- 651.50 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2018 年江苏省常州市中考数学试题(WORD 版)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 2 分,共 16 分.)
1. 3 的倒数是( )
A. 3 B. 3 C.
3
1 D.
3
1
2. 已知苹集每千克 m 元,则 2 千克带果共多少元?( )
A. 2m B. 2m C.
2
m D. m2
3. 下列图形中,哪一个是圆锥的侧面展开图?( )
A. B. C. D.
4. 一个正比例函数的图像经过 )1,2( ,则它的表达式为( )
A. xy 2 B. xy 2 C. xy 2
1 D. xy 2
1
5. 下列命题中,假命题...是 ( )
A.一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 三个角是直角的四边形是矩形
C.四边相等的四边形是菱形 D. 有一个角是直角的菱形是正方形
6. 已知 a 为整数,且 53 a ,则 a 等于( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 如图,AB 是⊙O 的直径,,MN 是⊙O 的切线,切点为 N,
如果 052MNB ,则 NOA 的度数为 ( )
A. 076 B. 056 C. 054 D. 052 (第 7 题)
8. 某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图
尺,在半径为 1 的半圆形量角器中,画一个直径为 1
的圆,把刻度尺 CA 的 0 刻度固定在半圆的圆心 O 处,
刻度尺可以绕点 O 旋转. 从图中所示的图尺可读出
AOBsin 的值是 ( )
A.
8
5 B.
8
7
C.
10
7 D.
5
4 (第 8 题)
二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分.)
9. 计算: 1|3|
10. 化简: ba
b
ba
a
11. 分解因式: 363 2 xx
12. 已知点 )1,2(P ,则点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是
13. 地球与月球的平均距离大约 384000km,用科学计数法表示这个距离为 km
14. 中华文化源远流长,下图是中国古代文化符号的太极图,圆中的黑色部分和白色部分关
于圆心中心对称.在圆内随机取一点,则此点取黑色部分的概率是
(第 14 题) (第 15 题) (第 16 题) (第 18 题)
15. 如图,在□ABCD 中, 070A ,DC=DB,则 CDB .
16. 如图, ABC 是⊙O 的内接三角形, 060BAC , »BC 的长是
3
4 ,则⊙O 的半径是 .
17. 下面是按一定规律排列的代数式: 2a , 2a , 2a , 2a ,…则第 8 个代数式是 .
18. 如图,在 ABC 纸板中,AC=4,BC=2,AB=5,P 是 AC 上一点,过点 P 沿直线剪下一
个与△ABC 相似的小三角形纸板,如果有 4 种不同的剪法,那么 AP 长的取值范围
是 .
三、解答题(本大题共 10 小题,共 84 分.)
19.(6 分)计算: 00 30sin4)21(4|1|
20.(8 分)解方程组和不等式组:
13
732)1( yx
yx
xx
x
2
062)2(
21.(8 分)如图,把 ABC 沿 BC 翻折得 DBC .
(1)连接 AD,则 BC 与 AD 的位置关系是
(2)不在原图中添加字母和线段,只加一个条件使四边形 ABCD 是平行四边形,写出添
加的条件,并说明理由.
(第 21 题)
22.(8 分)为了解某市初中学生课外阅读情况,调查小组对该市这学期初中学生阅读课外书
籍的册数进行了抽样调查,并根据调查结果绘制成如下统计图.
根据统计图提供的信息,解答下列问题: (第 22 题)
(1)本次抽样调查的样本容量是 ;
(2)补全条形统计图;
(3)该市共有 12000 名初中生,估计该市初中学生这学期课外阅读超过 2 册的人数.
23.(8 分)将图中的 A 型、B 型、C 型矩形纸片分别放在 3 个盒子中,盒子的形状、大小、
质地都相同,再将这 3 个盒子装入一只不透明的袋子中.
(第 23 题)
(1)搅均后从中摸出 1 个盒子,求摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率;
(2)搅均后先从中摸出 1 个盒子(不放回),再从余下的两个盒子中摸出一个盒子,求 2
次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接).
