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  • 2021-05-10 发布

中考数学真题分类汇编150套专题十八二次函数的图象和性质2

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‎28.(2010广东中山)如图(1),(2)所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2.动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上),当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动.连接FM、MN、FN,当F、N、M不在同一直线时,可得ΔFMN,过ΔFMN三边的中点作ΔPQW.设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒.试解答下列问题:‎ ‎(1)说明ΔFMN∽ΔQWP;‎ ‎(2)设0≤x≤4(即M从D到A运动的时间段).试问x为何值时,ΔPQW为直角三角形?当x在何范围时,ΔPQW不为直角三角形?‎ ‎(3)问当x为何值时,线段MN最短?求此时MN的值.‎ ‎.‎ ‎【答案】解:(1)由题意可知P、W、Q分别是ΔFMN三边的中点,‎ ‎∴PW是ΔFMN的中位线,即PW∥MN ‎∴ΔFMN∽ΔQWP ‎(2)由题意可得 DM=BN=x,AN=6-x,AM=4-x,‎ 由勾股定理分别得 =,‎ ‎=+‎ ‎=+‎ ‎①当=+时,+=++‎ 解得 ‎ ‎②当=+时,+=++‎ 此方程无实数根 ‎③=+时,=+++‎ 解得 (不合题意,舍去),‎ 综上,当或时,ΔPQW为直角三角形;‎ 当0≤x<或<x<4时,ΔPQW不为直角三角形 ‎(3)①当0≤x≤4,即M从D到A运动时,只有当x=4时,MN的值最小,等于2;‎ ‎②当4<x≤6时,=+=+‎ ‎=‎ 当x=5时,取得最小值2,‎ ‎∴当x=5时,线段MN最短,MN=.‎ ‎29.(2010湖南常德)如图9, 已知抛物线与轴交于A (-4,0) 和B(1,0)两点,与轴交于C点.‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)设E是线段AB上的动点,作EF//AC交BC于F,连接CE,当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时,求E点的坐标;‎ ‎(3)若P为抛物线上A、C两点间的一个动点,过P作轴的平行线,交AC于Q,当P点运动到什么位置时,线段PQ的值最大,并求此时P点的坐标.‎ x y O B C A 图9‎ ‎【答案】解:(1)由二次函数与轴交于、两点可得:‎ ‎          解得: ‎ ‎      故所求二次函数的解析式为. ‎ ‎(2)∵S△CEF=2 S△BEF, ∴ ‎ ‎ ∵EF//AC, ∴,‎ ‎ ∴△BEF~△BAC, ‎ ‎∴得 ‎ 故E点的坐标为(,0). ‎ ‎   (3)解法一:由抛物线与轴的交点为,则点的坐标为(0,-2).若设直线的解析式为,则有 解得: ‎ 故直线的解析式为. ‎ 若设点的坐标为,又点是过点所作轴的平行线与直线的交点,则点的坐标为(.则有:‎ ‎       =‎ ‎=‎ 即当时,线段取大值,此时点的坐标为(-2,-3)‎ 解法二:延长交轴于点,则.要使线段最长,则只须△的面积取大值时即可. ‎ 设点坐标为(,则有: ‎ ‎    ‎ ‎   =‎ ‎  =‎ ‎ =‎ ‎=‎ ‎= =-‎ 即时,△的面积取大值,此时线段最长,则点坐标 为(-2,-3) ‎ ‎30 .(2010湖南郴州)如图(1),抛物线与y轴交于点A,E(0,b)为y轴上一动点,过点E的直线与抛物线交于点B、C.‎ ‎(1)求点A的坐标;‎ ‎(2)当b=0时(如图(2)),与的面积大小关系如何?当时,上述关系还成立吗,为什么?‎ ‎(3)是否存在这样的b,使得是以BC为斜边的直角三角形,若存在,求出b;若不存在,说明理由. ‎ 第26题 图(1)‎ 图(2)‎ ‎【答案】(1)将x=0,代入抛物线解析式,得点A的坐标为(0,-4)‎ ‎(2)当b=0时,直线为,由解得, ‎ 所以B、C的坐标分别为(-2,-2),(2,2) ‎ ‎,‎ 所以(利用同底等高说明面积相等亦可) ‎ 当时,仍有成立. 理由如下 由,解得, ‎ 所以B、C的坐标分别为(-,-+b),(,+b),‎ 作轴,轴,垂足分别为F、G,则,‎ 而和是同底的两个三角形,‎ 所以. ‎ ‎(3)存在这样的b.‎ 因为 所以 所以,即E为BC的中点 所以当OE=CE时,为直角三角形 ‎ 因为 所以 ,而 所以,解得,‎ 所以当b=4或-2时,ΔOBC为直角三角形. ‎ ‎31.(2010湖南怀化)图9是二次函数的图象,其顶点坐标为M(1,-4).‎ ‎(1)求出图象与轴的交点A,B的坐标; ‎ ‎(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使,若存在,求出P点的 坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折,图象的其余部分保持不变,‎ 得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线与此 图象有两个公共点时,的取值范围.‎ 图9‎ ‎【答案】解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数的顶点坐标,‎ 所以 ‎ 令解之得.‎ ‎∴A,B两点的坐标分别为A(-1,0),B(3,0)‎ ‎(2) 在二次函数的图象上存在点P,使 设则,又,‎ 图1‎ ‎∴‎ ‎∵二次函数的最小值为-4,∴.‎ 当时,.‎ 故P点坐标为(-2,5)或(4,5)……………7分 ‎(3)如图1,当直线经过A点时,可得……………8分 ‎ 当直线经过B点时,可得 由图可知符合题意的的取值范围为 ‎32.(2010湖北鄂州)如图,在直角坐标系中,A(-1,0),B(0,2),一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动,P点的运动速度为每秒1个单位长度,射线BM与x轴交与点C.‎ ‎(1)求点C的坐标.‎ ‎(2)求过点A、B、C三点的抛物线的解析式.‎ ‎(3)若P点开始运动时,Q点也同时从C出发,以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动,t秒后,以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形.(点P到点C时停止运动,点Q也同时停止运动)求t的值.‎ ‎(4)在(2)(3)的条件下,当CQ=CP时,求直线OP与抛物线的交点坐标.‎ ‎【答案】‎ ‎(1)点C的坐标是(4,0);‎ ‎(2)设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),将点A、B、C三点的坐标代入得:‎ 解得,∴抛物线的解析式是:y= x2+x+2.‎ ‎(3)设P、Q的运动时间为t秒,则BP=t,CQ=t.以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形,可分三种情况讨论.‎ ‎①若CQ=PC,如图所示,则PC= CQ=BP=t.∴有2t=BC=,∴t=.‎ ‎②若PQ=QC,如图所示,过点Q作DQ⊥BC交CB于点D,则有CD=PD.由△ABC∽△QDC,可得出PD=CD=,∴,解得t=.‎ ‎③若PQ=PC,如图所示,过点P作PE⊥AC交AC于点E,则EC=QE=PC,∴t=‎ ‎(-t),解得t=.‎ ‎(4)当CQ=PC时,由(3)知t=,∴点P的坐标是(2,1),∴直线OP的解析式是:y=x,因而有x =x2+x+2,即x2-2x-4=0,解得x=1±,∴直线OP与抛物线的交点坐标为(1+,)和(1-,).‎ ‎33.(2010湖北省咸宁)已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为(,0),(,0)().‎ ‎(1)证明;‎ ‎(2)若该函数图象的对称轴为直线,试求二次函数的最小值.‎ ‎【答案】(1)证明:依题意,,是一元二次方程的两根.‎ 根据一元二次方程根与系数的关系,得,.‎ ‎∴,. ∴.‎ ‎(2)解:依题意,,∴.‎ 由(1)得.‎ ‎∴.‎ ‎∴二次函数的最小值为.‎ ‎34.(2010湖北恩施自治州) 如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.‎ ‎(1)求这个二次函数的表达式.‎ ‎(2)连结PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POPC, 那么是否存在点P,使四边形POPC为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎(3)当点P运动到什么位置时,四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.‎ ‎【答案】解:(1)将B、C两点的坐标代入得 ‎ 解得: ‎ 所以二次函数的表达式为: ‎ ‎(2)存在点P,使四边形POPC为菱形.设P点坐标为(x,),‎ PP交CO于E 若四边形POPC是菱形,则有PC=PO.‎ 连结PP 则PE⊥CO于E,‎ ‎∴OE=EC=‎ ‎∴=.‎ ‎∴= ‎ 解得=,=(不合题意,舍去)‎ ‎∴P点的坐标为(,)…………………………8分 ‎(3)过点P作轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,‎ 设P(x,),‎ 易得,直线BC的解析式为 则Q点的坐标为(x,x-3).‎ ‎= ‎ 当时,四边形ABPC的面积最大 此时P点的坐标为,四边形ABPC的 面积. ‎ ‎35.(2010北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上.‎ ‎(1)求B点的坐标;‎ ‎(2)点P在线段OA上,从O点出发向A点运动,过P点作x轴的垂线,与直线OB交与点E,延长PE到点D,使得ED=PE,以PD为斜边,在PD右侧做等等腰直角三角形PCD(当P点运动时,C点、D点也随之运动).‎ ‎① 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长;‎ ‎-1‎ y x O ‎(第24题)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎-2‎ ‎-4‎ ‎-3‎ ‎3‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-4‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎② 若P点从O点出发向A点作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动,速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动,P点也同时停止运动).