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- 2021-05-10 发布
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第四章 三角形
第一节 角、相交线与平行线
考点一、直线、射线和线段 (3分)
1、直线的性质:
直线公理:经过两个点有一条直线,并且只有一条直线。它可以简单地说成:过两点有且只有一条直线。
2、线段的性质
(1)线段公理:所有连接两点的线中,线段最短。也可简单说成:两点之间线段最短。
(2)连接两点的线段的长度,叫做这两点的距离。
5、线段垂直平分线的性质定理及逆定理
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
考点二、角 (3分)
1、角的相关概念
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。
如果两个角的和是一个直角,那么这两个角叫做互为余角,其中一个角叫做另一个角的余角。
如果两个角的和是一个平角,那么这两个角叫做互为补角,其中一个角叫做另一个角的补角。
2、角的性质
(1)角的大小与边的长短无关,只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
(2)角的大小可以度量,可以比较
(3)角可以参与运算。
3、角的平分线及其性质
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
角的平分线有下面的性质定理:
(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(2)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
考点三、相交线 (3分)
1、相交线中的角
两条直线相交,可以得到四个角,我们把两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。临补角互补,对顶角相等。
直线AB,CD与EF相交(或者说两条直线AB,CD被第三条直线EF所截),构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB,CD的上方,并且在EF的同侧,像这样位置相同的一对角叫做同位角;∠3与∠5这两个角都在AB,CD之间,并且在EF的异侧,像这样位置的两个角叫做内错角;∠3与∠6在直线AB,CD之间,并侧在EF的同侧,像这样位置的两个角叫做同旁内角。
2、垂线
两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
直线AB,CD互相垂直,记作“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”),读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”)。
垂线的性质:
性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。简称:垂线段最短。
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考点四、平行线 (3~8分)
1、平行线的概念
在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示,如“AB∥CD”,读作“AB平行于CD”。
同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交或平行。
2、平行线公理及其推论
平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
3、平行线的判定
平行线的判定公理:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行。简称:同位角相等,两直线平行。
平行线的两条判定定理:
(1)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两直线平行。简称:内错角相等,两直线平行。
(2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行。简称:同旁内角互补,两直线平行。
4、平行线的性质
(1)两直线平行,同位角相等。
(2)两直线平行,内错角相等。
(3)两直线平行,同旁内角互补。
习题强化
1.(广西桂林)如图X4-1-1,与∠1是内错角的是( )
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
图X4-1-1 图X4-1-2
2.(福建福州)如图X4-1-2,直线a∥b,∠1=70°,那么∠2的度数是( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
3.(吉林长春)如图X4-1-3,在Rt△ABC中,∠C=90°.D为边CA延长线上的一点,DE∥AB,∠ADE=42°,则∠B的大小为( )
A.42° B.45° C.48° D.58°
图X4-1-3 图X4-1-
4
4.如图X4-1-4,已知直线a∥b,∠1=40°,∠2=60°.则∠3=( )
A.100° B.60° C.40° D.20°
5.(2012年湖北襄阳)如图X4-1-12,直线l∥m,将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上,若∠1=25°,则∠2的度数为( )
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第二节 三角形及其性质
考点一、三角形的分类
三角形按边的关系分类如下:
不等边三角形
三角形 底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
三角形按角的关系分类如下:
直角三角形(有一个角为直角的三角形)
三角形 锐角三角形(三个角都是锐角的三角形)
斜三角形
钝角三角形(有一个角为钝角的三角形)
把边和角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形:等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。
考点二、三角形的性质
1、三角形的三边关系定理及推论
(1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。
推论:三角形的两边之差小于第三边。
(2)三角形三边关系定理及推论的作用:
①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时,可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
2、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于180°。
推论:
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。
3、三角形的面积
三角形的面积=×底×高
考点三、三角形的主要线段
1、三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
2、在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
3、从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。
4、三角形中的中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。
(2)要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用:
位置关系:可以证明两条直线平行。
数量关系:可以证明线段的倍分关系。
常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有:
结论1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。
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结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
习题强化:
1.已知在△ABC中,∠A=70°-∠B,则∠C=( )
A.35° B.70° C.110° D.140°
2.(湖南怀化)如图,∠A,∠1,∠2的大小关系是( )
A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A
C.∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠A>∠1
3.(山东济宁)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图X4-2-3所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )
A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
图X4-2-3 图X4-2-4 图X4-2-5
4.(山东临沂)如图X4-2-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2 cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F,若EF=5 cm,则AE=________cm.
5.(江苏连云港)小华在电话中问小明:“已知一个三角形三边长分别是4,9,12,如何求这个三角形的面积?”小明提示说:“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( )
A B C D
第三节 全等三角形 (7分)
1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边,夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
2、全等三角形的表示和性质
全等用符号“≌”表示,读作“全等于”。如△ABC≌△DEF,读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注:记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理:
(1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)
(2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)
(3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。
直角三角形全等的判定:
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对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
4、全等变换
只改变图形的位置,二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种:
(1)平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
(2)对称变换:将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。
(3)旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。
习题强化
1.(湖北十堰)如图X4-2-5,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB.求证:BD=CE.
2.(四川宜宾)如图X4-2-6,点A,B,D,E在同一直线上,AD=EB,BC∥DF,∠C=∠F.求证:AC=EF.
图X4-2-6
12.(四川广元)如图X4-2-7,在△AEC和△DFB中,∠E=∠F,点A,B,C,D在同一直线上,有如下三个关系式:①AE∥DF;②AB=CD;③CE=BF.