24.(8 分)如图,已知点 A 在反比例函数 )0(4 xxy 的图像上,过点 A 作 xAC 轴,
垂足是 C,AC=OC.一次函数 bkxy 的图像经过点 A,与 y 轴的正半轴交于点 B.
(1)求点 A 的坐标;
(2)若四边形 ABOC 的面积是 3,求一次函数 bkxy 的表达式.
(第 24 题)
25.(8 分)京杭大运河是世界文化遗产.综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿
是平行的),如图,在岸边分别选定了点 A、B 和点 C、D,先用卷尺量得 AB=160m,CD=40m,
再用测角仪测得 ,, 00 6030 DBACAB 求该段运河的河宽(即 CH 的长).
(第 25 题)
26.(10 分)阅读材料:各类方程的解法
求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为 ax 的形式.求解二元一次方
程组,把它转化为一元一次方程来解;类似的,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一
次方程组。求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程,把它转
化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验.各类方程的
解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想转化,把未知转化为已知.
用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.
例 如 , 一 元 三 次 方 程 0223 xxx , 可 以 通 过 因 式 分 解 把 它 转 化 为
0)2( 2 xxx ,解方程 0x 和 022 xx ,可得方程 0223 xxx 的解.
(1)问题:方程 0223 xxx 的解是 21 ,0 xx , 3x ;
(2)拓展:用“转化”思想求方程 xx 32 的解;
(3)应用:如图,已知矩形草坪 ABCD 的长 AD=8m,宽 AB=3m,小华把一根长为 10m 的绳
子的一端固定在点 B,沿草坪边沿 BA,AD 走到点 P 处,把长绳 PB 段拉直并固定在点 P,
然后沿草坪边沿 PD、DC 走到点 C 处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在
点 C.求 AP 的长.
(第 26 题)
27.(本小题满分 10 分)
(1)如图 1,已知 EK 垂直平分 BC,垂足为 D,AB 与 EK 相交于点 F,连接 CF.
求证: CFDAFE
(2)如图 2,在 GMNR t 中, 090M ,P 为 MN 的中点.
①用直尺和圆规在 GN 边上求作点 Q,使得 PQNGQM (保留作图痕迹,不要
求写作法);
②在①的条件下,如果 060G ,那么 Q 是 GN 的中点吗?为什么?
图 1 图 2
(第 27 题)
28.(本小题满分 10 分)
如图,二次函数 23
1 2 bxxy 的图像与 x 轴交于点 A 、B,与 y 轴交于点 C,点 A 的
坐标为 )0,4( ,P 是抛物线上一点(点 P 与点 A、B、C 不重合).
(1) b ,点 B 的坐标是 ;
(2)设直线 PB 与直线 AC 相交于点 M,是否存在这样的点 P,使得 2:1: MBPM ?若存
在求出点 P 的横坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接 AC、BC,判断 CAB 和 CBA 的数量关系,并说明理由.
(第 28 题) (备用图)
2018 年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 2 分,共 16 分.在每小题所给出的四个选
项中,只有一项是正确的)
1.(2.00 分)﹣3 的倒数是( )
A.﹣3 B.3 C.﹣ D.
【分析】根据倒数的定义可得﹣3 的倒数是﹣ .
【解答】解:﹣3 的倒数是﹣ .
故选:C.
【点评】主要考查倒数的概念及性质.倒数的定义:若两个数的乘积是 1,我们
就称这两个数互为倒数.
2.(2.00 分)已知苹果每千克 m 元,则 2 千克苹果共多少元?( )
A.m﹣2 B.m+2 C. D.2m
【分析】根据苹果每千克 m 元,可以用代数式表示出 2 千克苹果的价钱.
【解答】解:∵苹果每千克 m 元,
∴2 千克苹果 2m 元,
故选:D.
【点评】本题考查列代数式,解答本题的关键是明确题意,列出相应的代数式.
3.(2.00 分)下列图形中,哪一个是圆锥的侧面展开图?( )
A. B. C. D.
【分析】根据圆锥的侧面展开图的特点作答.