过Q点做x轴的垂线,与直线AB交与点F,延长QF到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时,M点、N点也随之运动).若P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值.‎ ‎【答案】解:(1)∵抛物线经过原点,‎ ‎∴m2—3m+2=0.‎ 解的m1=1,m2=2.‎ 由题意知m≠1.‎ ‎∴m=2,‎ ‎∴抛物线的解析式为 ‎∵点B(2,n)在抛物线,‎ n=4.‎ ‎∴B点的坐标为(2,4)‎ ‎(2)①设直线OB的解析式为y=k1x 求得直线OB的解析式y=2x ‎∵A点是抛物线与x轴的一个交点,‎ 可求得A点的坐标为(10,0),‎ 设P点的坐标为(a,0),则E点的坐标为(a,2a).‎ 根据题意做等腰直角三角形PCD,如图1. ‎ 可求得点C的坐标为(3a,2a),‎ 有C点在抛物线上,‎ 得2a=-x(3a)2+x3a.‎ 即a2— a=0‎ 解得 a1=,a2=0(舍去)‎ ‎∴OP= ‎ ‎②依题意作等腰直角三角形QMN.‎ 设直线AB的解析式y=k2x+b 由点A(10 ,0),点B(2,4),求得直线AB的解析式为y=-x+5‎ 当P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以下三种情况:‎ 第一种情况:CD与NQ在同一条直线上,如图2所示,‎ 可证△DPQ为等腰直角三角形.此时QP、OP、AQ的长可依次表示为t 、4t、 2t个单位.‎ ‎∴PQ = DP = 4t ‎∴t+4t+2t=10‎ ‎∴t=‎ 第二种情况:PC与MN在同一条直线上,如图3所示.可证△PQM为等腰直角三角形.‎ 此时OP、AQ的长依次表示为t、2t个单位,‎ ‎∴OQ = 10 - 2t ‎∵F点在直线AB上 ‎∴FQ=t ‎∵MQ=2t ‎∴PQ=MQ=CQ=2t ‎∴t+2t+2t=10‎ ‎∴t=2.‎ 第三种情况:点P、Q重合时,PD、QM在同一条直线上,如图4所示,此时OP、AQ 的长依次表示为t、2t个单位.‎ ‎∴t+2t=10‎ ‎∴t=‎ 综上,符合题意的值分别为,2,.‎ ‎36.(2010云南红河哈尼族彝族自治州)二次函数的图像如图8所示,请将此图像向右平移1个单位,再向下平移2个单位.‎ ‎ (1)画出经过两次平移后所得到的图像,并写出函数的解析式.‎ ‎ (2)求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标,指出当x满足什么条件时,函数值大于0?‎ ‎【答案】解:画图如图所示:‎ 依题意得:‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎∴平移后图像的解析式为:‎ ‎(2)当y=0时,=0‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴平移后的图像与x轴交与两点,坐标分别为(,0)和(,0)‎ 由图可知,当x<或x>时,二次函数的函数值大于0.‎ ‎37.(2010云南楚雄)已知:如图,抛物线与轴相交于两点A(1,0),‎ B(3,0).与轴相较于点C(0,3).‎ ‎(1)求抛物线的函数关系式;‎ ‎(2)若点D()是抛物线上一点,请求出的值,并求处此时△ABD 的面积.‎ ‎【答案】解:(1)由题意可知 解得 所以抛物线的函数关系式为.‎ ‎(2)把D()代人函数解析式中,得.‎ 所以.‎ ‎38.(2010湖北随州)已知抛物线顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线作垂线,垂足为M,连FM(如图).‎ ‎(1)求字母a,b,c的值;‎ ‎(2)在直线x=1上有一点,求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并证明此时△PFM为正三角形;‎ ‎(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请求出t值,若不存在请说明理由.‎ ‎【答案】(1)a=-1,b=2,c=0‎ ‎(2)过P作直线x=1的垂线,可求P的纵坐标为,横坐标为.此时,MP=MF=PF=1,故△MPF为正三角形.‎ ‎(3)不存在.因为当t<,x<1时,PM与PN不可能相等,同理,当t>,x>1时,PM与PN不可能相等.‎ ‎39.(2010河南)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(4,0),B(0,一4),C(2,0)三点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;‎ ‎ (3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.‎ ‎【答案】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),则有 ‎ 解得 ‎ ∴抛物线的解析式y=x2+x﹣4‎ ‎ (2)过点M作MD⊥x轴于点D.设M点的坐标为(m,n).‎ ‎ 则AD=m+4,MD=﹣n,n=m2+m-4 .‎ ‎ ∴S = S△AMD+S梯形DMBO-S△ABO ‎ = ( m+4) (﹣n)+(﹣n+4) (﹣m) -×4×4‎ ‎ = ﹣2n-2m-8‎ ‎ = ﹣2(m2+m-4) -2m-8‎ ‎ = ﹣m2-4m (-4< m < 0)‎ ‎∴S最大值 = 4 ‎ ‎ (3)满足题意的Q点的坐标有四个,分别是:(-4 ,4 ),(4 ,-4),‎ ‎(-2+,2-),(-2-,2+)‎ ‎40.(2010四川乐山)如图(13.1),抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),连接AC,若tan∠OAC=2.‎ ‎(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;‎ ‎(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使∠APC=90°,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)如图(13.2)所示,连接BC,M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点,过点M作直线l′∥l,交抛物线于点N,连接CN、BN,设点M的横坐标为t.当t为何值时,△BCN的面积最大?最大面积为多少?‎ ‎【答案】解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点C(0,2). ∴x=2‎ 又∵tan∠OAC==2, ∴OA=1,即A(1,0).‎ 又∵点A在抛物线y=x2+bx+2上. ∴0=12+b×1+2,b=-3‎ ‎∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2-3x+2‎ ‎(2)存在 过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示,‎ ‎∴x=-.∴AE=OE-OA=-1=,∵∠APC=90°,‎ ‎∴tan∠PAE= tan∠CPD∴,即,解得PE=或PE=,‎ ‎∴点P的坐标为(,)或(,)。(备注:可以用勾股定理或相似解答)‎ ‎(3)如图,易得直线BC的解析式为:y=-x+2,‎ ‎∵点M是直线l′和线段BC的交点,∴M点的坐标为(t,-t+2)(0<t<2)‎ ‎∴MN=-t+2-(t2-3t+2)=- t2+2t ‎∴S△BCM= S△MNC+S△MNB=MN▪t+MN▪(2-t)‎ ‎=MN▪(t+2-t)=MN=- t2+2t(0<t<2),‎ ‎∴S△BCN=- t2+2t=-(t-1)2+1‎ ‎∴当t=1时,S△BCN的最大值为1。‎ ‎41.(2010江苏徐州)如图,已知二次函数y=的图象与y轴交于点A,与x轴 ‎ 交于B、C两点,其对称轴与x轴交于点D,连接AC. 全品中考网 ‎ (1)点A的坐标为_______ ,点C的坐标为_______ ;‎ ‎ (2)线段AC上是否存在点E,使得△EDC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎ (3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点,连接PA、PC,若所得△PAC的面积为S,则S取何值时,相应的点P有且只有2个?‎ ‎【答案】‎ ‎42.(2010云南昆明)在平面直角坐标系中,抛物线经过O(0,0)、A(4,0)、B(3,)三点.‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)以OA的中点M为圆心,OM长为半径作⊙M,在(1)中的抛物线上是否存在这样的点P,过点P作⊙M的切线l ,且l与x轴的夹角为30°,若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.(注意:本题中的结果可保留根号) ‎ ‎【答案】解:(1)设抛物线的解析式为:‎ ‎ 由题意得: ‎ 解得: ‎ ‎∴抛物线的解析式为: ‎ ‎(2)存在 ‎ ‎ ‎ l′‎ 抛物线的顶点坐标是,作抛物线和⊙M(如图),‎ 设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B,与⊙M相切于点C 连接MC,过C作CD⊥ x 轴于D ‎ ‎∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30°, CM⊥BC ‎∴∠BCM = 90° ,∠BMC = 60° ,BM = 2CM = 4 , ∴B (-2, 0) ‎ ‎ 在Rt△CDM中,∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30°‎ ‎∴DM = 1, CD = = ∴ C (1, )‎ 设切线 l 的解析式为:,点B、C在 l 上,可得:‎ ‎ 解得: ‎ ‎∴切线BC的解析式为:‎ ‎∵点P为抛物线与切线的交点 由 解得: ‎ ‎∴点P的坐标为:, ‎ ‎∵ 抛物线的对称轴是直线 此抛物线、⊙M都与直线成轴对称图形 于是作切线 l 关于直线的对称直线 l′(如图)‎ 得到B、C关于直线的对称点B1、C1‎ l′满足题中要求,由对称性,得到P1、P2关于直线的对称点:‎ ‎ ,即为所求的点.