中考数学知识点总结完整版第一轮改 26页

中考数学总复习资料 代数部分 第一章：实数 基础知识点：‎ 一、实数的分类：‎ ‎2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如、；特定结构的不循环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、°等。‎ 二、实数中的几个概念 ‎1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。‎ ‎（1）实数a的相反数是 -a； （2）a和b互为相反数a+b=0‎ ‎2、倒数：‎ ‎（1）实数a（a≠0）的倒数是；（2）a和b 互为倒数；（3）注意0没有倒数 ‎3、绝对值：‎ ‎（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：‎ ‎4、n次方根 ‎（1）平方根，算术平方根：设a≥0，称叫a的平方根，‎ 叫a的算术平方根。‎ ‎（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。‎ ‎（3）立方根：叫实数a的立方根。‎ ‎（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。‎ 四、实数大小的比较 ‎1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。‎ ‎2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。‎ 五、实数的运算 ‎1、加法：‎ ‎（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；‎ ‎（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。‎ ‎2、减法：‎ 减去一个数等于加上这个数的相反数。‎ ‎3、乘法：‎ ‎（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。‎ ‎（2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。‎ ‎4、除法：‎ ‎（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。‎ ‎（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。‎ ‎（3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。‎ 六、有效数字和科学记数法 ‎1、科学记数法：设N＞0，则N= a×（其中1≤a＜10，n为整数）。‎ 例题：‎ 例2、若，比较a、b、c的大小。‎ 例3、若互为相反数，求a+b的值 例4、已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值是1，求的值。‎ 第二章：代数式 基础知识点：‎ ‎3、代数式的分类：‎ 二、整式的有关概念及运算 ‎1、概念 ‎（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。‎ ‎2、运算 ‎ 去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项都变号。‎ ‎ （2）整式的乘除：‎ ‎ 幂的运算法则：其中m、n都是正整数 同底数幂相乘：； 同底数幂相除：；‎ 幂的乘方：; 积的乘方：。‎ ‎ 乘法公式：‎ ‎ 平方差公式：；‎ 完全平方公式：，‎ 三、因式分解 ‎ ‎ ‎ ‎ 四、分式 ‎ 1、分式定义：形如的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。‎ ‎ （1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B≠0时，分式有意义。‎ ‎ （2）分式的值为0：A=0，B≠0时，分式的值等于0。‎ ‎ （‎ ‎ ‎ 五、二次根式 ‎ 1、二次根式的概念：式子叫做二次根式。‎ ‎ （1）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。‎ ‎ （2）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。‎ ‎ ‎ ‎ 2、二次根式的性质：‎ ‎ （1） ；（2）；（3）（a≥0，b≥0）；（4）‎ ‎ 3、运算：‎ ‎ （1）二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。‎ ‎ （2）二次根式的乘法：（a≥0，b≥0）。‎ ‎ （3）二次根式的除法：‎ ‎ 二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。‎ 例题：‎ 一、因式分解：‎ ‎ ‎ ‎4、根式计算 例8、已知最简二次根式和是同类二次根式，求b的值。‎ 分析：根据同类二次根式定义可得：2b+1=7–b。‎ 解：略 代数部分 第三章：方程和方程组 基础知识点：‎ ‎ 二、一元方程 ‎ ‎ ‎ 2、一元二次方程 ‎ （1）一元二次方程的一般形式：（其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0）‎ ‎ （2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 ‎ （3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如果没有要求，一般不用配方法。‎ ‎ （4）一元二次方程的根的判别式： ‎ ‎ 当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根；‎ ‎ 当Δ=0时方程有两个相等的实数根；‎ ‎ 当Δ< 0时方程没有实数根，无解；‎ ‎ 当Δ≥0时方程有两个实数根 ‎ （5）一元二次方程根与系数的关系：‎ ‎ 若是一元二次方程的两个根，那么：，‎ ‎ （6）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是： ‎ ‎ 三、分式方程 ‎ （1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。‎ ‎ （2）分式方程的解法：‎ ‎ 一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。‎ ‎ 特殊方法：换元法。