【解答】解:圆锥的侧面展开图是光滑的曲面,没有棱,只是扇形.
故选:B.
【点评】此题考查了几何体的展开图,注意圆锥的侧面展开图是扇形.
4.(2.00 分)一个正比例函数的图象经过(2,﹣1),则它的表达式为( )
A.y=﹣2x B.y=2xC. D.
【分析】设该正比例函数的解析式为 y=kx(k≠0),再把点(2,﹣1)代入求出
k 的值即可.
【解答】解:设该正比例函数的解析式为 y=kx(k≠0),
∵正比例函数的图象经过点(2,﹣1),
∴2=﹣k,解得 k=﹣2,
∴这个正比例函数的表达式是 y=﹣2x.
故选:A.
【点评】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式,熟知正比例函数图象
上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.
5.(2.00 分)下列命题中,假命题是( )
A.一组对边相等的四边形是平行四边形
B.三个角是直角的四边形是矩形
C.四边相等的四边形是菱形
D.有一个角是直角的菱形是正方形
【分析】根据矩形、正方形、平行四边形、菱形的判定即可求出答案.
【解答】解:A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,是假命题;
B、三个角是直角的四边形是矩形,是真命题;
C、四边相等的四边形是菱形,是真命题;
D、有一个角是直角的菱形是正方形,是真命题;
故选:A.
【点评】本题考查菱形、矩形和平行四边形的判定与命题的真假区别,关键是根
据矩形、正方形、平行四边形、菱形的判定解答.
6.(2.00 分)已知 a 为整数,且 ,则 a 等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】直接利用 , 接近的整数是 2,进而得出答案.
【解答】解:∵a 为整数,且 ,
∴a=2.
故选:B.
【点评】此题主要考查了估算无理数大小,正确得出无理数接近的有理数是解题
关键.
7.(2.00 分)如图,AB 是⊙O 的直径,MN 是⊙O 的切线,切点为 N,如果∠
MNB=52°,则∠NOA 的度数为( )
A.76° B.56° C.54° D.52°
【分析】先利用切线的性质得∠ONM=90°,则可计算出∠ONB=38°,再利用等腰
三角形的性质得到∠B=∠ONB=38°,然后根据圆周角定理得∠NOA 的度数.
【解答】解:∵MN 是⊙O 的切线,
∴ON⊥NM,
∴∠ONM=90°,
∴∠ONB=90°﹣∠MNB=90°﹣52°=38°,
∵ON=OB,
∴∠B=∠ONB=38°,
∴∠NOA=2∠B=76°.
故选:A.
【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆
周角定理.
8.(2.00 分)某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺:在半径为
1 的半圆形量角器中,画一个直径为 1 的圆,把刻度尺 CA 的 0 刻度固定在半圆
的圆心 O 处,刻度尺可以绕点 O 旋转.从图中所示的图尺可读出 sin∠AOB 的值
是( )
A. B. C. D.
【分析】如图,连接 AD.只要证明∠AOB=∠ADO,可得 sin∠AOB=sin∠
ADO= = ;
【解答】解:如图,连接 AD.
∵OD 是直径,
∴∠OAD=90°,
∵∠AOB+∠AOD=90°,∠AOD+∠ADO=90°,
∴∠AOB=∠ADO,
∴sin∠AOB=sin∠ADO= = ,
故选:D.
【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识,解题的关键
是学会用转化的思想思考问题,属于中考创新题目.
二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分.不需写出解答过程,请
把答案直接写在答题卡相应位置上)
9.(2.00 分)计算:|﹣3|﹣1= 2 .
【分析】原式利用绝对值的代数意义,以及减法法则计算即可求出值.
【解答】解:原式=3﹣1=2.
故答案为:2
【点评】此题考查了有理数的减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
10.(2.00 分)化简: = 1 .
【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算即可.
【解答】解:原式= =1,
故答案为:1
【点评】此题考查了分式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
11.(2.00 分)分解因式:3x2﹣6x+3= 3(x﹣1)2 .