‎ ‎∴这样的点P共有4个:,,,‎ ‎43.(2010陕西西安)如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过A(—1,0),B(3,0),C(0,—1)三点。‎ ‎ (1)求该抛物线的表达式;‎ ‎ (2)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P的坐标。 ‎ ‎【答案】解:(1)设该抛物线的表达式为。根据题意,得、‎ 解之,得 ‎ ‎∴所求抛物线的表达式为 ‎ (2)①当AB为边时,只要PQ//AB,且PQ=AB=4即可,‎ 又知点Q在y轴上,∴点P的横坐标为4或-4,这时,将 合条件的点P有两个,分别记为P1,P2。‎ 而当x=4时,‎ 此时 ‎ ‎②当AB为对角线时,只要线段PQ与线段AB互相平分即可,‎ 又知点Q在y轴上,且线段AB中点的横坐标为1,‎ ‎∴点P的横坐标为2,这时,符合条件的点P只有一个,记为P3,‎ 而当x=2时,y=-1,此时P3(2,-1)‎ 综上,满足条件的点 ‎44.(2010四川内江)如图,抛物线y=mx2―2mx―3m(m>0)与x轴交于A、B两点, 与y轴交于C点.‎ ‎(1)请求抛物线顶点M的坐标(用含m的代数式表示),A,B两点的坐标;‎ ‎(2)经探究可知,△BCM与△ABC的面积比不变,试求出这个比值;‎ ‎(3)是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线?若存在,请求出;如果不存在,请说明理由..‎ x M A B C y O ‎【答案】解:(1)∵y=mx2―2mx―3m=m(x2―2x―3)=m(x-1)2―4m,‎ ‎∴抛物线顶点M的坐标为(1,―4m) 2分 ‎∵抛物线y=mx2―2mx―3m(m>0)与x轴交于A、B两点,‎ ‎∴当y=0时,mx2―2mx―3m=0,‎ ‎∵m>0,‎ ‎∴x2―2x―3=0,‎ 解得x1=-1,x,2=3,‎ ‎∴A,B两点的坐标为(-1,0)、(3,0). 4分 ‎(2)当x=0时,y=―3m,‎ ‎∴点C的坐标为(0,-3m),‎ ‎∴S△ABC=×|3-(-1)|×|-3m|=6|m|=6m, 5分 过点M作MD⊥x轴于D,则OD=1,BD=OB-OD=2,MD=|-4m |=4m.‎ x M A B C y O D N ‎∴S△BCM=S△BDM +S梯形OCMD-S△OBC ‎=BD·DM+(OC+DM)·OD-OB·OC ‎=×2×4m+(3m+4m)×1-×3×3m=3m, 7分 ‎∴ S△BCM:S△ABC=1∶2. 8分 ‎(3)存在使△BCM为直角三角形的抛物线. ‎ 过点C作CN⊥DM于点N,则△CMN为Rt△,CN=OD=1,DN=OC=3m,‎ ‎∴MN=DM-DN=m,‎ ‎∴CM2=CN2+MN2=1+m2, ‎ 在Rt△OBC中,BC2=OB2+OC2=9+9m2,‎ 在Rt△BDM中,BM2=BD2+DM2=4+16m2.‎ ‎①如果△BCM是Rt△,且∠BMC=90°时,CM2+BM2=BC2,‎ 即1+m2+4+16m2=9+9m2,‎ 解得 m=±,‎ ‎∵m>0,∴m=.‎ ‎∴存在抛物线y=x2-x-使得△BCM是Rt△; 10分 ‎②①如果△BCM是Rt△,且∠BCM=90°时,BC2+CM2=BM2.‎ 即9+9m2+1+m2=4+16m2,‎ 解得 m=±1,‎ ‎∵m>0,∴m=1.‎ ‎∴存在抛物线y=x2-2x-3使得△BCM是Rt△; ‎ ‎③如果△BCM是Rt△,且∠CBM=90°时,BC2+BM2=CM2.‎ 即9+9m2+4+16m2=1+m2,‎ 整理得 m2=-,此方程无解,‎ ‎∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在.‎ ‎(或∵9+9m2>1+m2,4+16m2>1+m2,∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在.)‎ 综上的所述,存在抛物线y=x2-x-和y=x2-2x-3使得△BCM是Rt△.‎ ‎45.(2010广东东莞)已知二次函数的图象如图所示,它与轴的一个交点坐标为(-1,0),与轴的交点坐标为(0,3)‎ ‎⑴求出b,c的值,并写出此时二次函数的解析式;‎ ‎⑵根据图象,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围.‎ x y ‎3‎ ‎-1‎ O ‎【答案】⑴根据题意,得:,解得,所以抛物线的解析式为 ‎⑵令,解得;根据图象可得当函数值y为正数时,自变量x的取值范围是-1<<3.‎ ‎46.(2010 福建三明)已知抛物线经过点B(2,0)和点C(0,8),且它的对称轴是直线。‎ ‎ (1)求抛物线与轴的另一交点A坐标;(2分)‎ ‎ (2)求此抛物线的解析式;(3分)‎ ‎ (3)连结AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B)不重合,过点E作EF∥AC交BC于点F,连结CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式;‎ ‎(4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值,若 存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的 坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请 说明理由。‎ ‎【答案】(1)∵抛物线的对称轴是直线 ‎∴由对称性可得A点的坐标为(-6,0) …………2分 ‎ (2)∵点C(0,8)在抛物线的图象上 将A(-6,0)、B(2,0)代入表达式得 解得 ∴所求解析式为 ‎[也可用] …………5分 ‎ (3)依题意,AE=m,则BE=8-m ‎∵OA=6,OC=8,∴AC=10‎ ‎∵EF//AC ∴≌‎ 过点F作FG⊥AB,垂足为G,则 ‎ …………10分 ‎ (4)存在.理由如下:‎ ‎∴当m=4时,S有最大值,S最大值=8 …………12分 ‎∵m=4‎ ‎∴点E的坐标为(——-2,0)‎ 为等腰三角形 …………14分 ‎47.(2010湖北襄樊)如图7,四边形ABCD是平行四边形,AB=4,OB=2,抛物线过A、B、C三点,与x轴交于另一点D.一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动,运动到点A停止,同时一动点Q从点D出发,以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动,与点P同时停止.‎ ‎ (1)求抛物线的解析式;‎ ‎ (2)若抛物线的对称轴与AB交于点E,与x轴交于点F,当点P运动时间t为何值时,四边形POQE是等腰梯形?‎ ‎ (3)当t为何值时,以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似?‎ 图7‎ ‎ ‎ ‎【答案】解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴OC=AB=4.‎ ‎∴A(4,2),B(0,2),C(-4,0).‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c过点B,∴c=2.‎ 由题意,有 解得 ‎∴所求抛物线的解析式为.‎ ‎(2)将抛物线的解析式配方,得.‎ ‎∴抛物线的对称轴为x=2.‎ ‎∴D(8,0),E(2,2),F(2,0).‎ 欲使四边形POQE为等腰梯形,则有OP=QE.即BP=FQ.‎ ‎∴t=6-3t,即t=.‎ ‎ (3)欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似,‎ ‎∵∠PBO=∠BOQ=90°,∴有或,‎ 即PB=OQ或OB2=PB·QO.‎ ‎①若P、Q在y轴的同侧.当PB=OQ时,t=8-3t,∴t=2.‎ 当OB2=PB·QO时,t(8-3t)=4,即3t2-8t+4=0.‎ 解得.‎ ‎②若P、Q在y轴的异侧.当PB=OQ时,3t-8=t,∴t=4.‎ 当OB2=PB·QO时,t(3t-8)=4,即3t2-8t-4=0.解得.‎ ‎∵t=<0.故舍去,∴t=.‎ ‎∴当t=2或t=或t=4或t=秒时,以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似. ‎ ‎48.(2010 山东东营) 如图,已知二次函数的图象与坐标轴交于点A(-1, 0)和点 B(0,-5).‎ ‎(1)求该二次函数的解析式;‎ ‎(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P,使得△ABP的周长最小.请求出点P的坐标.‎ x O A ‎(第23题图)‎ B y ‎【答案】解:(1)根据题意,得…2分 解得 …………………………3分 x O A ‎(第23题图)‎ B y C P x=2‎ ‎∴二次函数的表达式为.……4分 ‎(2)令y=0,得二次函数的图象与x轴 ‎ 的另一个交点坐标C(5, 0).……………5分 由于P是对称轴上一点,‎ 连结AB,由于,‎ 要使△ABP的周长最小,只要最小.…………………………………6分 由于点A与点C关于对称轴对称,连结BC交对称轴于点P,则= BP+PC =BC,根据两点之间,线段最短,可得的最小值为BC.‎ 因而BC与对称轴的交点P就是所求的点.……………………………………8分 设直线BC的解析式为,根据题意,可得解得 所以直线BC的解析式为.…………………………………………………9分 因此直线BC与对称轴的交点坐标是方程组的解,解得 所求的点P的坐标为(2,-3).……………………………10分 ‎49.(2010 四川绵阳)如图,抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G.‎ ‎(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;‎ ‎(2)在直线EF上求一点H,使△CDH的周长最小,并求出最小周长;‎ ‎(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,‎ ‎△EFK的面积最大?并求出最大面积.‎ C E D G A x y O B F ‎【答案】(1)由题意,得 解得,b =-1.‎ 所以抛物线的解析式为,顶点D的坐标为(-1,).‎ ‎(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M.因为EF垂直平分BC,即C关于直线EG的对称点为B,连结BD交于EF于一点,则这一点为所求点H,使DH + CH最小,即最小为 DH + CH = DH + HB = BD =. 