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- 2021-05-10 发布
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中考数学压轴专题 二次函数类
1、已知二次函数过点A (0,),B(,0),C().
(1)求此二次函数的解析式;
(2)判断点M(1,)是否在直线AC上?
图8
(3)过点M(1,)作一条直线与二次函数的图象交于E、F两点(不同于A,B,C三点),请自已给出E点的坐标,并证明△BEF是直角三角形.
解析:
(1)设二次函数的解析式为(),
把A (0,),B(,0),C()代入得
解得 a=2 , b=0 , c=-2,
∴ 3分
(2)设直线AC的解析式为 ,
把A (0,-2),C()代入得
,解得 ,∴
当x=1时, ∴M(1,)在直线AC上 5分
(3)设E点坐标为(),则直线EM的解析式为
由 化简得,即,
∴F点的坐标为(). 6分
过E点作EH⊥x轴于H,则H的坐标为().
∴ ∴,
类似地可得 ,
, 9分
∴,∴△BEF是直角三角形. 10分
2、(09益阳)阅读材料:
如图12-1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题:
如图12-2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及;
图12-2
x
C
O
y
A
B
D
1
1
(3)是否存在一点P,使S△PAB=S△CAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)设抛物线的解析式为: 1分
把A(3,0)代入解析式求得
所以 3分
设直线AB的解析式为:
由求得B点的坐标为 4分
把,代入中
解得:
所以 6分
(2)因为C点坐标为(1,4)
所以当x=1时,y1=4,y2=2
所以CD=4-2=2 8分
(平方单位) 10分
(3)假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为x,△PAB的铅垂高为h,
则 12分
由S△PAB=S△CAB
得:
化简得:
解得,
将代入中,
解得P点坐标为 14分
3、(07龙岩)“便民”水泥代销点销售某种水泥,每吨进价为250元.如果每吨销售价定为290元时,平均每天可售出16吨.
(1)若代销点采取降低促销的方式,试建立每吨的销售利润(元)与每吨降低(元)之间的函数关系式.
(2)若每吨售价每降低5元,则平均每天能多售出4吨.问:每吨水泥的实际售价定为多少元时,每天的销售利润平均可达720元.
解:
(1)依题意,得 5分
(2)依题意,得 8分
解得 11分
12分
答:每吨水泥的实际售价应定为元时,每天的销售利润平均可达720元. 13分
注:第(1)题中函数关系式写为者不扣分.
A
B
C
N
M
P
A
B
C
N
M
P
A
B
C
N
M
P
图24—1
图24—2
图24—3
4、(07龙岩)如图24-1,在中,,,.是边上的动点(不与重合),交于点,关于的对称图形是.设.
(1)用含的式子表示的面积(不必写出过程);
(2)当为何值时,点恰好落在边上;
(3)在动点的运动过程中,记与梯形重叠部分的面积为,试求关于的函数关系式;并求为何值时,重叠部分的面积最大,最大面积是多少?
解:
(1) 3分
(2)如图24-2,由轴对称性质知:, 4分
A
B
C
N
M
P
图
A
B
C
N
M
P
图
又,, 5分
6分
点是中点,即当时,点恰好落在边上. 7分
(3)i)以下分两种情况讨论:
①当时,易见 8分
②当时,如图24-3,设,分别交于、,
由(2)知
由题意知
(此步无写不扣分)10分
ii)当时, 易知 11分
又当时,
当时(符合), 12分
综上所述,当时,重叠部分的面积最大,其值为. 13分
5、(07龙岩)如图,抛物线经过的三个顶点,已知轴,点在轴上,点在轴上,且.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)写出三点的坐标并求抛物线的解析式;
(3)探究:若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点,是否存在是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点坐标;不存在,请说明理由.
A
C
B
y
x
0
1
1
解:
(1)抛物线的对称轴 2分
(2) 5分
把点坐标代入中,解得 6分
A
C
B
x
0
1
1
Q
N
M
K
y
7分
(3)存在符合条件的点共有3个.以下分三类情形探索.
设抛物线对称轴与轴交于,与交于.
过点作轴于,易得,,,
① 以为腰且顶角为角的有1个:.
8分
在中,
9分
②以为腰且顶角为角的有1个:.
在中, 10分
11分
③以为底,顶角为角的有1个,即.
画的垂直平分线交抛物线对称轴于,此时平分线必过等腰的顶点.
过点作垂直轴,垂足为,显然.
.
于是 13分
14分
注:第(3)小题中,只写出点的坐标,无任何说明者不得分.
5、(06 烟台)如图,已知抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点.
(1)若抛物线l2与l1关于x轴对称,求l2的解析式;
(2)若点B是抛物线l1上的一动点(B不与A、C重合),以AC为对角线,A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D,求证:点D在l2上;
(3)探索:当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时,平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值?若存在,判断它是何种特殊平行四边形,并求出它的面积;若不存在,请说明理由。
解析:
设l2的解析式为y=a(x-h)2+k
∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),l1与l2关于x轴对称,
∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,4)
∴y=ax2+4
∴0=4a+4 得 a=-1
∴l2的解析式为y=-x2+4
(2)设B(x1 ,y1)
∵点B在l1上
∴B(x1 ,x12-4)
∵四边形ABCD是平行四边形,A、C关于O对称
∴B、D关于O对称
∴D(-x1 ,-x12+4).
将D(-x1 ,-x12+4)的坐标代入l2:y=-x2+4
∴左边=右边
∴点D在l2上.
(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则
S=2S△ABC =AC|y1|=4|y1|
A).当点B在x轴上方时,y1>0
∴S=4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大,
∴S既无最大值也无最小值
B).当点B在x轴下方时,-4≤y1<0
∴S=-4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小,
∴当y1 =-4时,S由最大值16,但他没有最小值
此时B(0,-4)在y轴上,它的对称点D也在y轴上.
∴AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形此时S最大=16.
8、(06潍坊)已知二次函数图象的顶点在原点,对称轴为轴.一次函数的图象与二次函数的图象交于两点(在的左侧),且点坐标为.平行于轴的直线过点.
(1)求一次函数与二次函数的解析式;
(2)判断以线段为直径的圆与直线的位置关系,并给出证明;
(3)把二次函数的图象向右平移个单位,再向下平移个单位,二次函数的图象与轴交于两点,一次函数图象交轴于点.当为何值时,过三点的圆的面积最小?最小面积是多少?
解析:
(1)把代入得,
一次函数的解析式为;
二次函数图象的顶点在原点,对称轴为轴,
设二次函数解析式为,
把代入得,
二次函数解析式为. 3分
(2)由
解得或,
,
过点分别作直线的垂线,垂足为,
则,
直角梯形的中位线长为,
过作垂直于直线于点,则,,
,
的长等于中点到直线的距离的2倍,
以为直径的圆与直线相切.
(3)平移后二次函数解析式为,
令,得,,,
过三点的圆的圆心一定在直线上,点为定点,
要使圆面积最小,圆半径应等于点到直线的距离,
此时,半径为2,面积为,
设圆心为中点为,连,则,
在三角形中,,
,而,
,
当时,过三点的圆面积最小,最小面积为.