【分析】先提取公因式 3,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.
【解答】解:3x2﹣6x+3,
=3(x2﹣2x+1),
=3(x﹣1)2.
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式
首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到
不能分解为止.
12.(2.00 分)已知点 P(﹣2,1),则点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是 (﹣2,
﹣1) .
【分析】根据关于 x 轴对称的点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,可得答案.
【解答】解:点 P(﹣2,1),则点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是(﹣2,﹣1),
故答案为:(﹣2,﹣1).
【点评】本题考查了关于 x 轴对称的对称点,利用关于 x 轴对称的点的横坐标相
等,纵坐标互为相反数是解题关键.
13.(2.00 分)地球与月球的平均距离大约 384000km,用科学计数法表示这个距
离为 3.84×105 km.
【分析】科学记数法的一般形式为:a×10n,在本题中 a 应为 3.84,10 的指数为
6﹣1=5.
【解答】解:384 000=3.84×105km.
故答案为 3.84×105.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的
形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
14.(2.00 分)中华文化源远流长,如图是中国古代文化符号的太极图,圆中的
黑色部分和白色部分关于圆心中心对称.在圆内随机取一点,则此点取黑色部分
的概率是 .
【分析】根据中心对称图形的性质得到圆中的黑色部分和白色部分面积相等,根
据概率公式计算即可.
【解答】解:∵圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称,
∴圆中的黑色部分和白色部分面积相等,
∴在圆内随机取一点,则此点取黑色部分的概率是 ,
故答案为: .
【点评】本题考查的是概率公式、中心对称图形,掌握概率公式是解题的关键.
15.(2.00 分)如图,在▱ ABCD 中,∠A=70°,DC=DB,则∠CDB= 40° .
【分析】根据等腰三角形的性质,平行四边形的性质以及三角形内角和定理即可
解决问题.
【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴∠A=∠C=70°,
∵DC=DB,
∴∠C=∠DBC=70°,
∴∠CDB=180°﹣70°﹣70°=40°,
故答案为 40°.
【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等
知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
16.(2.00 分)如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,∠BAC=60°, 的长是 ,
则⊙O 的半径是 2 .
【分析】连接 OB、OC,利用弧长公式转化为方程求解即可;
【解答】解:连接 OB、OC.
∵∠BOC=2∠BAC=120°, 的长是 ,
∴ = ,
∴r=2,
故答案为 2.
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心,圆周角定理,弧长的计算等知识,解
题的关键是熟练掌握弧长公式,属于中考常考题型.
17.(2.00 分)下面是按一定规律排列的代数式:a2,3a4,5a6,7a8,…则第 8 个
代数式是 15a16 .
【分析】直接利用已知单项式的次数与系数特点得出答案.
【解答】解:∵a2,3a4,5a6,7a8,…
∴单项式的次数是连续的偶数,系数是连续的奇数,
∴第 8 个代数式是:(2×8﹣1)a2×8=15a16.
故答案为:15a16.
【点评】此题主要考查了单项式,正确得出单项式次数与系数的变化规律是解题
关键.
18.(2.00 分)如图,在△ABC 纸板中,AC=4,BC=2,AB=5,P 是 AC 上一点,
过点 P 沿直线剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸板,如果有 4 种不同的剪法,
那么 AP 长的取值范围是 3≤AP<4 .
【分析】分四种情况讨论,依据相似三角形的对应边成比例,即可得到 AP 的长
的取值范围.
【解答】解:如图所示,过 P 作 PD∥AB 交 BC 于 D 或 PE∥BC 交 AB 于 E,则△
PCD∽△ACB 或△APE∽△ACB,
此时 0<AP<4;
如图所示,过 P 作∠APF=∠B 交 AB 于 F,则△APF∽△ABC,
此时 0<AP≤4;
如图所示,过 P 作∠CPG=∠CBA 交 BC 于 G,则△CPG∽△CBA,
此时,△CPG∽△CBA,
当点 G 与点 B 重合时,CB2=CP×CA,即 22=CP×4,
∴CP=1,AP=3,
∴此时,3≤AP<4;
综上所述,AP 长的取值范围是 3≤AP<4.