而 .‎ ‎∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =.‎ 设直线BD的解析式为y = k1x + b,则 解得 ,b1 = 3.‎ 所以直线BD的解析式为y =x + 3.‎ 由于BC = 2,CE = BC∕2 =,Rt△CEG∽△COB,‎ 得 CE : CO = CG : CB,所以 CG = 2.5,GO = 1.5.G(0,1.5).‎ 同理可求得直线EF的解析式为y =x +.‎ 联立直线BD与EF的方程,解得使△CDH的周长最小的点H(,).‎ ‎(3)设K(t,),xF<t<xE.过K作x轴的垂线交EF于N.‎ 则 KN = yK-yN =-(t +)=.‎ 所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN(t + 3)+KN(1-t)= 2KN = -t2-3t + 5 =-(t +)2 +.‎ 即当t =-时,△EFK的面积最大,最大面积为,此时K(-,).‎ ‎50.(2010 湖北孝感) 如图,已知二次函数图像的顶点坐标为(2,0),直线与二次函数的图像交于A、B两点,其中点A在y轴上。‎ ‎ (1)二次函数的解析式为y= ;(3分)‎ ‎ (2)证明点不在(1)中所求的二次函数的图像上;(3分)‎ ‎ (3)若C为线段AB的中点,过C点作轴于E点,CE与二次函数的图像交于D点。‎ ‎ ①y轴上存在点K,使以K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形,则K点的坐标是 ;(2分)‎ ‎ ②二次函数的图像上是否存在点P,使得?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由。(4分)‎ ‎【答案】(1)解: …………3分 ‎ (2)证明:设点的图像上,‎ 则有: …………4分 整理得 ‎∴原方程无解 …………5分 的图象上 …………6分 说明:由 从而判断点不在二次函数图像上的同样给分。‎ ‎ (3)解:①; …………8分 ‎②二次函数的图象上存在点P,使得 如图,过点B作轴于F,则BF//CE//AO,又C为AB中点,‎ ‎ …………9分 设,由题意有:‎ ‎ …………10分 解得 …………11分 ‎ ………………12分 说明:在求出得到 ‎△POE的边OE上的高为16,即点P的纵坐标为16,‎ 然后由可求出P点坐标。‎ ‎51.(2010 江苏镇江)运算求解 ‎ 已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点.‎ ‎ (1)求C1的顶点坐标;‎ ‎ (2)将C1向下平移若干个单位后,得抛物线C2,如果C2与x轴的一个交点为A(—3,0),求C2的函数关系式,并求C2与x轴的另一个交点坐标;‎ ‎ (3)若的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (1分)‎ 轴有且只有一个公共点,∴顶点的纵坐标为0.‎ ‎∴C1的顶点坐标为(—1,0) (2分)‎ ‎ (2)设C2的函数关系式为 把A(—3,0)代入上式得 ‎∴C2的函数关系式为 (3分)‎ ‎∵抛物线的对称轴为轴的一个交点为A(—3,0),由对称性可知,它与x轴的另一个交点坐标为(1,0). (4分)‎ ‎ (3)当的增大而增大,‎ 当 (5分)‎ ‎52.(2010江苏苏州) (本题满分9分)如图,以A为顶点的抛物线与y轴交于点B.已知A、B两点的坐标分别为(3,0)、(0,4).‎ ‎ (1)求抛物线的解析式;‎ ‎ (2)设M(m,n)是抛物线上的一点(m、n为正整数),且它位于对称轴的右侧.若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数,求点M的坐标;‎ ‎ (3)在(2)的条件下,试问:对于抛物线对称轴上的任意一点P,PA2+PB2+PM2>28是 否总成立?请说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎53.(2010广东广州,21,12分)已知抛物线y=-x2+2x+2.‎ ‎(1)该抛物线的对称轴是 ,顶点坐标 ;‎ ‎(2)选取适当的数据填入下表,并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象;‎ x ‎…‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎…‎ ‎(3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足x1>x2>1,试比较y1与y2的大小.‎ ‎【答案】解:(1)x=1;(1,3)‎ ‎(2)‎ x ‎…‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎-1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎-1‎ ‎…‎ ‎(3)因为在对称轴x=1右侧,y随x的增大而减小,又x1>x2>1,所以y1<y2.‎ ‎54.(10湖南益阳)如图,在平面直角坐标系中,已知A、B、C三点的坐标分别为A(-2,0),B(6,0),C(0,3).‎ ‎(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;‎ ‎(2)过C点作CD平行于轴交抛物线于点D,写出D点的坐标,并求AD、BC的交点E的坐标;‎ ‎(3)若抛物线的顶点为P,连结PC、PD,判断四边形CEDP的形状,并说明理由.‎ ‎【答案】解:⑴ 由于抛物线经过点,可设抛物线的解析式为,则,         ‎ ‎ 解得 ‎∴抛物线的解析式为   ……………………………4分 ‎⑵ 的坐标为 ……………………………5分 直线的解析式为 直线的解析式为 ‎ 由 ‎ 求得交点的坐标为        ……………………………8分 ‎⑶ 连结交于,的坐标为 又∵,‎ ‎  ∴,且 ‎    ∴四边形是菱形          ……………………………12分 ‎55.(2010江苏南京)(7分)已知点A(1,1)在二次函数图像上。‎ ‎(1)用含的代数式表示;‎ ‎(2)如果该二次函数的图像与轴只有一个交点,求这个二次函数的图像的顶点坐标。‎ ‎【答案】‎ ‎56.(2010江苏盐城)(本题满分12分)已知:函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点.‎ ‎(1)求这个函数关系式;‎ ‎(2)如图所示,设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B,与y轴的交点为A,P为图象上的一点,若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B,求P点的坐标;‎ ‎(3)在(2)中,若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M,试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上,若在抛物线上,求出M点的坐标;若不在,请说明理由.‎ A x y O B ‎【答案】解:(1)当a = 0时,y = x+1,图象与x轴只有一个公共点………(1分)‎ 当a≠0时,△=1- 4a=0,a = ,此时,图象与x轴只有一个公共点.‎ ‎∴函数的解析式为:y=x+1 或`y=x2+x+1……(3分)‎ ‎ (2)设P为二次函数图象上的一点,过点P作PC⊥x ‎ 轴于点C.‎ ‎∵是二次函数,由(1)知该函数关系式为:‎ y=x2+x+1,则顶点为B(-2,0),图象与y轴的交点 坐标为A(0,1)………(4分)‎ ‎∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO ‎ ∴Rt△PCB∽Rt△BOA ‎ ∴,故PC=2BC,……………………………………………………(5分)‎ 设P点的坐标为(x,y),∵∠ABO是锐角,∠PBA是直角,∴∠PBO是钝角,∴x<-2‎ ‎∴BC=-2-x,PC=-4-2x,即y=-4-2x, P点的坐标为(x,-4-2x)‎ ‎∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上,∴-4-2x=x2+x+1…………………(6分)‎ 解之得:x1=-2,x2=-10‎ ‎∵x<-2 ∴x=-10,∴P点的坐标为:(-10,16)…………………………………(7分)‎ ‎(3)点M不在抛物线上……………………………………………(8分)‎ 由(2)知:C为圆与x 轴的另一交点,连接CM,CM与直线PB的交点为Q,过点M作x轴的垂线,垂足为D,取CD的中点E,连接QE,则CM⊥PB,且CQ=MQ ‎ ‎∴QE∥MD,QE=MD,QE⊥CE ‎∵CM⊥PB,QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB ‎∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB = CE=2QE=2×2BE=4BE,又CB=8,故BE=,QE= ‎∴Q点的坐标为(-,)‎ 可求得M点的坐标为(,)…………………………………………………(11分)‎ ‎∵=≠ ‎∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上……………………(12分)‎ ‎(其它解法,仿此得分)‎ ‎1‎ ‎-2‎ ‎1‎ A x y O B P M C Q E D ‎57.(2010辽宁丹东市)如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH,点H的坐标为(-8,0),点N的坐标为(-6,-4).‎ ‎(1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC,并写出顶点A,B,C的坐标(点M的对应点为A, 点N的对应点为B, 点H的对应点为C);‎ ‎(2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式; ‎ ‎(3)截取CE=OF=AG=m,且E,F,G分别在线段CO,OA,AB上,求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;面积S是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由;‎ ‎ (4)在(3)的情况下,四边形BEFG是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接写出此时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由.