中考数学开放探索题分类汇编 15页

‎ 开放探索 ‎1.（2011山东省潍坊市）一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过（2，1）点；②当x＞0时，y随x的增大而减小．这个函数解析式为　如：y=，y=﹣x+3，y=﹣x2+5等　．（写出一个即可）‎ 考点：二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质。‎ 专题：开放型。‎ 分析：本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．‎ 解答：解：符合题意的函数解析式可以是y=，y=﹣x+3，y=﹣x2+5等，（本题答案不唯一）‎ 故答案为：y=，y=﹣x+3，y=﹣x2+5等．‎ 点评：本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数的性质．关键是从三种函数解析式上考虑，只要符合题意即可．‎ ‎2.（2011年青海，10,2分）如图2，四边形ABCD是平行四边形，E是CD延长线上的任意一点，连接BE交AD于点O，如果△ABO≌△DEO，则需要添加的条件是 。（只需一个即可，图中不能添加任何点或线）‎ 图3‎ ‎【答案】开放型题，答案不唯一（参考答案：O是AD的中点或OA=OD;AB=DE;D是CE的中点；O是BE的中点或OB=OE;或OD是△EBC的中位线）‎ B A D F C E ‎3. ．如图，点B、F、C、E在同一直线上，并且BF＝CE，∠B＝∠E．‎ ‎(1)请你只添加一个条件(不再加辅助线)，使得△ABC≌△DEF．‎ 你添加的条件是： ．‎ ‎(2)添加了条件后，证明△ABC≌△DEF．‎ ‎ 解：（1）∠A=∠D或AB=DE或∠ACB=∠DFE等条件.‎ ‎（2）证明：∵BF=CE ∴BF+FC=EC+FC ∴‎ 在△ABC和△DEF中 ‎∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF ‎ ∴△ABC≌△DEF（AAS）‎ ‎4.（2011山西省）25．(本题9分)如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F ‎（1）求证：CE=CF．‎ ‎（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置，使点E’落在BC边上，其它条 ‎ 件不变，如图（2）所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论．‎ ‎25．(本题9分)如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F ‎（1）求证：CE=CF．‎ ‎ 证明：略 ‎（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置，使点E’落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论．‎ 解：相等 证明：如图，过点E作EG⊥AC于G．‎ 又∵ AF平分∠CAB，ED⊥AB，∴ED=EG．‎ ‎ 由平移的性质可知：D’E’=DE，∴D’E’ =GE．‎ ‎ ∵∠ACB=90°． ∴∠ACD+∠DCB=90°‎ ‎ ∵CD⊥AB于D． ∴∠B+∠DCB=90°．‎ ‎∴ ∠ACD=∠B 在Rt△CEG与Rt△BE’D’中，‎ ‎∵∠GCE=∠B，∠CGE=∠BD’E’，CE=D’E’‎ ‎ ∴△CEG≌△BE’D’‎ ‎∴CE=BE’‎ ‎ 由（1）可知CE=CF，‎ ‎(其它证法可参照给分)．‎ ‎5.（2011福建省漳州市）如图，直线y＝－2x＋2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．‎ ‎（1）填空：点C的坐标是(_ ▲ ，_ ▲ )，‎ 点D的坐标是(_ ▲ ，_ ▲ )；‎ ‎（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；‎ ‎（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，‎ 请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】‎ 解：（1）点C的坐标是(0，1)，点D的坐标是(－2，0) ………………4分 ‎（2）方法一：由（1）可知CD＝ ＝，BC＝1‎ 又∠1＝∠5，∠4＝∠3‎ ‎∴△BMC∽△DOC ………………6分 ‎∴＝ 即＝ ‎∴BM＝ ………………8分 方法二：设直线CD的解析式为y＝kx＋b 由（1）得 解得 ‎∴直线CD的解析式为y＝ x＋1‎ 又∠1＝∠5，∠BCM＝∠DCO ‎∴△BMC∽△DOC ………………6分 ‎∴＝ 即＝ ‎∴BM＝ ………………8分 ‎∵ ∴ ‎ ‎∴M的坐标为(，) ………………6分 过点M作ME⊥y轴于点E，则ME＝，BE＝ ‎∴BM＝ ＝ ………………8分 ‎（3）存在 ………………9分 分两种情况讨论：‎ ‎① 以BM为腰时 ‎∵BM＝，又点P在y轴上，且BP＝BM 此时满足条件的点P有两个，它们是P1 (0，2＋)、P2 (0，2－) ……………11分 过点M作ME⊥y轴于点E，∵∠BMC＝90°，‎ A O D C M B y x P3‎ ‎·‎ E A O D C M B y x P1‎ ‎·‎ ‎·‎ P2‎ ‎1‎ ‎5‎ 则△BME∽△BCM ‎∴＝ ‎∴BE＝＝ 又∵BM＝BP ‎∴PE＝BE＝ ‎∴BP＝ ‎∴OP＝2－＝ 此时满足条件的点P有一个，它是P3 (0，) ……………12分 ‎② 以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点P、F，‎ A O D C M B y x P4‎ ‎·‎ F 由（2）得∠BMC＝90°，‎ ‎∴PF∥CM ‎∵F是BM的中点，‎ ‎∴BP＝BC＝ ‎∴OP＝ 此时满足条件的点P有一个，它是P4 (0，) ‎ 综上所述，符合条件的点P有四个，它们是：P1 (0，2＋)、P2 (0，2－)、P3 (0，)、P4 (0，) ……………13分 ‎6.（2011青海省西宁市）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0) ．如图17所示，B点在抛物线y＝x2＋x－2图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3．‎ ‎（1）求证：△BDC≌△COA；‎ ‎（2）求BC所在直线的函数关系式；‎ ‎（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明：∵∠BCD＋∠ACO＝90°，‎ ‎∠ACO＋∠OAC＝90°，‎ ‎∴∠BCD＝∠OAC ‎∵△ABC为等腰直角三角形 ∴BC＝AC 在△BDC和△COA中[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎∠BDC＝∠COA＝90°‎ ‎∠BCD＝∠OAC BC＝AC ‎∴△BDC≌△COA（AAS） ………………4分 ‎（2）解：∵C点坐标为 (－1，0)‎ ‎∴BD＝CO＝1‎ ‎∵B点横坐标为－3‎ ‎∴B点坐标为 (－3，1)‎ 设BC所在直线的函数关系式为y＝kx＋b ‎∴ 解得 ‎∴BC所在直线的函数关系式为y＝－ x－ ………………8分 ‎（3）解：存在 ………………9分 ‎∵二次函数解析式为：y＝x2＋x－2‎ ‎∴y＝x2＋x－2‎ ‎＝(x＋)2x－ ‎∴对称轴为直线x＝－ ………………10分 若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点P1，使CP1⊥AC，‎ ‎∵BC⊥AC ∵点P1为直线BC与对轴称直线x＝－的交点 由题意可得：‎ 解得： ‎∴P1（－，－）‎ 若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2⊥AC，‎ 则过点A作A P2∥BC，交对轴称直线x＝－于点P2‎ ‎∵CD＝OA ∴A（0，2）‎ 由题意得直线AP2的解析式为：y＝－x＋2‎ ‎ 解得： ‎∴P2（－，－）‎ ‎∴P点坐标分别为P1（－，－）、P2（－，－） ………………12分 ‎（注：每题只给出一种解法，如有不同解法请对照评分标准给分）‎ ‎7.（2011湖北省十堰市）如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，－3）.‎ ‎ （1）求抛物线的解析式；‎ ‎ （2）如图（1），已知点H（0，－1）.问在抛物线上是否存在点G（点G在y轴的左侧），使得？若存在，求出G点坐标，若不存在，请说明理由；‎ ‎ （3）如图（2），抛物线上点D在x轴上的正投影为点E（－2，0），F是OC的中点，连接DF，P为线段BD上一点，，若∠EPF＝∠BDF，求线段PE的长.‎ 考点：二次函数综合题。‎ 分析：（1）由抛物线y=x2+bx+c与x 轴交于点A（1，0）和点 B，与y轴交丁点C （0，﹣3），利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；‎ ‎（2）分别从GH∥AC与GH与AC不平行去分析，注意先求得直线GH的解析式，根据交点问题即可求得答案，小心不要漏解；‎ ‎（3）利用待定系数法求得直线DF的解析式，即可证得△PBE∽△FDP，由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．