中考数学一模试卷含解析361 14页

‎2016年江西省萍乡市中考数学一模试卷 一、选择题（每题3分）‎ ‎1．若x与2互为相反数，则|x+2|的值是（　　）‎ A．﹣2 B．0 C．2 D．4‎ ‎2．下列计算正确的是（　　）‎ A．a+a2=a3 B．a6b÷a2=a3b C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．（﹣ab3）2=a2b6‎ ‎3．用三个正方体，一个圆柱体，一个圆锥的积木摆成如图※所示的几何体，其正视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在同一直角坐标系中，函数y=3x与图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）‎ A．30° B．20° C．15° D．14°‎ ‎6．在半径为10的⊙O内有一点P，OP=6，在过点P的弦中，长度为整数的弦的条数为（　　）‎ A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 ‎　‎ 二、填空题（每题3分）‎ ‎7．请你写出三个大于1的无理数：______．‎ ‎8．某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：℃）：28，29，31，29，32，对于这组数据，众数是______，中位数是______，极差是______．‎ ‎9．若m是关于x的方程x2+nx+m=0的根，且m≠0，则m+n=______．‎ ‎10．如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则点C的坐标为______．‎ ‎11．如图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，则第5个三角形的面积为______，第n个三角形的面积为______．‎ ‎12．如图，斜边长12cm，∠A=30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为______cm．（结果保留根号）‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎13．（1）计算：（﹣2）2+（）﹣1+﹣‎ ‎（2）解方程： +2=．‎ ‎14．先化简，再求值：÷（x﹣），其中x=+1．‎ ‎15．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎16．广安市积极开展“阳光体育进校园”活动，各校学生坚持每天锻炼一小时．某校根据实际，决定主要开设A：乒乓球，B：篮球，C：跑步，D：跳绳四种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图．请你结合图中信息解答下列问题．‎ ‎（1）样本中最喜欢B项目的人数百分比是______，其所在扇形图中的圆心角的度数是______；‎ ‎（2）请把统计图补充完整；‎ ‎（3）已知该校有1200人，请根据样本估计全校最喜欢乒乓球的人数是多少？‎ ‎17．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合（折痕为EF），剪去不折叠的部分．‎ ‎（1）观察：图中不重叠的两部分（即△ADF与△AB′E′）是否全等？请说明理由；‎ ‎（2）思考：将重叠部分展开，得到的四边形是什么四边形？并证明你的结论．‎ ‎18．某单位A，B，C，D四人随机分成两组赴北京，上海学习，每组两人．‎ ‎（1）求A去北京的概率；‎ ‎（2）用列表法（或树状图法）求A，B都去北京的概率；‎ ‎（3）求A，B分在同一组的概率．‎ ‎19．某广场的旗杆AB旁边有一个半圆的时钟模型，如图所示，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，半圆的半径2米，旗杆的底端A到钟面9点刻度C的距离为5米，一天李华同学观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到时钟的11点的刻度上，同时测得一米长的标杆的影长1.6米，‎ ‎（1）计算时钟的9点转到11点时的旋转角是多少度？‎ ‎（2）求旗杆AB的高度．（精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）‎ ‎20．甲、乙两组同学玩“两人背夹球”比赛，即：每组两名同学用背部夹着球跑完规定的路程，若途中球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲组两位同学掉了球；乙组两位同学则顺利跑完．设比赛距出发点用y表示，单位是米；比赛时间用x表示，单位是秒．两组同学比赛过程用图象表示如下．‎ ‎（1）这是一次______米的背夹球比赛，获胜的是______组同学；‎ ‎（2）请直接写出线段AB的实际意义；‎ ‎（3）求出C点坐标并说明点C的实际意义．‎ ‎21．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．‎ ‎（1）求证：AP是⊙O的切线；‎ ‎（2）求PD的长；‎ ‎（3）求PA，PD及围成的图形（即阴影部分）的面积．‎ ‎22．