‎ 第26题图 ‎ ‎ ‎【答案】(1) 利用中心对称性质,画出梯形OABC. 1分 ‎∵A,B,C三点与M,N,H分别关于点O中心对称,‎ ‎∴A(0,4),B(6,4),C(8,0) 3分 ‎(写错一个点的坐标扣1分)‎ O M N H A C E F D B ‎↑‎ ‎→‎ ‎-8‎ ‎(-6,-4)‎ x y ‎(2)设过A,B,C三点的抛物线关系式为,‎ ‎∵抛物线过点A(0,4), ‎ ‎∴.则抛物线关系式为. 4分 将B(6,4), C(8,0)两点坐标代入关系式,得 ‎ 5分 ‎ 解得 6分 所求抛物线关系式为:. 7分 ‎(3)∵OA=4,OC=8,∴AF=4-m,OE=8-m. 8分 ‎ ∴ ‎ ‎ OA(AB+OC)AF·AGOE·OFCE·OA ‎ ‎ ‎ ( 0<<4) 10分 ‎∵. ∴当时,S的取最小值.‎ 又∵0<m<4,∴不存在m值,使S的取得最小值. 12分 ‎(4)当时,GB=GF,当时,BE=BG. 14分 ‎58.(2010山东济宁)如图,在平面直角坐标系中,顶点为(,)的抛物线交轴于点,交轴于,两点(点在点的左侧). 已知点坐标为(,).‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)过点作线段的垂线交抛物线于点, 如果以点为圆心的圆与直线相切,请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系,并给出证明;‎ ‎(第23题)‎ ‎(3)已知点是抛物线上的一个动点,且位于,两点之间,问:当点运动到什么位置时,的面积最大?并求出此时点的坐标和的最大面积.‎ ‎【答案】‎ ‎(1)解:设抛物线为.‎ ‎∵抛物线经过点(0,3),∴.∴.‎ ‎∴抛物线为. ……………………………3分 ‎ (2) 答:与⊙相交. …………………………………………………………………4分 证明:当时,,.‎ ‎ ∴为(2,0),为(6,0).∴.‎ 设⊙与相切于点,连接,则.‎ ‎∵,∴.‎ 又∵,∴.∴∽.‎ ‎∴.∴.∴.…………………………6分 ‎∵抛物线的对称轴为,∴点到的距离为2.‎ ‎∴抛物线的对称轴与⊙相交. ……………………………………………7分 ‎(3) 解:如图,过点作平行于轴的直线交于点.‎ 可求出的解析式为.…………………………………………8分 设点的坐标为(,),则点的坐标为(,).‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴当时,的面积最大为.‎ ‎ 此时,点的坐标为(3,). …………………………………………10分 ‎(第23题)‎ ‎59.(2010甘肃兰州)(本题满分11分)如图1,已知矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3;抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E(4,0)‎ ‎(1)当x取何值时,该抛物线的最大值是多少?‎ ‎(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示). ‎ ‎① 当时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;‎ ‎② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5,若有可能,求出此时N点的坐标;若无可能,请说明理由.‎ 图1 图2‎ ‎【答案】解:(1)因抛物线经过坐标原点O(0,0)和点E(4,0)‎ 故可得c=0,b=4‎ 所以抛物线的解析式为…………………………………………1分 由 得当x=2时,该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分 ‎(2)① 点P不在直线ME上. ‎ 已知M点的坐标为(2,4),E点的坐标为(4,0),‎ 设直线ME的关系式为y=kx+b.‎ 于是得 ,解得 所以直线ME的关系式为y=-2x+8. …………………………………………3分 由已知条件易得,当时,OA=AP=,…………………4分 ‎∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8. [来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴ 当时,点P不在直线ME上. ……………………………………5分 ‎②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5‎ ‎∵ 点A在x轴的非负半轴上,且N在抛物线上, ‎ ‎∴ OA=AP=t.‎ ‎∴ 点P,N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) …………………………………6分 ‎∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ,‎ ‎∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t ‎ ‎…………………………………………………………………………………7分 ‎(ⅰ)当PN=0,即t=0或t=3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是三角形,此三角形的高为AD,∴ S=DC·AD=×3×2=3. ‎ ‎(ⅱ)当PN≠0时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是四边形 ‎∵ PN∥CD,AD⊥CD,‎ ‎∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3…………………8分 当-t 2+3 t+3=5时,解得t=1、2…………………………………………………9分 ‎ 而1、2都在0≤t≤3范围内,故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5‎ 综上所述,当t=1、2时,以点P,N,C,D为顶点的多边形面积为5,‎ 当t=1时,此时N点的坐标(1,3)………………………………………10分 当t=2时,此时N点的坐标(2,4)………………………………………11分 说明:(ⅱ)中的关系式,当t=0和t=3时也适合.(故在阅卷时没有(ⅰ),只有(ⅱ)也可以,不扣分)‎ ‎60.(2010山东青岛)已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.∠ACB = ∠EDF = 90°,∠DEF = 45°,AC = 8 cm,BC = 6 cm,EF = 9 cm.‎ 如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时,△DEF停止移动,点P也随之停止移动.DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s)(0<t<4.5).解答下列问题:‎ ‎(1)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?‎ ‎(2)连接PE,设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;是否存在某一时刻t,使面积y最小?若存在,求出y的最小值;若不存在,说明理由.‎ A D B C F ‎(‎ E ‎)‎ 图(1)‎ A D B C F E 图(2)‎ P Q ‎(3)是否存在某一时刻t,使P、Q、F三点在同一条直线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.(图(3)供同学们做题使用)‎ A B C 图(3)‎ ‎【答案】‎ 解:(1)∵点A在线段PQ的垂直平分线上,‎ ‎∴AP = AQ.‎ ‎ ∵∠DEF = 45°,∠ACB = 90°,∠DEF+∠ACB+∠EQC = 180°,‎ ‎∴∠EQC = 45°.‎ ‎ ∴∠DEF =∠EQC.‎ ‎ ∴CE = CQ. ‎ ‎ 由题意知:CE = t,BP =2 t, ‎ ‎ ∴CQ = t.‎ ‎ ∴AQ = 8-t.‎ ‎ 在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB = 10 cm .‎ ‎ 则AP = 10-2 t.‎ ‎ ∴10-2 t = 8-t.‎ ‎ 解得:t = 2.‎ ‎ 答:当t = 2 s时,点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分 图(2)‎ Q A D B C F E P M ‎ (2)过P作,交BE于M,‎ ‎∴.‎ 在Rt△ABC和Rt△BPM中,,‎ ‎ ∴ . ∴PM = .‎ ‎ ∵BC = 6 cm,CE = t, ∴ BE = 6-t.‎ ‎ ∴y = S△ABC-S△BPE =-= -‎ ‎= = .‎ ‎∵,∴抛物线开口向上.‎ ‎∴当t = 3时,y最小=.‎ 答:当t = 3s时,四边形APEC的面积最小,最小面积为cm2. 8分 ‎ (3)假设存在某一时刻t,使点P、Q、F三点在同一条直线上.‎ 过P作,交AC于N,‎ C E A D B F 图(3)‎ P Q N ‎∴.‎ ‎∵,∴△PAN ∽△BAC.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴,.‎ ‎∵NQ = AQ-AN,‎ ‎∴NQ = 8-t-() = .‎ ‎∵∠ACB = 90°,B、C(E)、F在同一条直线上,‎ ‎∴∠QCF = 90°,∠QCF = ∠PNQ.‎ ‎∵∠FQC = ∠PQN,‎ ‎∴△QCF∽△QNP .‎ ‎∴ . ∴ . ‎ ‎∵ ∴‎ 解得:t = 1.‎ 答:当t = 1s,点P、Q、F三点在同一条直线上. 12分 ‎61.(2010山东烟台)(本题满分14分)‎ 如图,△ABC中AB=AC,BC=6,点D位BC中点,连接AD,AD=4,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E。‎ ‎(1)试判断四边形ADCE的形状并说明理由。‎ ‎(2)将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移,设移动时间为t(0≤t≤6)秒,平移后的四边形A’D’C’E’与△ABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数表达式,并写出相应的t的取值范围。‎ ‎【答案】‎ ‎62.