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- 2021-05-10 发布
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2019中考数学压轴题
1.(眉山)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣5,0)和点B(1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)点P是抛物线上A、D之间的一点,过点P作PE⊥x轴于点E,PG⊥y轴,交抛物线于点G.过点G作GF⊥x轴于点F.当矩形PEFG的周长最大时,求点P的横坐标;
B
A
C
O
D
E
F
G
P
y
x
图1
图2
A
B
C
D
y
x
M
N
O
(3)如图2,连接AD、BD,点M在线段AB上(不与A、B重合),作∠DMN=∠DBA, MN交线段AD于点N,是否存在这样点M,使得△DMN为等腰三角形?若存在,求出AN的长;若不存在,请说明理由.
2.(甘肃)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)、B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若点P为抛物线上的一点,点F为对称轴上的一点,且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标;
(3)点E是二次函数第四象限图象上一点,过点E作x轴的垂线,交直线BC于点D,求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标.
3.(广安)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点N,过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C,与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D,已知A(-1,0),D(5,-6),P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A、D重合).
(1)求抛物线和直线l的解析式;
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时,过P点作PE//x轴交直线l于点E,作PF//y轴交直线l于点F,求PE+PF的最大值;
(3)设M为直线l上的点,探究是否存在点M,使得以点N、C,M、P为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
4.(武威)如图,抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(﹣3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)过点P作PN⊥BC,垂足为点N.请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少?
5.(无锡)已知二次函数(a>0)的图像与x轴交于A、B两点,(A在B左侧,且OA<OB),与y轴交于点C.D为顶点,直线AC交对称轴于点E,直线BE交y轴于点F,AC:CE=2:1.
(1)求C点坐标,并判断b的正负性;
(2)设这个二次函数的图像的对称轴与直线AC交于点D,已知DC:CA=1:2,直线BD与y轴交于点E,连接BC.①若△BCE的面积为8,求二次函数的解析式;②若△BCD为锐角三角形,请直接写出OA的取值范围.
6.(菏泽)如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,﹣2),点A的坐标是(2,0)P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x=﹣1.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P在第二象限内,且PE=OD,求△PBE的面积.
(3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使△BDM是以BD为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
7.(凉山州)如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得△PAC的周长最小,若存在,请求出点P的坐标及△PAC的周长;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合),使得S△PAM=S△PAC?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
8. (河南)如图,抛物线y = ax2 + x + c 交x 轴于A,B 两点,交y 轴于点C,直线
y = - x - 2经过点 A,C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点 P 是抛物线上一动点,过点 P 作 x 轴的垂线,交直线 AC 于点 M,设点 P 的横坐标为 m.
①当△PCM 是直角三角形时,求点 P 的坐标;
②作点 B 关于点 C 的对称点 B¢,则平面内存在直线 l,使点 M,B, B¢到该直线的距离都相等.当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上,且与点 B 不重合时,请直接写出直线 l: y = kx + b 的解析式.(k,b 可用含 m 的式子表示)
y
A
M O
B
x
P
C
y
A
O
B
x
C
9.(衡阳)如图,二次函数
的图象与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上的一动点,连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E.
(1) 求该抛物线的函数关系表达式;
(2) 当P点在线段OB(点P不与O、B点重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值?并求出这个最大值.
(3) 在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN、MB.请问:△MNB的面积是否存在最大值?若存在,求此时点M的坐标;若不存在,请说明理由.
10.(青岛)已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=8cm,OD垂直平分A C.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度为1cm/s
;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点P作PE⊥AB,交BC于点E,过点Q作QF∥AC,分别交AD,OD于点F,G.连接OP,EG.设运动时间为t(s)(0<t<5),解答下列问题:
(1)当t为何值时,点E在∠BAC的平分线上?
(2)设四边形PEGO的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;
(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使四边形PEGO的面积最大?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(4)连接OE,OQ,在运动过程中,是否存在某一时刻t,使OE⊥OQ?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
11.(怀化)如图,在直角坐标系中有Rt△AOB,O为坐标原点,OB=1,tan∠ABO=3,将此三角形绕原点O顺时针旋转90°,得到Rt△COD,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象刚好经过A,B,C三点.
