- 226.00 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
25.(10分)已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F,且∠EAF=60° .
(1)如图12-1,当点E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;
(2)如图12-2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合),求证:BE=CF;
(3)如图12-3,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15°时,求点F到BC的距离。
(2016·济宁)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,∠ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.
(1)EO=,求正方形ABCD的边长;
(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.
(2016·玉林)如图1,菱形ABCD对角线AC,BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点,四个顶点A,B,C,D分别在四边形EFGH的边EF,FG,GH,HE上.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)如图2,若四边形EFGH是矩形,当AC与FH重合时,
已知=2,且菱形ABCD的面积是20,求矩形EFGH的长与宽.
9.如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,则DH等于( )
A.B.C.5 D.4
17.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置,连接C′B,则C′B= ﹣1 .
【考点】旋转的性质.
【分析】连接BB′,根据旋转的性质可得AB=AB′,判断出△ABB′是等边三角形,根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB′,然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′,延长BC′交AB′于D,根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′,利用勾股定理列式求出AB,然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D,然后根据BC′=BD﹣C′D计算即可得解.
【解答】解:如图,连接BB′,
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′,
∴AB=AB′,∠BAB′=60°,
∴△ABB′是等边三角形,
∴AB=BB′,
在△ABC′和△B′BC′中,
,
∴△ABC′≌△B′BC′(SSS),
∴∠ABC′=∠B′BC′,
延长BC′交AB′于D,
则BD⊥AB′,
∵∠C=90°,AC=BC=,
∴AB==2,
∴BD=2×=,
C′D=×2=1,
∴BC′=BD﹣C′D=﹣1.
故答案为:﹣1.
【点评】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键,也是本题的难点.
24.如图,把△EFP放置在菱形ABCD中,使得顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,已知EP=FP=6,EF=6,∠BAD=60°,且AB>6.
(1)求∠EPF的大小;
(2)若AP=10,求AE+AF的值;
(3)若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动,请直接写出AP长的最大值和最小值.
【考点】菱形的性质;几何问题的最值.
【分析】(1)根据锐角三角函数求出∠FPG,最后求出∠EPF.
(2)先判断出Rt△PME≌Rt△PNF,再根据锐角三角函数求解即可,
(3)根据运动情况及菱形的性质判断求出AP最大和最小值.
【解答】解:(1)过点P作PG⊥EF于点G,如图1所示.
∵PE=PF=6,EF=6,
∴FG=EG=3,∠FPG=∠EPG=∠EPF.
在Rt△FPG中,sin∠FPG===,
∴∠FPG=60°,
∴∠EPF=120°.
(2)过点P作PM⊥AB于点M,作PN⊥AD于点N,如图2所示.
∵AC为菱形ABCD的对角线,
∴∠DAC=∠BAC,AM=AN,PM=PN.
在Rt△PME和Rt△PNF中,PM=PN,PE=PF,
∴Rt△PME≌Rt△PNF,
∴ME=NF.
又AP=10,∠PAM=∠DAB=30°,
∴AM=AN=APcos30°=10×=5,
∴AE+AF=(AM+ME)+(AN﹣NF)=AM+AN=10.
(3)如图,
当△EFP的三个顶点分别在AB,AD,AC上运动,点P在P1,P之间运动,
∴P1O=PO=3,AO=9,
∴AP的最大值为12,AP的最小值为6,
【点评】此题是菱形的性质题,主要考查了菱形的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数,解本题的关键是作出辅助线.
(2015·柳州T24·10分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8 cm,AD=12 cm,BC=18 cm,点P从点A出发以2 cm/s的速度沿A→D→C运动,点P从点A出发的同时点Q从点C出发,以1 cm/s的速度向点B运动,当点P到达点C时,点Q也停止运动.设点P,Q运动的时间为t秒.
(1)从运动开始,当t取何值时,PQ∥CD?
(2)从运动开始,当t取何值时,△PQC为直角三角形?
【思路点拨】 (1)已知AD∥BC,添加PD=CQ,即可判断以P,Q,D,C为顶点的四边形是平行四边形;(2)点P处可能为直角,点Q处也可能是直角,故需要分类讨论求解.
解:(1)当PQ∥CD时,四边形PDCQ是平行四边形,此时PD=QC,2分
∴12-2t=t.解得t=4.
∴当t=4时,PQ∥CD.4分
(2)过D点作DF⊥BC于F.
∴DF=AB=8,FC=BC-AD=18-12=6,
由勾股定理得CD=10.