已知：抛物线y=ax2+bx与x铀的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O为坐标原点．‎ ‎（1）证明：△OAB为等边三角形；‎ ‎（2）若△OAB的内切圆半径为1，求出抛物线的解析式；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点P，使△POB是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎23．如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．‎ ‎（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；‎ ‎（2）如图2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，s有最大值，最大值是多少？‎ ‎（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标？‎ ‎　‎ ‎2016年江西省萍乡市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每题3分）‎ ‎1．若x与2互为相反数，则|x+2|的值是（　　）‎ A．﹣2 B．0 C．2 D．4‎ ‎【考点】相反数；绝对值．‎ ‎【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得x的值，根据0的绝对值是它本身，可得答案．‎ ‎【解答】解：由x与2互为相反数，得 x=﹣2．‎ ‎|x+2|=|0|=0，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．下列计算正确的是（　　）‎ A．a+a2=a3 B．a6b÷a2=a3b C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．（﹣ab3）2=a2b6‎ ‎【考点】整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．‎ ‎【分析】根据同类项合并、整式的除法、完全平方公式和积的乘方判断即可．‎ ‎【解答】解：A、a与a2不能合并，错误；‎ B、a6b÷a2=a4b，错误；‎ C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，错误；‎ D、（﹣ab3）2=a2b6，正确；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．用三个正方体，一个圆柱体，一个圆锥的积木摆成如图※所示的几何体，其正视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】找到从正面看所得到的图形即可．‎ ‎【解答】解：从正面看时，下面是两个正方形，中间是一个矩形，上面是一个等腰三角形，故选A．‎ ‎　‎ ‎4．在同一直角坐标系中，函数y=3x与图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】反比例函数的图象；正比例函数的图象．‎ ‎【分析】分别根据正比例函数和反比例函数图象的性质解答即可．‎ ‎【解答】解：一次函数y=3x中k=3＞0，其图象在一、三象限；反比例函数y=﹣中，k=﹣1，其图象在二、四象限．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）‎ A．30° B．20° C．15° D．14°‎ ‎【考点】平行线的性质．‎ ‎【分析】延长两三角板重合的边与直尺相交，根据两直线平行，内错角相等求出∠2，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：如图，∠2=30°，‎ ‎∠1=∠3﹣∠2=45°﹣30°=15°．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．在半径为10的⊙O内有一点P，OP=6，在过点P的弦中，长度为整数的弦的条数为（　　）‎ A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 ‎【考点】垂径定理；勾股定理．‎ ‎【分析】过点P的弦有无数条，求出最长的和最短的弦，再判断长度为整数的条数．‎ ‎【解答】解：最长的弦是直径为20，最短的弦为16，‎ ‎∴长度为整数的弦还有19，18，17各2条，‎ ‎∴经过P点的所有弦中长度为整数的有8条，‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题3分）‎ ‎7．请你写出三个大于1的无理数：　，，π　．‎ ‎【考点】无理数．‎ ‎【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．‎ ‎【解答】解：写出三个大于1的无理数：，，π，‎ 故答案为：，，π．‎ ‎　‎ ‎8．某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：℃）：28，29，31，29，32，对于这组数据，众数是　29　，中位数是　29　，极差是　4　．‎ ‎【考点】极差；中位数；众数．‎ ‎【分析】根据众数、众位和极差的定义分别进行解答即可．