边角关系得出 BN,CN 的长进而得出答案.
【解答】解:延长 NF 与 DC 交于点 H,
∵∠ADF=90°,
∴∠A+∠FDH=90°,
∵∠DFN+∠DFH=180°,∠A+∠B=180°,∠B=∠DFN,
∴∠A=∠DFH,
∴∠FDH+∠DFH=90°,
∴NH⊥DC,
设 DM=4k,DE=3k,EM=5k,
∴AD=9k=DC,DF=6k,
∵tanA=tan∠DFH= ,
则 sin∠DFH= ,
∴DH= DF= k,
∴CH=9k﹣ k= k,
∵cosC=cosA= = ,
∴CN= CH=7k,
∴BN=2k,
∴ = .
42.(2018•乌鲁木齐)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=2 ,AC=2,点 D
是 BC 的中点,点 E 是边 AB 上一动点,沿 DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的
位置,B′D 交 AB 于点 F.若△AB′F 为直角三角形,则 AE 的长为 3 或 .
【分析】利用三角函数的定义得到∠B=30°,AB=4,再利用折叠的性质得
DB=DC= ,EB′=EB,∠DB′E=∠B=30°,设 AE=x,则 BE=4﹣x,EB′=4﹣x,讨论:
当∠AFB′=90°时,则∴BF= cos30°= ,则 EF= ﹣(4﹣x)=x﹣ ,于是在 Rt△
B′EF 中利用 EB′=2EF 得到 4﹣x=2(x﹣ ),解方程求出 x 得到此时 AE 的长;当
∠FB′A=90°时,作 EH⊥AB′于 H,连接 AD,如图,证明 Rt△ADB′≌Rt△ADC 得到
AB′=AC=2,再计算出∠EB′H=60°,则 B′H= (4﹣x),EH= (4﹣x),接着利
用勾股定理得到 (4﹣x)2+[ (4﹣x)+2]2=x2,方程求出 x 得到此时 AE 的长.
【解答】解:∵∠C=90°,BC=2 ,AC=2,
∴tanB= = = ,
∴∠B=30°,
∴AB=2AC=4,
∵点 D 是 BC 的中点,沿 DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的位置,B′D 交 AB
于点 F
∴DB=DC= ,EB′=EB,∠DB′E=∠B=30°,
设 AE=x,则 BE=4﹣x,EB′=4﹣x,
当∠AFB′=90°时,
在 Rt△BDF 中,cosB= ,
∴BF= cos30°= ,
∴EF= ﹣(4﹣x)=x﹣ ,
在 Rt△B′EF 中,∵∠EB′F=30°,
∴EB′=2EF,
即 4﹣x=2(x﹣ ),解得 x=3,此时 AE 为 3;
当∠FB′A=90°时,作 EH⊥AB′于 H,连接 AD,如图,
∵DC=DB′,AD=AD,
∴Rt△ADB′≌Rt△ADC,
∴AB′=AC=2,
∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°,
∴∠EB′H=60°,
在 Rt△EHB′中,B′H= B′E= (4﹣x),EH= B′H= (4﹣x),
在 Rt△AEH 中,∵EH2+AH2=AE2,
∴ (4﹣x)2+[ (4﹣x)+2]2=x2,解得 x= ,此时 AE 为 .
综上所述,AE 的长为 3 或 .
故答案为 3 或 .
43.(2018•常德)如图,将矩形 ABCD 沿 EF 折叠,使点 B 落在 AD 边上的点 G
处,点 C 落在点 H 处,已知∠DGH=30°,连接 BG,则∠AGB= 75° .
【分析】由折叠的性质可知:GE=BE,∠EGH=∠ABC=90°,从而可证明∠EBG=∠
EGB.,然后再根据∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG,即:∠GBC=∠BGH,由平行
线的性质可知∠AGB=∠GBC,从而易证∠AGB=∠BGH,据此可得答案.
【解答】解:由折叠的性质可知:GE=BE,∠EGH=∠ABC=90°,
∴∠EBG=∠EGB.
∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG,即:∠GBC=∠BGH.
又∵AD∥BC,
∴∠AGB=∠GBC.
∴∠AGB=∠BGH.
∵∠DGH=30°,
∴∠AGH=150°,
∴∠AGB= ∠AGH=75°,
故答案为:75°.
44.(2018•长春)如图,在▱ ABCD 中,AD=7,AB=2 ,∠B=60°.E 是边 BC
上任意一点,沿 AE 剪开,将△ABE 沿 BC 方向平移到△DCF 的位置,得到四边形
AEFD,则四边形 AEFD 周长的最小值为 20 .
【分析】当 AE⊥BC 时,四边形 AEFD 的周长最小,利用直角三角形的性质解答
即可.
【解答】解:当 AE⊥BC 时,四边形 AEFD 的周长最小,
∵AE⊥BC,AB=2 ,∠B=60°.
∴AE=3,BE= ,
∵△ABE 沿 BC 方向平移到△DCF 的位置,
∴EF=BC=AD=7,
∴四边形 AEFD 周长的最小值为:14+6=20,
故答案为:20
45.(2018•重庆)如图,把三角形纸片折叠,使点 B、点 C 都与点 A 重合,折
痕分别为 DE,FG,得到∠AGE=30°,若 AE=EG=2 厘米,则△ABC 的边 BC 的长
为 6+4 厘米.
【分析】根据折叠的性质和含 30°的直角三角形的性质解答即可.