(1)请用其中两个关系式作为条件,另一个作为结论,写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题书写形式:“如果⊗,⊗,那么⊗”);
(2)选择(1)中你写出的一个命题,说明它正确的理由.
图X4-2-7
第四节 特殊的三角形
考点一、等腰三角形
性质
(1)等腰三角形的两个底角①______(简写成“等边对等角”);
(2)顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成“三线合一”);
(3)是轴对称图形,有②____条对称轴
判定
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形;
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形
面积
S=ah(h是边a上的高)
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考点2. 等边三角形
性质
(1)三边相等;
(2)三个内角都相等且每一个角都等于③____;
(3)是轴对称图形,有三条对称轴
判定
(1)三边都相等的三角形是等边三角形;
(2)三角都相等的三角形是等边三角形;
(3)有一个角是④____的等腰三角形是等边三角形
面积
(a为三角形边长,h为边上的高)
考点3. 直角三角形的性质及判定
性质
(1)两锐角之和等于⑤______;
(2)斜边上的中线等于斜边的⑥______;
(3)30°角所对的直角边等于斜边的⑦____;
(4)勾股定理:若直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,则有a2+b2=c2;
(5)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于⑧____
判定
(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形;
(2)勾股定理逆定理:若a2+b2=c2,则以a、
b、c为边的三角形是直角三角形;
(3)如果三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形为直角三角形
面积
a、b为两直角边,h是斜边c上的高)
3. 直角三角形的性质及判定
90°
一半
一半
30°
习题强化
1. (浙江东阳)已知等腰三角形的一个内角为40°,则这个等腰三角形的顶角为( )
A.40° B.100° C.40°或100° D.70°或50°
2.(广东深圳)如图所示,△ABC中,AC=AD=BD,∠DAC=80°,则∠B的度数是( )
A.40° B.35° C.25° D.20°
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3.(山东济宁)如图X4-2-15,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-2,3),以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于( )
A.-4和-3之间 B.3和4之间
C.-5和-4之间 D.4和5之间
4.如图X4-2-16,在△ABC中,∠C=90°,EF∥AB,∠1=50°,则∠B的度数为( )
A.50° B.60° C.30° D.40°
图X4-2-16 图X4-2-17
5.(河北)如图X4-2-17,在△ABC中,∠C=90°,BC=6,D,E分别在AB,AC上,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A′处,若A′为CE的中点,则折痕DE的长为( )
A. B.2 C.3 D.4
6.(吉林)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,则BD=________.
7.(江苏无锡)如,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,若CD=5 cm,则EF=_________cm.
8.(辽宁沈阳)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,∠B=30°,∠DAB=45°.
(1)求∠DAC的度数;
(2)求证:DC=AB.
9.(湖南湘潭)如图X4-2-22,△ABC是边长为3的等边三角形,将△ABC沿直线BC向右平移,使点B与点C重合,得到△DCE,连接BD,交AC于点F.
(1)猜想AC与BD的位置关系,并证明你的结论;
(2)求线段BD的长.
图X4-2-22
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第五节 图形的相似
考点一:比例线段及性质
1. 比例的性质
性质1: (abcd≠0).
性质2:如果 ,那么 .
性质3:如果 …= (b+d+…+n≠0), 那么
2. 比例中项:若a∶b=b∶c或 ,则b叫做比例中项,即b2=ac.
3. 平行线分线段成比例
(1)两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段③________.
如图所示,若l1∥l2∥l3,
则 , ,
(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(两边的延长线),所得的对应线段④________.
如图所示,若DE∥BC,则
,
,
考点二:相似三角形的性质与判定
1. 相似三角形的概念
如果两个三角形的三个角分别相等,三条边对应成比例,那么这两个三角形叫做相似三角形.
2. 相似三角形的判定及性质
判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;
(2)三边⑤____________的两三角形相似;
(3)两边成比例且⑥________相等的两三角形相似;
(4)⑦________分别相等的两三角形相似;
(5)两直角三角形满足一个锐角相等,或两组直角边对应成比例,那么这两直角三角形相似
性质
(1)相似三角形的⑧______相等;对应边成比例;
(2)相似三角形的对应高的比,对应中线的比及对应角平分线的比都⑨________相似比;
(3)相似三角形的周长比等于 ,面积比等于⑪__________
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4. 相似三角形的几种常见基本图形
(1)“平行线型”的相似三角形有“A型”与“X型”图形
(2)“斜交型”的相似三角形(需满足∠1=∠2,有“反A共角型”、“反A共角边型”、“蝶型”).
(3)“垂直型”的相似三角形(有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”、“三垂直型”).
考点四、相似多边形
1. 定义:各角对应______,各边对应______的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形 ______的比叫做相似比.
2. 性质:(1)相似多边形的对应角 _____,对应边 _____;
(2)相似多边形的周长比等于 ______,面积比等于_____________.
命题点 相似三角形的性质及判定
1. (2012陕西5题3分)如图,在△ABC中,AD、BE是两条中线,
第1题图
则S△EDC∶S△AB=( )
A. 1∶2 B. 2∶3 C. 1∶3 D. 1∶4
2. (2016陕西副题6题3分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=20,AC=15,△ABC的高AD与角平分线CF交于点E,则 的值为( )
A. B. C. D.
第2题图
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练习 (2016娄底)如图,已知∠A=∠D,要使△ABC∽△DEF,还需添加一个条件,你添加的条件是____________ .
(只需写一个条件,不添加辅助线和字母).
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