故答案为:3≤AP<4.
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质,相似三角形的对应角相等,对应边
的比相等.
三、解答题(本大题共 10 小题,共 84 分.请在答题卡指定区域内作答,如无特
殊说明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
19.(6.00 分)计算:|﹣1|﹣ ﹣(1﹣ )0+4sin30°.
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别
化简得出答案.
【解答】解:原式=1﹣2﹣1+4×
=1﹣2﹣1+2
=0.
【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.
20.(8.00 分)解方程组和不等式组:
(1)
(2)
【分析】(1)方程组利用加减消元法求出解即可;
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分即可.
【解答】解:(1) ,
①+②得:x=2,
把 x=2 代入②得:y=﹣1,
所以方程组的解为: ;
(2) ,
解不等式①得:x≥3;
解不等式②得:x≥﹣1,
所以不等式组的解集为:x≥3.
【点评】此题考查了解二元一次方程组,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
21.(8.00 分)如图,把△ABC 沿 BC 翻折得△DBC.
(1)连接 AD,则 BC 与 AD 的位置关系是 BC⊥AB .
(2)不在原图中添加字母和线段,只加一个条件使四边形 ABDC 是平行四边形,
写出添加的条件,并说明理由.
【分析】(1)先由折叠知,AB=BD,∠ACB=∠DBC,进而判断出△AOB≌△DOB,
最后用平角的定义即可得出结论;
(2)由折叠得出∠ABC=∠DBC,∠ACB=∠DCB,再判断出∠ABC=∠ACB,进而得
出∠ACB=∠DBC=∠ABC=∠DCB,最后用两边分别平行的四边形是平行四边形.
【解答】解:(1)如图,
连接 AD 交 BC 于 O,
由折叠知,AB=BD,∠ACB=∠DBC,
∵BO=BO,
∴△ABO≌△DBO(SAS),
∴∠AOB=∠DOB,
∵∠AOB+∠DOB=180°,
∴∠AOB=∠DOB=90°,
∴BC⊥AD,
故答案为:BC⊥AD;
(2)添加的条件是 AB=AC,
理由:由折叠知,∠ABC=∠DBC,∠ACB=∠DCB,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ACB=∠DBC=∠ABC=∠DCB,
∴AC∥BD,AB∥CD,
∴四边形 ABDC 是平行四边形.
【点评】此题主要考查了折叠的性质,平行四边形的判定,等腰三角形的性质,
全等三角形的判定和性质,判断出△ABO≌△DBO(SAS)是解本题的关键.
22.(8.00 分)为了解某市初中学生课外阅读情况,调查小组对该市这学期初中
学生阅读课外书籍的册数进行了抽样调查,并根据调查结果绘制成如下统计图.
根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)本次抽样调查的样本容量是 100 ;
(2)补全条形统计图;
(3)该市共有 12000 名初中生,估计该市初中学生这学期课外阅读超过 2 册的
人数.
【分析】(1)根据 2 册的人数除以占的百分比即可得到总人数;
(2)求出 1 册的人数是 100×30%=30 人,4 册的人数是 100﹣30﹣40﹣20=10
人,再画出即可;
(3)先列出算式,再求出即可.
【解答】解:(1)40÷40%=100(册),
即本次抽样调查的样本容量是 100,
故答案为:100;
(2)如图: ;
(3)12000×(1﹣30%)=8400(人),
答:估计该市初中学生这学期课外阅读超过 2 册的人数是 8400 人.
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图,总体、个体、样本、样本容量,
用样本估计总体等知识点,两图结合是解题的关键.
23.(8.00 分)将图中的 A 型、B 型、C 型矩形纸片分别放在 3 个盒子中,盒子
的形状、大小、质地都相同,再将这 3 个盒子装入一只不透明的袋子中.
(1)搅匀后从中摸出 1 个盒子,求摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率;
(2)搅匀后先从中摸出 1 个盒子(不放回),再从余下的两个盒子中摸出一个盒
子,求 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接).
