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  • 2021-05-10 发布

一元二次方程根与系数关系中考难题突破

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一、巧妙运用韦达定理 例1 先阅读下列第(1)题的解答过程 ‎(1)已知αβ是方程x2+2x-7=0的两个实数根。求α2+3β2+4β的值。‎ 解法1 ∵α、β是方程x2+2x-7=0的两实数根 ‎∴α2+2α-7=0 β2+2β-7=0 且α+β=-2‎ ‎∴α2=7-2α β2=7-2β ‎∴α2+3β2+4β=7-2α+3(7-2β)+4β=28-2(α+β)=28-2×(-2)=32‎ 解法2 由求根公式得α=-1+2 β=-1-2‎ ‎∴α2+3β2+4β=(-1+2)2+3(-1-2)2+4(-1-2)‎ ‎=9-4+3(9+4-4-8)=32‎ 解法3 由已知得:α+β=-2 αβ=-7‎ ‎∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=18 令α2+3β2+4β=A β2+3α2+4α=B ‎∴A+B=4(α2+β2)+4(α+β)=4×18+4×(-2)=64 ①‎ A-B=2(β2-α2)+4(β-α)=2(β+α) (β-α)+4(β-α)=0 ②‎ ‎①+② 得:‎2A=64 ∴A=32‎ 请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题 ‎(2)已知x1、x2是方程x2-x-9=0的两个实数根,求代数式。x13+7x22+3x2-66的值。‎ 解 ∵x1、x2是方程x2-x-9=0的两根 ‎∴x1+x2=1 且x12-x1-9=0 x22-x2-9=0‎ 即 x12=x1+9 x22=x2+9‎ ‎∴x13+7x22+3x2-66=x1(x1+9)+7(x2+9)+3x2-66‎ ‎ =x12+9x1+10x2-3=x1+9+9x1+10x2-3=10(x1+x2)+6=16‎ 例2 已知a+a2-1=0,b+b2-1=0,a≠b,求ab+a+b的值.‎ 分析:显然已知二式具有共同的形式:x2+x-1=0.于是a和b可视为该一元二次方程的两个根.再观察待求式的结构,容易想到直接应用韦达定理求解.‎ 解:由已知可构造一个一元二次方程x2+x-1=0,其二根为a、b.‎ 由韦达定理,得a+b=-1,a·b=-1.‎ 故ab+a+b=-2.‎ 二、先恒等变形,再应用韦达定理 若已知条件或待证结论,经过恒等变形或换元等方法,构造出形如a+b、a·b形式的式子,则可考虑应用韦达定理.‎ 例3 若实数x、y、z满足x=6-y,z2=xy-9.求证:x=y.‎ 证明:将已知二式变形为x+y=6,xy=z2+9.‎ 由韦达定理知x、y是方程u2-6u+(z2+9)=0的两个根.‎ ‎∵ x、y是实数,∴△=36-4z2-36≥0.‎ 则z2≤0,又∵z为实数,‎ ‎∴z2=0,即△=0.‎ 于是,方程u2-6u+(z2+9)=0有等根,故x=y.‎ 由已知二式,易知x、y是t2+3t-8=0的两个根,由韦达定理 三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系),可考虑用韦达定理 例5 已知方程x2+px+q=0的二根之比为1∶2,方程的判别式的值为1.求p与q之值,解此方程.‎ 解:设x2+px+q=0的两根为a、‎2a,则由韦达定理,有 a+‎2a=-P, ①‎ a·‎2a=q, ②‎ P2-4q=1. ③‎ 把①、②代入③,得(-‎3a)2-4×‎2a2=1,即‎9a2-‎8a2=1,于是a=±1.‎ ‎∴ 方程为x2-3x+2=0或x2+3x+2=0.‎ 解得x1=1,x2=2,或x1=-1,x2=-2.‎ 例6 设方程x2+px+q=0的两根之差等于方程x2+qx+p=0的两根之差,求证:p=q或p+q=-4.‎ 证明:设方程x2+px+q=0的两根为α、β,x2+qx+P=0的两根为α'、β'.‎ 由题意知α-β=α'-β',‎ 故有α2-2αβ+β2=α'2-2α'β'+β'2.‎ 从而有(α+β)2-4αβ=(α'+β')2-4α'β'.①‎ 把②代入①,有p2-4q=q2-4p,即p2-q2+4p-4q=0,即(p+q)(p-q)+4(p-q)=0,即(p-q)(p+q+4)=0.‎ 故p-q=0或p+q+4=0,‎ 即p=q或p+q=-4.‎ 四、关于两个一元二次方程有公共根的题目,可考虑用韦达定理 例‎7 m为问值时,方程x2+mx-3=0与方程x2-4x-(m-1)=0有一个公共根?并求出这个公共根.‎ 解:设公共根为α,易知,原方程x2+mx-3=0的两根为α、-m-α;x2-4x-(m-1)=0的两根为α、4-α.