红河州2013年中考数学卷 14页

云南省红河州 2013 年中考数学试卷 一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题只有一个选项符合题目要求，每小题 3 分，满分 24 分） 1．（3 分）（2013•红河州）﹣ 的倒数是（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣ D． 考点：倒数． 专题：计算题． 分析：乘积是 1 的两数互为倒数，由此可得出答案． 解答：解：﹣ 的倒数为﹣2． 故选 A． 点评：此题考查了倒数的定义，属于基础题，注意掌握乘积是 1 的两数互为倒数． 2．（3 分）（2013•红河州）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球 考点：由三视图判断几何体． 分析：首先根据俯视图将正方体淘汰掉，然后跟主视图和左视图将圆锥和球淘汰； 解答：解：∵俯视图是圆， ∴排除 A， ∵主视图与左视图均是长方形， ∴排除 C、D 故选 B． 点评：此题主要考查了简单几何体的三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、 俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 3．（3 分）（2013•红河州）下列运算正确的是（ ） A．a+a=a2 B．a6÷a3=a2 C．（π﹣3.14）0=0 D． 考点：二次根式的加减法；合并同类项；同底数幂的除法；零指数幂． 专题：计算题． 分析：A、合并同类项得到结果，即可作出判断； B、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断； C、利用零指数幂法则计算得到结果，即可作出判断； D、合并同类二次根式得到结果，即可作出判断． 解答：解：A、a+a=2a，本选项错误； B、a6÷a3=a3，本选项错误； C、（π﹣3.14）0=1，本选项错误； D、2 ﹣ = ，本选项正确， 故选 D 点评：此题考查了二次根式的加减法，合并同类项，同底数幂的除法，以及零指数幂，熟练 掌握运算法则是解本题的关键． 4．（3 分）（2013•红河州）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 考点：在数轴上表示不等式的解集． 分析：把不等式组中每一个不等式的解集，表示在数轴上即可 解答：解：不等式组 的解集在数轴上表示 ． 故选 C． 点评：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点 把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一 样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实 心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 5．（3 分）（2013•红河州）计算 的结果是（ ） A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9 考点：二次根式的性质与化简 专题：计算题． 分析：原式利用二次根式的化简公式计算即可得到结果． 解答：解：原式=|﹣3|=3． 故选 B 点评：此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键． 6．（3 分）（2013•红河州）如图，AB∥CD，∠D=∠E=35°，则∠B 的度数为（ ） A．60° B．65° C．70° D．75° 考点：平行线的性质；三角形的外角性质． 分析：根据 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1，再根据两直线平 行，同位角相等解答． 解答：解：∵∠D=∠E=35°， ∴∠1=∠D+∠E=35°+35°=70°， ∵AB∥CD， ∴∠B=∠1=70°． 故选 C． 点评：本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 7．（3 分）（2013•红河州）在平面直角坐标系中，已知点 P 的坐标是（﹣1，﹣2），则点 P 关于原点对称的点的坐标是（ ） A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，1） 考点：关于原点对称的点的坐标． 分析：平面直角坐标系中任意一点 P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），据此即可 求得点 P 关于原点的对称点的坐标． 解答：解：∵点 P 关于 x 轴的对称点坐标为（﹣1，﹣2）， ∴点 P 关于原点的对称点的坐标是（1，2）． 故选：C． 点评：此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，这一类题目是需要识记的基础题，要熟 悉关于原点对称点的横纵坐标变化规律． 8．（3 分）（2013•红河州）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，弦 BD 平分∠ABC， 则下列结论错误的是（ ） A．AD=DC B． C．∠ADB=∠ACB D．∠DAB=∠CBA 考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系． 专题：探究型． 