【分析】(1)直接利用概率公式计算可得;
(2)画树状图得出所有等可能结果,从中找打 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一
个新矩形的结果数,利用概率公式计算可得.
【解答】解:(1)搅匀后从中摸出 1 个盒子有 3 种等可能结果,
所以摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率为 ;
(2)画树状图如下:
由树状图知共有 6 种等可能结果,其中 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形
的有 4 种结果,
所以 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为 = .
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情
况数与总情况数之比.
24.(8.00 分)如图,已知点 A 在反比例函数 y= (x>0)的图象上,过点 A 作
AC⊥x 轴,垂足是 C,AC=OC.一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A,与 y 轴的正半
轴交于点 B.
(1)求点 A 的坐标;
(2)若四边形 ABOC 的面积是 3,求一次函数 y=kx+b 的表达式.
【分析】(1)根据反比例函数 k 值的几何意义可求点 A 的坐标;
(2)根据梯形的面积公式可求点 B 的坐标,再根据待定系数法可求一次函数
y=kx+b 的表达式.
【解答】解:(1)∵点 A 在反比例函数 y= (x>0)的图象上,AC⊥x 轴,AC=OC,
∴AC•OC=4,
∴AC=OC=2,
∴点 A 的坐标为(2,2);
(2)∵四边形 ABOC 的面积是 3,
∴(OB+2)×2÷2=3,
解得 OB=1,
∴点 B 的坐标为(0,1),
依题意有 ,
解得 .
故一次函数 y=kx+b 的表达式为 y= x+1.
【点评】考查了反比例函数与一次函数的交点问题,关键是熟练掌握反比例函数
k 值的几何意义、梯形的面积、待定系数法求一次函数解析式.
25.(8.00 分)京杭大运河是世界文化遗产.综合实践活动小组为了测出某段运
河的河宽(岸沿是平行的),如图,在岸边分别选定了点 A、B 和点 C、D,先用
卷尺量得 AB=160m,CD=40m,再用测角仪测得∠CAB=30°,∠DBA=60°,求该段
运河的河宽(即 CH 的长).
【分析】过 D 作 DE⊥AB,可得四边形 CHED 为矩形,由矩形的对边相等得到两
对对边相等,分别在直角三角形 ACH 与直角三角形 BDE 中,设 CH=DE=xm,利
用锐角三角函数定义表示出 AH 与 BE,由 AH+HE+EB=AB 列出方程,求出方程的
解即可得到结果.
【解答】解:过 D 作 DE⊥AB,可得四边形 CHED 为矩形,
∴HE=CD=40m,
设 CH=DE=xm,
在 Rt△BDE 中,∠DBA=60°,
∴BE= xm,
在 Rt△ACH 中,∠BAC=30°,
∴AH= xm,
由 AH+HE+EB=AB=160m,得到 x+40+ x=160,
解得:x=30 ,即 CH=30 m,
则该段运河的河宽为 30 m.
【点评】此题考查了解直角三角形的应用,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题
的关键.
26.(10.00 分)阅读材料:各类方程的解法
求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为 x=a 的形式.求解二元
一次方程组,把它转化为一元一次方程来解;类似的,求解三元一次方程组,把
它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程
来解.求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,
所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基
本数学思想转化,把未知转化为已知.
用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程 x3+x2
﹣2x=0,可以通过因式分解把它转化为 x(x2+x﹣2)=0,解方程 x=0 和 x2+x﹣2=0,
可得方程 x3+x2﹣2x=0 的解.
(1)问题:方程 x3+x2﹣2x=0 的解是 x1=0,x2= ﹣2 ,x3= 1 ;
(2)拓展:用“转化”思想求方程 =x 的解;
(3)应用:如图,已知矩形草坪 ABCD 的长 AD=8m,宽 AB=3m,小华把一根长
为 10m 的绳子的一端固定在点 B,沿草坪边沿 BA,AD 走到点 P 处,把长绳 PB
段拉直并固定在点 P,然后沿草坪边沿 PD、DC 走到点 C 处,把长绳剩下的一段
拉直,长绳的另一端恰好落在点 C.求 AP 的长.