‎ 解答：解：（1）由题意得：，‎ 解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3；‎ ‎（2）解法一：‎ 假设在抛物线上存在点G，设G（m，n），显然，当n=﹣3时，△AGH不存在．‎ ‎①当n＞﹣3时，‎ 可得S△GHA=﹣++，S△GHC=﹣m，‎ ‎∵S△GHC=S△GHA，‎ ‎∴m+n+1=0，‎ 由，‎ 解得：或，‎ ‎∵点G在y轴的左侧，‎ ‎∴G（﹣，）；‎ ‎②当﹣4≤n＜﹣3时，‎ 可得S△GHA=﹣﹣﹣，S△GHC=﹣m，‎ ‎∵S△GHC=S△GHA，‎ ‎∴‎3m﹣n﹣1=0，‎ 由，‎ 解得：或，‎ ‎∵点G在y轴的左侧，‎ ‎∴G（﹣1，﹣4）．‎ ‎∴存在点G（﹣，）或G（﹣1，﹣4）．‎ 解法二：‎ ‎①如图①，当GH∥AC时，点A，点C到GH的距离相等，‎ ‎∴S△GHC=S△GHA，‎ 可得AC的解析式为y=3x﹣3，‎ ‎∵GH∥AC，得GH的解析式为y=3x﹣1，‎ ‎∴G（﹣1，﹣4）；‎ ‎②如图②，当GH与AC不平行时，‎ ‎∵点A，C到直线GH的距离相等，‎ ‎∴直线GH过线段AC的中点M（，﹣）．‎ ‎∴直线GH的解析式为y=﹣x﹣1，‎ ‎∴G（﹣，），‎ ‎∴存在点G（﹣，）或G（﹣1，﹣4）．‎ ‎（3）如图③，∵E（﹣2，0），‎ ‎∴D的横坐标为﹣2，‎ ‎∵点D在抛物线上，‎ ‎∴D（﹣2，﹣3），‎ ‎∵F是OC中点，‎ ‎∴F（0，﹣），‎ ‎∴直线DF的解析式为：y=x﹣，‎ 则它与x轴交于点Q（2，0），‎ 则QB=QD，得∠QBD=∠QDB，∠BPE+∠EPF+∠FPD=∠DFP+∠PDF+∠FPD=180°，‎ ‎∵∠EPF=∠PDF，‎ ‎∴∠BPE=∠DFP，‎ ‎∴△PBE∽△FDP，‎ ‎∴，‎ 得：PB•DP=，‎ ‎∵PB+DP=BD=，‎ ‎∴PB=，‎ 即P是BD的中点，‎ 连接DE，‎ ‎∴在Rt△DBE中，PE=BD=．‎ 点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，直线与二次函数的交点问题以及三角形面积问题的求解等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用。‎ ‎8.（2011吉林省）27.如图，抛物线1 :y=-x2平移得到抛物线，且经过点O(0.0)和点A(4.0)，的顶点为点B，它的对称轴与相交于点C,设、与BC围成的阴影部分面积为S,解答下列问题：‎ ‎（1）求表示的函数解析式及它的对称轴，顶点的坐标。‎ ‎（2）求点C的坐标，并直接写出S的值。‎ ‎（3）在直线AC上是否存在点P，使得S△POA＝S？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎【参考公式：抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴是x＝－ ，‎ 顶点坐标是（－ ，）】．‎ ‎27. 解：（1）设l2的函数解析式为y＝－x2＋bx＋c 把（4.0）代入函数解析式，得 ‎ 解得 ‎∴y＝－x2＋4x ‎∵y＝－x2＋4x＝－（x－2）2＋4‎ ‎∴l2的对称轴是直线x＝2，顶点坐标B（2，4）‎ ‎（2）当x＝2时，y＝－x2＝－4‎ ‎∴C点坐标是（2，－4）‎ S＝8‎ ‎（3）存在 设直线AC表示的函数解析式为y＝kx＋n 把A（4，0），C（2，－4）代入得 解得 ‎∴y＝2x－8‎ 设△POA的高为h S△POA＝OA·h=2h=4‎ 设点P的坐标为（m,2m-8). ∵S△POA＝S 且S＝8‎ ‎∴S△POA＝×8=4‎ 当点P在轴上方时，得× 4（2m-8)=4,‎ 解得m=5,‎ ‎∴2m-8=2.‎ ‎∴P的坐标为（5.2）.‎ 当点P在轴下方时，得× 4（8-2m)=4.‎ 解得m=3,‎ ‎∴2m-8=-2‎ ‎∴点P的坐标为（3，-2）.‎ 综上所述，点P的坐标为（5，-2‎ ‎9.（2011四川省内江市）‎ ‎、如图抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0．）．且对称抽x=l．‎ ‎（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；‎ ‎（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3．若存在，求出点D的坐标；若不存在．说明理由（使用图1）；‎ ‎（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎28. 解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0．-1）．且对称抽x=l．‎ ‎∴ ，解得： ，‎ ‎∴抛物线解析式为y= x2- x-1，‎ 令 x2- x-1=0，得：x1=-1，x2=3，‎ ‎∴A（-1，0），B（3，0），‎ ‎（2）设在x轴下方的抛物线上存在D（a， ）（0＜a＜3）使四边形ABCD的面积为3．