(2010山东威海)(1)探究新知:‎ ‎①如图,已知AD∥BC,AD=BC,点M,N是直线CD上任意两点.‎ A B D C M N 图 ①‎ 求证:△ABM与△ABN的面积相等. ‎ ‎②如图,已知AD∥BE,AD=BE,AB∥CD∥EF,点M是直线CD上任一点,点G是直线EF上任一点.试判断△ABM与△ABG的面积是否相等,并说明理由. ‎ C 图 ②‎ A B D M F E G ‎(2)结论应用: ‎ 如图③,抛物线的顶点为C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点D.试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等? 若存在,请求出此时点E的坐标,若不存在,请说明理由. ‎ ‎﹙友情提示:解答本问题过程中,可以直接使用“探究新知”中的结论.﹚ ‎ A 图 ③‎ C D B O x y A 备用图 C D B O x y ‎【答案】‎ ‎﹙1﹚①证明:分别过点M,N作 ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为点E,F. ‎ A B D C M N 图 ①‎ E F ‎∵ AD∥BC,AD=BC, ‎ ‎∴ 四边形ABCD为平行四边形. ‎ ‎∴ AB∥CD. ‎ ‎∴ ME= NF. ‎ ‎∵S△ABM=,S△ABN=, ‎ ‎∴ S△ABM= S△ABN. ……………………………………………………………………1分 ‎②相等.理由如下:分别过点D,E作DH⊥AB,EK⊥AB,垂足分别为H,K.‎ H C 图 ②‎ A B D M F E G K 则∠DHA=∠EKB=90°. ‎ ‎∵ AD∥BE, ‎ ‎∴ ∠DAH=∠EBK. ‎ ‎∵ AD=BE, ‎ ‎∴ △DAH≌△EBK. ‎ ‎∴ DH=EK. ……………………………2分 ‎ ‎∵ CD∥AB∥EF, ‎ ‎∴S△ABM=,S△ABG=, ‎ ‎∴ S△ABM= S△ABG. ………………………………………………………………………3分 ‎﹙2﹚答:存在. …………………………………………………………………………4分 解:因为抛物线的顶点坐标是C(1,4),所以,可设抛物线的表达式为.‎ 又因为抛物线经过点A(3,0),将其坐标代入上式,得,解得.‎ ‎∴ 该抛物线的表达式为,即. ………………………5分 ‎∴ D点坐标为(0,3).‎ 设直线AD的表达式为,代入点A的坐标,得,解得.‎ ‎∴ 直线AD的表达式为. ‎ 过C点作CG⊥x轴,垂足为G,交AD于点H.则H点的纵坐标为. ‎ ‎∴ CH=CG-HG=4-2=2. …………………………………………………………6分 设点E的横坐标为m,则点E的纵坐标为. ‎ 过E点作EF⊥x轴,垂足为F,交AD于点P,则点P的纵坐标为,EF∥CG.‎ A 图 ③-1‎ C D B O x y H P G F P E 由﹙1﹚可知:若EP=CH,则△ADE与△ADC的面积相等. ‎ ‎①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚,‎ 则PF=,EF=. ‎ ‎∴ EP=EF-PF==. ‎ ‎∴ . ‎ 解得,. ……………………………7分 ‎ 当时,PF=3-2=1,EF=1+2=3. ‎ ‎∴ E点坐标为(2,3). ‎ 同理 当m=1时,E点坐标为(1,4),与C点重合. ………………………………8分 ‎②若E点在直线AD的下方﹙如图③-2,③-3﹚, ‎ 则. ……………………………………………9分 ‎∴.解得,. ………………………………10分 当时,E点的纵坐标为; ‎ 当时,E点的纵坐标为. ‎ A 图③-3‎ C D B O x y H P G F P E A 图③-2‎ C D B O x y H P G F P E ‎∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等,E点的坐标为E1(2,3);;. ……………………12分 ‎﹙其他解法可酌情处理﹚ ‎ ‎63.(2010四川凉山)已知:抛物线,顶点,与轴交于A、B两点,。‎ (1) 求这条抛物线的解析式;‎ (1) 如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线的对称轴交于点F,依次连接A、D、B、E,点Q为线段AB上一个动点(Q与A、B两点不重合),过点Q作于,于,请判断是否为定值;若是,请求出此定值,若不是,请说明理由;‎ (2) 在(2)的条件下,若点H是线段EQ上一点,过点H作,分别与边、相交于、,(与、不重合,与、不重合),请判断是否成立;若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由。‎ 第26题图 A B x G F M H E N Q O D C ‎ y ‎【答案】‎ ‎64.(2010四川眉山)如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(,0)、(0,4),抛物线经过B点,且顶点在直线上.‎ ‎(1)求抛物线对应的函数关系式;‎ ‎(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;‎ ‎(3)若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交 CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标.‎ ‎【答案】‎ 解:(1)由题意,可设所求抛物线对应的函数关系式为 …(1分)‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴ ……………………………………………………………(3分)‎ ‎ ∴所求函数关系式为: …………(4分)‎ ‎ (2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,‎ ‎∴‎ ‎∵四边形ABCD是菱形 ‎∴BC=CD=DA=AB=5 ……………………………………(5分)‎ ‎∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0). …………(6分)‎ 当时,‎ 当时,‎ ‎∴点C和点D在所求抛物线上. …………………………(7分)‎ ‎(3)设直线CD对应的函数关系式为,则 解得:.‎ ‎∴ ………(9分)‎ ‎∵MN∥y轴,M点的横坐标为t,‎ ‎∴N点的横坐标也为t.‎ 则, ,……………………(10分)‎ ‎∴‎ ‎∵, ∴当时,,‎ 此时点M的坐标为(,). ………………………………(12分)‎ ‎65.(2010浙江杭州) (本小题满分12分) ‎ ‎(第24题)‎ 在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y =+1,‎ 点C的坐标为(–4,0),平行四边形OABC的顶点A,B在抛物 线上,AB与y轴交于点M,已知点Q(x,y)在抛物线上,点 P(t,0)在x轴上. ‎ ‎ (1) 写出点M的坐标; ‎ ‎ (2) 当四边形CMQP是以MQ,PC为腰的梯形时.‎ ‎① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围;‎ ‎② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1:2时,求t的值.‎ ‎【答案】‎ ‎(本小题满分12分)‎ ‎(第24题)‎ ‎(1) ∵OABC是平行四边形,∴AB∥OC,且AB = OC = 4,‎ ‎∵A,B在抛物线上,y轴是抛物线的对称轴,‎ ‎∴ A,B的横坐标分别是2和– 2, ‎ 代入y =+1得, A(2, 2 ),B(– 2,2),‎ ‎∴M (0,2), ---2分 ‎ (2) ① 过点Q作QH ^ x轴,设垂足为H, 则HQ = y ,HP = x–t ,‎ 由△HQP∽△OMC,得:, 即: t = x – 2y ,‎ ‎ ∵ Q(x,y) 在y = +1上, ∴ t = –+ x –2. ---2分 当点P与点C重合时,梯形不存在,此时,t = – 4,解得x = 1±,‎ 当Q与B或A重合时,四边形为平行四边形,此时,x = ± 2‎ ‎∴x的取值范围是x ¹ 1±, 且x¹± 2的所有实数. ---2‎ 分 ‎② 分两种情况讨论: ‎ ‎1)当CM > PQ时,则点P在线段OC上, ‎ ‎ ∵ CM∥PQ,CM = 2PQ ,‎ ‎∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍,即2 = 2(+1),解得x = 0 ,‎ ‎∴t = –+ 0 –2 = –2 . --- 2分 ‎2)当CM < PQ时,则点P在OC的延长线上,‎ ‎ ∵CM∥PQ,CM = PQ,‎ ‎∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍,即+1=2´2,解得: x = ±. ---2分 ‎ 当x = –时,得t = –––2 = –8 –, ‎ 当x=时, 得t =–8. ---2分 ‎ ‎66.(2010浙江嘉兴)如图,已知抛物线交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B.‎ ‎(1)求A、B两点的坐标,并求直线AB的解析式;‎ ‎(2)设()是直线上的一点,Q是OP的中点(O是原点),以PQ为对角线作正方形PEQF.若正方形PEQF与直线AB有公共点,求x的取值范围;‎ ‎(3)在(2)的条件下,记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S,求S关于x的函数解析式,并探究S的最大值.‎ ‎(第24题)‎ ‎【答案】(1)令,得,即,‎ 解得,,所以.令,得,所以.‎ 设直线AB的解析式为,则,解得,‎ 所以直线AB的解析式为. …5分 ‎(2)当点在直线AB上时,,解得,‎ 当点在直线AB上时,,解得.‎ 所以,若正方形PEQF与直线AB有公共点,则. …4分 ‎(3)当点在直线AB上时,(此时点F也在直线AB上)‎ ‎,解得.‎ ‎①当时,直线AB分别与PE、PF有交点,设交点分别为C、D,‎ ‎(第24题)‎ 此时,,‎ 又,‎ 所以,‎ 从而,‎ ‎.‎ 因为,所以当时,.‎ ‎②当时,直线AB分别与QE、QF有交点,设交点分别为M、N,‎ ‎(第24题 备用)‎ 此时,,‎ 又,‎ 所以,‎ 即.‎ 其中当时,.‎ 综合①②得,当时,. …5分 ‎67.(2010浙江宁波)如图,已知二次函数的图象经过A(2,0)、B(0,-6)两点.‎ ‎ (1)求这个二次函数的解析式;‎ ‎ (2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C,连结BA、BC,求△ABC的面积.