‎ 由韦达定理,得α(m+α)=3, ①‎ α(4-α)=-(m-1). ②‎ 由②得m=1-4α+α2, ③‎ 把③代入①得α3-3α2+α-3=0,‎ 即(α-3)(α2+1)=0.‎ ‎∵α2+1>0,∴α-3=0即α=3.‎ 把α=3代入③,得m=-2.‎ 故当m=-2时,两个已知方程有一个公共根,这个公共根为3.‎ ‎ ‎ 课堂练习:‎ ‎1.已知关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,y1、y2是关于y的方程y2+(2-b)y+4=0的两个根。求以、为根的一元二次方程。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2.已知关于x的方程x2- x+k=0有两个不相等的实数根。(1)求k的取值范围(2)化简|-k-2|+‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3.已知关于x的方程(a2-1)x2+2(a+2)x+1=0有实数根。求a的取值范围。(提示:分a2-1=0,a2-1≠0讨论)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4.已知关于x的方程x2-2(k+1)x+k2+2k-1=0 ①‎ ‎(1)求证,对任意实数k的方程①总有两个不相等的实数根。‎ ‎(2)如果a是关于y的方程y2-(x1+x2-2k)y+(x1-k)(x2-k)=0 ②的根。其中x1、x2是方程①的两根 求代数式(-)÷·的值。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 课后巩固 (一) 基础练习 ‎1.已知方程2x2-2ax+(a+4)a=0的两实根分别为x1、x2且满足(x1-1)(x2-1)=,求a的值。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2.关于x的方程x2-(5k+1)x+k2-2=0是否存在负数k,使方程的两个实数根的倒数和等于4,若存在,求出满足条件的k的值,若不存在,请说明理由。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3.设α、β是方程x2+x+2=0的两根,不解方程,求+的值。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4.已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2。‎ ‎(1)求k的取值范围。‎ ‎(2)是否存在实数k,使方程的两实根互为相反数?如果存在求出k的值。如果不存在,请说明理由。‎ 解:(1)根据题意,得Δ=(2k-1)2-4k2>0的解得k<.‎ ‎∴当k<时,方程有两个不相等的实数根。‎ ‎(2)存在 如果方程的两实数根x1、x2互为相反数,则x1+x2=-=0 ①‎ 解得k=,经检验k=是方程①的解。‎ ‎∴当k=时,方程的两实数根x1、x2互为相反数。‎ 读了上面的解答过程,请判断是否错误,如果有指出错误之处,并直接写出正确答案。‎ ‎ ‎ ‎5.如图已知△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,若AD、BD的长是关于x的方程x2+px+q=0的两根,且tgA-tgB=2,CD=1,求p、q的值,并解此二次方程。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (一) 能力提升题 ‎1.关于x的方程x2-(‎2a-1)x+(a-3)=0.‎ ‎(1)求证:无论a为任何实数,该方程总有两个不相等的实数根。‎ ‎(2)以该方程的两根为一直角三角形的两直角边长,已知该三角形斜边上的中线长为,求实数a的值。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2.已知方程‎5a2+‎2002a+9=0及9b2+2002b+5=0且ab≠1,求的值。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3.已在△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5。‎ ‎(1)k为何值时,△ABC是以BD为斜边的直角三角形。‎ ‎(2)k为何值时,△ABC是等腰三角形,并求△ABC的周长。‎ ‎ ‎ (一) 思维拓展题 已知、是一元二次方程的两个实数根。‎ ‎(1)是否存在实数,使成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。‎ ‎(2)求使的值为整数的实数的整数值。‎ 信息反馈:‎ 学生今日表现: ‎ 老师寄语: ‎ ‎ ‎ 家长意见: ‎ 家长签字: ‎