【分析】(1)因式分解多项式,然后得结论;
(2)两边平方,把无理方程转化为整式方程,求解,注意验根;
(3)设 AP 的长为 xm,根据勾股定理和 BP+CP=10,可列出方程,由于方程含有
根号,两边平方,把无理方程转化为整式方程,求解,
【解答】解:(1)x3+x2﹣2x=0,
x(x2+x﹣2)=0,
x(x+2)(x﹣1)=0
所以 x=0 或 x+2=0 或 x﹣1=0
∴x1=0,x2=﹣2,x3=1;
故答案为:﹣2,1;
(2) =x,
方程的两边平方,得 2x+3=x2
即 x2﹣2x﹣3=0
(x﹣3)(x+1)=0
∴x﹣3=0 或 x+1=0
∴x1=3,x2=﹣1,
当 x=﹣1 时, = =1≠﹣1,
所以﹣1 不是原方程的解.
所以方程 =x 的解是 x=3;
(3)因为四边形 ABCD 是矩形,
所以∠A=∠D=90°,AB=CD=3m
设 AP=xm,则 PD=(8﹣x)m
因为 BP+CP=10,
BP= ,CP=
∴ + =10
∴ =10﹣
两边平方,得(8﹣x)2+9=100﹣20 +9+x2
整理,得 5 =4x+9
两边平方并整理,得 x2﹣8x+16=0
即(x﹣4)2=0
所以 x=4.
经检验,x=4 是方程的解.
答:AP 的长为 4m.
【点评】本题考查了转化的思想方法,一元二次方程的解法.解无理方程是注意
到验根.解决(3)时,根据勾股定理和绳长,列出方程是关键.
27.(10.00 分)(1)如图 1,已知 EK 垂直平分 BC,垂足为 D,AB 与 EK 相交于
点 F,连接 CF.求证:∠AFE=∠CFD.
(2)如图 2,在 Rt△GMN 中,∠M=90°,P 为 MN 的中点.
①用直尺和圆规在 GN 边上求作点 Q,使得∠GQM=∠PQN(保留作图痕迹,不
要求写作法);
②在①的条件下,如果∠G=60°,那么 Q 是 GN 的中点吗?为什么?
【分析】(1)只要证明 FC=FB 即可解决问题;
(2)①作点 P 关于 GN 的对称点 P′,连接 P′M 交 GN 于 Q,连接 PQ,点 Q 即为
所求.
②结论:Q 是 GN 的中点.想办法证明∠N=∠QMN=30°,∠G=∠GMQ=60°,可得
QM=QN,QM=QG;
【解答】(1)证明:如图 1 中,
∵EK 垂直平分线段 BC,
∴FC=FB,
∴∠CFD=∠BFD,
∵∠BFD=∠AFE,
∴∠AFE=∠CFD.
(2)①作点 P 关于 GN 的对称点 P′,连接 P′M 交 GN 于 Q,连接 PQ,点 Q 即为
所求.
②结论:Q 是 GN 的中点.
理由:设 PP′交 GN 于 K.
∵∠G=60°,∠GMN=90°,
∴∠N=30°,
∵PK⊥KN,
∴PK=KP′= PN,
∴PP′=PN=PM,
∴∠P′=∠PMP′,
∵∠NPK=∠P′+∠PMP′=60°,
∴∠PMP′=30°,
∴∠N=∠QMN=30°,∠G=∠GMQ=60°,
∴QM=QN,QM=QG,
∴QG=QN,
∴Q 是 GN 的中点.
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边
中线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题
型.
28.(10.00 分)如图,二次函数 y=﹣ +bx+2 的图象与 x 轴交于点 A、B,与 y
轴交于点 C,点 A 的坐标为(﹣4,0),P 是抛物线上一点(点 P 与点 A、B、C
不重合).