‎ ‎ （3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。‎ ‎ 四、方程组 ‎ ‎ 例题：‎ ‎ 一、一元二次方程的解法 ‎ 例1、解下列方程：‎ ‎ （1）；（2）；（3）‎ 分析：（1）用直接开方法解；（2）用公式法；（3）用因式分解法 解：略 例3、解下列方程：‎ ‎（2）； ‎ 分析：（1）用去分母的方法；（2）用换元法 解：略 ‎[规律总结]一般的分式方程用去分母法来解，一些具有特殊关系如：有平方关系，倒数关系等的分式方程，可采用换元法来解。‎ 三、根的判别式及根与系数的关系 例4、已知关于x的方程：有两个相等的实数根，求p的值。‎ 分析：由题意可得=0，把各系数代入=0中就可求出p，但要先化为一般形式。‎ 解：略 ‎[规律总结]对于根的判别式的三种情况要很熟练，还有要特别留意二次项系数不能为0‎ 例5、已知a、b是方程的两个根，求下列各式的值：‎ ‎（1）；（2）‎ 分析：先算出a+b和ab的值，再代入把（1）（2）变形后的式子就可求出解。‎ 例7、解下列方程组：‎ ‎（1） ； ‎ 分析：（1）用加减消元法消x较简单；‎ 代数部分 第四章：列方程（组）解应用题 知识点：‎ ‎ 二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；‎ ‎ 1、工程问题 ‎ （1）基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间 ‎ （2）常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量 ‎ （3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题 ‎ 2、行程问题 ‎ （1）基本量之间的关系：路程=速度×时间 ‎ （2）常见等量关系：‎ ‎ 相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程 ‎ 追及问题（设甲速度快）：‎ ‎ 同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程 ‎ 同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差；甲的路程=乙的路程 ‎ 3、水中航行问题：‎ 顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；‎ 逆流速度=船在静水中的速度–水流速度 ‎4、增长率问题：‎ 常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×（1+增长率）；‎ ‎5、数字问题：‎ 基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100‎ 例题：‎ ‎ 例1、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作5天后，甲组另有任务，由乙组再单独工作1天就可完成，若单独完成这项工程乙组比甲组多用2天，求甲、乙两组单独完成这项工程各需几天？‎ 分析：设工作总量为1，设甲组单独完成工程需要x天，则乙组完成工程需要(x+2)天，等量关系是甲组5天的工作量+乙组6天的工作量=工作总量 解：略 例2、某部队奉命派甲连跑步前往90千米外的A地，1小时45分后，因任务需要，又增派乙连乘车前往支援，已知乙连比甲连每小时快28千米，恰好在全程的处追上甲连。求乙连的行进速度及追上甲连的时间 分析：设乙连的速度为v千米/小时，追上甲连的时间为t小时，则甲连的速度为（v–28）千米/小时，这时乙连行了小时，其等量关系为：甲走的路程=乙走的路程=30‎ 解：略 例3、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备60台支援抗洪，由于改进了操作技术；每天生产的台数比原计划多50%，结果提前2天完成任务，求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台？‎ 分析：设原计划每天生产通讯设备x台，则改进操作技术后每天生产x（1+0.5）台，等量关系为：原计划所用时间–改进技术后所用时间=2天 解：略 例4、某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，以后经加强管理，又使月销售额上升，到四月份销售额增加到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？‎ 分析：设三、四月份平均每月增长率为x%，二月份的销售额为60（1–10%）万元，三月份的销售额为二月份的（1+x）倍，四月份的销售额又是三月份的（1+x）倍，所以四月份的销售额为二月份的（1+x）2倍，等量关系为：四月份销售额为=96万元。‎ 解：略 例5、一年期定期储蓄年利率为2.25%，所得利息要交纳20%的利息税，例如存入一年期100元，到期储户纳税后所得到利息的计算公式为：‎ 税后利息=‎ 已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息是450元，问该储户存入了多少本金？‎ ‎ 分析：设存入x元本金，则一年期定期储蓄到期纳税后利息为2.25%(1-20%)x元，方程容易得出。‎ ‎ 例6、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降低成本措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？‎ ‎ 分析：设每件衬衫应该降价x元，则每件衬衫的利润为（40-x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，由关系式：‎ 总利润=每件的利润×售出商品的叫量，可列出方程 ‎ 解：略 代数部分 第五章：不等式及不等式组 知识点：‎ 一、不等式与不等式的性质 ‎ 2、不等式的性质：‎ ‎ （l）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a＞ b， c为实数a＋c＞b＋c ‎（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如a＞b， c＞0ac＞bc。‎ ‎（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如a＞b，c＜0ac＜bc.‎ ‎ ‎ ‎ 例3、解下列一元一次不等式，并把解集在数轴上表示出来。