北师大中考数学复习专题 数学思想方法复习专题 11页

数学思想方法复习专题 一、考点，热点分析：‎ 深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础，运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去。‎ 分类讨论的解题步骤一般是：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复 ；（3）逐步讨论，分级进行；（4）归纳总结作出整个题目的结论。‎ 常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般于特殊的转化；复杂与简单的转化。‎ 二、知识点归纳：‎ 常用的数学思想（数学中的四大思想）‎ ‎1.函数与方程的思想 用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。‎ ‎2．数形结合思想 在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形 ”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。‎ ‎3．分类讨论思想 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 ，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。‎ ‎4.等价转化思想 等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。‎ 常用的数学方法 ‎ 主要有换元法、配方法和待定系数法三种。‎ 三、例题解析 ‎【例1】（2004年北京市东城区）解方程：(x+1)- -=2．‎ 解：设x＋1＝y，则原方程化为y-=2‎ 去分母，得y2-2y-3=0．‎ 解这个方程，得y1=-1,y2=3．‎ 当y＝－1时，x＋1＝－1，所以x＝－2；‎ 当y＝3时，x＋1＝3，所以x＝2．‎ 经检验，x＝2和x＝－2均为原方程的解．‎ ‎〖点拨〗解分式方程通常是采用去分母或还元法化为整式方程，并特别要注意验根。‎ ‎【例2】已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则 该抛物线的解析式为。‎ ‎80‎ ‎60‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎0‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ x(元)‎ y(万件)‎ ‎〖解析〗∵函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,∴b=‎-‎‎4a…①将点（1，4）、（5，0）的坐标分别代入y=ax2+bx+c得:a+b+c=4…②‎25a+5b+c=0③.解①②③得a=-,b=2,c=.故抛物线的解析式为y=-x2+2x+.‎ ‎〖点拨〗利用待定系数法可求函数的解析式、‎ 代数式及多项式的因式分解等符合题设条件的数学式。‎ ‎【例3】（05年长沙市）某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120 万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之问存在着如图所示的一次函数关系．⑴求y关于x的函数关系式；⑵试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利＝年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值；⑶若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助⑵中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？‎ ‎〖解〗：⑴设y=kx+b ，它过点(60，5)，(80，4)‎ ‎∴解得∴y=-x+8,‎ ‎⑵z=yx-40y-120=（-x+8）（x-40）-120=-x2＋10x-440;‎ ‎∴当x=100元时，最大年获得为60万元．‎ O ‎40‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎80‎ x(元)‎ y(万元)‎ ‎⑶令z=40，得40=-x2＋10x-440，整理得：‎ x2-200x＋9600=0‎ 解得：x1=80,x2=120，‎ 由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间．…(8分)又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元．‎ ‎〖点拨〗解此类问题，要仔细阅读题目，理清思路，从而建立数学模型（函数模型）‎ ‎【例4】（2007年福建漳州）如图，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取两点E、F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE、PF分别交AC于点G、H．‎ ‎（1）求△PEF的边长；‎ ‎（2）在不添加辅助线的情况下，当F与C不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由；‎ ‎（3）若△PEF的边EF在线段BC上移动．试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论．