中考高分的十八个关节 关节2 充分发挥方程的工具性作用 11页

‎ 关节二 ‎ 充分发挥方程的工具性作用 ‎ ‎ 方程是重要的数学工具，它可以干什么用呢？结论是：‎ 凡是有关“求值”的问题，不管是怎样的背景下和情境中，绝大多数情况都可以借助构造方程来解决。 ‎ ‎ ‎ 一、方程用于实际问题中的求值 这方面的题目，同学们做的已经很多，这里只举一例。‎ 例1 秋末，由于冷空气入侵，某地区地面气温急剧下降到‎0℃‎以下的天气称为“霜冻”。由霜冻所导致的植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害。‎ ‎ 秋末某天，气象台发布了该地区如下的降温预报：午夜0时至次日5时气温将匀速地由‎3℃‎降到—‎3℃‎，然后从次日5时至次日8时，气温将又匀速地由—‎3℃‎升到‎5℃‎，一种农作物在‎0℃‎以下持续超过3小时就会造成霜冻灾害，根据气象台的预报信息，你认为是否有必要对该农作物采取防冻措施？并说明理由。‎ ‎【观察与思考】‎ 第一， 这实际是要求出两个数值：一是0时至次日5时气温下降过程中在哪个时刻达到‎0℃‎；二是在次日5时至次日8时气温上升过程中，在哪个时刻达到‎0℃‎，显然是求值总问题。应分别构造方程来解决。‎ 第二， 可以用“匀速”所包含的“相等关系”来导出方程，即 ‎（事实上，只要把本问题的“温度差”看作“路程”，它就相当于行程问题了。）‎ 简解：设在0时至次日5时之间的时，气温降到‎0℃‎，则依题意有：‎ ‎（时）‎ 设在次日5时至次日8时之间的时气温升到‎0℃‎，依题意有：‎ ‎ ，解得（时）‎ ‎ 。‎ 气温在‎0℃‎以下的时间为3.625小时（大于3小时）因此，会对该农作物造成霜冻灾害，所以应对它采取防冻措施。‎ 二、方程用于数学问题中的价值 ‎ 数学问题中有形形色色或显或隐的求值问题，大都可借助方程来解决。‎ ‎1、借助方程，解决某些“数与式”的问题 ‎ 例1 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么，称这个正整数为“神秘数”。如：，因此4，12，20这三个数都是神秘数，‎ ‎（1）28和2008这两个数是神秘数吗？为什么？‎ ‎（2）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？‎ ‎【观察与思考】根据题中规定知道，若（※），(其中是整数，为正整数)，则就是“神秘数”。正整数是不是“神秘数”，就看使（※）式成立的整数是不是存在，存在时就是“神秘数”；不存在，就不是“神秘数”。这就是说，研究是不是“神秘数”的问题，就变成了研究（※）这个关于的方程有无整数解的问题。‎ 解：（1）方程有非负整数解3。即 ‎ 28是神秘数。‎ 方程，没有整数解，2008不是神秘数。‎ ‎（2），‎ 令解得不是整数。‎ 两个连续奇数的平方差（取正数）不是神秘数。‎ 例2 按下面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的的不同值最多有（ ）‎ 输入 计算的值 输出结果 是 否 A、2个 B、3个 C、 4个 D、5个 ‎ 【观察与思考】本题相当于按如下规律构造的方程：，‎ 有正整数解的共有多少个。可验证只有上述4个方程有正数解。‎ ‎ 解：选C。‎ ‎ 对于许多有关特定要求的数，式问题，常需要借助方程来解决。‎ ‎2、借助方程，解决某些几何图形的求值问题 例3 图1是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长为，则六边形的周长是 ‎ ‎【观察与思考】拼成六边形的9个等边三角形按大小共分为5类，从大到小边长逐减小，因此，可通过构造最大的等边三角形的边长的方程来求得它的值。‎ 从图2中可以看到最大三角形的边长是第四大三角形边长的2倍，易如：设最大的等边三角形的边长为，则有。‎ ‎ 图中六边形的六条边依次为：‎ 解： ‎ A B C D E F G N M 例4 如图，这是由五个边长为1的正方形组成的图形，过顶点A的一条直线和CD，ED分别相交于点M，N。假若直线MN绕过A旋转的过程中存在某一位置，使得MN将图形分成的两部分面积恰好相等，求这时线段EN的长。‎ ‎【观察与思考】可借助来构造关于EN的方程求其长。‎ 解：。‎ ‎∽‎ 得关于EN的方程 解得（不合题意，舍去）。‎ 许多图形的求值问题，可借助方程来解决，事实上，包括解直角三角形和用相似三角形的性质求边长，也是特定形式的方程，是方程思想的一种具体化表现。‎ ‎ ‎ ‎3、借助方程，解决函数相关的问题 例5 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于点E和F。从点A（1，0）和 O A B C D E F B（3，0）作轴的垂线，分别与直线交于点C和点D。已知，‎ 求直线的解析式。‎ ‎【观察与思考】若设直线的解析式为。