‎ ‎(第20题)‎ ‎【答案】‎ ‎ 解:(1)把A(2,0)、B(0,-6)代入 ‎ 得: 1分 ‎ 解得 ‎ ∴这个二次函数的解析式为.       3分 ‎ (2) ∵该抛物线对称轴为直线 4分 ‎  ∴点C的坐标为(4,0) ‎ ‎ ∴AC=OC-OA=4-2=2‎ ‎ ∴   6分   ‎ ‎68.(2010浙江绍兴)如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是-2.‎ 第24题图 ‎ (1)求的值及点B的坐标; ‎ ‎(2)点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,‎ 在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点M的 直线为,且与x轴交于点N.‎ ‎① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为 ‎(1, 2),求点N的横坐标;‎ ‎② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横 坐标的取值范围.‎ ‎【答案】‎ 解:(1)∵ 点A在抛物线C1上,∴ 把点A坐标代入得 =1. ‎ ‎∴ 抛物线C1的解析式为,‎ ‎ 设B(-2,b), ∴ b=-4, ∴ B(-2,-4) . ‎ ‎(2)①如图1,‎ ‎∵ M(1, 5),D(1, 2), 且DH⊥x轴,∴ 点M在DH上,MH=5. ‎ 过点G作GE⊥DH,垂足为E,‎ 第24题图1‎ 由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1,‎ ‎∴ ME=4. ‎ 设N ( x, 0 ), 则 NH=x-1,‎ 由△MEG∽△MHN,得 ,‎ ‎∴ , ∴ ,‎ ‎∴ 点N的横坐标为. ‎ 第24题图2‎ ‎② 当点D移到与点A重合时,如图2,‎ 直线与DG交于点G,此时点N的横坐标最大.‎ 过点G,M作x轴的垂线,垂足分别为点Q,F,‎ 设N(x,0),‎ ‎∵ A (2, 4), ∴ G (, 2),‎ ‎∴ NQ=,NF =, GQ=2, MF =5.‎ ‎∵ △NGQ∽△NMF,‎ ‎∴ ,‎ 第24题图3‎ 图4‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ . ‎ 当点D移到与点B重合时,如图3,‎ 直线与DG交于点D,即点B, ‎ 此时点N的横坐标最小.‎ ‎ ∵ B(-2, -4), ∴ H(-2, 0), D(-2, -4),‎ 设N(x,0), ‎ ‎∵ △BHN∽△MFN, ∴ ,‎ ‎∴ , ∴ . ‎ ‎∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤. ‎ ‎69.(2010 嵊州市提前招生)(14分)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(-1,0),如图所示:抛物线经过点B。‎ ‎(1)写出点B的坐标;‎ ‎(2)求抛物线的解析式;‎ ‎(3)若三角板ABC从点C开始以每秒1个单位长度的速度向轴正方向平移,求点A落在抛物线上时所用的时间,并求三角板在平移过程扫过的面积。‎ ‎(4)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由。‎ ‎【答案】(1)B(-3,1)‎ ‎ (2)‎ ‎ (3)略 ‎ (4)P(1,-1)‎ ‎70.(2010 浙江省温州市)(本题l2分)如图,抛物线y=ax2+bx经过点A(4,0),B(2,2)。连结OB,AB.‎ ‎ (1)求该抛物线的解析式; 全品中考网 ‎ (2)求证:△OAB是等腰直角三角形;‎ ‎ (3)将△OAB绕点0按顺时针方向旋转l35°得到△0A′B′,写出△0A′B′的中点 ‎ P的出标.试判断点P是否在此抛物线上,并说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎71.(2010 浙江义乌)如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).‎ ‎(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;‎ ‎(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、 B1的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示-,并求出当S=36时点A1的坐标;‎ ‎(3)在图1中,设点D坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 解:(1)对称轴:直线 解析式:或 ‎ 顶点坐标:M(1,)‎ ‎ (2)由题意得 ‎ ‎3‎ 得:①‎ ‎ ‎ 得: ②‎ 把②代入①并整理得:(S>0) (事实上,更确切为S>6)‎ 当时, 解得: ‎ ‎ 把代入抛物线解析式得 ∴点A1(6,3)‎ ‎(3)存在 ‎ 解法一:易知直线AB的解析式为,可得直线AB与对称轴的 交点E的坐标为 C B A O y x 图1-1‎ D M E P Q F G ‎∴BD=5,DE=,DP=5-t,DQ= t ‎ 当∥时,‎ ‎ 得 ………2分 ‎ 下面分两种情况讨论: 设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G ‎①当时,如图1-1 ∵△FQE∽△FAG ∴∠FGA=∠FEQ ‎ ∴∠DPQ=∠DEB 易得△DPQ∽△DEB ∴‎ ‎∴ 得 ∴(舍去)…………………………3分 C B A O y x 图1-2‎ D M E F P Q G ② 当时,如图1-2‎ ‎∵△FQE∽△FAG ∴∠FAG=∠FQE ‎ ∵∠DQP=∠FQE ∠FAG=∠EBD ‎∴∠DQP=∠DBE 易得△DPQ∽△DEB ‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴, ∴‎ ‎ ∴当秒时,使直线、直线、轴围成的三角形与直线、直线、抛物线的对称轴围成的三角形相似………………………………4分 ‎ (注:未求出能得到正确答案不扣分)‎ ‎ 解法二:可将向左平移一个单位得到,再用解法一类似的方法可求得 ‎ , , ‎ ‎ ∴ , .‎ ‎72.(2010 重庆)已知:如图(1),在直角坐标系xOy中,边长为2的等边△的顶点在第一象限,顶点在轴的正半轴上. 另一等腰△的顶点在第四象限,,.现有两动点,分别从,两点同时出发,点以每秒1个单位的速度沿向点运动,点以每秒3个单位的速度沿运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止.‎ ‎ ‎ ‎(1)求在运动过程中形成的△的面积与运动的时 间之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;‎ ‎(2)在等边△的边上(点除外)存在点,使得△为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标;‎ ‎(3)如图(2),现有,其两边分别与, 交于点,,连接.将绕着 点旋转(旋转角),使得,始终在边和边上.试判断在这一过程中,△的周长是否发生变化?若没变化,请求出 其周长;若发生变化,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)过点作于点.(如图①)‎ ‎26题答图①‎ ‎∵,,‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵,, ∴.‎ ‎ 在Rt中,. (1分)‎ ‎26题答图②‎ ‎ (ⅰ)当时,,,;‎ 过点作于点.(如图①)‎ ‎ 在Rt中,∵,∴,‎ ‎∴.‎ ‎ 即 . (3分)‎ ‎ (ⅱ)当时,(如图②)‎ ‎,.‎ ‎∵,,∴.‎ ‎∴.‎ 即.‎ 故当时,,当时,. (5分)‎ ‎26题答图③‎ ‎(2)或或或. (9分)‎ ‎(3)的周长不发生变化.‎ 延长至点,使,连结.(如图③)‎ ‎∵,‎ ‎∴≌.‎ ‎∴,. (10分)‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴.‎ 又∵.‎ ‎ ∴≌.∴. (11分)‎ ‎∴.‎ ‎∴的周长不变,其周长为4. (12分)‎ ‎73.(2010重庆市潼南县)(12分)如图, 已知抛物线与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-1).‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连结DC,当△DCE 的面积最大时,求点D的坐标;‎ ‎(3)在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】‎ 解:(1)∵二次函数的图像经过点A(2,0)C(0,-1)‎ ‎∴‎ ‎ 解得: b=- c=-1-------------------2分 ‎∴二次函数的解析式为 --------3分 ‎(2)设点D的坐标为(m,0) (0<m<2)‎ ‎∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE∽△AOC得, --------------4分 ‎∴‎ ‎∴DE=-----------------------------------5分 ‎∴△CDE的面积=××m ‎==‎ 当m=1时,△CDE的面积最大 ‎∴点D的坐标为(1,0)--------------------------8分 ‎(3)存在 由(1)知:二次函数的解析式为 设y=0则 解得:x1=2 x2=-1‎ ‎∴点B的坐标为(-1,0) C(0,-1)‎ 设直线BC的解析式为:y=kx+b ‎∴ 解得:k=-1 b=-1‎ ‎∴直线BC的解析式为: y=-x-1‎ 在Rt△AOC中,∠AOC=900 OA=2 OC=1‎ 由勾股定理得:AC=‎ ‎∵点B(-1,0) 点C(0,-1)‎ ‎∴OB=OC ∠BCO=450‎ ‎①当以点C为顶点且PC=AC=时,‎ 设P(k, -k-1)‎ 过点P作PH⊥y轴于H ‎∴∠HCP=∠BCO=450‎ CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中 k2+k2= 解得k1=, k2=-‎ ‎∴P1(,-) P2(-,)---10分 ‎②以A为顶点,即AC=AP=‎ 设P(k, -k-1)‎ 过点P作PG⊥x轴于G AG=∣2-k∣ GP=∣-k-1∣‎ 在Rt△APG中 AG2+PG2=AP2‎ ‎(2-k)2+(-k-1)2=5‎ 解得:k1=1,k2=0(舍)‎ ‎∴P3(1, -2) ----------------------------------11分 ‎③以P为顶点,PC=AP设P(k, -k-1)‎ 过点P作PQ⊥y轴于点Q PL⊥x轴于点L ‎∴L(k,0)‎ ‎∴△QPC为等腰直角三角形 ‎ PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA=k ‎ ‎∴AL=∣k-2∣, PL=|-k-1|‎ 在Rt△PLA中 ‎(k)2=(k-2)2+(k+1)2‎ 解得:k=∴P4(,-) ------------------------12分 综上所述: 存在四个点:P1(,-) ‎ P2(-,) P3(1, -2) P4(,-)‎ ‎74.