‎ ‎[解] （1）过P作PQ⊥BC于Q　　‎ 矩形ABCD ‎∴∠B=90°，即AB⊥BC，又AD∥BC ‎∴PQ=AB= ‎∵△PEF是等边三角形 ‎∴∠ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ PFQ=60°‎ 在Rt△PQF中 Sin60°=,∴PF=2‎ ‎∴△PEF的边长为2．　　‎ ‎（2）正确找出一对相似三角形　　‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 正确说明理由　　‎ ‎△ABC∽△CDA　　‎ 理由：∵矩形ABCD,∴AB∥BC,∴∠1=∠2‎ ‎∴∠B=∠D ∴△ABC∽△CDA ‎（3）猜想：PH与BE的数量关系是：PH-BE=1‎ 证：在Rt△ABC中，AB=,BC=3‎ ‎∴tan∠1==,∴∠1=30°∴△PEF是等边三角形 ‎∴∠2=60°,PF=PE=2,∵∠2=∠1+∠3 ∴∠3=30°‎ ‎∴∠1=∠3 ∴FC=FH　　‎ ‎∵PH+FH=2, BE+EF+FC=3‎ ‎∴PH-BE=1　　‎ ‎〖点评〗本题是一道很典型的几何型探索题，在近几年的中考压轴题中稳占一席之地，预计2008年仍会保持这一趋势。在本题中，第1小题较简单，第2小题则需学生仔细观察图形，做出准确猜想后再验证，第3小题对学生的探究能力的要求更高一些，但由于解法较多，入题的通道较宽，因此难度并非十分大，体现数学联系的转化思想。‎ 四、【能力测试】‎ ‎(一)、选择题 ．若a的值使得x2+4x+a=（x+2）2-1成立，则a的值为……………………………………（ ）‎ ‎ A．5 B．‎4‎C．3 D．2‎ ．（2005.杭州市）在右图的几何体中,上下底面都是平行四边形,各个侧面都是梯形,那么图中和下底面平行的直线有: ………………（ ）‎ ‎(A)1条 (B)2条 (C)4条 (D)8条 ．方程2x-x2=的正根的个数为……………………………（ ）‎ ‎ A．0 B．‎1‎C．2 D．3‎ ．以下四个图案中,既是轴对称又是中心对称图形的有……………………………………（ ）‎ A．４个　　　　B．３个　　　　C．２个　　　　　D．１个 ‎ ．（2005.河南省）下列各数中，适合方程的一个近似值（精确到0.1）是 …………………（ ）‎ ‎ A． 1.5 B． ‎1.6 C．1 D．1.8‎ ．若点p（m,n）在第二象限，则点Q（-m,-n）在…………………………………（ ）象限 ‎ A．第一 B．第二 C．第三 D．第四 ．（2005.山西省）8抛物线 的对称轴是x=2，且经过点P(3,0)。则 的值为……………………………（ ）‎ ‎ A、-1 B、‎0 C、1 D、2‎ ．在直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，1)，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )‎ ‎(A)4个 　　　 (B)3个 　　 (C)2个 　　　 (D)1个 ．某商店把一商品按标价的九折出售（即优惠10%），仍可获利20%，若该商品的标价为每件28元，则该商品的进价为…………………………………………………………………（ ）.‎ ‎（A）21元 （B）19.8元（C）22.4元 （D）25.2元 ．（2005.武汉市）已知⊙O的半径为‎8cm，如果一条直线和圆心O的距离为‎8cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系为………………………………………………………………（ ）‎ ‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相离 ‎(二)、填空题 ．已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为。‎ y ．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，斜边在x轴上，点A的坐标为（2，0），则直角边BC所在的直线解析式为。‎ C x ．把抛物线向上平移2个单位，那么所得抛物线与x轴 A O B 的两个交点之间的距离是.‎ ．如图，用长度相等的火柴棒拼成由三角形组成的图形，第n个图形需要火柴棒的根数是。‎ ．把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为1/2的矩形等分成两个面积为1/4的矩形，再把面积为1/4的矩形等分成两个面积为1/8的矩形，如此进行下去，试利用如下图揭示的规律计算 + + + + + + + =。‎ 图1‎ 图2‎ ．（2006年河南省）要拼出和图1 中的菱形相似的较长对角线为‎88cm的大菱形（如图2）需要图1中的菱形的个数为___________．‎ ‎(三)、计算题:‎ ．如图，线段AB＝4，点O是线段AB上的点，点C、D是线段OA、OB的中点，小明很轻松地求得CD=2．他在反思过程中突发奇想：若点O运动到线段AB的延长线上或直线AB外，原有的结论“CD=‎2”‎是仍然成立呢？请帮小明画出图形分析，并说明理由．‎ ．（2005年梅州市）东海体育用品商场为了推销某一运动服，先做了市场调查，得到 p（件）‎ ‎500‎ ‎490‎ ‎480‎ ‎470‎ ‎50 51 52 53 x（元/件）‎ 数据如下表：‎ 卖出价格x（元/件）‎ ‎50‎ ‎51‎ ‎52‎ ‎53‎ ‎……‎ 销售量p（件）‎ ‎500‎ ‎490‎ ‎480‎ ‎470‎ ‎……‎ ‎ （1）以x作为点的横坐标，p作为纵坐标，把表中的 数据，在图8中的直角坐标系中描出相应的点，观察连结 各点所得的图形，判断p与x的函数关系式；‎ ‎ （2）如果这种运动服的买入件为每件40元，试求销售 利润y（元）与卖出价格x（元/件）的函数关系式 ‎（销售利润=销售收入－买入支出）；‎ ‎ （3）在（2）的条件下，当卖出价为多少时，能获得最大利润？‎ ．如图，为正方形边上的任意一点（不与A、B两点重合），是延长线上的一点，，且交的平分线所在直线于．