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  • 2021-05-10 发布

2018中考总复习平行四边形专题

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‎25.(10分)已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F,且∠EAF=60° .‎ ‎(1)如图12-1,当点E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;‎ ‎(2)如图12-2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合),求证:BE=CF;‎ ‎(3)如图12-3,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15°时,求点F到BC的距离。‎ ‎(2016·济宁)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,∠ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.‎ ‎(1)EO=,求正方形ABCD的边长;‎ ‎(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.‎ ‎(2016·玉林)如图1,菱形ABCD对角线AC,BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点,四个顶点A,B,C,D分别在四边形EFGH的边EF,FG,GH,HE上.‎ ‎(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;‎ ‎(2)如图2,若四边形EFGH是矩形,当AC与FH重合时,‎ 已知=2,且菱形ABCD的面积是20,求矩形EFGH的长与宽.‎ ‎9.如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,则DH等于(  )‎ A.B.C.5 D.4‎ ‎17.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置,连接C′B,则C′B= ﹣1 .‎ ‎【考点】旋转的性质.‎ ‎【分析】连接BB′,根据旋转的性质可得AB=AB′,判断出△ABB′是等边三角形,根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB′,然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′,延长BC′交AB′于D,根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′,利用勾股定理列式求出AB,然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D,然后根据BC′=BD﹣C′D计算即可得解.‎ ‎【解答】解:如图,连接BB′,‎ ‎∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′,‎ ‎∴AB=AB′,∠BAB′=60°,‎ ‎∴△ABB′是等边三角形,‎ ‎∴AB=BB′,‎ 在△ABC′和△B′BC′中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABC′≌△B′BC′(SSS),‎ ‎∴∠ABC′=∠B′BC′,‎ 延长BC′交AB′于D,‎ 则BD⊥AB′,‎ ‎∵∠C=90°,AC=BC=,‎ ‎∴AB==2,‎ ‎∴BD=2×=,‎ C′D=×2=1,‎ ‎∴BC′=BD﹣C′D=﹣1.‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键,也是本题的难点.‎ ‎ ‎ ‎24.如图,把△EFP放置在菱形ABCD中,使得顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,已知EP=FP=6,EF=6,∠BAD=60°,且AB>6.‎ ‎(1)求∠EPF的大小;‎ ‎(2)若AP=10,求AE+AF的值;‎ ‎(3)若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动,请直接写出AP长的最大值和最小值.‎ ‎【考点】菱形的性质;几何问题的最值.‎ ‎【分析】(1)根据锐角三角函数求出∠FPG,最后求出∠EPF.‎ ‎(2)先判断出Rt△PME≌Rt△PNF,再根据锐角三角函数求解即可,‎ ‎(3)根据运动情况及菱形的性质判断求出AP最大和最小值.‎ ‎【解答】解:(1)过点P作PG⊥EF于点G,如图1所示.‎ ‎∵PE=PF=6,EF=6,‎ ‎∴FG=EG=3,∠FPG=∠EPG=∠EPF.‎ 在Rt△FPG中,sin∠FPG===,‎ ‎∴∠FPG=60°,‎ ‎∴∠EPF=120°.‎ ‎(2)过点P作PM⊥AB于点M,作PN⊥AD于点N,如图2所示.‎ ‎∵AC为菱形ABCD的对角线,‎ ‎∴∠DAC=∠BAC,AM=AN,PM=PN.‎ 在Rt△PME和Rt△PNF中,PM=PN,PE=PF,‎ ‎∴Rt△PME≌Rt△PNF,‎ ‎∴ME=NF.‎ 又AP=10,∠PAM=∠DAB=30°,‎ ‎∴AM=AN=APcos30°=10×=5,‎ ‎∴AE+AF=(AM+ME)+(AN﹣NF)=AM+AN=10.‎ ‎(3)如图,‎ 当△EFP的三个顶点分别在AB,AD,AC上运动,点P在P1,P之间运动,‎ ‎∴P1O=PO=3,AO=9,‎ ‎∴AP的最大值为12,AP的最小值为6,‎ ‎【点评】此题是菱形的性质题,主要考查了菱形的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数,解本题的关键是作出辅助线.