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- 2021-05-10 发布
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2017年江苏省徐州市中考数学一模试卷
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
1.﹣3的相反数是( )
A.﹣3 B.3 C. D.
2.下列运算正确的是( )
A.﹣= B.(﹣3)2=6 C.3a4﹣2a2=a2 D.(﹣a3)2=a5
3.地球的平均半径约为637100米,该数字用科学记数法可表示为( )
A.6371×103 B.0.6371×107 C.6.371×105 D.6.371×106
4.下列事件:①在体育中考中,小明考了满分;②经过有交通信号灯的路口,遇到红灯;③抛掷两枚正方体骰子,点数和大于1;④度量任一三角形,其外角和都是180°,其中必然事件是( )
A.① B.② C.③ D.④
5.如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体,其俯视图是( )
A. B. C. D.
6.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A.等腰直角三角形 B.正三角形
C.平行四边形 D.矩形
7.如图,AB是⊙O直径,若∠D=30°,则∠AOE的度数是( )
A.30° B.60° C.100° D.120°
8.若一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象如图所示,则关于x的不等式kx+b﹣≤﹣2的解集为( )
A.0<x≤2或x≤﹣4 B.﹣4≤x<0或x≥2
C.≤x<0或x D.x或0
二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
9.4是 的算术平方根.
10.一组数据:3,4,3,5,7,这组数据的中位数是 .
11.若二次根式有意义,则x的取值范围是 .
12.如图,点I是△ABC的内心,∠BIC=126°,则∠BAC= °.
13.一元二次方程2x2+ax+2=0的一个根是x=2,则它的另一个根是 .
14.正六边形的周长是12,那么这个正六边形的面积是 .
15.如图,AB是⊙O的直径,DC是⊙O相切于点C,若∠D=30°,OA=2,则CD= .
16.用半经为30,圆周角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,那么这个圆锥的底面圆半径是 .
17.一列数a1,a2,a3,…满足条件:a1=,an=(n≥2,且n为整数),则a2017= .
18.如图所示,已知点N(1,0),直线y=﹣x+2与两坐标轴分别交于A,B两点,M,P分别是线段OB,AB上的动点,则PM+MN的最小值是 .
三、解答题(本大题共有10小题,共86分)
19.(1)计算:﹣(3﹣π)0﹣|﹣3+2|;
(2)计算:÷(1+)
20.(1)解方程:x2+4x﹣5=0;
(2)解不等式组.
21.为了提高科技创新意识,我市某中学举行了“2016年科技节”活动,其中科技比赛包括“航模”、“机器人”、“环保”“建模”四个类别(每个学生只能参加一个类别的比赛),各类别参赛人数统计如图:
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)全体参赛的学生共有 人;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)“建模”在扇形统计图中的圆心角是 °.
22.一个盒子里有标号分别为1,2,3,4的四个球,这些球除标号数字外都相同.
(1)从盒中随机摸出一个小球,求摸到标号数字为奇数的球的概率;
(2)甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏,规则是:甲从盒中随机摸出一个小球,记下标号数字后放回盒里,充分摇匀后,乙再从盒中随机摸出一个小球,并记下标号数字.若两次摸到球的标号数字同为奇数或同为偶数,则判甲赢;若两次摸到球的标号数字为一奇一偶,则判乙赢.请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平.
23.如图,已知AD=BC,AC=BD=10.
(1)求证:△ADB≌△BCA;
(2)若OD=4,求OA的长.
24.某快递公司有甲、乙两个仓库,各存有快件若干件,甲仓库发走80件后余下的快件数比乙仓库原有快件数的2倍少700件;乙仓库发走560件后剩余的快件数是甲仓库余下的快件数的还多210件,求甲、乙两个仓库原有快件各多少件?
25.如图,某数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度,在操场的平地上选择一点C,测得旗杆顶端点A的仰角为30°,再向旗杆的方向前进12米,到达点D处(C,D,B三点在同一直线上),又测得旗杆顶端点A的仰角为45°,请计算旗杆AB的高度.(结果保留根号)
26.如图1,直线l交x轴于点C,交y轴于点D,与反比例函数y=(k>
0)的图象交于两点A、E,AG⊥x轴,垂足为点G,S△ADG=3
(1)k= ;
(2)求证:AD=CE;
(3)如图2,若点E为平行四边形OABC的对角线AC的中点,求平行四边形OABC的面积.