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若将上述条件中的“为边上的任意一点（不与A、B两点重合）”改为“为直线上任意一点（不与A、B两点重合）”，其余条件不变，则结论“”成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．‎ ．如图1，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点在第二象限内，点，点在轴的负半轴上，．‎ ‎（1）求点的坐标；（2）如图2，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，其中交直线于点，分别交直线于点，则除外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）（3）在（2）的基础上，将绕点按顺时针方向继续旋转，当的面积为时，求直线的函数表达式．‎ A B C O ‎1‎ ‎1‎ x y 图1‎ A C O ‎1‎ ‎1‎ x y G F E 图2‎ ．如图，正方形ABCD的各边都平行于坐标轴，A、C分别在 直线和上.‎ 若点A在直线上运动，求B点所在直线的解析式.‎ ．已知：半径为1的⊙O1与轴交于两点，圆心的坐标为，二次函数Ｂ Ａ Ｏ 的图象经过两点，其顶点为．‎ ‎（1）求的值及二次函数顶点的坐标；‎ ‎（2）写出将二次函数的图象向下平移1个单位，再向左平移2个单位的图象的函数表达式；‎ ‎（3）若经过原点的直线与⊙O1相切，求直线的函数表达式．‎ ．如图,以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B. P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO,交直线x=1于点C.过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N.‎ （1） 当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式；‎ （2） S是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由.‎ 附加题：当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由.‎ 参考答案：‎ 一、 选择题 ‎1.C 2.C 3.A 4.B 5.C 6.D 7.B 8.A 9.A 10.B 二、填空题 ‎11．2 12.y=x+4 13.；14.2n+1 15. 16.121‎ 三、计算题：17（略）‎ ‎18．解：（1）p与x成一次函数关系。 设函数关系式为p=kx+b ，则 ‎ 解得：k=－10，b=1000 ， ∴ p=－10x+1000 ‎ 经检验可知：当x=52，p=480，当x=53，p=470时也适合这一关系式 ‎∴所求的函数关系为p=－10x+1000‎ ‎ （2）依题意得：y=px－40p=(－10x+1000)x－40(－10x+1000)‎ ‎∴ y=－10x2+1400x－40000 ‎ ‎(3)由y=－10x2+1400x－40000 可知，当时，y有最大值 ‎∴ 卖出价格为70元时，能花得最大利润。‎ ‎19．证明：（1）在上截取，连结．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ 又，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎（2）分两种情况 ‎①点M在射线BE上. 延长AD到点P，使DP=BM，连接PM.‎ ‎②点M在线段BA的延长线上. 延长DA到点P，‎ 使AP=AM，连接PM.‎ 综上可知，“为直线上任意一点（不与A、B两点重合）”，其余条件不变，结论“”仍成立.‎ ‎20．解：（1）在中，，‎ ‎．‎ 点的坐标为．‎ ‎（2），，．‎ A C O ‎1‎ ‎1‎ x y G F 图1‎ M ‎（3）如图1，过点作于点．‎ ‎，‎ ‎．‎ 在中，，‎ ‎，．‎ A C O ‎1‎ x y F 图2‎ 点的坐标为．‎ 设直线的函数表达式为，则 解得 ‎．‎ 同理，如图2所示，点的坐标为．‎ 设直线的函数表达式为，则解得 ‎．‎ ‎21．解：设点A的横坐标为a.‎ ‎∵点A在直线上，‎ 设点C的横坐标为b ‎22．解：（1）由已知得：‎ 由题意：‎ 解得：，顶点．‎ ‎（2）．‎ ‎（3）设经过原点的直线与⊙O1相切于点.‎ 则，，，‎ 设点的坐标为．‎ 则，得，‎ ‎．‎ 由圆的对称性，另一条直线的解析式是．‎ ‎23．解：（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=900，‎ ‎∴四边形OBNM为矩形。‎ ‎∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900‎ ‎∵，AO=BO=1，∴AM=PM∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM ‎∴OM=PN ‎ ‎∵∠OPC=900∴∠OPM+CPN=900‎ 又∵∠OPM+∠POM=900∴∠CPN=∠POM ∴△OPM≌△PCN ‎∵AM=PM=APsin450=∴NC=PM=‎ ‎∴BN=OM=PN=1-∴BC=BN-NC=1--=‎ ‎（2）存在最大值.‎ 附加题：解：△PBC可能为等腰三角形 ①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）‎ ②当点C在第四象限，且PB=CB时，有BN=PN=1－‎ ‎∴BC=PB=PN=-m∴NC=BN+BC=1－+-m 由⑵知：NC=PM=∴1－+-m=∴m=1‎ ‎∴PM==，BN=1－=1－∴P（,1－）‎ ‎∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或（,1－）‎