‎ ‎【解答】解：∵29出现了2次，出现的次数最多，‎ ‎∴众数是29；‎ 把这些数从小到大排列为：28，29，29，31，32，最中间的数是29，‎ 则中位数是29；‎ 极差是32﹣28=4．‎ 故答案为：29，29，4．‎ ‎　‎ ‎9．若m是关于x的方程x2+nx+m=0的根，且m≠0，则m+n=　﹣1　．‎ ‎【考点】一元二次方程的解．‎ ‎【分析】将m代入x2+nx+m=0，得m2+nm+m=0，再适当变形整理即可．‎ ‎【解答】解：把m代入x2+nx+m=0，得m2+nm+m=0，‎ ‎∴m（m+n+1）=0，‎ 又∵m≠0，∴m+n+1=0，‎ ‎∴m+n=﹣1．‎ ‎　‎ ‎10．如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则点C的坐标为　（3，6）　．‎ ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】设B、D两点的坐标分别为（1，y）、（x，2），再根据点B与点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上求出xy的值，进而可得出C的坐标．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，顶点A的坐标为（1，2），‎ ‎∴设B、D两点的坐标分别为（1，y）、（x，2），‎ ‎∵点B与点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，‎ ‎∴y=6，x=3，‎ ‎∴点C的坐标为（3，6）．‎ 故答案为：（3，6）．‎ ‎　‎ ‎11．如图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，则第5个三角形的面积为　　，第n个三角形的面积为　　．‎ ‎【考点】勾股定理．‎ ‎【分析】这是一个规律性题目，第一个三角形的斜边正好是第二个三角形的直角边，依次进行下去，且有一个直角边的边长为1．从而可求出面积，得出规律即可．‎ ‎【解答】解：根据勾股定理：‎ 第一个三角形中：OA12=1+1，S1=1×1÷2=；‎ 第二个三角形中：OA22=OA12+1=1+1+1，S2=OA1×1÷2=×1÷2=；‎ 第三个三角形中：OA32=OA22+1=1+1+1+1，S3=OA2×1÷2=×1÷2=；‎ ‎…‎ ‎∴第5个三角形的面积=‎ 第n个三角形的面积Sn=．‎ 故答案为：，．‎ ‎　‎ ‎12．如图，斜边长12cm，∠A=30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为　　cm．（结果保留根号）‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；平移的性质；旋转的性质．‎ ‎【分析】首先根据题意作图，然后连接B′B″，由在Rt△ABC中，AB=12，∠A=30°，即可求得AC与BC的值，则可得AB′的值，又由B′C∥B″C″，B′C=B″C″，四边形B″C″CB′是矩形，可得△AB″B′∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：如图：连接B′B″，‎ ‎∵在Rt△ABC中，AB=12，∠A=30°，‎ ‎∴BC=AB=6，AC=6，‎ ‎∴B′C=6，‎ ‎∴AB′=AC﹣B′C=6﹣6，‎ ‎∵B′C∥B″C″，B′C=B″C″，‎ ‎∴四边形B″C″CB′是矩形，‎ ‎∴B″B′∥BC，B″B′=C″C，‎ ‎∴△AB″B′∽△ABC，‎ ‎∴，‎ 即：，‎ 解得：B″B′=6﹣2．‎ ‎∴C″C=B″B′=6﹣2．‎ 故答案为：6﹣2．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎13．（1）计算：（﹣2）2+（）﹣1+﹣‎ ‎（2）解方程： +2=．‎ ‎【考点】实数的运算；解分式方程．‎ ‎【分析】（1）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用立方根定义计算，最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果；‎ ‎（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：（1）原式=4+2﹣2﹣3=1；‎ ‎（2）去分母得：1﹣x+2x﹣4=﹣1，‎ 解得：x=2，‎ 经检验x=2是增根，分式方程无解．‎ ‎　‎ ‎14．先化简，再求值：÷（x﹣），其中x=+1．‎ ‎【考点】分式的化简求值．‎ ‎【分析】先算括号里面的，再算除法，把分式化为最简分式，把x的值代入进行计算即可．‎ ‎【解答】解：原式=÷‎ ‎=•‎ ‎=，‎ 当x=+1时，原式==．‎ ‎　‎ ‎15．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：解不等式①，得：x≥2，‎ 解不等式②，得：x＜6，‎ 所以原不等式组的解集为：2≤x＜6，‎ 数轴上表示解集如图：‎ ‎　‎ ‎16．广安市积极开展“阳光体育进校园”活动，各校学生坚持每天锻炼一小时．某校根据实际，决定主要开设A：乒乓球，B：篮球，C：跑步，D：跳绳四种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图．