分析：根据圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一分析即可． 解答： 解：∵弦 BD 平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD，∴ = ，AD=DC，故 A、B 正确； ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=∠ACB=90°，故 C 正确； ∵ ＞ ，∴∠DAB＞∠CBA，故 D 错误． 故选 D． 点评：本题考查的是圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知直径所对的圆周角是直角是 解答此题的关键． 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分） 9．（3 分）（2013•红河州）红河州总人口位居全省 16 个地州市的第四位，约有 450 万人， 把近似数 4500000 用科学记数法表示为 4.5×106 ． 考点：科学记数法—表示较大的数 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：4 500 000=4.5×106， 故答案为：4.5×106． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 10．（3 分）（2013•红河州）分解因式：ax2﹣9a= a（x+3）（x﹣3） ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 分析：先提取公因式 a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 解答：解：ax2﹣9a =a（x2﹣9）， =a（x+3）（x﹣3）． 故答案为：a（x+3）（x﹣3）． 点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因 式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 11．（3 分）（2013•红河州）某中学为了了解本校 2 000 名学生所需运动服尺码，在全校范围 内随机抽取 100 名学生进行调查，这次抽样调查的样本容量是 100 ． 考点：总体、个体、样本、样本容量． 分析：找到样本，根据样本容量的定义解答． 解答：解：样本是在全校范围内随机抽取的 100 名学生的运动服尺码， 故样本容量为 100． 故答案为 100． 点评：样本容量是指样本中包含个体的数目，没有单位，一般是用样本中各个数据的和÷样 本的平均数，可以求得样本的容量． 12．（3 分）（2013•红河州）函数 中，自变量 x 的取值范围是 x≠1 ． 考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件． 分析：分式的意义可知分母：就可以求出 x 的范围． 解答：解：根据题意得：x﹣1≠0， 解得：x≠1． 故答案为：x≠1． 点评：主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三 个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 13．（3 分）（2013•红河州）已知扇形的半径是 30cm，圆心角是 60°，则该扇形的弧长为 10π cm（结果保留π）． 考点：弧长的计算． 分析：根据弧长公式是 l= ，代入就可以求出弧长． 解答：解：∵扇形的半径是 30cm，圆心角是 60°， ∴该扇形的弧长是： =10π（cm）． 故答案为：10π． 点评：本题考查的是扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键． 14．（3 分）（2013•红河州）下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的， 如图所示，按此规律排列下去，第 20 个图形中有 42 个实心圆． 考点：规律型：图形的变化类 分析：根据图形中实心圆的数量变化，得出变化规律，进而求出即可． 解答：解：∵第 1 个图形中有 4 个实心圆， 第 2 个图形中有 6 个实心圆， 第 3 个图形中有 8 个实心圆， … ∴第 n 个图形中有 2（n+1）个实心圆， ∴第 20 个图形中有 2×（20+1）=42 个实心圆． 故答案为：42． 点评：此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出图形中的实心圆变化是解题关键． 三、解答题（本大题共 9 个小题，满分 58 分） 15．（5 分）（2013•红河州）解方程： ． 考点：解分式方程 专题：计算题． 分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分 式方程的解． 解答：解：方程两边同时乘以 x（x+2）得：2（x+2）+x（x+2）=x2， 去括号得：2x+4+x2+2x=x2， 解得：x=﹣1， 检验：把 x=﹣1 代入 x（x+2）≠0， 故 x=﹣1 是原方程的解． 点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整 式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 16．（5 分）（2013•红河州）如图，点 D 是△ABC 的边 AB 上一点，点 E 为 AC 的中点，过 点 C 作 CF∥AB 交 DE 延长线于点 F．