(2010山东聊城)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.‎ ‎(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;‎ ‎(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A 的距离与到点C的距离之和最小,并求此时点M的坐标;‎ ‎(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点,求使∠PCB=90º的点P的坐标.‎ E ‎【答案】解:(1)∵抛物线经过点C(0,-3)∴C=-3,∴y=ax2+bx-3,又抛物线经过点A(-1,0),对称轴为x=1,所以 ‎∴抛物线的函数关系式为y=x2-2x-3‎ ‎(2)∵点A(-1,0),对称轴为x=1,∴点B(2,0).‎ 设直线BC的函数关系式为y=kx+b,根据题意得 ‎ ‎∴直线BC的函数关系式为y=-3x-3,当x=1时,y=-6,∴点P的坐标为(1,-6).‎ ‎(3)如图,过点P作PD⊥OC,设P(1,y),则PE=|y|,DC=|-3-y|,‎ 在Rt△PEB中,PB2=22+|y|2=4+y2,在Rt△PCD中PC2=12+|-3-y|2=10+6y+y2,在Rt△OBC中,BC2=32+32=18,∵∠PCD=90º,∴PB2+PC2=BC2,∴4+y2+10+6y+y2=18,整理得y2+3y-2=0解得y1=,y2=.‎ ‎75.(2010 福建德化)(12分)如图1,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为 (2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.‎ ‎(1)求该抛物线的函数关系式;‎ ‎(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示). ‎ ‎① 当t=时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;‎ ‎② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.‎ 图2‎ B C O A D E M y x P N ‎·‎ 图1‎ B C O ‎(A)‎ D E M y x ‎【答案】解:(1)‎ ‎(2)①点P不在直线ME上 ‎②依题意可知:P(,),N(,)‎ 当时,以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD,依题意可得:‎ ‎ =+=+=‎ ‎=‎ ‎∵抛物线的开口方向:向下,∴当=,且时,=‎ 当时,点P、N都重合,此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形 依题意可得,==3‎ 综上所述,以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值.‎ ‎76.(2010 福建晋江)(13分)已知:如图,把矩形放置于直角坐标系中,,,取的中点,连结,把沿轴的负方向平移的长度后得到.‎ ‎(1)试直接写出点的坐标;‎ ‎(2)已知点与点在经过原点的抛物线上,点在第一象限内的该抛物线上移动,过点作轴于点,连结.‎ ‎①若以、、为顶点的三角形与相似,试求出点的坐标;‎ ‎②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点,使得的值最大.‎ A O x B C M y ‎【答案】‎ A O x D B C M y E P T Q 解:(1)依题意得:;…………………………………………………(3分)‎ ‎(2) ① ∵,,∴.‎ ‎ ∵抛物线经过原点,‎ ‎∴设抛物线的解析式为 又抛物线经过点与点 ‎∴ 解得:‎ ‎∴抛物线的解析式为.…………………(5分)‎ ‎∵点在抛物线上,‎ ‎∴设点.‎ ‎1)若∽,则, ,解得:(舍去)或 ‎,‎ ‎∴点.………………………………………………………………(7分)‎ ‎2)若∽,则, ,解得:(舍去)或,‎ ‎∴点.……………………………………………………………………(9分)‎ ‎②存在点,使得的值最大.‎ 抛物线的对称轴为直线,设抛物线与轴的另一个交点为,则点.………………………………………………………………………(10分)‎ ‎∵点、点关于直线对称,‎ ‎∴……………………………………………………………………(11分)‎ 要使得的值最大,即是使得的值最大,‎ 根据三角形两边之差小于第三边可知,当、、三点在同一直线上时,的值最大. ……………………………………………………………………………(12分)‎ 设过、两点的直线解析式为,‎ ‎∴ 解得:‎ ‎∴直线的解析式为.‎ 当时,.‎ ‎∴存在一点使得最大.………………………(13分)‎ ‎77.(2010湖南长沙)已知:二次函数的图象过点(1,0),一次函数图象经过原点和点(1,-b),其中a>b>0且a、b为实数.‎ ‎(1)求一次函数的表达式(用含b的式子表示);‎ ‎(2)试说明:这两个函数的图象交于不同的两点;‎ ‎(3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为、,求的范围.‎ ‎【答案】解:(1)设一次函数的表达式为y=kx(k为常数,k≠0) .∵一次函数图象经过原点和点(1,-b),∴把点(1,-b),代入y=kx,得-b=k,即k =-b ‎.∴一次函数的表达式为y=-bx. ‎ ‎(2)∵二次函数的图象过点(1,0),∴a+b=2, ∴ a =2-b.‎ 将二次函数与一次函数联立,得 整理,得(2-b)x2+2bx-2=0.‎ ‎∵b>0,∴k =-b<0.‎ ‎∴△=(2b)2-4(2-b)(-2)=4b2+16-8b>0.‎ ‎∴这两个函数的图象交于不同的两点. ‎ ‎(3)∵(2)中的两个交点的横坐标分别为、,∴+=,=‎ ‎∴‎ ‎∵,∵.‎ ‎78.(2010湖南长沙)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动.设运动时间为t秒.‎ ‎(1)用t的式子表示△OPQ的面积S;‎ ‎(2)求证:四边形OPBQ的面积是一个定值,并求出这个定值;‎ ‎(3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,抛物线经过B、P两点,过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N,当线段MN的长取最大值时,求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比.‎ ‎【答案】解:(1)由题意知,OQ=8-t,OP=t,‎ ‎ ∴.‎ ‎(2)由题意知,AB=OC=8,CQ= t, CB=OA=8,PA=8-t,‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴四边形OPBQ的面积是一个定值,这个定值为32.‎ ‎(3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,应满足.‎ 整理,得,‎ 解得,(不合题意).‎ 此时P(,0),B(,8) .‎ 因抛物线经过B、P两点,所以将B、P两点的坐标代入,得 解得 所以经过B、P两点的抛物线为.‎ 设过B、P两点的直线为y=kx+b, 将B、P两点的坐标代入,得 解得 所以过B、P两点的直线为y=x-8.‎ 依题得,动点M的坐标(x, x-8),N的坐标(x, )‎ MN=(x-8)-()=‎ 当时,MN的长最大,此时直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比3:1.‎ ‎79.(2010江苏宿迁)(本题满分12分)已知抛物线交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点,交y轴于点C,其顶点为D. ‎ ‎(1)求b、c的值并写出抛物线的对称轴;‎ ‎(2)连接BC,过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E.‎ 求证:四边形ODBE是等腰梯形;‎ ‎(3)抛物线上是否存在点Q,使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的?若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)求出:,,抛物线的对称轴为:x=2 ‎ ‎(2) 抛物线的解析式为,易得C点坐标为(0,3),D点坐标为(2,-1)‎ 设抛物线的对称轴DE交x轴于点F,易得F点坐标为(2,0),连接OD,DB,BE ‎∵OBC是等腰直角三角形,DFB也是等腰直角三角形,E点坐标为(2,2),‎ ‎∴∠BOE= ∠OBD= ∴OE∥BD ‎∴四边形ODBE是梯形 ………………5分 在和中,‎ OD= ,BE=‎ ‎∴OD= BE ‎∴四边形ODBE是等腰梯形 ………………7分 ‎(3) 存在, ………………8分 由题意得: ………………9分 设点Q坐标为(x,y),‎ 由题意得:=‎ ‎∴‎ 当y=1时,即,∴ , ,‎ ‎∴Q点坐标为(2+,1)或(2-,1) ………………11分 当y=-1时,即, ∴x=2,‎ ‎∴Q点坐标为(2,-1)‎ 综上所述,抛物线上存在三点Q(2+,1),Q (2-,1) ,Q(2,-1)‎ 使得=. ………………12分 E F Q1‎ Q3‎ Q2‎ ‎80.已知二次函数y=ax2+bx-3的图象经过点A(2,-3),B(-1,0). ‎ ‎(1)求二次函数的解析式;‎ ‎(2)填空:要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点,应把图象沿y轴向上平移 ‎ ▲ 个单位. ‎ ‎ 【答案】解:(1)由已知,有,即,解得 ‎∴所求的二次函数的解析式为. ‎ ‎(2) 4 ‎