【解答】解:∵把三角形纸片折叠,使点 B、点 C 都与点 A 重合,折痕分别为
DE,FG,
∴BE=AE,AG=GC,
∵∠AGE=30°,AE=EG=2 厘米,
∴AG=6,
∴BE=AE=2 ,GC=AG=6,
∴BC=BE+EG+GC=6+4 ,
故答案为:6+4 ,
三.解答题(共 5 小题)
46.(2018•白银)如图,在正方形方格中,阴影部分是涂黑 3 个小正方形所形
成的图案.
(1)如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上,那么米粒落在阴影部分的概
率是多少?
(2)现将方格内空白的小正方形(A,B,C,D,E,F)中任取 2 个涂黑,得到
新图案.请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率.
【分析】(1)直接利用概率公式计算可得;
(2)列表得出所有等可能结果,从中找到新图案是轴对称图形的结果数,利用
概率公式计算可得.
【解答】解:(1)∵正方形网格被等分成 9 等份,其中阴影部分面积占其中的
3 份,
∴米粒落在阴影部分的概率是 = ;
(2)列表如下:
A B C D E F
A (B,A) (C,A) (D,A) (E,A) (F,A)
B (A,B) (C,B) (D,B) (E,B) (F,B)
C (A,C) (B,C) (D,C) (E,C) (F,C)
D (A,D) (B,D) (C,D) (E,D) (F,D)
E (A,E) (B,E) (C,E) (D,E) (F,E)
F (A,F) (B,F) (C,F) (D,F) (E,F)
由表可知,共有 30 种等可能结果,其中是轴对称图形的有 10 种,
故新图案是轴对称图形的概率为 = .
47.(2018•威海)如图,将矩形 ABCD(纸片)折叠,使点 B 与 AD 边上的点 K
重合,EG 为折痕;点 C 与 AD 边上的点 K 重合,FH 为折痕.已知∠1=67.5°,∠
2=75°,EF= +1,求 BC 的长.
【分析】由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC,
作 KM⊥BC,设 KM=x,知 EM=x、MF= x,根据 EF 的长求得 x=1,再进一步求
解可得.
【解答】解:由题意,得:∠3=180°﹣2∠1=45°,∠4=180°﹣2∠2=30°,BE=KE、
KF=FC,
如图,过点 K 作 KM⊥BC 于点 M,
设 KM=x,则 EM=x、MF= x,
∴x+ x= +1,
解得:x=1,
∴EK= 、KF=2,
∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3+ + ,
∴BC 的长为 3+ + .
48.(2018•荆门)如图,在 Rt△ABC 中,(M2,N2),∠BAC=30°,E 为 AB 边
的中点,以 BE 为边作等边△BDE,连接 AD,CD.
(1)求证:△ADE≌△CDB;
(2)若 BC= ,在 AC 边上找一点 H,使得 BH+EH 最小,并求出这个最小值.
【分析】(1)只要证明△DEB 是等边三角形,再根据 SAS 即可证明;
(2)如图,作点 E 关于直线 AC 点 E',连接 BE'交 AC 于点 H.则点 H 即为符合
条件的点.
【解答】(1)证明:在 Rt△ABC 中,∠BAC=30°,E 为 AB 边的中点,
∴BC=EA,∠ABC=60°.
∵△DEB 为等边三角形,
∴DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°,
∴∠DEA=120°,∠DBC=120°,
∴∠DEA=∠DBC
∴△ADE≌△CDB.
(2)解:如图,作点 E 关于直线 AC 点 E',连接 BE'交 AC 于点 H.
则点 H 即为符合条件的点.
由作图可知:EH=HE',AE'=AE,∠E'AC=∠BAC=30°.
∴∠EAE'=60°,
∴△EAE'为等边三角形,
∴ ,
∴∠AE'B=90°,
在 Rt△ABC 中,∠BAC=30°, ,
∴ , ,
∴ ,
∴BH+EH 的最小值为 3.
49.(2018•长春)图①、图②均是 8×8 的正方形网格,每个小正方形的顶点称
为格点,线段 OM、ON 的端点均在格点上.在图①、图②给定的网格中以 OM、
ON 为邻边各画一个四边形,使第四个顶点在格点上.要求:
(1)所画的两个四边形均是轴对称图形.
(2)所画的两个四边形不全等.
【分析】利用轴对称图形性质,以及全等四边形的定义判断即可.
【解答】解:如图所示:
50.(2018•广东)如图,矩形 ABCD 中,AB>AD,把矩形沿对角线 AC 所在直
线折叠,使点 B 落在点 E 处,AE 交 CD 于点 F,连接 DE.
(1)求证:△ADE≌△CED;
(2)求证:△DEF 是等腰三角形.
【分析】(1)根据矩形的性质可得出 AD=BC、AB=CD,结合折叠的性质可得出
AD=CE、AE=CD,进而即可证出△ADE≌△CED(SSS);
(2)根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF,利用等边对等角可得出 EF=DF,
由此即可证出△DEF 是等腰三角形.
【解答】证明:(1)∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD=BC,AB=CD.
由折叠的性质可得:BC=CE,AB=AE,
∴AD=CE,AE=CD.
在△ADE 和△CED 中, ,
∴△ADE≌△CED(SSS).
(2)由(1)得△ADE≌△CED,
∴∠DEA=∠EDC,即∠DEF=∠EDF,
∴EF=DF,
∴△DEF 是等腰三角形.