求证：AD=CF． 考点：全等三角形的判定与性质． 专题：证明题． 分析：根据平行线性质得出∠1=∠F，∠2=∠A，求出 AE=EC，根据 AAS 证△ADE≌△CFE， 根据全等三角形的性质推出即可． 解答：证明：∵CF∥AB， ∴∠1=∠F，∠2=∠A， ∵点 E 为 AC 的中点， ∴AE=EC， 在△ADE 和△CFE 中 ∴△ADE≌△CFE（AAS）， ∴AD=CF． 点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，注意：全等三角形的对应边相 等，全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS． 17．（6 分）（2013•红河州）一件外衣的进价为 200 元，按标价的 8 折销售时，利润率为 10%， 求这件外衣的标价为多少元？（注： ） 考点：一元一次方程的应用 分析：设这件外衣的标价为 x 元，就可以表示出售价为 0.8x 元，根据利润的售价﹣进价=进 价×利润率建立方程求出其解即可． 解答：解：设这件外衣的标价为 x 元，依题意得 0.8x﹣200=200×10%． 0.8x=20+200． 0.8x=220． x=275． 答：这件外衣的标价为 275 元． 点评：本题考查了销售问题在实际生活中的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，根据 ）建立方程是解答本题的关键． 18．（7 分）（2013•红河州）今年植树节，东方红中学组织师生开展植树造林活动，为了了 解全校 800 名学生的植树情况，随机抽样调查 50 名学生的植树情况，制成如下统计表和条 形统计图（均不完整）． （1）将统计表和条形统计图补充完整； （2）求抽样的 50 名学生植树数量的平均数； （3）根据抽样数据，估计该校 800 名学生的植树数量． 考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数． 专题：图表型． 分析：（1）用总人数减去其他小组的人数即可求得植树棵树为 5 的小组的频数，除以总人 数即可得到该组的频率； （2）用加权平均数计算植树量的平均数即可； （3）用样本的平均数估计总体的平均数即可． 解答：解：（1）统计表和条形统计图补充如下： 植树量为 5 棵的人数为：50﹣5﹣20﹣10=15，频率为：15÷50=0.3， ， （2）抽样的 50 名学生植树的平均数是： （棵）． （3）∵样本数据的平均数是 4.6， ∴估计该校 800 名学生参加这次植树活动的总体平均数是 4.6 棵． 于是 4.6×800=3 680（棵）， ∴估计该校 800 名学生植树约为 3 680 棵． 点评：本题考查的是加权平均数的求法、频数分布直方图、用样本估计总体等知识．频率= 频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可． 19．（7 分）（2013•红河州）今年“五•一”节期间，红星商场举行抽奖促销活动，凡在本商场 购物总金额在 300 元以上者，均可抽一次奖，奖品为精美小礼品．抽奖办法是：在一个不透 明的袋子中装有四个标号分别为 1，2，3，4 的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．抽 奖者第一次摸出一个小球，不放回，第二次再摸出一个小球，若两次摸出的小球中有一个小 球标号为“1”，则获奖． （1）请你用树形图或列表法表示出抽奖所有可能出现的结果； （2）求抽奖人员获奖的概率． 考点：列表法与树状图法． 专题：图表型． 分析：（1）根据列表法与画树状图的方法画出即可； （2）根据概率公式列式计算即可得解． 解答：解：（1）列表法表示如下： 第 1 次 第 2 次 1 2 3 4 1 （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） 或树状图： （2）由表格或树形图可知，抽奖所有可能出现的结果共有 12 种， 这些结果出现的可能性相等，其中有一个小球标号为“1”的有 6 种， 所以抽奖人员的获奖概率为 P= = ． 点评：本题考查了列表法与树状图法，概率的意义，用到的知识点为：概率=所求情况数与 总情况数之比． 20．（6 分）（2013•红河州）如图，某山顶上建有手机信号中转塔 AB，在地面 D 处测得塔 尖的仰角∠ADC=60°，塔底的仰角∠BDC=45°，点 D 距塔 AB 的距离 DC 为 100 米，求手机 信号中转塔 AB 的高度（结果保留根号）． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析：先在 Rt△BCD 中，根据∠BDC=45°，得出 BC=CD=100；再在 Rt△ACD 中，根据正 切函数的定义，求出 AC=100 ，然后由 AB=AC﹣BC 即可求解． 解答：解：由题意可知，△ACD 与△BCD 都是直角三角形． 在 Rt△BCD 中，∵∠BDC=45°， ∴BC=CD=100． 在 Rt△ACD 中，∵∠ADC=60°，CD=100， ∴tan∠ADC= ，即 ， ∴ ， ∴AB=AC﹣BC= ． 答：手机信号中转塔的高度为 米． 点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，难度适中，解答本题的关键是借助 仰角构造直角三角形并解直角三角形． 21．