‎ ‎ （1）8–2（x＋2）＜4x–2；（2）‎ ‎ 解：‎ 第六章：函数及其图像 知识点：‎ 一、平面直角坐标系 ‎ （1）各象限内点的坐标有如下特征：‎ ‎ 点P（x, y）在第一象限x ＞0，y＞0；‎ ‎ 点P（x, y）在第二象限x＜0，y＞0；‎ ‎ 点P（x, y）在第三象限x＜0，y＜0；‎ ‎ 点P（x, y）在第四象限x＞0，y＜0。‎ ‎ （2）坐标轴上的点有如下特征：‎ ‎ 点P（x, y）在x轴上y为0，x为任意实数。‎ ‎ 点P（x，y）在y轴上x为0，y为任意实数。‎ ‎ 3．点P（x, y）坐标的几何意义：‎ ‎ （1）点P（x, y）到x轴的距离是| y |；‎ ‎ （2）点P（x, y）到y袖的距离是| x |；‎ ‎ （3）点P（x, y）到原点的距离是 ‎ 4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征：‎ ‎ （1）点P（a, b）关于x轴的对称点是；‎ ‎ （2）点P（a, b）关于x轴的对称点是；‎ ‎ （3）点P（a, b）关于原点的对称点是；‎ ‎ 二、函数的概念 ‎ 1、一次函数 ‎ ‎ 直线位置与k，b的关系：‎ ‎ （1）k＞0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为锐角；‎ ‎ （2）k＜0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为钝角；‎ ‎（3）b＞0直线与y轴交点在x轴的上方；‎ ‎（4）b＝0直线过原点；‎ ‎（5）b＜0直线与y轴交点在x轴的下方；‎ ‎2、二次函数 ‎ ‎ 抛物线位置与a，b，c的关系：‎ ‎ （1）a决定抛物线的开口方向 ‎ （2）c决定抛物线与y轴交点的位置：‎ ‎ c>0图像与y轴交点在x轴上方；c=0图像过原点；c<0图像与y轴交点在x轴下方；‎ ‎ （3）a，b决定抛物线对称轴的位置：a，b同号，对称轴在y轴左侧；b＝0，对称轴是y轴； a，b异号。对称轴在y轴右侧；‎ ‎3、反比例函数：‎ ‎ 4、正比例函数与反比例函数的对照表：‎ ‎ 例1、正比例函数图象与反比例函数图象都经过点P（m，4），已知点P到x轴的距离是到y轴的距离2倍.‎ ‎ ⑴求点P的坐标.；‎ ‎ ⑵求正比例函数、反比例函数的解析式 ‎ 例4、把反比例函数y=与二次函数y=kx2(k≠0)画在同一个坐标系里，正确的是( ).‎ 答：选(D).这两个函数式中的k的正、负号应相同(图13－110).‎ 第七章：统计初步 知识点：‎ 一、总体和样本：‎ ‎ 在统计时，我们把所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一考察对象叫做个体。从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。‎ ‎ 二、反映数据集中趋势的特征数 ‎ 1、平均数 ‎ （1）的平均数， ‎ ‎ （2）加权平均数：如果n个数据中，出现次，出现次，……，出现次（这里），则 ‎ ‎ ‎ 2、中位数：将一组数据接从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的数据叫做这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数中位数就是处在中间位置上两个数据的平均数。‎ ‎ 3、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。一组数据的众数可能不止一个。‎ ‎ 三、反映数据波动大小的特征数：‎ ‎ 1、方差：‎ ‎ （l）的方差， ‎ ‎ 2、标准差：方差（）的算术平方根叫做标准差（S）。‎ ‎ 四、频率分布 ‎ 1、有关概念 ‎ ‎ ‎ ‎ 第一章：线段、角、相交线、平行线 ‎ 十、角的性质 ‎ 1、对顶角相等。‎ ‎ 2、同角或等角的余角相等。‎ ‎ 3、同角或等角的补角相等。‎ ‎ ‎ ‎ 4、垂线的性质 ‎ （l）过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。‎ ‎ （2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简单说：垂线段最短。‎ ‎ ‎ ‎ 十三、平行线 ‎ 1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。‎ ‎ 2、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。‎ ‎ 3、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。‎ ‎ 4、平行线的判定：‎ ‎ （1）同位角相等，两直线平行。‎ ‎ （2）内错角相等，两直线平行。‎ ‎ （3）同旁内角互补，两直线平行。‎ ‎ 5、平行线的性质 ‎ （1）两直线平行，同位角相等。‎ ‎（2）两直线平行，内错角相等。‎ ‎ （3）两直线平行，同旁内角互补。‎ ‎ ‎ 几何部分 第二章：三角形 知识点：‎ ‎ ‎ ‎ 1、三角形的角平分线。‎ ‎ 三角形的角平分线是一条线段（顶点与内角平分线和对边交线间的距离）‎ ‎ 2、三角形的中线 ‎ 三角形的中线也是一条线段（顶点到对边中点间的距离）‎ ‎ 3．三角形的高 ‎ 三角形的高线也是一条线段（顶点到对边的距离）‎ ‎ 注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内。‎ ‎ 如图 2－l， AD、 BE、 CF都是么ABC的角平分线，它们都在△ABC内 ‎ 如图2－2，AD、BE、CF都是△ABC的中线，它们都在△ABC内 ‎ ‎ 而图2－3，说明高线不一定在 △ABC内，‎ ‎ ‎ ‎ 图2—3—（1） 图2—3—（2） 图2‎ ‎ 三、三角形三条边的关系 ‎ 推论三角形两边的差小于第三边。‎ ‎ 例如三条线段长分别为5，6，1人因为5＋6＜12，所以这三条线段，不能作为三角形的三边。‎ ‎ 三、三角形的内角和 ‎ 定理三角形三个内角的和等于180°‎ ‎ ‎ ‎ 推论1：直角三角形的两个锐角互余。‎ ‎ ‎ ‎ 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。‎ ‎ 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。‎ ‎ 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。‎ ‎ ‎ ‎ 四、全等三角形 ‎ 五、全等三角形的判定 ‎ 1、边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）‎ ‎ 注意：一定要是两边夹角，而不能是边边角。