现在要求出 ‎ 的值，为此去构造关于的方程组。而所给条件 ‎ “”就是这两个方程组所依据 的等量关系。‎ 解：设直线的解析式为，易知：‎ 依题意有方程组：‎ ‎ 解得 ‎ 直线的解析式为：‎ ‎（分）‎ ‎（米）‎ B A ‎10‎ ‎—2500‎ 例6 早晨，小丽与妈妈同时从家出发，步行与骑自行车到方向相反的两地上学与上班，图中所示是她们离家的路程（米）与时间（分）的函数图象。妈妈骑自行车走了10分钟接到小丽的电话，即以原速度骑车前往小丽的学校，并与小丽同时到达学校。已知小丽步行速度为每分‎50米，求小丽家与学校的距离及小丽早晨上学需要的时间。‎ ‎ 【观察与思考】点B的横坐标就是小丽早晨小学需要的时间 其纵坐标就是小丽家与学校的距离。本题的实质是求点B的坐标，‎ 也就是由OB，AB确定的函数关系式做成的方程组的解。而OB，OA 对应的函数易知。‎ 解：OB对应的函数关系式为：。‎ 因为妈妈10分钟骑自行车走了‎2500米，其速度为‎250米/分钟，‎ 所以，AB对应的函数关系式为：‎ 将（10，2500）代入，求得 ‎ ‎ 解方程组 得 ‎ 小丽家与学校的距离为‎1250米，小丽早晨上学需要25分钟。‎ ‎【说明】本题是将方程的思想和函数图象的意义紧密结合，才有如此简明的解决方法。‎ ‎ 许多和函数相关的问题，只要涉及到求值，常需要考虑借助方程。‎ ‎4、和运动有关的图形问题，凡属运动过程中的特定形状，特定数量以及特定位置关系的，大都需要借助构造方程来解决 A B C D M N 例7 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，，开始沿AD边向D点运动，速度为‎1厘米/秒，同时点N从点C开始沿CB向点B运动，速度为‎2厘米/秒，设运动的时间为秒。‎ （1） 当为何值时，四边形MNCD 是平行四边形？‎ ‎（2） 当为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？‎ ‎ 【观察与思考】对于（1），当四边形MNCD是平行四边形时，‎ MD=NC，就以这一相等关系构造关于的方程。‎ ‎ 对于（2），画出四边形MNCD是等腰梯形的草图，如图（2），‎ 作垂足为G，作垂足为H，此时应有NG=CH，‎ A B D M N 也即CN=MD+2CH。可以用这一相等关系的构造关于的方程来求解。‎ H G C 解：（1）MD=15—，CN=2，令MD=NC，得的方程 ‎ 。解得=5‎ 即=5（秒）时四边形MNCD是平行四边形。‎ ‎（2）令得关于的方程 ‎ 解得 即（秒）时，四边形MNCD是等腰梯形。‎ A B C D Q P 例8 如图，在□ABCD中，AB=4，AD=3，点P和点 Q同时从点A出发，以每秒1个单位的速度运动，点P沿AD→DC→CB向点B运动，点Q沿射线AB的方向运动。当点P运动到点B处时，两点的运动同时结束。设运动时间为秒。‎ ‎（1）当点P在边AD上运动时， 求使成为以D Q为底边的等腰三角形的时刻；‎ ‎ （2）当点P在边DC上运动时，是否存在时刻，使线段PQ和对角线BD互相平行？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当点P在边CB上运动时，可能成为直角三角形吗？写出你的判断，并说明理由；‎ ‎【观察与思考】以上三个问题，实际都归于建立关于的方程来解决。‎ A D P C Q B ‎ 解：（1）点P在边AD上运动时，。总有为等边三角形，即。‎ ‎ 令PD=PQ，即。‎ ‎ （秒）时，是以DQ为底边的等腰三角形。 （1）‎ （1） 当点P在边DC上运动时，。‎ ‎ 若有PQ//BD，则四边形DBQP为平行四边形，即PD=BQ，如图（1），也即，该方程无解。‎ ‎ 不存在这们的时刻，使PQ//BD。‎ ‎（3）点P在边CB上运动时，‎ ‎ 若为直角三角形，只有如图（2），此时。‎ A B C D P Q ‎ 令 ‎ 当，为直角三角形。‎ ‎（2）‎ ‎ 运动中变化着的图形或图形关系凡属“特殊图形”、“特定关系”、“特殊存在”类的问题，大都可通过构造相应的方程来解决。‎ ‎5、借助方程解决某些探索性问题 ‎ 例9 如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含的等式表示第个正方形点阵中的规律是 。‎ ‎ ……‎ ‎ …….‎ ‎【观察与思考】不难发现这样的规律:第个点阵点的总数为,被分成的两部分有关系:下边部分比上边部分多个点.如此一来,可用构造方程来确定要求的规律:‎ 设第个正方形点阵分成的两部分是个点,个点,则 解得 ‎ 解：应填： 。‎ 例10 欣赏下列的等式：‎ ‎ 写出一个由7个连续整数组成，前4个数的平方和等于后3个数的平方和的等式为： ；‎ ‎【观察与思考】关键是如何既简练又确切地表示“7个连续整数”，考虑到要计算“平方和”，那么最好的方法是，设为整数，则7个连续整数表示为：如此一来，可借助方程求出满足要求的和7个整数来。