‎ 作DM⊥x轴于M，则S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OCDM+S△BMD，‎ ‎∴S四边形ABCD= |xAyC|+ （|yD|+|yC|）xM+ （xB-xM）|yD|‎ ‎= ×1×1+ [-（ a2- a-1）+1]×a+ （3-a）[-（ a2- a-1）]‎ ‎=- a2+ +2，‎ ‎∴由- a2+ +2=3，‎ 解得：a 1=1，a 2=2，‎ ‎∴D的纵坐标为： a2- a-1=- 或-1，‎ ‎∴点D的坐标为（1， ），（2，-1）；‎ ‎（3）①当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知点Q在y轴上，所以点P的横坐标为-4或4，‎ 当x=-4时，y=7；当x=4时，y= ；‎ 所以此时点P1的坐标为（-4，7），P2的坐标为（4， ）；‎ ‎②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，线段AB中点为G，PQ必过G点且与y轴交于Q点，过点P作x轴的垂线交于点H，‎ 可证得△PHG≌△QOG，‎ ‎∴GO=GH，‎ ‎∵线段AB的中点G的横坐标为1，‎ ‎∴此时点P横坐标为2，‎ 由此当x=2时，y=-1，‎ ‎∴这是有符合条件的点P 3（2，-1），‎ ‎∴所以符合条件的点为：P1的坐标为（-4，7），P2的坐标为（4， ）；P 3（2，-1）．‎ ‎10.（2011四川省成都市）‎ 如图，已知线段AB∥CD，AD与B C相交于点K，E是线段AD上一动点。‎ ‎ (1)若BK=KC，求的值；‎ ‎ (2)连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE= AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD (n>2)，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质。‎ 专题：计算题；几何动点问题。‎ 分析：（1）由已知得=，由CD∥AB可证△KCD∽△KBA，利用=求值；‎ ‎（2）AB=BC+CD．作△ABD的中位线，由中位线定理得EF∥AB∥CD，可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得∠GEB=∠EBA=∠GBE，则EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，利用EF=EG+GF求线段AB、BC、CD三者之间的数量关系；‎ 当AE=AD（n＞2）时，EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，EF=EG+GF可得BC+CD=（n﹣1）AB．‎ 解答：解：（1）∵BK=KC，∴=，‎ 又∵CD∥AB，‎ ‎∴△KCD∽△KBA，∴==；‎ ‎（2）当BE平分∠ABC，AE=AD时，AB=BC+CD．‎ 证明：取BD的中点为F，连接EF交BC与G点，‎ 由中位线定理，得EF∥AB∥CD，∴G为BC的中点，∠GEB=∠EBA，‎ 又∠EBA=∠GBE，∴∠GEB=∠GBE，‎ ‎∴EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，‎ ‎∵EF=EG+GF，∴AB=BC+CD；‎ 当AE=AD（n＞2）时，BC+CD=（n﹣1）AB．‎ 点评：本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质．关键是构造平行线，由特殊到一般探索规律．‎ ‎11.（2011浙江省温州市）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-4,0），点B的坐标是（0,b）（b>0）.P是直线AB上的一个动点,作 PC⊥x轴，垂足为C。记点P关于y轴的对称点为P´（点P´不在y轴上），连结PP´, P´A, P´C.设点P的横坐标为a。‎ ‎（1）当b=3时，‎ ‎ 求直线AB的解析式；‎ ‎ 若点P´的坐标是（-1，m）,求m的值；‎ ‎（2）若点P在第一象限，记直线AB与P´C的交点为D。当P´D:DC=1:3时，求a的值；‎ ‎（3）是否同时存在a，b，使△P´CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由。‎ 考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形。