27.甲、乙两人相约周末登花果山,甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数图象如图所示,根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)甲登山上升的速度是每分钟 米,乙在A地时距地面的高度b为 米.
(2)若乙提速后,乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍,请求出乙登山全程中,距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数关系式.
(3)登山多长时间时,甲、乙两人距地面的高度差为50米?
28.二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B,与y轴交于点C,且A(﹣1,0)、B(4,0)
(1)求此二次函数的表达式
(2)如图1,抛物线的对称轴m与x轴交于点E,CD⊥m,垂足为D,点F(﹣,0),动点N在线段DE上运动,连接CF、CN、FN,若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似,求点N的坐标
(3)如图2,点M在抛物线上,且点M的横坐标是1,点P为抛物线上一动点,若∠PMA=45°,求点P的坐标.
2017年江苏省徐州市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
1.﹣3的相反数是( )
A.﹣3 B.3 C. D.
【考点】相反数.
【分析】依据相反数的定义解答即可.
【解答】解:﹣3的相反数是3.
故选:B.
2.下列运算正确的是( )
A.﹣= B.(﹣3)2=6 C.3a4﹣2a2=a2 D.(﹣a3)2=a5
【考点】二次根式的加减法;合并同类项;幂的乘方与积的乘方.
【分析】根据二次根式的加减法的法则,合并同类项的法则,幂的乘方与积的乘方即可做出判断.
【解答】解:A、﹣=2﹣=,故正确;
B、(﹣3)2=9,故错误;
C、3a4﹣2a2不是同类项不能合并;故错误;
D、(﹣a3)2=a6,故错误;
故选A.
3.地球的平均半径约为637100米,该数字用科学记数法可表示为( )
A.6371×103 B.0.6371×107 C.6.371×105 D.6.371×106
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<
10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.
【解答】解:637100用科学记数法可表示为:6.371×105,
故选:C.
4.下列事件:①在体育中考中,小明考了满分;②经过有交通信号灯的路口,遇到红灯;③抛掷两枚正方体骰子,点数和大于1;④度量任一三角形,其外角和都是180°,其中必然事件是( )
A.① B.② C.③ D.④
【考点】随机事件.
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.
【解答】解:①在体育中考中,小明考了满分是随机事件;
②经过有交通信号灯的路口,遇到红灯是随机事件;
③抛掷两枚正方体骰子,点数和大于1是必然事件;
④度量任一三角形,其外角和都是180°是不可能事件,
故选:C.
5.如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体,其俯视图是( )
A. B. C. D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】找到从几何体的上面看所得到的图形即可.
【解答】解:俯视图有3列,从左往右小正方形的个数是1,1,1,
故选:B.
6.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A.等腰直角三角形 B.正三角形
C.平行四边形 D.矩形
【考点】中心对称图形;轴对称图形.
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对称图形的定义即可判断出.
【解答】接:A、等腰直角三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,
B、正三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,
C、平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形,
D、矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形,
故选D.
7.如图,AB是⊙O直径,若∠D=30°,则∠AOE的度数是( )
A.30° B.60° C.100° D.120°
【考点】圆周角定理.
【分析】根据圆周角定理和平角的定义即刻得到结论.
【解答】解:∵∠D=30°,
∴∠BOE=60°,
∴∠AOE=180°﹣∠BOE=120°,
故选D.
8.若一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象如图所示,则关于x的不等式kx+b﹣≤﹣2的解集为( )
A.0<x≤2或x≤﹣4 B.﹣4≤x<0或x≥2
C.≤x<0或x D.x或0
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;一次函数图象与几何变换.
【分析】根据图形找出点的坐标,利用待定系数法求出一次函数和反比例函数解析式,将一次函数图象向上移2个单位长度找出新的一次函数解析式,联立新一次函数解析式和反比例函数解析式成方程组,通过解方程组求出交点坐标,结合函数图象即可得出不等式的解集.