(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;
(2)过定点Q的直线l:y=kx﹣k+3与二次函数图象相交于M,N两点.
①若S△PMN=2,求k的值;
②证明:无论k为何值,△PMN恒为直角三角形;
③当直线l绕着定点Q旋转时,△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动,直接写出该抛物线的表达式.
12.(连云港)问题情境:如图1,在正方形ABCD中,E为边BC上一点(不与点B、C重合),垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N.判断线段DN、MB、EC之间的数量关系,并说明理由.
问题探究:在“问题情境”的基础上.
(1)如图2,若垂足P恰好为AE的中点,连接BD,交MN于点Q,连接EQ,并延长交边AD于点F.求∠AEF的度数;
(2)如图3,当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时,连接AN,将△APN沿着AN翻折,点P落在点P'处,若正方形ABCD的边长为4,AD的中点为S,求P'S的最小值.
问题拓展:如图4,在边长为4的正方形ABCD中,点M、N分别为边AB、CD上的点,将正方形ABCD沿着MN翻折,使得BC的对应边B'C'恰好经过点A,C'N交AD于点F.分别过点A、F作AG⊥MN,FH⊥MN,垂足分别为G、H.若AG=,请直接写出FH的长.
13.(泰州)已知一次函数y1=kx+n(n<0)和反比例函数y2=(m>0,x>0).
(1)如图1,若n=﹣2,且函数y1、y2的图象都经过点A(3,4).
①求m,k的值;
②直接写出当y1>y2时x的范围;
(2)如图2,过点P(1,0)作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B,与反比例函数y3=(x>0)的图象相交于点C.
①若k=2,直线l与函数y1的图象相交点D.当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时,求m﹣n的值;
②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交与点E.当m﹣n的值取不大于1的任意实数时,点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值.求此时k的值及定值d.
14.(无锡)
如图1,在矩形ABCD中,BC=3,动点P从B出发,以每秒1个单位的速度,沿射线BC方向移动,作△PAB关于直线PA的对称△PAB′,设点P的运动时间为t(s).
(1)若AB=.①如图2,当点B′落在AC上时,显然△PAB′是直角三角形,求此时t的值;②是否存在异于图2的时刻,使得△PCB′是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合题意的t的值?若不存在,请说明理由.
(2)当P点不与C点重合时,若直线PB′与直线CD相交于点M,且当t<3时存在某一时刻有结论∠PAM=45°成立,试探究:对于t>3的任意时刻,结论∠PAM=45°是否总是成立?请说明理由.
15.(宿迁)如图,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点,其中点A坐标为(1,0),与y
轴交于点C(0,﹣3).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图①,连接AC,点P在抛物线上,且满足∠PAB=2∠ACO.求点P的坐标;
(3)如图②,点Q为x轴下方抛物线上任意一点,点D是抛物线对称轴与x轴的交点,直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问DM+DN是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
16.(德州) 如图,抛物线y=mx2﹣mx﹣4与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,与y
轴交于点C,且x2﹣x1=.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线上的两点,当a≤x1≤a+2,x2≥时,均有y1≤y2,求a的取值范围;
(3)抛物线上一点D(1,﹣5),直线BD与y轴交于点E,动点M在线段BD上,当∠BDC=∠MCE时,求点M的坐标.
17.(菏泽) 如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,﹣2),点A的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E
,抛物线的对称轴是直线x=﹣1.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P在第二象限内,且PE=OD,求△PBE的面积.
(3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使△BDM是以BD为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
18.(聊城) 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣2,0),点B(4,0),与y轴交于点C(0,8),连接BC,又已知位于y轴右侧且垂直于x
轴的动直线l,沿x轴正方向从O运动到B(不含O点和B点),且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P,D,E.
(1)求抛物线的表达式;
(2)连接AC,AP,当直线l运动时,求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标;
(3)作PF⊥BC,垂足为F,当直线l运动时,求Rt△PFD面积的最大值.
19.(自贡) 如图,已知直线与抛物线: 相交于和点两点.