‎ ‎ 2、角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角“或“ASA”）‎ ‎ 3、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边’域“AAS”）‎ ‎ 4、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）‎ ‎ 由边边边公理可知，三角形的重要性质：三角形的稳定性。‎ ‎ 除了上面的判定定理外，“边边角”或“角角角”都不能保证两个三角形全等。‎ ‎ 5、直角三角形全等的判定：斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL”）‎ ‎ 六、角的平分线 ‎ 定理1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。‎ ‎ 定理2、一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 十、等腰三角形的判定 ‎ 定理：如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等。（简写成“等角对等动”）。‎ ‎ 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 ‎ 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 ‎ 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于3O°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。‎ ‎ 十一、线段的垂直平分线 ‎ 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 ‎ 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。‎ ‎ 十二、轴对称和轴对称图形 ‎ ‎ ‎ 十三、勾股定理 ‎ 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方：‎ ‎ 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系： ‎ ‎ 那么这个三角形是直角三角形 第三章：四边形 知识点：‎ 一、多边形 ‎ 9、n边形的对角线共有条。‎ ‎ 10、多边形内角和定理：n边形内角和等于（n－2）180°。‎ ‎ 11、多边形内角和定理的推论：n边形的外角和等于360°。‎ ‎ ‎ ‎ 二、平行四边形 ‎ 1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。‎ ‎ 2、平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。‎ ‎ 3、平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。‎ ‎ 4、平行四边形性质定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等。‎ ‎ 5、平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。‎ ‎ 6、平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。‎ ‎ 7、平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。‎ ‎ 8、平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。‎ ‎ 9、平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。‎ ‎ ‎ ‎ 三、矩形 ‎ 矩形是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90°时，其它的边、角位置也都随之变化。因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。‎ ‎ 1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做短形（通常也叫做长方形）‎ ‎ 2、矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。‎ ‎ 3．矩形性质定理2：矩形的对角线相等。‎ ‎ 4、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。‎ ‎ 说明：因为四边形的内角和等于360度，已知有三个角都是直角，那么第四个角必定是直角。‎ ‎ 5、矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。‎ ‎ 说明：要判定四边形是矩形的方法是：‎ ‎ 法一：先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明） ‎ 法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理1）‎ ‎ 法三：只需证出三个角都是直角。（这是判定定理2）‎ ‎ 四、菱形 ‎ 菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。‎ ‎ 1、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。‎ ‎ 2、菱形的性质1：菱形的四条边相等。‎ ‎ 3、菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。‎ ‎ 4、菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形。‎ ‎ 5、菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。‎ ‎ 说明：要判定四边形是菱形的方法是：‎ ‎ 法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。（这就是定义证明）。‎ ‎ 法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。（这是判定定理2）‎ ‎ 法三：只需证出四边都相等。