‎ ‎ (2015·柳州T24·10分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8 cm,AD=12 cm,BC=18 cm,点P从点A出发以2 cm/s的速度沿A→D→C运动,点P从点A出发的同时点Q从点C出发,以1 cm/s的速度向点B运动,当点P到达点C时,点Q也停止运动.设点P,Q运动的时间为t秒.‎ ‎(1)从运动开始,当t取何值时,PQ∥CD?‎ ‎(2)从运动开始,当t取何值时,△PQC为直角三角形?‎ ‎【思路点拨】 (1)已知AD∥BC,添加PD=CQ,即可判断以P,Q,D,C为顶点的四边形是平行四边形;(2)点P处可能为直角,点Q处也可能是直角,故需要分类讨论求解.‎ 解:(1)当PQ∥CD时,四边形PDCQ是平行四边形,此时PD=QC,2分 ‎∴12-2t=t.解得t=4.‎ ‎∴当t=4时,PQ∥CD.4分 ‎(2)过D点作DF⊥BC于F.‎ ‎∴DF=AB=8,FC=BC-AD=18-12=6,‎ 由勾股定理得CD=10.‎ ‎①当PQ⊥BC时,则BQ+CQ=18,‎ 即2t+t=18,解得t=6;6分 ‎②当QP⊥PC时,此时P一定在DC上,‎ CP1=10+12-2t=22-2t,CQ1=t,‎ 易知△CDF∽△CQ1P1.‎ ‎∴=.解得t=;8分 ‎③当PC⊥BC时,‎ ‎∵∠DCB<90°,‎ ‎∴此种情形不存在.‎ 综上所述,当t=6或时,△PQC是直角三角形.10分 ‎.(2014·柳州)如图,正方形ABCD的边长为1,AB边上有一动点P,连接PD,线段PD绕点P顺时针旋转90°后,得到线段PE,且PE交BC于F,连接DF,过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q.‎ ‎(1)求线段PQ的长;‎ ‎(2)问:点P在何处时,△PFD ∽△BFP,并说明理由.‎ 解:(1)根据题意,得 PD=PE,∠DPE=90°,‎ ‎∴∠APD+∠QPE=90°.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=90°.‎ ‎∴∠ADP+∠APD=90°.‎ ‎∴∠ADP=∠QPE.‎ ‎∵EQ⊥AB,∴∠A=∠Q=90°.‎ 在△ADP和△QPE中, ‎∴△ADP≌△QPE(AAS).‎ ‎∴PQ=AD=1.‎ ‎(2)当P点为AB的中点时,△PFD∽△BFP.‎ 理由:∵∠ADP=∠BPF,∠A=∠FBP,‎ ‎∴△DAP∽△PBF.∴=.‎ ‎∵P点为AB的中点,‎ ‎∴PA=AB=PB.‎ ‎∴=,即=.‎ 又∵∠PBF=∠DPF,‎ ‎∴△PFD∽△BFP.‎ ‎2.(2017·海南)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,点E在AD边上运动,且不与点A和点D重合,连接CE,过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F,EF交BC于点G.‎ ‎(1)求证:△CDE≌△CBF;‎ ‎(2)当DE=时,求CG的长;‎ ‎(3)连接AG,在点E运动过程中,四边形CEAG能否为平行四边形?若能,求出此时DE的长;若不能,说明理由.‎ 解:(1)证明:在正方形ABCD中,DC=BC,∠D=∠ABC=∠DCB=90°,‎ ‎∴∠CBF=180°-∠ABC=90°,∠DCE+∠ECB=∠DCB=90°.‎ ‎∵CF⊥CE,∴∠ECF=90°.‎ ‎∴∠BCF+∠ECB=∠ECF=90°.‎ ‎∴∠DCE=∠BCF.‎ 在△CDE和△CBF中,‎ ‎∴△CDE≌△CBF(ASA).‎ ‎(2)在正方形ABCD中,AD∥BC,‎ ‎∴△GBF∽△EAF.‎ ‎∴=.‎ 由(1)知△CDE≌△CBF,‎ ‎∴BF=DE=.‎ ‎∵正方形的边长为1,‎ ‎∴AF=AB+BF=,AE=AD-DE=.‎ ‎∴=.∴BG=.‎ ‎∴CG=BC-BG=.‎ ‎(3)不能.理由:若四边形CEAG是平行四边形,则必须满足AE∥CG,AE=CG,‎ ‎∴AD-AE=BC-CG.∴DE=BG.‎ 由(1)知△CDE≌△CBF,‎ ‎∴DE=BF,CE=CF.‎ ‎∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形.‎ ‎∴∠GFB=45°,∠CFE=45°.‎ ‎∴∠CFA=∠GFB+∠CFE=90°.‎ 此时点F与点B重合,点D与点E重合,与题目条件不符,‎ ‎∴点E在运动过程中,四边形CEAG不能是平行四边形.‎ ‎4.(2017·贵港)已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2,D是AC边上的一个动点,将△ABD沿BD所在直线折叠,使点A落在点P处.‎ ‎(1)如图1,若点D是AC中点,连接PC.‎ ‎①写出BP,BD的长;‎ ‎②求证:四边形BCPD是平行四边形;‎ ‎(2)如图2,若BD=AD,过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H,求PH的长.‎ 解:(1)①BP=2,BD=2.‎ ‎②证明:延长BD至E,‎ ‎∵D是AC边的中点,AC=4,BC=2,‎ ‎∴DC=AD=BC.‎ 又∵∠ACB=90°,‎ ‎∴△BDC是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠BDC=∠ADE=45°.‎ 由折叠(轴对称)性质可知,‎ ‎∠EDP=∠ADE=45°,PD=AD=2,‎ ‎∴∠PDA=90°.‎ ‎∴PD∥BC,且PD=BC=2.‎ ‎∴四边形BCPD是平行四边形.‎ ‎(2)连接AP并延长与BC的延长线交于点F,延长BD与AP交于点E,‎ 由折叠(轴对称)性质可知,‎ PD=AD,∠PDE=∠ADE,BE⊥AP,PE=AE.‎ ‎∵BD=AD,‎ ‎∴在Rt△BDC中,由勾股定理,得 BD2=(4-BD)2+22,‎ ‎∴BD=.‎ ‎∵AD=BD,∠ADE=∠BDC,‎ ‎∴Rt△PDE≌Rt△ADE≌Rt△BDC.‎ ‎∴PA=2BC=4,∠FAC=∠DBC.‎ ‎∴Rt△FAC∽Rt△DBC.‎ ‎∴=.‎ ‎∴FA=5,则PF=1.‎ ‎∵PH⊥BC,∴PH∥AC.‎ ‎∴Rt△FPH∽Rt△FAC.‎ ‎∴=.‎ ‎∴PH=.‎