【解答】解:将(﹣2,0)、(0,﹣2)代入y=kx+b,
,解得:,
∴一次函数解析式为y=﹣x﹣2.
当x=2时,y=﹣x﹣2=﹣4,
∴一次函数图象与反比例函数图象的一个交点坐标为(2,﹣4),
∴k=2×(﹣4)=﹣8,
∴反比例函数解析式为y=﹣.
将一次函数图象向上移2个单位长度得出的新的函数解析式为y=﹣x.
联立新一次函数及反比例函数解析式成方程组,
,解得:,.
观察函数图象可知:当﹣2<x<0或x>2时,新一次函数图象在反比例函数图象下方,
∴不等式﹣x≤﹣的解集为﹣2≤x<0或x≥2.
故选C.
二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
9.4是 16 的算术平方根.
【考点】算术平方根.
【分析】如果一个非负数x的平方等于a,那么x是a的算术平方根,由此即可求出结果.
【解答】解:∵42=16,
∴4是16的算术平方根.
故答案为:16.
10.一组数据:3,4,3,5,7,这组数据的中位数是 4 .
【考点】中位数.
【分析】将数据从小到大重新排列后根据中位数的定义求解可得.
【解答】解:这组数据重新排列为:3、3、4、5、7,
∴这组数据的中位数为4,
故答案为:4.
11.若二次根式有意义,则x的取值范围是 x≥2 .
【考点】二次根式有意义的条件.
【分析】根据二次根式有意义的条件,可得x﹣2≥0,解不等式求范围.
【解答】解:根据题意,使二次根式有意义,即x﹣2≥0,
解得x≥2;
故答案为:x≥2.
12.如图,点I是△ABC的内心,∠BIC=126°,则∠BAC= 72 °.
【考点】三角形的内切圆与内心.
【分析】根据三角形的外接圆得到∠ABC=2∠IBC,∠ACB=2∠ICB,根据三角形的内角和定理求出∠IBC+∠ICB,求出∠ACB+∠ABC的度数即可.
【解答】解:∵点I是△ABC的内心,
∴∠ABC=2∠IBC,∠ACB=2∠ICB,
∵∠BIC=126°,
∴∠IBC+∠ICB=180°﹣∠CIB=54°,
∴∠ABC+∠ACB=2×54°=108°,
∴∠BAC=180°﹣(∠ACB+∠ABC)=72°.
故答案为:72.
13.一元二次方程2x2+ax+2=0的一个根是x=2,则它的另一个根是 .
【考点】根与系数的关系.
【分析】设方程的另一根为x2,根据两根之积为1得出另一根.
【解答】解:设方程的另一根为x2,
则2•x2=1,
解得:x2=,
故答案为:.
14.正六边形的周长是12,那么这个正六边形的面积是 6 .
【考点】正多边形和圆.
【分析】根据题意画出图形,根据正六边形的性质求出中心角,根据等边三角形的性质、正弦的概念计算即可.
【解答】解:连接正六变形的中心O和两个顶点D、E,得到△ODE,
∵正六边形的周长是12,
∴正六边形的边长是2,
∵∠DOE=360°×=60°,OD=OE,
∴∠ODE=∠OED=÷2=60°,
则三角形ODE为正三角形,
∴OD=OE=DE=2,
∴S△ODE=×DE•OE•sin60°=×2×2×=.
正六边形的面积为6×=6.
故答案为:6.
15.如图,AB是⊙O的直径,DC是⊙O相切于点C,若∠D=30°,OA=2,则CD= 2 .
【考点】切线的性质.
【分析】直接利用切线的性质得出∠OCD=90°,进而勾股定理得出DC的长.
【解答】解:连接CO,
∵DC是⊙O相切于点C,
∴∠OCD=90°,
∵∠D=30°,OA=CO=2,
∴DO=4,
∴CD==2.
故答案为:2.
16.用半经为30,圆周角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,那么这个圆锥的底面圆半径是 10 .
【考点】圆周角定理;圆锥的计算.
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可.
【解答】解:设圆锥底面圆的半径为r,
则2πr=,
解得:r=10,
故圆锥的底面半径为10.
故答案为:10.