（这是判定定理1）‎ ‎ （五）正方形 ‎ 正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。‎ ‎ 1、正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。‎ ‎ 2、正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。‎ ‎ 3、正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。‎ ‎ 4、正方形判定定理互：两条对角线互相垂直的矩形是正方形。‎ ‎ 5、正方形判定定理2：两条对角线相等的菱形是正方形。‎ ‎ ‎ ‎ 六、梯形 ‎ ‎ ‎ 7、等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个角相等。‎ ‎ 8、等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等。‎ ‎ 9、等腰梯形的判定定理l。：在同一个底上钩两个角相等的梯形是等腰梯形。‎ ‎ 10、等腰梯形的判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形。‎ ‎ 七、中位线 ‎ 1、三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。‎ ‎ 2、梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。‎ ‎ 3、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。‎ ‎ 4、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。‎ 八、多边形的面积 说明：多边形的面积常用的求法有：‎ ‎ 例4、如图45-4，在□ABCD中，对角线AC、BD交于O点，EF过O分别交BC、AD于点E、F，且AE⊥BC，求证：四边形AECF是矩形。‎ ‎　　‎ 几何部分 第四章：相似形 知识点：‎ 一、比例线段 ‎ ‎ ‎ 二、平行线分线段成比例 ‎ ‎ 三、相似三角形 ‎ 1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。‎ ‎ 2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。‎ ‎ 3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。‎ ‎ ‎ ‎ 4、三角形相似的判定定理：‎ ‎ （1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。‎ ‎ （2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。‎ ‎ （3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。‎ ‎ （4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。‎ ‎ 说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。‎ ‎ 第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。‎ ‎ 第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。‎ ‎ 第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。‎ ‎ 第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。‎ ‎ 第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形．相似。‎ ‎ 5、相似三角形的性质：‎ ‎ （1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。‎ ‎ （2）相似三角形性质2：相似三角形周长的比等于相似比。‎ ‎ 说明：以上两个性质简单记为：相似三角形对应线段的比等于相似比。‎ ‎ （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。‎ ‎ 说明：两个三角形相似，根据定义可知它们具有对应角相等、对应边成比例这个性质。‎ ‎ ‎ 知识点：‎ ‎ 一、锐角三角函数：在直角三角形ABC中，∠C是直角，如图5－1‎ ‎ 1、正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 ‎ 2、余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作 ‎ 3、正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作 ‎ ‎ 4、余切：把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作 ‎ 说明：由定义可以看出tanA·cotA＝l（或写成）‎ ‎ ‎ ‎ （1）；（2）；（3） tanA＝ ‎ ‎10．一些特殊角的三角函数值 ‎ 三、应用举例 ‎ 是实际问题中的解直角三角形，或者说用解直角三角形的方法解决实际问题。‎ ‎ 例如一杆AB直立地面，从D点看杆顶A，仰角为60°，从C点看杆顶A，仰角为30°（如图5～2）若CD长为10米，求杆AB的高。‎ 解：设AB＝x 即，，‎ 即 ‎，，∴‎ 即杆高约8．66米，应用题中要注意：‎ ‎（1）仰角，俯角见图5－3‎ ‎（2）跨度、中柱：如房屋顶人字架跨度为AB，见图5—4‎ ‎ ‎ ‎（3）深度、燕尾角 如燕尾槽的深度，见图5—5‎ ‎（4）坡度、坡角 ‎ 见图5一6坡度i＝7坡度的垂直高度h水平宽度，‎ 例题：‎ 例1、根据下列条件，解直角三角形．‎ 例2、在平地上一点C，测得山顶A的仰角为30°，向山沿直线前进20米到D处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AB．‎ ‎．‎ 解：略 例题3如图6-40，水库的横截面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB ‎ 坝底宽AD(精确到0.1m)．‎ 几何部分 第六章：圆 知识点：‎ ‎ 一、圆 ‎ 1、圆的有关性质 ‎ 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。