请你结合图中信息解答下列问题．‎ ‎（1）样本中最喜欢B项目的人数百分比是　20%　，其所在扇形图中的圆心角的度数是　72°　；‎ ‎（2）请把统计图补充完整；‎ ‎（3）已知该校有1200人，请根据样本估计全校最喜欢乒乓球的人数是多少？‎ ‎【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．‎ ‎【分析】（1）分析统计图可知，样本中最喜欢B项目的人数百分比可用1减去其他项目所占的百分比求得，求出后再乘以360度即可求出度数；‎ ‎（2）根据（1）的计算结果补全图形；‎ ‎（3）用全校学生数×选乒乓球的学生所占百分比即可．‎ ‎【解答】解：（1）样本中最喜欢B项目的人数百分比是1﹣44%﹣8%﹣28%=20%，其所在扇形图中的圆心角的度数是360°×20%=72°．‎ ‎（2）B组人数44÷44%×20%=20人，画图如下：‎ ‎（3）1200×44%=528人，全校最喜欢乒乓球的人数大约是528人．‎ 故答案为：20%，72°．‎ ‎　‎ ‎17．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合（折痕为EF），剪去不折叠的部分．‎ ‎（1）观察：图中不重叠的两部分（即△ADF与△AB′E′）是否全等？请说明理由；‎ ‎（2）思考：将重叠部分展开，得到的四边形是什么四边形？并证明你的结论．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）．‎ ‎【分析】（1）利用两角夹边对应相等的两个三角形全等即可判定．‎ ‎（2）先证明四边形AECF是平行四边形，再证明邻边相等是菱形即可．‎ ‎【解答】解：（1）结论：△ADF≌△AB′E．‎ 理由：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠D=∠C=∠B′=90°，AD=CB=AB′，‎ ‎∵∠DAF+∠EAF=90°，∠B′AE+∠EAF=90°，‎ ‎∴∠DAF=∠B′AE，‎ 在△ADF和△AB′E中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADF≌△AB′E．‎ ‎（2）结论：四边形AECF是菱形．‎ 理由：连接CE，由折叠可知，AF=CF，‎ ‎∵△ADF≌△AB′E，‎ ‎∴AF=AE，AE=CF，‎ ‎∵AE∥CF，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ ‎∵AF=AE，‎ ‎∴四边形AECF是菱形．‎ ‎　‎ ‎18．某单位A，B，C，D四人随机分成两组赴北京，上海学习，每组两人．‎ ‎（1）求A去北京的概率；‎ ‎（2）用列表法（或树状图法）求A，B都去北京的概率；‎ ‎（3）求A，B分在同一组的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】（1）由某单位A，B，C，D四人随机分成两组赴北京，上海学习，直接利用概率公式求解即可求得答案；‎ ‎（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A，B都去北京的情况，再利用概率公式即可求得答案；‎ ‎（3）由（2）可求得A，B分在同一组的情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵某单位A，B，C，D四人随机分成两组赴北京，上海学习，‎ ‎∴A去北京的概率为：；‎ ‎（2）画树状图得：‎ ‎∵共有12种等可能的结果，A，B都去北京的有2种情况，‎ ‎∴A，B都去北京的概率为： =；‎ ‎（3）由（2）得：A，B分在同一组的有4种情况，‎ ‎∴A，B分在同一组的概率为： =．‎ ‎　‎ ‎19．某广场的旗杆AB旁边有一个半圆的时钟模型，如图所示，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，半圆的半径2米，旗杆的底端A到钟面9点刻度C的距离为5米，一天李华同学观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到时钟的11点的刻度上，同时测得一米长的标杆的影长1.6米，‎ ‎（1）计算时钟的9点转到11点时的旋转角是多少度？‎ ‎（2）求旗杆AB的高度．（精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用；旋转的性质．‎ ‎【分析】（1）根据钟表的一个大格是30°，从9点转到11点时针转过2个大格，列式计算即可得解．‎ ‎（2）过点D作DE⊥AC于E，作DF⊥AB于F，设半圆圆心为O，连接OD，解直角三角形求出DE，OE，然后求出DF，再根据同时同地的物高与影长成比例列式求出DF，然后根据AB=AF+DE计算即可得解．‎ ‎【解答】解：（1）从时钟的9点转到11点时时针转过2个大格，‎ 所以，2×30°=60°；‎ ‎（2）如图，过点D作DE⊥AC于E，作DF⊥AB于F，设半圆圆心为O，连接OD，‎ ‎∵点D在11点的刻度上，‎ ‎∴∠COD=60°，‎ ‎∴DE=OD•sin60°=2×=，‎ OE=OD•cos60°=2×=1，‎ ‎∴CE=2﹣1=1，‎ ‎∴DF=AE=5+1=6，‎ ‎∵同时测得一米长的标杆的影长1.6米，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BF==，‎ ‎∴AB=BF+DE=（+）≈5.5（米）．