设有 则 即解得 ‎ 解： 。‎ ‎【说明】某些探索性问题，用方程来解决更准确、更迅速。关键是要善于发现问题有无构造方程的条件，以及如何恰当地应用方程。‎ 其实，方程的作用远不止这些。‎ 由上可知，必须确立如下的深刻认识：‎ ‎1、对于求未知数量值的问题，不管是具有实际背景的，还是纯数学的；不管是代数方面的，还是几何图形方面的；不管是显性的，还是较为隐含的，第一条思考解决的途径都应当是考虑“构造方程”和解方程。‎ ‎2、列出方程的关键是在深入分析题目情景后捕捉到“事关全局的相等关系”，以它为基础再具体化为方程。‎ 如上的深刻认识和有效的落实，才是“方程思想”的深刻表现，才能真正发挥方程的工具性作用。‎ ‎ 练习题 ‎ ‎1、某水果批发市场香蕉的价格如下表：‎ 购买香蕉数 ‎（千克）‎ 不超过 ‎20千克 ‎20千克以上且 不超过‎40千克 ‎40千克以上 每千克价格 ‎6元 ‎5元 ‎4元 某人共两次购买‎50千克香蕉（第二次多于第一次），共付款264元，请问他第一次，第二次分别购买香蕉多少千克？‎ A B 人车同向示意图 A B C 人车异向示意图 ‎2、某人在电车路轨旁与路轨平行的路上骑车行走，他留意到每隔6分钟有一部电车从他后面驶向前面，每隔两分钟有一部电车从对面驶向后面。假设电车和此人行驶的速度都不变（分别为表示），请你根据右面的示意图，求电车每隔几分钟（用表示）从车站开出一部？‎ ‎3、为确保信息安全，信息需要加密伟输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文对应的密文为。例如，明文1，2对应的密文是-3，4。那么当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是（ ）‎ ‎ A、 —1，1 B、1，‎3 C、 3，1 D、1，1‎ ‎4、直线轴分别交于点A和点B，若直线AB的长度等于，求直线的解析式，并在直角坐标系中画出它的图象。‎ ‎5、如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，，BC=16，DC=12，AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，设运动时间为（秒）。‎ ‎（1）当为何值时，以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？‎ A D C B P Q ‎（2）是否存在时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；‎ C A B ‎6、如图，抛物线和轴交于A，B两点，（点B在点A的右侧）。和轴交于点C，在轴上是否存在点P，使以点P，A，O为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ A B C F D E ‎7、如图在，E，F分别为边AB，AC上的点，当沿EF将折叠，恰使点A落在BC上的点D处，并且有时，点E，F分别在边AB上和AC上的什么位置？‎ A B C D E ‎8、如图AC=6，BC=8，点D在AC上，（不与点A，C重合）。点E在AB上（不与点A，B重合）。如果线段DE把的周长和面积都平分成相等的两部分，请求出AD和AE的长。‎ ‎9、星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩。从家出发2小时到达 目的地，游玩3小时后按原路返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图是他们离家的路程（千米）与时间（时）的函数图象。已知小强骑车的速度为15千米/时，妈妈驾车的速度为60千米/时。‎ ‎（时）‎ ‎（千米）‎ ‎2‎ ‎5‎ C D A B ‎ （1）小强家与游玩地的距离是多少千米？‎ ‎（2）妈妈出发多长时间与小强相遇？‎ ‎ 10、根据以下10个乘积，回答答问题：‎ ‎ ； ； ； ；‎ ‎； ； ； ； ；‎ 试将以上各乘积分别写成一个“□—○”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；‎ ‎11、已知正边形的周长为60，边长为。‎ ‎ （1）当时，请直接写出的值；‎ ‎ （2）把正边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍然是正多边形，它的边数为+7，周长为67，边长为；有人分别取等于3，20，120。再求出相应的与，然后断言：“无论取任何大于2的正整数，与一定不相等”。你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的的值。‎