(1)b= ﹣ ,点 B 的坐标是 ( ,0) ;
(2)设直线 PB 与直线 AC 相交于点 M,是否存在这样的点 P,使得 PM:MB=1:
2?若存在求出点 P 的横坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接 AC、BC,判断∠CAB 和∠CBA 的数量关系,并说明理由.
【分析】(1)由点 A 的坐标,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出 b 的值,
代入 y=0 求出 x 值,进而可得出点 B 的坐标;
(2)代入 x=0 求出 y 值,进而可得出点 C 的坐标,由点 A、C 的坐标利用待定系
数法可求出直线 AC 的解析式,假设存在,设点 M 的坐标为(m, m+2),分 B、
P 在直线 AC 的同侧和异侧两种情况考虑,由点 B、M 的坐标结合 PM:MB=1:2
即可得出点 P 的坐标,再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于 m 的一
元二次方程,解之即可得出结论;
(3)作∠CBA 的角平分线,交 y 轴于点 E,过点 E 作 EF⊥BC 于点 F,设 OE=n,
则 CE=2﹣n,EF=n,利用面积法可求出 n 值,进而可得出 = = ,结合∠
AOC=90°=∠BOE 可证出△AOC∽△BOE,根据相似三角形的性质可得出∠CAO=∠
EBO,再根据角平分线的性质可得出∠CBA=2∠EBO=2∠CAB,此题得解.
【解答】解:(1)∵点 A(﹣4,0)在二次函数 y=﹣ +bx+2 的图象上,
∴﹣ ﹣4b+2=0,
∴b=﹣ .
当 y=0 时,有﹣ x2﹣ x+2=0,
解得:x1=﹣4,x2= ,
∴点 B 的坐标为( ,0).
故答案为:﹣ ;( ,0).
(2)当 x=0 时,y=﹣ x2﹣ x+2=2,
∴点 C 的坐标为(0,2).
设直线 AC 的解析式为 y=kx+c(k≠0),
将 A(﹣4,0)、C(0,2)代入 y=kx+c 中,
得: ,解得: ,
∴直线 AC 的解析式为 y= x+2.
假设存在,设点 M 的坐标为(m, m+2).
①当点 P、B 在直线 AC 的异侧时,点 P 的坐标为( m﹣ , m+3),
∵点 P 在抛物线 y=﹣ x2﹣ x+2 上,
∴ m+3=﹣ ×( m﹣ )2﹣ ×( m﹣ )+2,
整理,得:12m2+20m+9=0.
∵△=202﹣4×12×9=﹣32<0,
∴方程无解,即不存在符合题意得点 P;
②当点 P、B 在直线 AC 的同侧时,点 P 的坐标为( m+ , m+1),
∵点 P 在抛物线 y=﹣ x2﹣ x+2 上,
∴ m+1=﹣ ×( m+ )2﹣ ×( m+ )+2,
整理,得:4m2+44m﹣9=0,
解得:m1=﹣ ,m2= ,
∴点 P 的横坐标为﹣2﹣ 或﹣2+ .
综上所述:存在点 P,使得 PM:MB=1:2,点 P 的横坐标为﹣2﹣ 或﹣2+ .
(3)∠CBA=2∠CAB,理由如下:
作∠CBA 的角平分线,交 y 轴于点 E,过点 E 作 EF⊥BC 于点 F,如图 2 所示.
∵点 B( ,0),点 C(0,2),
∴OB= ,OC=2,BC= .
设 OE=n,则 CE=2﹣n,EF=n,
由面积法,可知: OB•CE= BC•EF,即 (2﹣n)= n,
解得:n= .
∵ = = ,∠AOC=90°=∠BOE,
∴△AOC∽△BOE,
∴∠CAO=∠EBO,
∴∠CBA=2∠EBO=2∠CAB.
【点评】题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、
三角形的面积、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定
与性质,解题的关键是:(1)由点 A 的坐标,利用二次函数图象上点的坐标特征
求出 b 的值;(2)分 B、P 在直线 AC 的同侧和异侧两种情况找出点 P 的坐标;(3)
构造相似三角形找出两角的数量关系.