‎ 答：旗杆AB的高度约为5.5米．‎ ‎　‎ ‎20．甲、乙两组同学玩“两人背夹球”比赛，即：每组两名同学用背部夹着球跑完规定的路程，若途中球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲组两位同学掉了球；乙组两位同学则顺利跑完．设比赛距出发点用y表示，单位是米；比赛时间用x表示，单位是秒．两组同学比赛过程用图象表示如下．‎ ‎（1）这是一次　60　米的背夹球比赛，获胜的是　甲　组同学；‎ ‎（2）请直接写出线段AB的实际意义；‎ ‎（3）求出C点坐标并说明点C的实际意义．‎ ‎【考点】一次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）根据函数图象可得这是一次60米的背夹球比赛，获胜的是甲组同学；‎ ‎（2）因为从A到B的路程不变，所以甲组两位同学在比赛中掉了球，因为从A到B的时间为2秒，所以线段AB的实际意义是甲组两位同学在比赛中掉了球，耽误了2秒；‎ ‎（3）根据点F，G的坐标，求出直线FG的函数解析式，根据点D，E的坐标，求出直线DE的函数解析式，然后组成方程组，求方程组的解，即为C的坐标，即可解答．‎ ‎【解答】解：（1）根据函数图象可得这是一次60米的背夹球比赛，获胜的是甲组同学；‎ 故答案为：60，甲；‎ ‎（2）因为从A到B的路程不变，所以甲组两位同学在比赛中掉了球，因为从A到B的时间为2秒，所以线段AB的实际意义是甲组两位同学在比赛中掉了球，耽误了2秒．‎ ‎（3）设直线FG的函数解析式为：y=k1x+b1，‎ 把F（12，30），G（26，0）代入y=k1x+b1 得：，‎ 解得：，‎ ‎∴直线FG的函数解析式为：y=﹣；‎ 设直线DE的函数解析式为：y=k2x+b2，‎ 把D（14，30），E（24，0）代入y=k1x+b1 得：，‎ 解得：，‎ ‎∴直线DE的函数解析式为：y=﹣3x+72，‎ ‎∴得到方程组，‎ 解得：‎ ‎∴C的坐标（19，15）‎ ‎∴说明点C的实际意义是当比赛进行到19秒时，甲、乙两组同学离终点均为15米．‎ ‎　‎ ‎21．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．‎ ‎（1）求证：AP是⊙O的切线；‎ ‎（2）求PD的长；‎ ‎（3）求PA，PD及围成的图形（即阴影部分）的面积．‎ ‎【考点】切线的判定；扇形面积的计算．‎ ‎【分析】（1）连接OA，AD，根据圆周角定理得到∠ADO=∠B=60°，∠DAC=90°，由三角形的内角和得到∠ACD=30°，根据等腰三角形的性质得到∠P=∠ACP=30°，∠ACO=∠CAO=30°，即可得到结论；‎ ‎（2）由已知条件得到PA=AC=3，解直角三角形得到AO=AP=，求得PO=2AO=2，于是得到结论；‎ ‎（3）根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OA，AD，‎ ‎∵∠B=60°，‎ ‎∴∠ADO=∠B=60°，‎ ‎∵CD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠DAC=90°，‎ ‎∴∠ACD=30°，‎ ‎∵AP=AC，‎ ‎∴∠P=∠ACP=30°，‎ ‎∵AO=OC，‎ ‎∴∠ACO=∠CAO=30°，‎ ‎∴∠PAC=120°，∴∠PAO=90°，‎ ‎∴AP是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵AC=3‎ ‎∴PA=AC=3，‎ ‎∴AO=AP=，‎ ‎∴PO=2AO=2，‎ ‎∴PD=PO﹣OD=；‎ ‎（3）解：S阴影=S△AOP﹣S扇形AOD=×3×﹣=﹣．‎ ‎　‎ ‎22．已知：抛物线y=ax2+bx与x铀的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O为坐标原点．‎ ‎（1）证明：△OAB为等边三角形；‎ ‎（2）若△OAB的内切圆半径为1，求出抛物线的解析式；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点P，使△POB是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）根据直线OA的斜率不难得到∠AOB=60°，根据抛物线的对称性可知AB=OA，由此得证．‎ ‎（2）由于抛物线的开口方向不确定，因此分a＞0和a＜0两种情况求解．以a＜0为例说明：‎ 可设三角形AOB的内心为I，过A作AC⊥OB，则I必在AC上，连接IO，在构建的直角三角形IOC中，∠‎ IOC=30°，已知了IC=1，即可求出OC和IO的长，也就能求出B点和A点的坐标，然后将这两点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．（a＞0时，解法完全相同）．‎ ‎（3）如果△POB是直角三角形，那么如果过P作x轴的垂线，根据射影定理即可得出P点纵坐标绝对值的平方等于P点横坐标绝对值和P、B两点横坐标差的绝对值的乘积．然后联立抛物线的解析式即可求出P点坐标．‎ ‎【解答】（1）证明：作AC⊥OB于点C；‎ ‎∵点A在直线y=x上，设A（x， x）．