17.一列数a1,a2,a3,…满足条件:a1=,an=(n≥2,且n为整数),则a2017= .
【考点】规律型:数字的变化类.
【分析】求出数列的前4项,继而得出数列的循环周期,然后根据所得的规律进行求解即可.
【解答】解:∵a1=,an=,
∴a2===2,
a3===﹣1,
a4===,
…
这列数每3个数为一循环周期,
∵2017÷3=672…1,
∴a2017=a1=,
故答案为:.
18.如图所示,已知点N(1,0),直线y=﹣x+2与两坐标轴分别交于A,B两点,M,P分别是线段OB,AB上的动点,则PM+MN的最小值是 .
三、解答题(本大题共有10小题,共86分)
19.(1)计算:﹣(3﹣π)0﹣|﹣3+2|;
(2)计算:÷(1+)
【考点】分式的混合运算;实数的运算;零指数幂.
【分析】(1)根据零指数幂、绝对值和实数的加减可以解答本题;
(2)根据的分式的除法和加法可以解答本题.
【解答】解:(1)﹣(3﹣π)0﹣|﹣3+2|
=2﹣1﹣1
=0;
(2)÷(1+)
=
=
=x﹣1.
20.(1)解方程:x2+4x﹣5=0;
(2)解不等式组.
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法;解一元一次不等式组.
【分析】(1)利用因式分解法求解即可;
(2)先解不等式组中的每一个不等式,再求其公共解集即可.
【解答】解:(1)原方程变形为(x﹣1)(x+5)=0,
所以x1=﹣5,x2=1;
(2),
由①得:x≥3,
由②得:x>2,
所以不等式组的解集为:x≥3.
21.为了提高科技创新意识,我市某中学举行了“2016年科技节”活动,其中科技比赛包括“航模”、“机器人”、“环保”“建模”四个类别(每个学生只能参加一个类别的比赛),各类别参赛人数统计如图:
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)全体参赛的学生共有 60 人;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)“建模”在扇形统计图中的圆心角是 90 °.
【考点】条形统计图;扇形统计图.
【分析】(1)由参加航模的人数除以占的百分比得出参数学生总数即可;
(2)求出参加环保与建模的学生数,补全条形统计图即可;
(3)由参加建模的百分比乘以360即可得到结果.
【解答】解:(1)根据题意得:15÷25%=60(人),
则全体参赛的学生共有60人;
故答案为:60;
(2)参加环保的人数为60×25%=15(人),参加建模的人数为60×20%=12(人),
补全条形统计图,如图所示:
(3)根据题意得:25%×360°=90°,
则“建模”在扇形统计图中的圆心角是90°,
故答案为:90
22.一个盒子里有标号分别为1,2,3,4的四个球,这些球除标号数字外都相同.
(1)从盒中随机摸出一个小球,求摸到标号数字为奇数的球的概率;
(2)甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏,规则是:甲从盒中随机摸出一个小球,记下标号数字后放回盒里,充分摇匀后,乙再从盒中随机摸出一个小球,并记下标号数字.若两次摸到球的标号数字同为奇数或同为偶数,则判甲赢;若两次摸到球的标号数字为一奇一偶,则判乙赢.请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平.
【考点】游戏公平性;列表法与树状图法.
【分析】(1)根据四个球中奇数的个数,除以总个数得到所求概率即可;
(2)列表得出所有等可能的情况数,找出两次摸出标号数字同为奇数或偶数的情况数,以及一奇一偶的情况数,分别求出两人获胜的概率,比较即可.
【解答】解:(1)∵标号分别为1,2,3,4的四个球中奇数为1,3,共2个,
∴P(摸到标号数字为奇数)==;
(2)列表如下:
1
2
3
4
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
所有等可能的情况数有16中,其中同为偶数或奇数的情况有:(1,1),(3,1),(2,2),(4,2),(1,3)(3,3),(2,4),(4,4),共8种情况;一奇一偶的情况有:(2,1),(4,1),(1,2),(3,2),(2,3),(4,3),(1,4),(3,4),共8种,
∴P(甲获胜)=P(乙获胜)==,
则这个游戏对甲、乙两人公平.
23.如图,已知AD=BC,AC=BD=10.