‎ 分析：（1）①利用待定系数法即可求得函数的解析式；‎ ‎②把（﹣1，m）代入函数解析式即可求得m的值；‎ ‎（2）可以证明△PP′D∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解；‎ ‎（3）分P在第一，二，三象限，三种情况进行讨论．利用相似三角形的性质即可求解．‎ 解答：解：（1）①设直线AB的解析式为y=kx+3，‎ 把x=﹣4，y=0代入得：﹣4k+3=0，‎ ‎∴k=，‎ ‎∴直线的解析式是：y=x+3，‎ ‎②由已知得点P的坐标是（1，m），‎ ‎∴m=×1+3=；‎ ‎（2）∵PP′∥AC，‎ ‎△PP′D∽△ACD，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴a=；‎ ‎（3）以下分三种情况讨论．‎ ‎①当点P在第一象限时，‎ ‎1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1）‎ 过点P′作P′H⊥x轴于点H．‎ ‎∴PP′=CH=AH=P′H=AC．‎ ‎∴‎2a=（a+4）‎ ‎∴a= ‎∵P′H=PC=AC，△ACP∽△AOB ‎∴==，即=，‎ ‎∴b=2‎ ‎2）若∠P′AC=90°，P′A=CA 则PP′=AC ‎∴‎2a=a+4‎ ‎∴a=4‎ ‎∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB ‎∴==1，即=1‎ ‎∴b=4‎ ‎3）若∠P′CA=90°，‎ 则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾．‎ ‎∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形．‎ ‎②当点P在第二象限时，∠P′CA为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形；‎ ‎③当P在第三象限时，∠P′CA为钝角（如图4），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形．‎ ‎∴所有满足条件的a，b的值为 或 点评：本题主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．‎ ‎12.（2011山东省济宁市）‎ ‎（10分）（2011·济宁）如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+3。‎ ‎(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式。‎ ‎(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点P位于图中位置时的两三角形相似给予证明；‎ M A y N B D P x C 第23题 O C ‎(3)是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。‎ ‎、解：（1）、‎ ‎∵y轴和直线l都是⊙C的切线 ‎∴OA⊥AD BD⊥AD ‎ ‎ 又∵ OA⊥OB ‎∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°‎ ‎∴四边形OADB是矩形 M A y N B D P x C 第23题 O C ‎∵⊙C的半径为2‎ ‎∴AD=OB=4‎ ‎∵点P在直线l上 ‎∴点P的坐标为（4，p）‎ 又∵点P也在直线AP上 ‎∴p=4k+3‎ ‎（2）连接DN ‎∵AD是⊙C的直径 ∴ ∠AND=90°‎ ‎∵ ∠AND=90°-∠DAN，∠ABD=90°-∠DAN ‎ ∴∠AND=∠ABD ‎ 又∵∠ADN=∠AMN ∴∠ABD=∠AMN …………4分 ‎∵∠MAN=∠BAP …………5分 ‎∴△AMN∽△ABP …………6分 ‎(3)存在。 …………7分 理由：把x=0代入y=kx+3得y=3，即OA=BD=3‎ AB=‎ ‎∵ S△ABD= AB·DN=AD·DB ‎∴DN==‎ ‎ ∴AN2=AD2-DN2=‎ ‎∵△AMN∽△ABP ‎ ‎∴ 即 ……8分 当点P在B点上方时，‎ ‎∵AP2=AD2+PD2 = AD2+(PB-BD)2 =42+(4k+3-3)2 =16(k2+1)‎ 或AP2=AD2+PD2 = AD2+(BD-PB)2 =42+(3-4k-3)2 =16(k2+1)‎ S△ABP= PB·AD=(4k+3)×4=2(4k+3)‎ ‎∴‎ 整理得k2-4k-2=0 解得k1 =2+ k2=2- …………9分 当点P在B 点下方时，‎ ‎∵AP2=AD2+PD2 =42+(3-4k-3)2 =16(k2+1) ‎ S△ABP= PB·AD=[-(4k+3)]×4=-2(4k+3)‎ ‎∴‎ ‎ 化简，得k2+1=-（4k+3） 解得k=-2‎ ‎ 综合以上所得，当k=2±或k=-2时，△AMN的面积等于 …10分