‎ 在直角三角形OAC中，tan∠AOC===，‎ ‎∴∠AOC=60°‎ 由抛物线的对称性可知：OA=AB，‎ ‎∴△AOB为等边三角形．‎ ‎（2）解：当a＜0时，设△AOB的内心为I，则∠IOC=30°，在直角三角形IOC中，‎ ‎∵IC=1，OC=．‎ ‎∴抛物线的对称轴x=﹣=，‎ ‎∴a=﹣1，b=2．‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x．‎ 当a＞0时，同法可求，另一条抛物线的解析式为y=x2+2x．‎ ‎（3）解：易知：抛物线与x轴的两交点为O（0，0），B（﹣，0）．‎ 且顶点A（﹣，﹣）在直线y=x上，‎ ‎∴﹣=（﹣），‎ 解得b=2，b=0（舍去）．‎ ‎∴B（﹣，0）‎ 抛物线的解析式为y=ax2+2x．‎ 假设存在符合条件的点P（m，n）．‎ 过点P做PD⊥OB于D，则根据射影定理有：‎ PD2=OD•BD；‎ 由题意知：y=ax2+2x，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎，‎ ‎∴存在符合条件的P点，且坐标为：P（，﹣）或（，﹣）．‎ ‎　‎ ‎23．如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．‎ ‎（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；‎ ‎（2）如图2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，s有最大值，最大值是多少？‎ ‎（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标？‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）根据折叠的性质可知：AE=OA，OD=DE，那么可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出BE的长，进而可求出CE的长，也就得出了E点的坐标．‎ 在直角三角形CDE中，CE长已经求出，CD=OC﹣OD=4﹣OD，DE=OD，用勾股定理即可求出OD的长，也就求出了D点的坐标．‎ ‎（2）很显然四边形PMNE是个矩形，可用时间t表示出AP，PE的长，然后根据相似三角形APM和AED求出PM的长，进而可根据矩形的面积公式得出S，t的函数关系式，根据函数的性质即可得出S的最大值及对应的t的值．‎ ‎（3）本题要分两种情况进行讨论：‎ ‎①ME=MA时，此时MP为三角形ADE的中位线，那么AP=，据此可求出t的值，过M作MF⊥OA于F，那么MF也是三角形AOD的中位线，M点的横坐标为A点横坐标的一半，纵坐标为D点纵坐标的一半．由此可求出M的坐标．‎ ‎②当MA=AE时，先在直角三角形OAD中求出斜边AD的长，然后根据相似三角形AMP和ADE来求出AP，MP的长，也就能求出t的值．根据折叠的性质，此时AF=AP，MF=MP，也就求出了M的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，‎ ‎∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4．‎ BE==3．‎ ‎∴CE=2．‎ ‎∴E点坐标为（2，4）．‎ 在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，‎ 又∵DE=OD．‎ ‎∴（4﹣OD）2+22=OD2．‎ 解得：OD=．‎ ‎∴D点坐标为（0，）．‎ ‎（2）如图②∵PM∥ED，‎ ‎∴△APM∽△AED．‎ ‎∴，‎ 又知AP=t，ED=，AE=5，‎ PM=×=，‎ 又∵PE=5﹣t．‎ 而显然四边形PMNE为矩形．‎ S矩形PMNE=PM•PE=×（5﹣t）=﹣t2+t；‎ ‎∴S四边形PMNE=﹣（t﹣）2+，‎ 又∵0＜＜5．‎ ‎∴当t=时，S矩形PMNE有最大值．‎ ‎（3）（i）若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA（如图①）‎ 在Rt△AED中，ME=MA，‎ ‎∵PM⊥AE，‎ ‎∴P为AE的中点，‎ ‎∴t=AP=AE=．‎ 又∵PM∥ED，‎ ‎∴M为AD的中点．‎ 过点M作MF⊥OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，‎ ‎∴MF=OD=，OF=OA=，‎ ‎∴当t=时，（0＜＜5），△AME为等腰三角形．‎ 此时M点坐标为（，）．‎ ‎（ii）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图②）‎ 在Rt△AOD中，AD===．‎ 过点M作MF⊥OA，垂足为F．‎ ‎∵PM∥ED，‎ ‎∴△APM∽△AED．‎ ‎∴．‎ ‎∴t=AP===2，‎ ‎∴PM=t=．‎ ‎∴MF=MP=，OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2，‎ ‎∴当t=2时，（0＜2＜5），此时M点坐标为（5﹣2，）．‎ 综合（i）（ii）可知，t=或t=2时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，‎ 相应M点的坐标为（，）或（5﹣2，）．‎