①当PQ⊥BC时,则BQ+CQ=18,
即2t+t=18,解得t=6;6分
②当QP⊥PC时,此时P一定在DC上,
CP1=10+12-2t=22-2t,CQ1=t,
易知△CDF∽△CQ1P1.
∴=.解得t=;8分
③当PC⊥BC时,
∵∠DCB<90°,
∴此种情形不存在.
综上所述,当t=6或时,△PQC是直角三角形.10分
.(2014·柳州)如图,正方形ABCD的边长为1,AB边上有一动点P,连接PD,线段PD绕点P顺时针旋转90°后,得到线段PE,且PE交BC于F,连接DF,过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q.
(1)求线段PQ的长;
(2)问:点P在何处时,△PFD ∽△BFP,并说明理由.
解:(1)根据题意,得
PD=PE,∠DPE=90°,
∴∠APD+∠QPE=90°.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=90°.
∴∠ADP+∠APD=90°.
∴∠ADP=∠QPE.
∵EQ⊥AB,∴∠A=∠Q=90°.
在△ADP和△QPE中,
∴△ADP≌△QPE(AAS).
∴PQ=AD=1.
(2)当P点为AB的中点时,△PFD∽△BFP.
理由:∵∠ADP=∠BPF,∠A=∠FBP,
∴△DAP∽△PBF.∴=.
∵P点为AB的中点,
∴PA=AB=PB.
∴=,即=.
又∵∠PBF=∠DPF,
∴△PFD∽△BFP.
2.(2017·海南)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,点E在AD边上运动,且不与点A和点D重合,连接CE,过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F,EF交BC于点G.
(1)求证:△CDE≌△CBF;
(2)当DE=时,求CG的长;
(3)连接AG,在点E运动过程中,四边形CEAG能否为平行四边形?若能,求出此时DE的长;若不能,说明理由.
解:(1)证明:在正方形ABCD中,DC=BC,∠D=∠ABC=∠DCB=90°,
∴∠CBF=180°-∠ABC=90°,∠DCE+∠ECB=∠DCB=90°.
∵CF⊥CE,∴∠ECF=90°.
∴∠BCF+∠ECB=∠ECF=90°.
∴∠DCE=∠BCF.
在△CDE和△CBF中,
∴△CDE≌△CBF(ASA).
(2)在正方形ABCD中,AD∥BC,
∴△GBF∽△EAF.
∴=.
由(1)知△CDE≌△CBF,
∴BF=DE=.
∵正方形的边长为1,
∴AF=AB+BF=,AE=AD-DE=.
∴=.∴BG=.
∴CG=BC-BG=.
(3)不能.理由:若四边形CEAG是平行四边形,则必须满足AE∥CG,AE=CG,
∴AD-AE=BC-CG.∴DE=BG.
由(1)知△CDE≌△CBF,
∴DE=BF,CE=CF.
∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形.
∴∠GFB=45°,∠CFE=45°.
∴∠CFA=∠GFB+∠CFE=90°.
此时点F与点B重合,点D与点E重合,与题目条件不符,
∴点E在运动过程中,四边形CEAG不能是平行四边形.
4.(2017·贵港)已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2,D是AC边上的一个动点,将△ABD沿BD所在直线折叠,使点A落在点P处.
(1)如图1,若点D是AC中点,连接PC.
①写出BP,BD的长;
②求证:四边形BCPD是平行四边形;
(2)如图2,若BD=AD,过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H,求PH的长.
解:(1)①BP=2,BD=2.
②证明:延长BD至E,
∵D是AC边的中点,AC=4,BC=2,
∴DC=AD=BC.
又∵∠ACB=90°,
∴△BDC是等腰直角三角形,
∴∠BDC=∠ADE=45°.
由折叠(轴对称)性质可知,
∠EDP=∠ADE=45°,PD=AD=2,
∴∠PDA=90°.
∴PD∥BC,且PD=BC=2.
∴四边形BCPD是平行四边形.
(2)连接AP并延长与BC的延长线交于点F,延长BD与AP交于点E,
由折叠(轴对称)性质可知,
PD=AD,∠PDE=∠ADE,BE⊥AP,PE=AE.
∵BD=AD,
∴在Rt△BDC中,由勾股定理,得
BD2=(4-BD)2+22,
∴BD=.
∵AD=BD,∠ADE=∠BDC,
∴Rt△PDE≌Rt△ADE≌Rt△BDC.
∴PA=2BC=4,∠FAC=∠DBC.
∴Rt△FAC∽Rt△DBC.
∴=.
∴FA=5,则PF=1.
∵PH⊥BC,∴PH∥AC.
∴Rt△FPH∽Rt△FAC.
∴=.
∴PH=.