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  • 2021-05-10 发布

中考数学压轴专题 二次函数类

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中考数学压轴专题 二次函数类 ‎1、已知二次函数过点A (0,),B(,0),C().‎ ‎(1)求此二次函数的解析式;‎ ‎(2)判断点M(1,)是否在直线AC上?‎ 图8‎ ‎(3)过点M(1,)作一条直线与二次函数的图象交于E、F两点(不同于A,B,C三点),请自已给出E点的坐标,并证明△BEF是直角三角形.‎ 解析:‎ ‎(1)设二次函数的解析式为(), ‎ 把A (0,),B(,0),C()代入得 解得 a=2 , b=0 , c=-2,‎ ‎∴ 3分 ‎(2)设直线AC的解析式为 ,‎ 把A (0,-2),C()代入得 ‎,解得 ,∴‎ 当x=1时, ∴M(1,)在直线AC上 5分 ‎(3)设E点坐标为(),则直线EM的解析式为 由 化简得,即,‎ ‎∴F点的坐标为(). 6分 过E点作EH⊥x轴于H,则H的坐标为().‎ ‎∴ ∴,‎ 类似地可得 ,‎ ‎, 9分 ‎∴,∴△BEF是直角三角形. 10分 ‎2、(09益阳)阅读材料:‎ 如图12-1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.‎ 解答下列问题:‎ 如图12-2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.‎ ‎(1)求抛物线和直线AB的解析式;‎ ‎(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及;‎ 图12-2‎ x C O y A B D ‎1‎ ‎1‎ ‎(3)是否存在一点P,使S△PAB=S△CAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:‎ ‎(1)设抛物线的解析式为: 1分 把A(3,0)代入解析式求得 所以 3分 设直线AB的解析式为:‎ 由求得B点的坐标为 4分 把,代入中 解得:‎ 所以 6分 ‎(2)因为C点坐标为(1,4)‎ 所以当x=1时,y1=4,y2=2‎ 所以CD=4-2=2 8分 ‎(平方单位) 10分 ‎(3)假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为x,△PAB的铅垂高为h,‎ 则 12分 由S△PAB=S△CAB 得:‎ 化简得:‎ 解得,‎ 将代入中,‎ 解得P点坐标为 14分 ‎3、(07龙岩)“便民”水泥代销点销售某种水泥,每吨进价为250元.如果每吨销售价定为290元时,平均每天可售出16吨.‎ ‎(1)若代销点采取降低促销的方式,试建立每吨的销售利润(元)与每吨降低(元)之间的函数关系式.‎ ‎(2)若每吨售价每降低5元,则平均每天能多售出4吨.问:每吨水泥的实际售价定为多少元时,每天的销售利润平均可达720元.‎ 解:‎ ‎(1)依题意,得 5分 ‎(2)依题意,得 8分 解得 11分 ‎ 12分 答:每吨水泥的实际售价应定为元时,每天的销售利润平均可达720元. 13分 注:第(1)题中函数关系式写为者不扣分.‎ A B C N M P A B C N M P A B C N M P 图24—1‎ 图24—2‎ 图24—3‎ ‎4、(07龙岩)如图24-1,在中,,,.是边上的动点(不与重合),交于点,关于的对称图形是.设.‎ ‎(1)用含的式子表示的面积(不必写出过程);‎ ‎(2)当为何值时,点恰好落在边上;‎ ‎(3)在动点的运动过程中,记与梯形重叠部分的面积为,试求关于的函数关系式;并求为何值时,重叠部分的面积最大,最大面积是多少?‎ 解:‎ ‎(1) 3分 ‎(2)如图24-2,由轴对称性质知:, 4分 A B C N M P 图 A B C N M P 图 又,, 5分 ‎ 6分 点是中点,即当时,点恰好落在边上. 7分 ‎(3)i)以下分两种情况讨论:‎ ‎①当时,易见 8分 ‎②当时,如图24-3,设,分别交于、,‎ 由(2)知 由题意知 ‎ ‎ (此步无写不扣分)10分 ii)当时, 易知 11分 又当时,‎ 当时(符合), 12分 综上所述,当时,重叠部分的面积最大,其值为. 13分 ‎5、(07龙岩)如图,抛物线经过的三个顶点,已知轴,点在轴上,点在轴上,且.‎ ‎(1)求抛物线的对称轴;‎ ‎(2)写出三点的坐标并求抛物线的解析式;‎ ‎(3)探究:若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点,是否存在是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点坐标;不存在,请说明理由.