⑴.求抛物线的函数表达式;
⑵.若点是位于直线上方抛物线上的一动点,以为相邻两边作平行四边形,当平行四边形的面积最大时,求此时四边形的面积及点的坐标;
⑶.在抛物线的对称轴上是否存在定点,使抛物线上任意一点到点的距离等于到直线的距离,若存在,求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.
20.(安徽)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P为△ABC内部一点,且∠APB=∠
BPC=135°.
(1)求证:△PAB∽△PBC;
(2)求证:PA=2PC;
(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证h12=h2•h3.
21.(长沙)如图,抛物线y=ax2+6ax(a为常数,a>0)与x轴交于O,A两点,点B
为抛物线的顶点,点D的坐标为(t,0)(﹣3<t<0),连接BD并延长与过O,A,B三点的⊙P相交于点C.
(1)求点A的坐标;
(2)过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E.
①如图1,求证:CE=DE;
②如图2,连接AC,BE,BO,当a=,∠CAE=∠OBE时,求﹣的值.
22.(株洲)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)
(1)若a=1,b=﹣2,c=﹣1
①求该二次函数图象的顶点坐标;
②定义:对于二次函数y=px2+qx+r(p≠0),满足方程y=x的x的值叫做该二次函数的“不动点”.求证:二次函数y=ax2+bx+c有两个不同的“不动点”.
(2)设b=c3,如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A(x1,0),B(x2,0),其中x1<0,x2>0,与y轴相交于点C,连结BC,点D在y轴的正半轴上,且OC=OD,又点E的坐标为(1,0),过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F,满足∠AFC=∠ABC.FA的延长线与BC的延长线相交于点P,若=,求二次函数的表达式.
23.(苏州)如图①,抛物线y=-x2+(a+1)x-a与x轴交于A,B两点(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C.已知△ABC的面积是6.
(1)求a的值;
(2)求△ABC外接圆圆心的坐标;
(3)如图②,P是抛物线上一点,Q为射线CA上一点,且P、Q两点均在第三象限内,Q、A是位于直线BP同侧的不同两点,若点P到x轴的距离为d,△QPB的面积为2d,且∠PAQ=∠AQB,求点Q的坐标.
24.(威海) (1)方法选择
如图①,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD,AB=BC=AC.求证:BD=AD+CD.
小颖认为可用截长法证明:在DB上截取DM=AD,连接AM…
小军认为可用补短法证明:延长CD至点N,使得DN=AD…
请你选择一种方法证明.
(2)类比探究
【探究1】
如图②,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD,BC是⊙O的直径,AB=AC.试用等式表示线段AD,BD,CD之间的数量关系,井证明你的结论.
【探究2】
如图③,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD.若BC是⊙O的直径,∠ABC=30°,则线段AD,BD,CD之间的等量关系式是 .
(3)拓展猜想
如图④,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD.若BC是⊙O的直径,BC:AC:AB=a:b:c,则线段AD,BD,CD之间的等量关系式是 .
25.(淄博) 如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这条抛物线对应的函数表达式;
(2)问在y轴上是否存在一点P,使得△PAM为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D,满足DA=OA,过D作DG⊥x轴于点G,设△ADG的内心为I,试求CI的最小值.
1. 26.(绵阳) 如图,在以点O为中心的正方形ABCD中,AD=4,连接AC,动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动,到达点C停止.在运动过程中,△ADE的外接圆交AB于点F,连接DF交AC于点G,连接EF,将△EFG沿EF翻折,得到△EFH.
(1)求证:△DEF是等腰直角三角形;
(2)当点H恰好落在线段BC上时,求EH的长;
(3)设点E运动的时间为t秒,△EFG的面积为S,求S关于时间t的关系式.
27.(遂宁)如图,顶点为P(3,3)的二次函数图象与x轴交于点A(6,0),点B在该图象上,OB交其对称轴l于点M,点M、N关于点P对称,连接BN、ON.
(1)求该二次函数的关系式.
(2)若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动,请解答下列问题:
①连接OP,当OP=MN时,请判断△NOB的形状,并求出此时点B的坐标.