（6 分）（2013•红河州）如图，正比例函数 y1=x 的图象与反比例函数 （k≠0）的图 象相交于 A、B 两点，点 A 的纵坐标为 2． （1）求反比例函数的解析式； （2）求出点 B 的坐标，并根据函数图象，写出当 y1＞y2 时，自变量 x 的取值范围． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 专题：计算题． 分析：（1）设 A（m，2），将 A 纵坐标代入正比例解析式求出 m 的值，确定出 A 坐标，代 入反比例解析式求出 k 的值，即可确定出反比例解析式； （2）联立两函数解析式求出 B 的坐标，由 A 与 B 横坐标，利用图象即可求出当 y1 ＞y2 时，自变量 x 的取值范围． 解答：解：（1）设 A 点的坐标为（m，2），代入 y1=x 得：m=2， ∴点 A 的坐标为（2，2）， ∴k=2×2=4， ∴反比例函数的解析式为 y2= ； （2）当 y1=y2 时，x= ， 解得：x=±2， ∴点 B 的坐标为（﹣2，﹣2）， 则由图象可知，当 y1＞y2 时，自变量 x 的取值范围是：﹣2＜x＜0 或 x＞2． 点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想，熟练掌握数形 结合思想是解本题的关键． 22．（7 分）（2013•红河州）如图，过正方形 ABCD 的顶点 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于 点 E． （1）判断四边形 ACED 的形状，并说明理由； （2）若 BD=8cm，求线段 BE 的长． 考点：正方形的性质；勾股定理；平行四边形的判定． 分析：（1）根据正方形的对边互相平行可得 AD∥BC，即为 AD∥CE，然后根据两组对边 互相平行的四边形是平行四边形解答； （2）根据正方形的四条边都相等，平行四边形的对边相等可得 BC=AD=CE，再根据 正方形的边长等于对角线的 倍求出 BC，然后求出 BE 即可． 解答：解：（1）四边形 ACED 是平行四边形． 理由如下：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD∥BC， 即 AD∥CE， ∵DE∥AC， ∴四边形 ACED 是平行四边形； （2）由（1）知，BC=AD=CE=CD， ∵BD=8cm， ∴BC= BD= ×8=4 cm， ∴BE=BC+CE=4 +4 =8 cm． 点评：本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，比较简单，熟练掌握各图形的 性质是解题的关键． 23．（9 分）（2013•红河州）如图，抛物线 y=﹣x2+4 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，点 P 是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 D，交直线 BC 于点 E． （1）求点 A、B、C 的坐标和直线 BC 的解析式； （2）求△ODE 面积的最大值及相应的点 E 的坐标； （3）是否存在以点 P、O、D 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出点 P 的坐标， 若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题 分析：（1）在抛物线解析式 y=﹣x2+4 中，令 y=0，解方程可求得点 A、点 B 的坐标；令 x=0， 可求得顶点 C 的坐标．已知点 B、C 的坐标，利用待定系数法求出直线 BC 的解析式； （2）求出△ODE 面积的表达式，利用二次函数的性质求出最大值，并确定点 E 的坐 标； （3）本问为存在型问题．因为△OAC 与△OPD 都是直角三角形，需要分类讨论： ①当△PDO∽△COA 时，由 得 PD=2OD，列方程求出点 P 的坐标； ②当△PDO∽△AOC 时，由 得 OD=2PD，列方程求出点 P 的坐标． 解答：解：（1）在 y=﹣x2+4 中，当 y=0 时，即﹣x2+4=0，解得 x=±2． 当 x=0 时，即 y=0+4，解得 y=4． 所以点 A、B、C 的坐标依次是 A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，4）． 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b（k≠0）， 则 ，解得 ． 所以直线 BC 的解析式为 y=﹣2x+4． …3 分 （2）∵点 E 在直线 BC 上， ∴设点 E 的坐标为（x，﹣2x+4）， 则△ODE 的面积 S 可表示为： ． ∴当 x=1 时，△ODE 的面积有最大值 1． 此时，﹣2x+4=﹣2×1+4=2， ∴点 E 的坐标为（1，2）． …5 分 （3）存在以点 P、O、D 为顶点的三角形与△OAC 相似，理由如下： 设点 P 的坐标为（x，﹣x2+4），0＜x＜2． 因为△OAC 与△OPD 都是直角三角形，分两种情况： ①当△PDO∽△COA 时， ， ， 解得 ， （不符合题意，舍去）． 当 时， ． 此时，点 P 的坐标为 ． ②当△PDO∽△AOC 时， ， ， 解得 ， （不符合题意，舍去）． 当 时， = ． 此时，点 P 的坐标为 ． 综上可得，满足条件的点 P 有两个： ， ． …9 分． 点评：本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最 值、相似三角形、解方程等知识点，难度不大．第（3）问是存在型问题，可能存在 两种符合条件的情况，需要分类讨论，避免漏解．