(1)求证:△ADB≌△BCA;
(2)若OD=4,求OA的长.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)根据SSS定理推出全等即可;
(2)根据全等得出∠OAB=∠OBA,根据等角对等边得出即可.
【解答】(1)证明:∵在△ADB和△BCA中,
,
∴△ADB≌△BCA(SSS);
(2)解:
∵△ADB≌△BCA,
∴∠ABD=∠BAC,
∴OA=OB=10﹣4=6..
24.某快递公司有甲、乙两个仓库,各存有快件若干件,甲仓库发走80件后余下的快件数比乙仓库原有快件数的2倍少700件;乙仓库发走560件后剩余的快件数是甲仓库余下的快件数的还多210件,求甲、乙两个仓库原有快件各多少件?
【考点】二元一次方程组的应用.
【分析】甲、乙两个仓库原有快件分别有x件和y件.构建题意列出方程组即可解决问题.
【解答】解:设甲、乙两个仓库原有快件分别有x件和y件.
由题意,
解得,
答:甲、乙两个仓库原有快件分别有1490件1050件
25.如图,某数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度,在操场的平地上选择一点C,测得旗杆顶端点A的仰角为30°,再向旗杆的方向前进12米,到达点D处(C,D,B三点在同一直线上),又测得旗杆顶端点A的仰角为45°,请计算旗杆AB的高度.(结果保留根号)
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【分析】设AB为x米,根据正切的定义用x表示出BD、BC,根据题意列出方程,解方程即可.
【解答】解:设AB为x米,
∵∠ADB=45°,
∴BD=AB=x,
在Rt△ACB中,tan∠ACB=,
∴BC=x,
由题意得, x﹣x=12,
解得,x=6+6,
答:旗杆AB的高度为(6+6)米.
26.如图1,直线l交x轴于点C,交y轴于点D,与反比例函数y=(k>0)的图象交于两点A、E,AG⊥x轴,垂足为点G,S△ADG=3
(1)k= 6 ;
(2)求证:AD=CE;
(3)如图2,若点E为平行四边形OABC的对角线AC的中点,求平行四边形OABC的面积.
【考点】反比例函数综合题.
【分析】(1)设A(m,n),由题意•OG•AG=3,推出mn=6,由点A在y=上,推出k=mn=6.
(2)如图1中,作AN⊥OD于N,EM⊥OC于M.设直线CD的解析式为y=kx+b,A(x1,y1),E(x2,y2
).首先证明EM=﹣kAN,EM=﹣kMC,推出AN=CM,再证明△DAN≌△ECM,即可解决问题.
(3)如图2中,连接GD,GE.由EA=EC,AD=EC,推出AD=AE=EC,推出S△ADG=S△AGE=S△GEC=2,求出△AOC的面积即可解决问题.
【解答】(1)解:设A(m,n),
∵•OG•AG=3,
∴•m•n=3,
∴mn=6,
∵点A在y=上,
∴k=mn=6.
故答案为6.
(2)证明:如图1中,作AN⊥OD于N,EM⊥OC于M.设直线CD的解析式为y=kx+b,A(x1,y1),E(x2,y2).
则有y1=kx1+b,y2=kx2+b,
∴y2﹣y1=k(x2﹣x1),
∴﹣=k(x2﹣x1),
∴﹣kx1x2=3,
∴﹣kx1=,
∴y2=﹣kx1,
∴EM=﹣kAN,
∵D(0,b),C(﹣,0),
∴tan∠DCO==﹣k=,
∴EM=﹣kMC,
∴AN=CM,
∵AN∥CM,
∴∠DAN=∠ECM,
在△DAN和△ECM中,
,
∴△DAN≌△ECM,
∴AD=EC.
(3)解:如图2中,连接GD,GE.
∵EA=EC,AD=EC,
∴AD=AE=EC,
∴S△ADG=S△AGE=S△GEC=2,
∵S△AOG=S△ADG=2,
∴S△AOC=2+2+2=6,
∴平行四边形ABCD的面积=2•S△AOC=12.
27.甲、乙两人相约周末登花果山,甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数图象如图所示,根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)甲登山上升的速度是每分钟 10 米,乙在A地时距地面的高度b为 30 米.