②求证:∠BNM=∠ONM.
28.(东营) 已知抛物线 y = ax2 + bx - 4经过点 A(2,0)、 B(-4,0),与 y 轴交于点C.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图 1,点 P 是第三象限内抛物线上的一个动点,当四边形 ABPC 的面积最大时, 求点 P 的坐标;
(3)如图 2,线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E,垂足为 D,M 为抛物线的顶点,在直线 DE 上是否存在一点 G,使△CMG 的周长最小?若存在,求出点 G 的坐标;若不存在,请说明理由.
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数学试题
(第 28 题图 1) (第 28 题图 2)
29.(广东)
30.(宿迁) 如图,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点,其中点A坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,-3).
(1)求抛物钱的函数表达式;
⑵如图①,连接AC,点P在抛物线上,且满足∠PAB=2∠AC0。求点P的坐标;
(3)如图②.点Q为x轴下方抛物线上任意一点,点D是抛物线对称轴与x轴的交点,直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N。请问DM+DN是否为定值?如泉是,请求出这个定值,如果不是,请说明理由.
31.(盐城) 如图所示・二次函数的图像与一次函数的图像交于A、B两点,点B在点A的右側,直线AB分别与x、y轴交于C、D两点,其中k<0.
(1)求A、B两点的横坐标;
(2)若△OAB是以OA为腰的等腰三角形,求k的值;
(3)二次函数图像的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数k,使得∠ODC=2∠BEC,若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
32.(扬州)如图,已知等边△ABC的边长为8,点P事AB边上的一个动点(与点A、B不重合),直线l是经过点P的一条直线,把△ABC沿直线l折叠,点B的对应点是点B’.
(1)如图1,当PB=4时,若点B’恰好在AC边上,则AB’的长度为______;
(2)如图2,当PB=5时,若直线l∥AC,则BB’的长度为 ;
(3)如图3,点P在AB边上运动过程中,若直线l始终垂直于AC,△ACB’的面积是否变化?若变化,说明理由;若不变化,求出面积;
(4)当PB=6时,在直线l变化过程中,求△ACB’面积的最大值。
33.(滨州)如图①,抛物线y=﹣x2+x+4与y轴交于点A,与x轴交于点B,C,将直线AB绕点A逆时针旋转90°,所得直线与x轴交于点D.
(1)求直线AD的函数解析式;
(2)如图②,若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点
①当点P到直线AD的距离最大时,求点P的坐标和最大距离;
②当点P到直线AD的距离为时,求sin∠PAD的值.
34.(济宁)如图1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,E是CD边上一点,连接AE,将矩形ABCD沿AE折叠,顶点D恰好落在BC边上点F处,延长AE交BC的延长线于点G.
(1)求线段CE的长;
(2)如图2,M,N分别是线段AG,DG上的动点(与端点不重合),且∠DMN=∠DAM,设AM=x,DN=y.
①写出y关于x的函数解析式,并求出y的最小值;
②是否存在这样的点M,使△DMN是等腰三角形?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.
35.(成都)如图1,在△ABC中,AB=AC=20,tanB=,点D为BC边上的动点(点D不与点B,C重合).以点D为顶点作∠ADE=∠B,射线DE交AC边于点E,过点A作AF⊥AD交射线DE于F,连接CF.
(1) 求证:△ABD∽△DCE;
(2) 当DE∥AB时(如图2),求AE的长;
(3) 点D在BC边上运动的过程中,是否存在某个位置,使得DE=CF?若存在,求出此时BD的长;若不存在,请说明理由。
36.(天津)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(6,0),点B在y轴的正半轴上,∠ABO=30°,矩形CODE的顶点D,E,C分别在OA,AB,OB上,OD=2.
(I) 如图①,求点E的坐标;
(II) 将矩形CODE沿x轴向左平移,得到矩形,点D,O,C,E的对应点分别为.设,矩形与△ABO重叠部分的面积为.
①如图②,当矩形与△ABO重叠部分为五边形时,、分别与AB相交于点M,F,试用含有t的式子表示s,并直接写出t的范围;
②时,求t的取值范围(直接写出结果即可)。