‎ A C B y x ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ 解:‎ ‎(1)抛物线的对称轴 2分 ‎(2) 5分 把点坐标代入中,解得 6分 A C B x ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ Q N M K y ‎ 7分 ‎(3)存在符合条件的点共有3个.以下分三类情形探索.‎ 设抛物线对称轴与轴交于,与交于.‎ 过点作轴于,易得,,,‎ ① 以为腰且顶角为角的有1个:.‎ ‎ 8分 在中,‎ ‎ 9分 ‎②以为腰且顶角为角的有1个:.‎ 在中, 10分 ‎ 11分 ‎③以为底,顶角为角的有1个,即.‎ 画的垂直平分线交抛物线对称轴于,此时平分线必过等腰的顶点.‎ 过点作垂直轴,垂足为,显然.‎ ‎.‎ ‎ 于是 13分 ‎ 14分 注:第(3)小题中,只写出点的坐标,无任何说明者不得分.‎ ‎5、(06 烟台)如图,已知抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点.‎ ‎(1)若抛物线l2与l1关于x轴对称,求l2的解析式;‎ ‎(2)若点B是抛物线l1上的一动点(B不与A、C重合),以AC为对角线,A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D,求证:点D在l2上;‎ ‎(3)探索:当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时,平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值?若存在,判断它是何种特殊平行四边形,并求出它的面积;若不存在,请说明理由。‎ 解析:‎ 设l2的解析式为y=a(x-h)2+k ‎∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),l1与l2关于x轴对称,‎ ‎∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,4)‎ ‎∴y=ax2+4‎ ‎∴0=‎4a+4 得 a=-1‎ ‎∴l2的解析式为y=-x2+4‎ ‎(2)设B(x1 ,y1)‎ ‎∵点B在l1上 ‎∴B(x1 ,x12-4) ‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,A、C关于O对称 ‎∴B、D关于O对称 ‎∴D(-x1 ,-x12+4).‎ 将D(-x1 ,-x12+4)的坐标代入l2:y=-x2+4‎ ‎∴左边=右边 ‎∴点D在l2上.‎ ‎(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则 S=2S△ABC =AC|y1|=4|y1|‎ A).当点B在x轴上方时,y1>0‎ ‎∴S=4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大,‎ ‎∴S既无最大值也无最小值 B).当点B在x轴下方时,-4≤y1<0‎ ‎∴S=-4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小,‎ ‎∴当y1 =-4时,S由最大值16,但他没有最小值 此时B(0,-4)在y轴上,它的对称点D也在y轴上.‎ ‎∴AC⊥BD ‎∴平行四边形ABCD是菱形此时S最大=16.‎ ‎8、(06潍坊)已知二次函数图象的顶点在原点,对称轴为轴.一次函数的图象与二次函数的图象交于两点(在的左侧),且点坐标为.平行于轴的直线过点.‎ ‎(1)求一次函数与二次函数的解析式;‎ ‎(2)判断以线段为直径的圆与直线的位置关系,并给出证明;‎ ‎(3)把二次函数的图象向右平移个单位,再向下平移个单位,二次函数的图象与轴交于两点,一次函数图象交轴于点.当为何值时,过三点的圆的面积最小?最小面积是多少?‎ 解析:‎ ‎(1)把代入得,‎ 一次函数的解析式为;‎ 二次函数图象的顶点在原点,对称轴为轴,‎ 设二次函数解析式为,‎ 把代入得,‎ 二次函数解析式为. 3分 ‎(2)由 解得或,‎ ‎,‎ 过点分别作直线的垂线,垂足为,‎ 则,‎ 直角梯形的中位线长为,‎ 过作垂直于直线于点,则,,‎ ‎,‎ 的长等于中点到直线的距离的2倍,‎ 以为直径的圆与直线相切.‎ ‎(3)平移后二次函数解析式为,‎ 令,得,,,‎ 过三点的圆的圆心一定在直线上,点为定点,‎ 要使圆面积最小,圆半径应等于点到直线的距离,‎ 此时,半径为2,面积为,‎ 设圆心为中点为,连,则,‎ 在三角形中,,‎ ‎,而,‎ ‎,‎ 当时,过三点的圆面积最小,最小面积为.‎