(2)若乙提速后,乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍,请求出乙登山全程中,距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数关系式.
(3)登山多长时间时,甲、乙两人距地面的高度差为50米?
【考点】一次函数的应用.
【分析】(1)根据速度=高度÷时间即可算出甲登山上升的速度;根据高度=速度×时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值;
(2)分0≤x≤2和x≥2两种情况,根据高度=初始高度+速度×时间即可得出y关于x的函数关系;
(3)找出甲登山全程中y关于x的函数关系式,令二者做差等于50即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论.
【解答】解:(1)÷20=10(米/分钟),
b=15÷1×2=30.
故答案为:10;30.
(2)当0≤x≤2时,y=15x;
当x≥2时,y=30+10×3(x﹣2)=30x﹣30.
当y=30x﹣30=300时,x=11.
∴乙登山全程中,距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数关系式为y=.
(3)甲登山全程中,距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数关系式为y=10x+100(0≤x≤20).
当10x+100﹣(30x﹣30)=50时,解得:x=4;
当30x﹣30﹣(10x+100)=50时,解得:x=9;
当300﹣(10x+100)=50时,解得:x=15.
答:登山4分钟、9分钟或15分钟时,甲、乙两人距地面的高度差为50米.
28.二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B,与y轴交于点C,且A(﹣1,0)、B(4,0)
(1)求此二次函数的表达式
(2)如图1,抛物线的对称轴m与x轴交于点E,CD⊥m,垂足为D,点F(﹣,0),动点N在线段DE上运动,连接CF、CN、FN,若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似,求点N的坐标
(3)如图2,点M在抛物线上,且点M的横坐标是1,点P为抛物线上一动点,若∠PMA=45°,求点P的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)先求得点C的坐标,设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣4),将点C的坐标代入求得a的值,从而得到抛物线的解析式;
(2)先求得抛物线的对称轴,然后求得CD,EF的长,设点N的坐标为(0,a)则ND=4﹣a,NE=a,然后依据相似三角形的性质列出关于a的方程,然后可求得a的值;
(3)过点A作AD∥y轴,过点M作DM∥x轴,交点为D,过点A作AE⊥AM,取AE=AM,作EF⊥x轴,垂足为F,连结EM交抛物线与点P.则△AME为等腰直角三角形,然后再求得点M的坐标,从而可得到MD=2,AD=6,然后证明∴△ADM≌△AFE,于是可得到点E的坐标,然后求得EM的解析式为y=﹣2x+8,最后求得直线EM与抛物线的交点坐标即可.
【解答】解:(1)当x=0时,y=4,
∴C(0,4).
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣4),将点C的坐标代入得:﹣4a=4,解得a=﹣1,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4.
(2)x=﹣=.
∴CD=,EF=.
设点N的坐标为(0,a)则ND=4﹣a,NE=a.
当△CDN∽△FEN时,,即,解得a=,
∴点N的坐标为(0,).
当△CDN∽△NEF时,,即,解得:a=2.
∴点N的坐标为(0,2).
综上所述,点N的坐标为(0,)或(0,2).
(3)如图所示:过点A作AD∥y轴,过点M作DM∥x轴,交点为D,过点A作AE⊥AM,取AE=AM,作EF⊥x轴,垂足为F,连结EM交抛物线与点P.
∵AM=AE,∠MAE=90°,
∴∠AMP=45°.
将x=1代入抛物线的解析式得:y=6,
∴点M的坐标为(1,6).
∴MD=2,AD=6.
∵∠DAM+∠MAF=90°,∠MAF+∠FAE=90°,
∴∠DAM=∠FAE.
在△ADM和△AFE中,,
∴△ADM≌△AFE.
∴EF=DM=2,AF=AD=6.
∴E(5,﹣2).
设EM的解析式为y=kx+b.
将点M和点E的坐标代入得:,解得k=﹣2,b=8,
∴直线EM的解析式为y=﹣2x+8.
将y=﹣2x+8与y=﹣x2+3x+4联立,解得:x=1或x=4.
将x=4代入y=﹣2x+8得:y=0.
∴点P的坐标为(4,0).