‎ ‎ ‎ 连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。‎ 圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。‎ ‎ 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。‎ ‎ 圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。‎ ‎ 能够重合的两个圆叫等圆。‎ ‎ 同圆或等圆的半径相等。‎ ‎ 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。‎ ‎ 二、过三点的圆 ‎ l、过三点的圆 ‎ 过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心 ‎ ‎ ‎ 三、垂直于弦的直径 ‎ 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。‎ ‎ 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。‎ ‎ 推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。‎ ‎ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。‎ ‎ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。‎ ‎ 推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。‎ ‎ 四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 ‎ 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。‎ ‎ 实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。‎ ‎ 顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。‎ ‎ 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。‎ ‎ 推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。‎ ‎ 五、圆周角 ‎ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。‎ ‎ 推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。‎ ‎ 推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。‎ ‎ 推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。‎ ‎ 由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。‎ ‎ 六、圆的内接四边形 ‎ 多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆 ‎ 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。‎ ‎ 七、直线和圆的位置关系 ‎ 1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线 ‎ 直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。‎ ‎ 直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。‎ ‎ 2、若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：‎ 直线和圆相交d＜r； 直线和圆相切d＝r；‎ 直线和圆相离d＞r； ‎ ‎ ‎ 八、切线的判定和性质 ‎ 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。‎ ‎ 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径 推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。‎ 推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。‎ ‎ 例如图6－5中，O为圆心，AC是切线，D为切点。‎ ‎ ∠B＝90°‎ ‎ 则有BC是切线 ‎ OD是半径 ‎ OD⊥AC ‎ 九、三角形的内切圆 ‎ 要求会作图，使它和己知三角形的各边都相切 ‎ ∵分角线上的点到角的两边距离相等。‎ ‎∴两条分角线的交点就是圆心。‎ ‎ 这样作出的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三角形。‎ ‎ 和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。‎ ‎ 十、切线长定理 ‎ ‎ ‎ ‎ 十二、和圆有关的比例线段 ‎ ‎ ‎ 十三、圆和圆的位置关系如图6－9‎ ‎ 若连心线长为d，两圆的半径分别为R，r，则：‎ ‎ 1、两圆外离d ＞R＋r；‎ ‎ 2、两圆外切d = R＋r；‎ ‎ 3、两圆相交R－r＜d＜R＋r（R＞r）‎ ‎ 4、两圆内切d = R－r；（R＞r）‎ ‎ 5、两圆内含d＜R－r。（R＞r）‎ ‎ ‎ ‎ 十六、正多边形和圆 ‎ 各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。‎ ‎ 定理：把圆分成n（n＞3）等分：‎ ‎ ‎ ‎ 正n边形的每个中心角等于 ‎ ‎ ‎ 十七、正多边形的有关计算 ‎ 正n边形的每个内角都等于 ‎ ‎ ‎ 1、圆周长C＝2πR；2、弧长 ‎ 二十一、圆扇形，弓形的面积 ‎ l、圆面积：； ‎ ‎2、扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。‎ ‎ 在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积S扇形的计算公式为：‎ ‎ 注意：因为扇形的弧长。所以扇形的面积公式又可写为 ‎ ‎ ‎ ‎